固體物理第4課倒易空間ppt課件

1、S0ABOPS1 正格矢與倒矢點(diǎn)P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲點(diǎn)陣中由原胞基矢a1，a2，a3構(gòu)成的矢量，S0和S是入射線和衍射線的單位矢量，經(jīng)過(guò)O點(diǎn)和P點(diǎn)衍射后光程差為：)(000S-SRSRS-ROBAlll原子可向空間任何方向散射X光線，只需一些固定方向可構(gòu)成衍射。當(dāng)X光為單色光，衍射加強(qiáng)的條件為： RlS-S0=u 令 ，代入上式，衍射加強(qiáng)條件變?yōu)椋?Rl k -k0 = 2 u根據(jù)正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣的關(guān)系，k-k0必是倒易空間中的位置矢量，令：有 Rl Gh = 2 u Rl和Gh 不一定平行 2k 200SSk)(200SS k -kGh可見(jiàn)， Rl和 Gh的

2、量綱是互為倒逆的， Rl是格點(diǎn)P的位置矢量，稱為正矢量， kh稱為倒易矢量。假設(shè)令Gh= h1b1+h2b2+h3b3，那么稱由b1，b2，b3為基矢構(gòu)成的點(diǎn)陣為倒易點(diǎn)陣.b1，b2，b3如何確定？1.倒矢與正格矢的關(guān)系： 原胞體積原胞體積， )(222321213132321aaaVVaabVaabVaab321aaa、點(diǎn)點(diǎn)陣陣：原原胞胞基基矢矢正點(diǎn)陣原胞基矢 ：a、a、a倒易點(diǎn)陣原胞基矢 ：b、b、b321321原胞體積 )(222321213132321aaaVVaabVaabVaab構(gòu)成的晶面族的面間距、是：構(gòu)成的晶面的法線方向、的方向沿：32111321221aaddbaab jij

3、ibaijji 0 22 (1)，系：兩個(gè)點(diǎn)陣基矢之間的關(guān)VaabVaabVaab213132321222。，GRhhhbhbhbhGZlllalalalRhlhl點(diǎn)陣的位矢則另一個(gè)矢量必為倒易為正點(diǎn)陣位矢且其中一個(gè)矢量的整數(shù)倍若兩矢量點(diǎn)積為結(jié)論則有、倒格矢倒易點(diǎn)陣：、正格矢正點(diǎn)陣：系：兩個(gè)點(diǎn)陣格矢之間的關(guān)2 ：Z 2 ： Z (2)321332211321332211為什么在倒易關(guān)系中存在2 因子，這是由于如此定義的互為倒易的兩個(gè)矢量G與T之間滿足下面簡(jiǎn)約的恒等式： 1TiGeCBABCACBAVV*VbbbV*)()( )2()( (3)3321上式利用了互為倒數(shù)與可見(jiàn)的關(guān)系：兩個(gè)點(diǎn)陣原胞

4、體積之間： 2 )( / (4)321321332211321證明如下法線方向則有：倒易點(diǎn)陣中倒格矢：）面指數(shù)為：（正點(diǎn)陣中一族晶面，晶之間的關(guān)系：倒格矢和正點(diǎn)陣晶面族hhhhhhdGhhhGbhbhbhGhhh5倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣互為倒易點(diǎn)陣6倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣有一樣的宏觀對(duì)稱性前往前往CBCACBCAOCOBCBOCOACAhhhhGGGGhahahaha0033223311hhhhhhhGGhbhbhbhaGGhad2)(13322111113213.倒易點(diǎn)陣與傅里葉變換 112233)()()()()()(321332211321332211nnnnnnrGinnnrGinllnneCeC

5、rrrrrZlllalalalRRrrRxxxaxaxaxrr：作傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，有將為周期函數(shù)則有、，若有、 表示圖表示圖 nnrGinnrGinnnnnnnnnrGinnnrGinnnnneGrGrderVCZnnnbnbnbnGGeCeCr)()()()(1)(321332211112233、，為倒格矢， 的的傅傅里里葉葉變變換換是是)()(rGn的傅里葉逆變換是)()(nGrTdeFtfdtetfF-ti-ti2)(21)( )()( 傅里葉逆變換：傅里葉逆變換：傅里葉變換：傅里葉變換：晶體點(diǎn)陣晶體點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣實(shí)際晶體構(gòu)造實(shí)際晶體構(gòu)造虛構(gòu)虛構(gòu)顯微圖像顯微圖像衍射圖像衍射圖像微觀

6、粒子微觀粒子一族晶面一族晶面線度量綱：線度量綱：L線度量綱：線度量綱：L1位置空間位置空間坐標(biāo)空間坐標(biāo)空間倒易空間倒易空間傅里葉空間傅里葉空間K空間空間iabiaa 2 11 1 一維晶一維晶格格2 二維晶格二維晶格 321132321321332122 aaaaabaaaaabkaaaa ，令，令構(gòu)造構(gòu)造、 jaaaaaabiaaaaaabjaaiaa 2222 32113232132121 a. 簡(jiǎn)立方晶格簡(jiǎn)立方晶格1b格格倒易點(diǎn)陣仍為簡(jiǎn)立方晶倒易點(diǎn)陣仍為簡(jiǎn)立方晶 kabjabiabkaaj aaaia 222321321倒易空間表示圖倒易空間表示圖2b3b1b體心立方晶格的倒易晶格是面心

