數(shù)學(xué)建模飛機(jī)運(yùn)輸問(wèn)題

1、多變量有約束最優(yōu)化問(wèn)題摘要本文以一家運(yùn)輸航空公司的一架飛機(jī)運(yùn)載能力100噸和運(yùn)載貨物的容量50000立方英尺有限的情況下，有三種貨物（即x1、x2、x3）需要運(yùn)輸， 公司規(guī)定每噸貨物收取一定的費(fèi)用， 而要運(yùn)輸?shù)拿糠N貨物的噸數(shù)都有規(guī)定的上限（最多不超過(guò)30噸、40噸、50噸），并且公司規(guī)定由于飛機(jī)需要保養(yǎng)與維護(hù)，飛機(jī)須停飛115天，因此每年只有250天的工作時(shí)間。在此情況下每天怎樣安排運(yùn)輸三種貨物使公司每年獲得最大利潤(rùn)w。 對(duì)于此問(wèn)題只用線性規(guī)劃的一般方法建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型， 在用數(shù)學(xué)軟件求出在給定限行區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)解（WAx1、x2、x3）,在對(duì)這些最優(yōu)解進(jìn)行分析與討論，確定其為有效最優(yōu)解。并以

2、此作為公司對(duì)三種貨物運(yùn)輸安排方式。對(duì)于問(wèn)題一，求使得運(yùn)輸航空公司獲得最大利潤(rùn)w的x1、x2、x3三種貨物的噸數(shù)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。再根據(jù)運(yùn)輸能力最多100噸和運(yùn)載貨物容積的最大50000立方英尺，還有每天公司規(guī)定的每種貨物的運(yùn)輸上限即x1種貨物最多運(yùn)輸30噸,x2種貨物最多運(yùn)輸40噸，x3種貨物最多50噸，建立約束條件。并用數(shù)學(xué)軟件mathematica進(jìn)行求解，即為所求的最優(yōu)解（也就是w=21875x1=30,x2=7.5,x3=50）。對(duì)于問(wèn)題二中，要求計(jì)算每個(gè)約束的影子價(jià)格。我們將利用問(wèn)題一中建立的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，將其編寫(xiě)成源程序輸入到Lindo軟件中進(jìn)行求解。再將得到的界進(jìn)行討論

3、與和模型的穩(wěn)健性分析并且通過(guò)其在題意的理解， 解釋其含義。問(wèn)題三中，對(duì)于公司將耗資改裝飛機(jī)以擴(kuò)大運(yùn)貨區(qū)來(lái)增加運(yùn)輸能力，且舊飛機(jī)使用壽命為5年，每架飛機(jī)的改造要花費(fèi)200000美元，可以增加2000立方英尺的容積。重量限制仍保持不變。假設(shè)飛機(jī)每年飛行250天，這些舊飛機(jī)剩余的使用壽命約為5年。根據(jù)此問(wèn)題我們將建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，利用Lindo軟件計(jì)算其影子價(jià)格和利潤(rùn)并且與前面進(jìn)行比較，進(jìn)行分析。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃、mathematica軟件的應(yīng)用、Lindo的軟件應(yīng)提出假設(shè)提出問(wèn)題一個(gè)運(yùn)輸公司每天有100噸的航空運(yùn)輸能力。公司每噸收空運(yùn)費(fèi)250美元。除了重量的限制外，由于飛機(jī)貨場(chǎng)容積有限，公司每天只

4、能運(yùn)50000立方英尺的貨物。每天要運(yùn)送的貨物數(shù)量如下：貨物重量(噸)體積(立方英尺/噸)130550240800350400(1)求使得利潤(rùn)最大的每天航空運(yùn)輸?shù)母鞣N貨物的噸數(shù)。(2)計(jì)算每個(gè)約束的影子價(jià)格，解釋它們的含義。(3)公司有能力對(duì)它的一些舊的飛機(jī)進(jìn)行改裝來(lái)增大貨運(yùn)區(qū)域的空間。每架飛機(jī)的改造要花費(fèi)200000美元，可以增加2000立方英尺的容積。重量限制仍保持不變。假設(shè)飛機(jī)每年飛行250天,這些舊飛機(jī)剩余的使用壽命約為5年。在這種情況下，是否值得改裝？有多少架飛機(jī)時(shí)才值得改裝？假設(shè)1:飛機(jī)每天最多只能運(yùn)輸50000立方英尺的貨物假設(shè)2:飛機(jī)每天最多只能運(yùn):100噸貨物假設(shè)3:貨物1每

