全等角形與旋轉(zhuǎn)問題

1、第五講全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題知識點睛板塊考試慕求A裟要求心毀要奈全零三角形的性質(zhì)及科定會識別全等三命形掌提全等三角形的槪含、貂定和性質(zhì)，會用全尊三角形的崔質(zhì)和判定解決簡單問題會運用全等三命形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)何題基本知識把圖形G繞平面上的一個定點0旋轉(zhuǎn)一個角度二，得到圖形G，這樣的由圖形G到G變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，點0叫做旋轉(zhuǎn)中心，二叫做旋轉(zhuǎn)角，G叫做G的象；G叫做G的原象，無論是什么圖形，在旋轉(zhuǎn)變換下,象與原象是全等形.很明顯，旋轉(zhuǎn)變換具有以下基本性質(zhì)： 旋轉(zhuǎn)變換的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等較規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的

2、條件盯對集中，以便于諸條件的綜合與推演.重點：本節(jié)的重點是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問題的基礎(chǔ)，也是學好全章的關(guān)鍵。同時全等三角形的判定也是本章的重點，特別是幾種判定方法，尤其是當在直角三角形中時，HL的判定是整個直角三角形的重點難點：本節(jié)的難點是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。為了能熟練的應(yīng)用性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾個是條件，決定哪個結(jié)論，如何用數(shù)學符號表示，即書寫格式，都要在講練中反復強化【例1】【例1】如圖，有四個圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來的圖案相互重合，其中有一個圖案與其余三個圖案旋轉(zhuǎn)的角度

3、不同，它是【解析】【例2】A如圖，同學們曾玩過萬花筒，它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的,把菱形ABCD以A為中心A順時針旋轉(zhuǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)其中菱形AEFG可以看成是【解析】【例3】60°得到60°得到0B.順時針旋轉(zhuǎn)120°得到D.逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到D如圖，C是線段CE于F,BE交AC于G,則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有A.1對B.2對C.3對D.4對BD上一點,分別以BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊AABC和等邊CDE,AD交【解析】【例4】C已知：如圖，點C為線段AB上一點,.;ACM、CBN是等邊三角形.求證:AN=BM【解析】【點評】【

4、例5】.ACM、CBN是等邊三角形，MC=AC,CN=CB,ACNMCB.ACN也.MCB,AN=BM此題放在例題之前回憶，此題是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形.AE分別交AC,DC如圖，B,C,E三點共線，且.'ABC與.DCE是等邊三角形，連結(jié)BD,于M,N點.求證：CMCN.【解析】ABC與DCE都是等邊三角形BC=AC,CD=CE及.ACB=.DCE=60B,C,E三點共線EBCD/DCE=180,ZBCAMACE=180BCD二.ACE=120在BCD與ACE中BC=AC:/BCD乙ACE/BCD也：ACE,DC=ECCAN二CBMBCDACE=120,BCM-NCE=60ACD=60在B

5、CM與ACN中BC=AC上BCM=ACN=60.BCM也ACN,.CM=CN.Zcbm/can【補充】已知：如圖，點C為線段AB上一點，ACM、CBN是等邊三角形.求證:CF平分AFB.【解析】【補充】【解析】【例6】過點C作CG_AN于G,CH_BM于H，由.ACN也.MCB,利用AAS進而再證.BCH也.NCD，可得到CG=CH，故CF平分.AFB.如圖，點C為線段AB上一點，ACM、CBN是等邊三角形.請你證明：AN二BM;DEIIAB;CF平分.AFB.此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形其中蘊含了許多等量關(guān)系.-MCN=60與三角形各內(nèi)角相等，及平行線所形成的內(nèi)錯角及同位角相等；全等三角形推導出來

6、的對應(yīng)角相等推到而得的：ZAFCZBFC;AN=BM,CD=CE,AD=ME,ND=BE；AMIICN,CMIIBN;DEIIAB.ACN：MCB,ADC：MCE，.:NDC也.BEC；DEC為等邊三角形.ACM、CBN是等邊三角形，MC=AC,CN=CB,ZACNZMCB.ACN也MCB,AN=BM由ACN也MCB易推得NDCBEC，所以CD=CE，又.MCN=60,進而可得DEC為等邊三角形.易得DEIIAB.過點C作CG_AN于G,CH_BM于H，由ACN也MCB,利用AAS進而再證：BCH也NCD，可得ZAFCZBFC，故CF平分.AFB.AE、（2008年懷化市初中畢業(yè)學業(yè)考試試卷）

