2010年上海高考數(shù)學真題（理科）試卷（word解析版）

1、絕密啟用前 2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學試卷（理工農(nóng)醫(yī)類）（滿分150分，考試時間120分鐘）考生注意1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.2.作答前，在答題紙正面填寫姓名、準考證號，反面填寫姓名，將核對后的條形碼貼在答題紙指定位置.3.所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區(qū)域，不得錯位.在試卷上作答一律不得分.4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生必須在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分。1.不等式的解集是 。

2、 2.若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則 。解析：考查復數(shù)基本運算3. 動點到點的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為 。4.行列式的值是 。5. 圓的圓心到直線l:的距離 。 6. 隨機變量的概率分布率由下圖給出：則隨機變量的均值是 7. 2010年上海世博會園區(qū)每天9:00開園，20:00停止入園。在右邊的框圖中，表示上海世博會官方網(wǎng)站在每個整點報道的入園總?cè)藬?shù)，表示整點報道前1個小時內(nèi)入園人數(shù)，則空白的執(zhí)行框內(nèi)應填入 。8.對任意不等于1的正數(shù)a，函數(shù)f(x)=的反函數(shù)的圖像都經(jīng)過點P，則點P的坐標是 9從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃

3、”，則概率P（AB）= （結(jié)果用最簡分數(shù)表示）10在行n列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為。當時， 。11. 將直線、（，）x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為，則 。 12如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O,剪去,將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、（B）、C、D、O為頂點的四面體的體積為 13。如圖所示，直線x=2與雙曲線的漸近線交于,兩點，記，任取雙曲線上的點P，若，則a、b滿足的一個等式是 14.以集合U=的子集中選出2個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：（1）a、b都要選出；（2）對選出的任意兩個子集A和B，必有，那么共有 種不同的選法。二選

4、擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案。考生必須在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分。15“”是“”成立的 答（ ）（A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件.（C）充分條件. （D）既不充分也不必要條件. 16.直線l的參數(shù)方程是，則l的方向向量是可以是 【答】（ ）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2) 17.若是方程的解，則屬于區(qū)間 【答】（ ）(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,) 18. 某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為，則此人能 【答】（ ）（A）

5、不能作出這樣的三角形 （B）作出一個銳角三角形（C）作出一個直角三角形 （D）作出一個鈍角三角形 三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。19.（本題滿分12分）已知，化簡：. 20. (本題滿分13分)本題共有2個小題，第一個小題滿分5分，第2個小題滿分8分。已知數(shù)列的前項和為，且，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式，并求出n為何值時，取得最小值，并說明理由。 （2）= n=15取得最小值 21、（本大題滿分13分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分8分.如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個

6、全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）.(1)當圓柱底面半徑取何值時，取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）;（2）在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點為點，安裝一些霓虹燈，當燈籠的底面半徑為0.3米時，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示） 22.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分10分。若實數(shù)、滿足，則稱比遠離.（1）若比1遠離0，求的取值范圍；（2）對任意兩個不相等的正數(shù)、，證明：比遠離；（3）已知函數(shù)的定義域.任取，等于和中遠離

7、0的那個值.寫出函數(shù)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）. 23（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；（3）對于橢圓上的點Q（a cos，b sin）（0），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的的取值范圍. 2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學（理科）一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生必

8、須在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分。1.不等式的解集是 （-4,2） 。解析：考查分式不等式的解法等價于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<22.若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則 6-2i 。解析：考查復數(shù)基本運算3. 動點到點的距離與它到直線的距離相等，則的軌跡方程為 。解析：考查拋物線定義及標準方程定義知的軌跡是以為焦點的拋物線，p=2所以其方程為y2=8x4.行列式的值是 0 。解析：考查行列式運算法則=5. 圓的圓心到直線l:的距離 3 。解析：考查點到直線距離公式圓心（1,2）到直線距離為6. 隨機變量的概率分布率由下圖給出：則隨

9、機變量的均值是 8.2 解析：考查期望定義式E=7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.27. 2010年上海世博會園區(qū)每天9:00開園，20:00停止入園。在右邊的框圖中，表示上海世博會官方網(wǎng)站在每個整點報道的入園總?cè)藬?shù)，表示整點報道前1個小時內(nèi)入園人數(shù)，則空白的執(zhí)行框內(nèi)應填入 S S+a 。8.對任意不等于1的正數(shù)a，函數(shù)f(x)=的反函數(shù)的圖像都經(jīng)過點P，則點P的坐標是 （0，-2） 解析：f(x)=的圖像過定點（-2,0），所以其反函數(shù)的圖像過定點（0，-2）9從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”