5、天都有30噸要運(yùn)。假設(shè)4:貨物2每天都有40噸要運(yùn)。假設(shè)5:貨物3每天都有50噸要運(yùn)。四、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)意義單位備注w利潤(rùn)美元x1運(yùn)載貨物1的噸數(shù)噸x2運(yùn)載貨物2的噸數(shù)噸X3運(yùn)載貨物3的噸數(shù)噸v飛機(jī)貨艙容積立方英尺m飛機(jī)載重噸五、模型的建立與求解第一部分5.1問(wèn)題一的模型的建立。1.21.1問(wèn)題一的分析。結(jié)合題意，計(jì)算航空公司獲得的利潤(rùn)，必須將運(yùn)輸航空公司里的飛機(jī)的燃料費(fèi)用及修理維護(hù)費(fèi)用忽略不計(jì)，還有每噸貨物的運(yùn)費(fèi)始終保持不變。在這種情況下，3種貨物總運(yùn)輸噸數(shù)不超過(guò)100噸，容積不超過(guò)50000立方英尺，且3種貨物有各自運(yùn)輸上限，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件。1.3.2問(wèn)題一模型的建立。通過(guò)對(duì)原問(wèn)題的

6、分析，我們可以建立如下的數(shù)學(xué)線性規(guī)劃模型：MaxW250 x1+250 x2+250 x3550 x1+1800 x2+400 x3=50000 x1+x2+x3=100 x1=30 x2=40 x330,x2-7.5,x350.)1.5.4結(jié)果的分析由結(jié)果可以得到當(dāng)運(yùn)輸航空公司每天運(yùn)輸xl貨物30噸、x2貨物1.6噸、x3貨物50,每年得到白利潤(rùn)最大w=21875美元。即當(dāng)xl為30噸、x2為8噸、x3為50噸的時(shí)候，貨物體積超出了飛機(jī)的運(yùn)載體積50000立方英尺。所以公司應(yīng)按照以上的xl為30噸，x2為7.5噸，x3為50噸的運(yùn)輸安排運(yùn)輸貨物。第二部分1.7問(wèn)題二的模型的建立1.7.1問(wèn)題

7、二的分析與建立MaxW250 x1+250 x2+250 x3550 x1+1800 x2+400 x3=50000 x1+x2+x3=100 x1=30 x2=401.7.2模型的求解將應(yīng)用程序輸入到Lindo軟件中，得到的部分結(jié)果為:DUALPRICESDUALPRICES0.1388890.1388890.0000000.000000173.611115173.6111150.0000000.000000194.11441143194.11441143NO.NO.ITERATIONSITERATIONS= =1 1最優(yōu)解下資源增加1“單位”時(shí)“效益”的增量：飛機(jī)運(yùn)載空間每增加1立方英尺時(shí)

8、，利潤(rùn)增加0.138889美元,飛機(jī)運(yùn)載能力的增加對(duì)利潤(rùn)不影響，X1種貨物每增運(yùn)1噸時(shí),利潤(rùn)增加173.611115美元,X2種貨物的增運(yùn)對(duì)利潤(rùn)不影響，X3種貨物每增運(yùn)1噸時(shí)，利潤(rùn)增加194.444443美元。1.7.3結(jié)果的分析部分輸出結(jié)果（靈敏度分析）（輸入程序見(jiàn)附錄2）x350.)in17=in17=zs250(xl+x2+x3)zs250(xl+x2+x3); ;NMaxiinize250(xl+x2+x3)NMaxiinize250(xl+x2+x3), ,550 xl+1800 x2+400 x3w50000550 xl+1800 x2+400 x3w50000f fxl+x2+x

9、l+x2+4 4100100, ,05Kls3005Kls30F。$x2f40,0$x?$x2f40,0$x? 5050f fxl,x2,x3xl,x2,x3Out17=21875.,xl-30.,x2-7.5,x3-50,附錄1:求解問(wèn)題一的Mathematica程序附錄2:求解問(wèn)題二的LINDO程序maxw=250 xl250 x2250 x3S.t.xlx2x3=100550 x1800 x2400 x3-50000 x1：=30 x240 x350RIGHTHANDSIDERANGESRIGHTHANDSIDERANGES附錄3:求解問(wèn)題三的LINDO程序解法一：Max250 x1+2