7、如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接CG.求證：AE=CG.【解析】.ADC=/EDG/CDG乙ADE在CDG和ADE中CD=AD'ZCDG乙ADECDGADE.AE=CGDG=DE【例7】如圖，點C為線段AB上一點，.SCM、厶CBN是等邊三角形，D是AN中點，E是BM中點,求證：iCDE是等邊三角形.【解析】ACN也MCB,AN=BM,ZABMZANC又TD、E分別是AN、BM的中點，BCE也.：NCD,.CE=CD,.BCE=/NCD.DCENCD.NCEBCENCE-NCB=60CDE是等邊三角形【補充】(2008年全國初中數(shù)學競賽海南區(qū)初賽)如下圖，在線段AE同側(cè)作

8、兩個等邊三角形.：ABC和CDE(NACE<120°)，點P與點M分別是線段BE和AD的中點，貝UADPM是。A鈍角三角形B直角三角形C等邊三角形D非等腰三角形【解析】易得ACD也厶BCE.所以BCE可以看成是ACD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60而得到的.又M為線段AD中點，P為線段BE中點，故CP就是CM繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)60°而得.所以CP二CM且，NPCM=60°故CPM是等邊三角形，選C.【例8】如圖，等邊三角形ABC與等邊DEC共頂點于C點.求證：AE=BD.AEC【解析】ABC是等邊三角形，.ACB=60,AC二BC./BCD/DCA=60，同理ACE&

9、#163;DCA=60,DC=EC."BCDMACE在BCD與ACE中，BC=ACI'ZBCDZACE.:BCD也.：ACE,.BD=AE.DC=EC【例9】【例9】如圖，D是等邊JABC內(nèi)的一點，且BD=AD,BP=AB,ZDBPZDBC，問/BPD的度數(shù)是否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由.【解析】連接CD,將條件BD=AD,1ZBCDZACDACB=30,2.BDP也.：BDC(SAS)，二BPDBP二AB這兩個條件，易得：ACD也.汨CD(SSS),得由BP=AB=BC，./DBPZDBC,BD二BD(公共邊)，知=BCD=30故.BPD的度數(shù)是定值.【例

10、10】(2005年四川省中考題)如圖，等腰直角三角形EO_OF.求證：BEBF為定值.ABC中，/B=90,AB=a,O為AC中點,【解析】連結(jié)OB由上可知,Z1£2=90，乙2/3=90；,1=-3，而/4=45,OB=0C.QBE也.OCF,.BE=FC,.BEBF二CFBF=BC=a.【補充】如圖，正方形OGHK繞正方形ABCD中點O旋轉(zhuǎn)，其交點為E、F，求證：AE-CF=AB.AD【解析】正方形ABCD中，.1=/2=45,OA=0B而.3/4=90,4/5=90/3二/5,.：AOEB.：BOFAE=BF,AEFC=BFFC=BC二ABF是CB的延長線上一點，且【例11】（

11、2004河北）如圖，已知點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點EA_AF.求證：DE=BF.【解析】證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以AB二AD,ZBADZADEZABF=90.因為EA_AF,所以ZBAFZBAEZBAEZDAE=90，所以ZBAFZDAE，故RtABFRtADE，故DE=BF.【補充】如圖所示，在四邊形ABCD中，DC/ABC=90,AD二CD,DP_AB于P，若四邊形ABCD的面積是16,求DP的長?！窘馕觥咳鐖D，過點D作DE_DP，延長BC交DE于點E，容易證得厶ADP：CDE（實際上就是把AADP逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到正方形DPBE）正方形DPBE的面積等于四邊形A

12、BCD面積為16,DP=4.【例12】E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，且/EAF=45,AH_EF,H為垂足，求證：AH二AB.ADAD【解析】延長CB至G，使BG二DF，連結(jié)AG，易證ABGADF,/BAG二/DAF,AG二AF.再證AEGAEF，全等三角形的對應(yīng)高相等（利用三角形全等可證得），則有AH=AB.【例13】（1997年安徽省初中數(shù)學競賽題）在等腰RtAABC的斜邊AB上取兩點M、N，使.MCN=45,記AM=m,MN=x,BN=n，則以x、m、A銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.隨x、m、記AM=m,MN=x,BN=n，則以x、m、A銳角三角形B.直角三

13、角形C.鈍角三角形D.隨x、m、n為邊長的三角形的形狀是AMNBn的變化而變化【鞏固】如圖，正方形ABCD的邊長為1,求證：AF二DFBE.設(shè)DF=x（0<xw1）,ADF及S.若不存在，請說明理由.【解析】證明：如圖，延長CB至點G，使得BG=DF，連結(jié)AG.【解析】如圖，將CBN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90，得ACAD，連結(jié)MD,貝UAD=BN=n,CD=CN,/ACD二/BCN,/MCD=/ACM/ACD二/ACM/BCN=90；-45'=45：'=MCN.v:MDC也.：MNC,AMD二MN=x又易得EDAM=45；45'=90，在Rt：AMD中，有m2n2=x2