7、立方，其晶胞常數(shù)為 。 ab ) ji (ab)ki (ab)kj (ab)kji (aa)kji (aa)kji(aa4222222321321a4面心立方晶格的倒易晶格是體心立方，其晶胞常數(shù)為 。abkjiabkjiabkjiabjiaakiaakjaa4)(2)(2)(2)(2)(2)(2321321a4表示圖表示圖倒易原胞VaV32 體簡(jiǎn)約布里淵區(qū)：簡(jiǎn)立方前往前往ABC倒易倒易離原點(diǎn)最近的有離原點(diǎn)最近的有個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn)體心立方的倒易點(diǎn)體心立方的倒易點(diǎn)陣是面心立方陣是面心立方 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)原點(diǎn)和原點(diǎn)和12個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍

8、成的正十二面體體心立方的倒格子是面心立方，離原點(diǎn)最近的有十二個(gè)倒格點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中它們的坐標(biāo)為：)()()(2321213132321knnjnninnannnKbbbn倒格矢),(2213132nnnnnna).1 , 1 , 0(2),1 , 1 , 0(2),1 , 1 , 0(2),1 , 1 , 0(2),1 , 0 , 1 (2),1 , 0 , 1 (2),1 , 0 , 1 (2),1 , 0 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2aaaaaaaaaaaa相應(yīng)的倒格矢長(zhǎng)度這十二個(gè)倒格矢的中垂

9、面圍成菱形十二面體：其體積正好等于倒格子原胞的體積大小22),(321aKnnn前往前往倒易原胞面體簡(jiǎn)約布里淵區(qū)：正十二VaV322 21,21,212 111 0 ,21,212 110 0 , 0 , 12 100 0 , 0 , 0a Pa Na H ：坐標(biāo)原點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)面心立方的倒面心立方的倒易點(diǎn)陣是體心易點(diǎn)陣是體心立方立方倒易倒易離原點(diǎn)最近的有離原點(diǎn)最近的有個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn)布里淵區(qū)。因此正8面體不是第一是而第一布里淵區(qū)的體積，面體的體積是332282298)a()a(個(gè)次個(gè)次鄰格點(diǎn)鄰格點(diǎn) 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 八個(gè)面是正六邊形八個(gè)面是正六邊形 六個(gè)面是正四邊形六個(gè)面是正四邊形前往

10、前往倒易原胞倒易原胞體體簡(jiǎn)約布里淵區(qū)：十四面簡(jiǎn)約布里淵區(qū)：十四面VaV 324 21,21,212 0 ,43,432 0 , 0 , 12 0 , 0 , 02 aLaKaXa： 第一布里淵區(qū)為十第一布里淵區(qū)為十四面體四面體 布里淵區(qū)中某些對(duì)稱布里淵區(qū)中某些對(duì)稱點(diǎn)和假設(shè)干對(duì)稱軸上的點(diǎn)點(diǎn)和假設(shè)干對(duì)稱軸上的點(diǎn)能量較為容易計(jì)算，這些能量較為容易計(jì)算，這些點(diǎn)的標(biāo)志符號(hào)點(diǎn)的標(biāo)志符號(hào)布里淵區(qū)原點(diǎn)布里淵區(qū)原點(diǎn)000六方面的中心六方面的中心(,)Laaa 四方面的中心四方面的中心2(,0,0 )Xa 計(jì)為計(jì)為 軸軸 方向方向X)100(計(jì)為計(jì)為 軸軸 方向方向L)111( 將零級(jí)近似下的波矢將零級(jí)近似下的波

11、矢k移入簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，能量移入簡(jiǎn)約布里淵區(qū)，能量變化的圖像，圖中定性畫(huà)變化的圖像，圖中定性畫(huà)出了沿出了沿 軸的結(jié)果軸的結(jié)果29/29布里淵區(qū)是由倒格矢中垂面圍成的封鎖區(qū)，其外形與布里淵區(qū)是由倒格矢中垂面圍成的封鎖區(qū)，其外形與晶體構(gòu)造有關(guān)；晶體構(gòu)造有關(guān)；每個(gè)布里淵區(qū)的體積都等于倒易原胞的體積，其中包每個(gè)布里淵區(qū)的體積都等于倒易原胞的體積，其中包含含N個(gè)個(gè)k點(diǎn)，可包容點(diǎn)，可包容2N個(gè)電子；個(gè)電子；簡(jiǎn)約布里淵區(qū)是未被分割的整塊，它即是倒易點(diǎn)陣的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)是未被分割的整塊，它即是倒易點(diǎn)陣的維格納賽茨原胞；維格納賽茨原胞；布里淵區(qū)邊境上的布里淵區(qū)邊境上的k點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電子能量是不延續(xù)的，其點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電子能量是不延續(xù)的，其能隙為能隙為2|Vn|。圖5 閃鋅礦構(gòu)造的本征GaN資料的能帶構(gòu)造圖，導(dǎo)帶最小和價(jià)帶最大。1 試證簡(jiǎn)單立方晶格的倒易點(diǎn)陣仍為簡(jiǎn)單立方晶格，體心立方和面心立方互為倒