10、50 x2+250 x3st550 x1+1800 x2+400 x3=52000 x1+x2+x3=1001)1)21875.0021875.00VARIABLEVARIABLEX1X2X3X1X2X3UALUEUALUE7.5000807.50008050.80008050.800080REDUCEDCOSToREDUCEDCOSTo.oomoo.oomo0.oomoo.oomo0.000000.000000ROWSLACKORSURPLUSROWSLACKORSURPLUS2)2)O.0DOO0OO.0DOO0O3)3)12.5DDO0O12.5DDO0O4)4)O.0ODO0OO.0O

11、DO0O5)5)32.5OD06O32.5OD06O6)6)0.0000000.000000DUALPRICES9DUALPRICES9.1388890.00.1388890.000800173,6110800173,6111151150.0000000.000000194.444M3194.444M3NO.ITERATIONS=NO.ITERATIONS=1 1RANGESINWHICHTHEBASESRANGESINWHICHTHEBASESISUNCHANGED:ISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESOBJCOEFFICIENTRANGESUARIABLEUAR

12、IABLEX1X1X2X2X3X3CURRENTCOECURRENTCOEF F2SO.DOOOO2SO.DOOOOO25O.0Q9BOO25O.0Q9BO0 0250.00000250.000000 0ALLOWABLEIALLOWABLEINCREASENCREASEINFINITYINFINITY568.181824568.181824IHFIHITVIHFIHITVALLOWABLEALLOWABLEDECREASEDECREASE173.611115173.611115250.880000250.8800001911.1911.岫岫4343ROWROW2 23 34 45 56 6C

13、URRENTRHS50CURRENTRHS50000.00000010000.000000100.060000so.o0.060000so.omooM0.00M6DsmooM0.00M6Dso.emooo.emooALLOWABLEINCRALLOWABLEINCREASE22500.000EASE22500.0000001NFIHITV180001NFIHITV18.000000.000000INFINITY16.07INFINITY16.0714281428ALLOWABLEALLOWABLEDECREASE1350DECREASE13500.0000080.000008112.50000

14、030112.50000030,00006032.5M,00006032.5M0000005O.00ODOO5O.00ODOOx1=30 x2=40 x3=50endLPOPTIMUMFOUNDATSTEPLPOPTIMUMFOUNDATSTEPOBJECTIVEFUNCTIONVALUEOBJECTIVEFUNCTIONVALUE11)22152.7811)22152.78ROMSLACKORSURPLUSROMSLACKORSURPLUS2)9.609C092)9.609C093)11.3888893)11.388889H)0.009069H)0.0090695)31.3888895)31

15、.3888896)0.6096696)0.609669NO.ITERATIONS=3NO.ITERATIONS=3OBJCOEFFICIENTOBJCOEFFICIENTRANGESRANGESVARIABLEVARIABLECURRENTCURRENTALLOWABLEALLOWABLEALLOWABLEALLOWABLECOEFCOEFINCREASEINCREASEDECREASEDECREASEX1X1250.000060250.000060INFINITYINFINITY173.611115173.611115X2X2250.000000250.000000568.181824568

16、.181824250.900000250.900000X3X3250.090090250.090090INFINITYINFINITY194.414444194.4144443 3RIGHTHANDSIDEIRIGHTHANDSIDEIGANGESGANGESROMROMCURRENTCURRENTALLOWABLEALLOWABLEALLOWABLEALLOWABLERHSRHSINCREASEINCREASEDECREASEDECREASE2 252000.00000052000.0000002OSOO.0060902OSOO.00609015ii99.99902315ii99.9990233 3100.000000100.000000INFINITYINFINITY11.38888911.388889d d30.09009030.09009016.16. i9000i900030.09000030.0900005 540,99000040,990000INFINITVINFINITV31.38888931.3888896 65O.0OQOO85O.0OQOO814.6U285814.6U2858S0.000006S0.000006RANGESINWHICHTHEBASISRANGESINWHICHTHEBASISUNCHANGED:UNCHANG