10、，事件B為“抽得為黑桃”，則概率P（AB）=（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）解析：考查互斥事件概率公式 P（AB）= 10在行n列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為。當時， 45 。解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=4511. 將直線、（，）x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為，則 1 。解析：B 所以BOAC，= 所以12如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O,剪去,將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、（B）、C、D、O為頂點的四面體的體積為解析：翻折后的幾何體為底面邊長為4，側(cè)棱長為的正三棱錐，高為所以該四面體的體積為13。如圖所示，直線x=2與雙曲線的漸近

11、線交于,兩點，記，任取雙曲線上的點P，若，則a、b滿足的一個等式是 4ab=1 解析：=，點P在雙曲線上，化簡得4ab=114.以集合U=的子集中選出2個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：（1）a、b都要選出；（2）對選出的任意兩個子集A和B，必有，那么共有 36 種不同的選法。解析：列舉法 共有36種二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案?？忌仨氃诖痤}紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分。15“”是“”成立的 答（ A ）（A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件.（C）充分條件. （D）既不充分也不必要條件.解析：，所以充分

12、；但反之不成立，如，所以不必要16.直線l的參數(shù)方程是，則l的方向向量是可以是 【答】（C）(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)解析：直線l的一般方程是，所以C正確17.若是方程的解，則屬于區(qū)間 【答】（C）(A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,)解析：結(jié)合圖形，屬于區(qū)間(,)18. 某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為，則此人能 【答】（D）（A）不能作出這樣的三角形 （B）作出一個銳角三角形（C）作出一個直角三角形 （D）作出一個鈍角三角形解析：設三邊分別為a,b,c，利用面積相等可知由余弦定理得，所以角A為鈍角三、解答題

13、（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。19.（本題滿分12分）已知，化簡：.=020. (本題滿分13分)本題共有2個小題，第一個小題滿分5分，第2個小題滿分8分。已知數(shù)列的前項和為，且，（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式，并求出n為何值時，取得最小值，并說明理由。 （2）= n=15取得最小值解析：(1) 當n=1時，a1=-14；當n2時，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以數(shù)列an-1是等比數(shù)列；(2) 由(1)知：，得，從而(nÎN*)；解不等式Sn<Sn+

14、1，得，當n15時，數(shù)列Sn單調(diào)遞增；同理可得，當n15時，數(shù)列Sn單調(diào)遞減；故當n=15時，Sn取得最小值21、（本大題滿分13分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分8分.如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）.(1)當圓柱底面半徑取何值時，取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）;（2）在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點為點，安裝一些霓虹燈，當燈籠的底面半徑為0.3米時，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）解析：(1)

15、設圓柱形燈籠的母線長為l，則l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以當r=0.4時，S取得最大值約為1.51平方米；(2) 當r=0.3時，l=0.6，建立空間直角坐標系，可得，設向量與的夾角為q，則，所以A1B3、A3B5所在異面直線所成角的大小為22.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分10分。若實數(shù)、滿足，則稱比遠離.（1）若比1遠離0，求的取值范圍；（2）對任意兩個不相等的正數(shù)、，證明：比遠離；（3）已知函數(shù)的定義域.任取，等于和中遠離0的那個值.寫出函數(shù)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)

16、論不要求證明）.解析：(1) ；(2) 對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，有，因為，所以，即a3+b3比a2b+ab2遠離；(3) ，性質(zhì)：1°f(x)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，2°f(x)是周期函數(shù)，最小正周期，3°函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，kÎZ，4°函數(shù)f(x)的值域為23（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知橢圓的方程為，點P的坐標為（-a，b）.（1）若直角坐標平面上的點M、A(0,-b)，B(a，0)滿足,求點的坐標；（2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點.若，證明：為的中點；（3）對于橢圓上的點Q（a cos，b sin）（0），如果橢圓上存在不同的兩個交點、滿足,寫出求作點、的步驟，并求出使、存在的的取值范圍.解析：(1) ；(2) 由方程組，消y得方程，因為直線交橢圓于、兩點，所以D>0，即，設C