數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)題9

1、習(xí)題九1,取步長(zhǎng)h=0.1,分別用歐拉法與改進(jìn)的歐拉法解下列初值問(wèn)題：八MDCrz=寸.尸（3）居.廿優(yōu).九一由吩/（/）,4（4）%Z抑九一九一娟獷如）4）445。用Euler法解初值問(wèn)題.=/十】00/叉）=取步長(zhǎng)h=0。1,計(jì)算到x=0。3（保留到小數(shù)點(diǎn)后4位）。解：直接將Eulerr法應(yīng)用于本題，得到八口=人+雙W+1。叱=居+0乂出+10。3）由于/=r=0,直接代入計(jì)算，得到7（0一，）乃；+G05xKW十/一少0】+Y+i+/+【-e+。彳（胃十%-）壽）=2+005x（+Q11）,K=0,1,246.用改進(jìn)Euler法和梯形法解初值問(wèn)題萬(wàn):/十五-乂以。）二取步長(zhǎng)h=0。1,計(jì)

2、算至Ux=0.5,并與準(zhǔn)確解,=f+/一五+1相比較.解：用改進(jìn)Euler法求解公式，得/r=乂+口。5水需+/-乂）+刀3+%1*1+/%）=八+0,05x0+2/%-1.91y要+0,11）超-0,12計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表用梯形法求解公式,得一一1；J解得F,LI.一.，,一-二精確解為“J-1-X.0.20,3540.5改ifiEulexr法0.005500,021930.050150.刈040.14500梯形法0.005240.021410.049370.OS9010.14373精確解yW0.005160.021270,049130,089630.143477證明中點(diǎn)公式（7.3.9產(chǎn)/+爐

3、工+產(chǎn)4盧是二階的，并求其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。證明根據(jù)局部截?cái)嗾`差定義，得11口尸&十制了X）十（/十于M/十不妁）r將右端Taylor展開(kāi)，得A,T/1二如晨三）十等了（%）+!產(chǎn)曰一。3）+穌/1%戶(hù)（右十心內(nèi),十?廣如”釬）+O)1戶(hù)名于1菰門(mén)+了3+力痣+彳m/kw+白：察+”故方法是二階的，且局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)是上式右端含h3的項(xiàng)。取步長(zhǎng)8.用四階R-K方法求解初值問(wèn)題產(chǎn)3”。+工）,。工中=1h=0。2.解直接用四階RK方法%廣:VN*42&+%”區(qū)4601其中3yC+%)”1.i+kn35+。浜力“35+0g)?口-UJ.L2+/41一2+三Kn0.20.40.50.81.0YnL7

4、27552.742954.004185.829217.99601計(jì)算結(jié)果如表所示:n+l-必+藥6人-”力+37fl-2-9X-39對(duì)于初值問(wèn)題解因f（y）=-100,故由絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間要求（1）用Euler法解時(shí),Zi=0,02100（2）用梯形法解時(shí)，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為f對(duì)y是線(xiàn)性的，故不用迭代，對(duì)h仍無(wú)限制。（3）用四階R-K方法時(shí),22=0,0275510010。（1）用Euler法求解，步長(zhǎng)h應(yīng)取在什么范圍內(nèi)計(jì)算才穩(wěn)定？（2）若用梯形法求解，對(duì)步長(zhǎng)h有無(wú)限制？。若用四階RK方法求解,步長(zhǎng)h如何選取?解：用四階顯式Adam宓式先要算出凡名仍，乃，而=1,其余3點(diǎn)可用四階R-K方法計(jì)算。由打”3%-2居,得/=./X就.-yv）=/=+卷,九+應(yīng)）=2/7*.一L卅六+0,15-人冗了）j&）二為二（2）試確定參數(shù)=工，使方法具有盡可能高的階數(shù)，并求出局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).解本題仍利用局部截?cái)嗾`差的Taylor展開(kāi)，Tz=+紡一盤(pán)雙耳）+y（右一以）-妞#0（，）+尸（心一切332=內(nèi)（/十加氏）+以為）+?“（/）+。曲）RM%）十直/）如（/）+ylMf/3（%）+用3（“尸切”（%）+9）”也）十。（r）W二（1一2口）尸（/）+1+0鳳-鳳如（5）+（-（/）+2（/）226b_2要確定參數(shù)圓小外,可令1一2B二始斗/一/