14、，故應(yīng)選(B)點F在線段CD上運動，AE平分乙BAF交BC邊于點E.與厶ABE的面積和S是否存在最大值？若存在，求出此時x的值因為ABCD是正方形，所以在RtADF和RtABG中，AD=AB,ZADF=NABG=90°,DF=BG.RfADF也RtABG(SAS),AF=AG，乙DAF/BAG.又IAE是乙BAF的平分線. EAF二BAE,.DAF.EAF=BAGBAE.即EAD二GAE./AD/BC,.GEA二/EAD,.GEA二/GAE,AG=GE.即AG=BGBE.AF=BGBE，得證.SABEJDFAD-1BEAB.*22AD=AB=1,1SDFBE由知，AF=DF-BE,1

15、所以SAF.2在Rt.ADF中，AD=1,DF=x, AF="x21,S=j、x21.2由上式可知，當x2達到最大值時，S最大而0<x<1,所以，當x=1時，S最大值為4x+1=丄時2.22【例14】（通州區(qū)2009一模第25題）請閱讀下列材料：已知：如圖1在RUABC中，NBAC=90°,AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若DAE=45探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，得到ABE，連結(jié)ED,使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題：猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并

16、對你的猜想給予證明；當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2,其它條件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.圖1【解析】DEBD2EC2證明：根據(jù)AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到ABE.AEC也-ABE' BEJEC,AE=AE,ZCZABE,ZEACZEAB在RtABC中/AB=AC.ABC-.ACB=45 .ABC.ABE=90即/EBD=90EB2BD2二ED2又DAE=45.BAD.EAC=45.EAB.BAD=45即.EAD=45.AED也.AED-DE=DEDE2=BD2EC2關(guān)系式DE2二BD2EC2仍然成立證明：將AADB沿直線AD

17、對折，得AAFD，連FE .AFD也.ABDAF=AB,FD=DB.FAD=BAD,.AFD=.ABD又AB二AC,AF二AC.FAE=.FAD.DAE=.FAD45.EAC=BAC-.BAE=90-/DAE-.DAB=45.DAB .FAE=.EAC又AE二AE .AFE也ACEFE二EC,.AFE=.ACE=45.AFD=ABD=180'_ABC=135匚DFEZAFDZAFE=135-45=90在RtDFE中DF2FE2二DE2即DE2=BD2EC2.：BDCAC上,【例15】（北京市數(shù)學競賽試題，天津市數(shù)學競賽試題）如圖所示，JABC是邊長為1的正三角形，是頂角為120沖勺等腰

18、三角形，以D為頂點作一個60”的NMDN，點M、N分別在AB、求MMN的周長。【解析】如圖所示，延長AC到E使CE=BM.在BDM與CDE中，因為BD二CD,MBD二ECD=90，BM二CE,所以BDM也CDE，故MD二ED.因為ZBDC=120；，/MDN=60：，所以BDMNDC=60.又因為BDM=CDE，所以MDN=/EDN=60.在.MND與.END中，DN=DN,MDN二/EDN=60,DM=DE,所以MND也END，則NE=MN，所以.AMN的周長為2.【例16】在等邊ABC的兩邊AB,AC所在直線上分別有兩點M,N,D為.ABC外一點，且.MDN=60,.BDC=120，BD=

19、CD，探究：當點M，N分別愛直線AB，AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系及MMN的周長與等邊MBC的周長L的關(guān)系。UI©圖圖如圖，當點M,N在邊AB,AC上，且DM=DN時，BM,NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系式；此時Q=L如圖，當點M，N在邊AB，AC上，且DM-DN時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；如圖，當點M，N分別在邊AB，CA的延長線上時，若AN=x，貝UQ=（用X，L表示）Q2【解析】BM+NC=MN;-L3(2)猜想：仍然成立證明：如圖，延長AC至E,使CE=BM，連接DETBD=CD,且乙BDC=120,ZDBC/DCB=30由ABC是等

20、邊三角形，ZMBD/NCD=90,.:MBD也ECD(SAS).DM=DE,BDM=/CDE，EDN»BDC-MDN=60在MDN與EDN中DM=DEMDN二EDNIDN二DN.MDNEDN(SAS)MNne=ncBMAMI的周長Q=AMANMN=(AMBM)(ANNC)=ABAC=2AB而等邊ABC的周長L=3ABQ2L_32(3)2xL3【補充】(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，/B=ZD=90,E、F分別是邊BC、CD上的點，且1ZEAF=ZBAD.求證：EF=BEFD;2DDB(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180,E、F分別是邊BC、CD上

