數(shù)學(xué)建模作業(yè)3劃艇比賽的成績(jī)

1、佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上機(jī)報(bào)告課程名稱數(shù)學(xué)建模上機(jī)項(xiàng)目劃艇比賽的成績(jī)一專業(yè)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)一、問(wèn)題提出賽艇是一種靠槳手劃槳前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇和八人艇四種。各種艇雖大小不同，但形狀類似?，F(xiàn)T.A.McMahon對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，見(jiàn)表1第1至6歹I，發(fā)現(xiàn)比賽成績(jī)與槳手?jǐn)?shù)之間存在某種關(guān)系，于是建立了一個(gè)模型來(lái)解釋這種關(guān)系。表1各種賽艇等等比賽成績(jī)和規(guī)格艇種2000m成績(jī)t/min艇長(zhǎng)l/m艇寬b/ml/b艇種w0/kg槳手?jǐn)?shù)n1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.95

2、6.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7二、問(wèn)題分析賽艇前進(jìn)受到的阻力主要是艇浸沒(méi)部分與水之間的摩擦力。艇靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進(jìn)。槳手越多劃艇前進(jìn)的動(dòng)力越大。但是艇和槳手總質(zhì)量的增加會(huì)使艇浸沒(méi)面積加大，于是阻力加大，增加的阻力將抵消一部分增加的動(dòng)力。建模目的是尋找槳手?jǐn)?shù)量與比賽成績(jī)（航行一定距離所需時(shí)間）之間的數(shù)量規(guī)律。如果假設(shè)艇速在整個(gè)賽程中保持不變，那么只需構(gòu)造一個(gè)靜態(tài)模型，使問(wèn)題簡(jiǎn)化為建立槳手與艇速之間的

3、關(guān)系。注意到在實(shí)際比賽中槳手在極短的時(shí)間內(nèi)使艇加速到最大速度，然后把這個(gè)速度保持到終點(diǎn)，那么上述假設(shè)也是合理的。為了分析所受阻力的情況，調(diào)查了各種艇的幾何尺寸和質(zhì)量，表1第7至10列給出了這些數(shù)據(jù)。可以看出，槳手?jǐn)?shù)n增加時(shí)，艇的尺寸l,b及艇重w0都隨之增加，但比值l/b和w0/n變化不大。若假定l/b是常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒(méi)面積與排水體積之間的關(guān)系。若假定w0/n是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總質(zhì)量與槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。此外還需對(duì)槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關(guān)系方面作出簡(jiǎn)化且合理的假定，才能運(yùn)用合適的物理定律建立需要的模型。三、模型假設(shè)1、各種艇的幾何形狀相同，l/b為常數(shù)；

4、艇重W0與槳手?jǐn)?shù)n成正比。這是艇的靜態(tài)特性。2、艇速v是常數(shù)，前進(jìn)時(shí)受的阻力f與sv2成正比（s是艇浸沒(méi)部分面積）。這是艇的動(dòng)態(tài)特性。3、所有槳手的體重都相同，記作W；在比賽中每個(gè)槳手的劃槳功率p保持不變，且p與W成正比。假設(shè)1是根據(jù)所給數(shù)據(jù)作出的必要且合理的簡(jiǎn)化。根據(jù)物理學(xué)的知識(shí)，運(yùn)動(dòng)速度中等大小的物體所受阻力f符合假設(shè)2中f與sv2成正比的情況。假設(shè)3中w,p為常數(shù)屬于必要的簡(jiǎn)化，而p與w成正比可解釋為：p與肌肉體積，肺的體積成正比，對(duì)于身體勻稱的運(yùn)動(dòng)員，肌肉，肺的體積與體重W成正比。四、模型建立（顯示模型函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程）有n名槳手的艇的總功率np與阻力f和速度v的乘積成正比，即np如fv

5、（1）由彳田設(shè)2,3,f工sv2,pocw代入（1）式可得1,n、3vh（一）（2）s由假設(shè)1,各種艇的幾何形狀相同，若艇浸沒(méi)面積s與艇的某特征尺寸c的平方成正比（smc2）,則艇排水體積A必與c的立方成正比（Ahc3）,于是有2ska3（3）又根據(jù)艇重W0與槳手?jǐn)?shù)n成正比，所以艇和槳手的總質(zhì)量w=w0+nw也與n成正比，即wocn(4)而由阿基米德定律，艇排水體積A與總質(zhì)量w'成正比，即(Aocw(5)(3)、(4)、(5)式給出2socn3(6)將(6)式代入(2)式，當(dāng)w時(shí)常數(shù)時(shí)得到19vocn9因?yàn)楸荣惓煽?jī)t(時(shí)間)與v成反比，所以1tocn9(8)(8)式就是根據(jù)模型假設(shè)和幾

6、條物理規(guī)律得到的各種艇的比賽成績(jī)與槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。五、模型求解(顯示模型的求解方法、步驟及運(yùn)算程序、結(jié)果)為了用表1中各種艇的平均成績(jī)檢驗(yàn)(8)式，設(shè)t與n的關(guān)系為t=c(n°其中。,P為待定常數(shù)，由(9)式10gt=a+Blogn,a=loga(10)利用最小二乘法，根據(jù)所給數(shù)據(jù)擬合上式，得到t=7.21n.111(11)可以看出(8)式與這個(gè)結(jié)果吻合得相當(dāng)好模型程序：n=1,2,4,8;t=7.17,6.77,6.13,5.73;t1=7.21,6.88,6.32,5.84;p=polyfit(log(n),log(t),1);p1=polyfit(log(n),log(t1)

7、,1);a=exp(p(2)b=p(1)a1=exp(p1(2)b1=p1(1)t1=a*n.Ab;plot(n,t,'+',n,t1,'-')Edtor'C：U&ersAdminiFileEditTextGoCellToolsDebugDeslttopWindowHelp+i喟L。+|五二|I潘啜|Q1 -n=j2,4,8"P2 -t=7,17,S.77,6.13,5.73;3 -tl=7.21,5.58,6.32,5.84：4 -p=polyfit1log(n)jlog(t)j11;5 -pl=polyfit(loE(n),log(tl)j1)：6 -