21、的點,且ZEAF=-ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.2【解析】DD證明：延長EB到G,使BG=DF,聯(lián)結(jié)AG.ZABG=ZABC=ZD=90,AB=AD,/.ABG也.ADF.AG=AF,1=2.11.3=23=EAFBAD.2ZGAE=ZEAF.又AE=AE,AEG也AEF. EG=EF./EG=BE+BG.EF=BE+FD中的結(jié)論EF=BEFD仍然成立【例17】平面上三個正三角形ACF,ABD,BCE兩兩共只有一個頂點，求證：EF與CD平分.【解析】連接DE與DFv/DBAZEBC,/BADZCAF.DBE=/ABC,.BAC=/DAF在DBE與ABC中DB二AB/DBE-

22、.ABCBE=BC:DBE也ABC(SAS)DE二CA二FC在.DFA與.：BCA中DA=BA!ZDAFZBACAF=AC.:DFA也BCA(SAS)DF=BC=ECDECF為平行四邊形，EF,CD互相平分.【例18】K共線，AD=DK求證:已知：如圖，AABC、CDE、厶EHK都是等邊三角形，且A、D、HBD也是等邊三角形.=CD【解析】連結(jié)EB,vCE所以BE=AD,延長EB交AK于M,貝UEBH=360"-/BHD-/HDE-/BED=300"-/HDM-/MDE-/MED=180.HDM180-60.MDEMED=180"DM=HDK.又因為HK=AD=B

23、E,BH=HD.并且,CE=EA,BE二AD,BE與AD的夾角為60,所以BEH也.：DKH.所以HK=HE,EHD=/EHD.DHK=/BHE.【例19】（1997年安徽省競賽題）如圖，在厶ABC外面作正方形ABEF與ACGH,ADABC的高,其反向延長線交其反向延長線交【解析】證明ABHAFC;(2)作FP_MD于P,HQ_MD于Q，先證AFP也43AD,ACD也/HAQ,再證FPMHQM【補充】以ABC的兩邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE、ACFG，求證：CE=BG，且CE丄BG.GF【解析】易證AEC也ABG，故ACE=/AGB，又AC_AG,AOG=/BOC，故CE_BG.【例2

24、0】（北京市初二數(shù)學競賽試題）如圖所示，在五邊形ABCDE中，ZBWE=90,AB=CD=AE=BC+DE=1，求此五邊形的面積F【解析】我們馬上就會想到連接AC、AD，因為其中有兩個直角三角形，但又發(fā)現(xiàn)直接求各三角形的面積并不容易，至此思路中斷.我們回到已知條件中去，注意到BCDE=1,這一條件應(yīng)當如何利用？聯(lián)想到在證明線段相等時我們常用的“截長補短法”那么可否把BC拼接到DE的一端且使EF=BC呢（如圖所示）？據(jù)此，連接AF，則發(fā)現(xiàn)ABCAEF，且FD=1,AF=AC,AE二AB,ADF是底、高各為1的三角形，其面積為而.ACD與；AFD全等，從而可知此五邊形的面積為1.2【例21】（希望

25、杯全國數(shù)學邀請賽初二第二試試題）在五邊形ABCDE中，已知AB=AE,BCDE=CD,.ABC.AED=180，連接AD.求證：AD平分CDE.F【解析】連接AC.由于AB=AE，.匕ABCEAED=180'.我們以A為中心，將ABC逆時針旋轉(zhuǎn)到.：AEF的位置.因AB=AE，所以B點與E點重合，而ZAEFZAEDZABCZAED=180,所以D、E、F在一條直線上，C點旋轉(zhuǎn)后落在點F的位置，且AF=AC,EF=BC.所以DF二DEEF=DEBC二CD.在.ACD與.AFD中，因為AC二AF,CD二FD,AD=AD,故ACD空AFD,因此.ADC二.ADF，即AD平分.CDE.家庭作業(yè)

26、1.如圖，已知JABC和ADE都是等邊三角形,的理由.1.如圖，已知JABC和ADE都是等邊三角形,的理由.B、C、D在一條直線上，試說明CE與ACCD相等答案：AC=AB，.CAE=.BAD,AE=AD/.AEC也.ADBCE=BD又BD=BCCD=ACCDCE=ACCD2.（湖北省黃岡市2008年初中畢業(yè)生升學考試）已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊AB上任意一點,過點D作DF_DE交BC的延長線于點F.求證：DE=DF.答案：T.ADC=/EDF.ADE=.CDF在JADE和.CDF中/DAE/DCFIAD=CD/ADE/CDFADE也CDF DE=DF3.3.（2008山東）在梯形ABCD中，AB/CD,.A=90,判斷EC與EB的位置關(guān)系，并寫出推理過程.AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點，試BAB又AB=2,BC=3,CD=1,CF=BC答案：延長BE交CD延長線于點F.tE是AD中點，DE=AE,/AB/CD,.