2.5隨機變量的函數(shù)的分布 ppt課件

1、2.5 2.5 隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的函數(shù)的分布 離散型 連續(xù)型 定理及其應用隨機變量的函數(shù)隨機變量的函數(shù)也是一個隨機變量 xgyYxX取值時，取值當本節(jié)的任務就是： 的分布要求隨機變量，的分布，并且已知已知隨機變量YXgYX的函數(shù)，是是一隨機變量，設XYX XgYY則,一、離散型隨機變量的函數(shù)一、離散型隨機變量的函數(shù)分布律為：分布律為：為離散型隨機變量，其為離散型隨機變量，其設設X,2, 1npxXPnnX1x2x，nxP1p2p，np或，nyyy21，其中21nxgynn它它的的取取值值為為：也也是是離離散散型型隨隨機機變變量量，則則的的函函數(shù)數(shù)：是是YXYXY),(g 第一種情形

2、如果，nyyy21兩兩不相同，則由， 21nxXPyYPnn的分布律為可知隨機變量Y,2, 1npyYPnn或Y1y2y，nyP1p2p，np第二種情形如果，nyyy21有相同的項， .的分布律隨機變量應的概率相加，即可得相（看作是一項），并把則把這些相同的項合并XgY 例例1 1的分布律為設離散型隨機變量XX -3 -1 0 2 6 9 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 的分布律，試求隨機變量YXY32解：的取值為隨機變量32XY，1591359這些取值兩兩互不相同由此得隨機變量32XY的分布律為 設隨機變量 X 具有以下的分布律，試求Y = (X-1

3、)2 的分布律.pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解: Y 有可能取的值為有可能取的值為 0，1，4. 且 Y=0 對應于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, PY=0=PX=1=0.1,例例2 2同理,PY=1=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4= PX= -1= 0.2,pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，Y=(X-1)2 的分布律為：例例3 3的分布律為設離散型隨機變量XX12nP21221n21 為偶數(shù)若為奇數(shù)若XXXgY11的分布律的分布律試求隨機變量試求隨機變量Y解：為奇數(shù)nnXPYP1012kkXP 01221kk32

4、為偶數(shù)nnXPYP112kkXP1221kk31Y-11P3231的分布律為所以，隨機變量Y解：為奇數(shù)nnXPYP1012kkXP 01221kk32二二. .連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 ，其密度函數(shù)為是一連續(xù)型隨機變量，設xfXX 隨機變量也是連續(xù)型，我們假定的函數(shù)是再設YXXgY 的密度函數(shù)我們要求的是yfXgYY解解 題題 思思 路路 yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的分布函數(shù)先求 yFyfXgYXgYYY的密度函數(shù)關系求之間的的分布函數(shù)與密度函數(shù)利用., 0, 40,8)(其它xxXfX設隨機變量 X 具有概率密度：試求 Y=2X+8 的概率密度

5、.解：解：(1) 先求先求 Y =2X+8 的分布函數(shù)的分布函數(shù) FY(y)：2882)( yXPyXPyYPyFY例例4 428.)()(yXYdxxfyF可以求得：利用)()()2(yfyFYY., 0, 4280,21)28(81)28()28()(其它yyyyfyfXY., 0, 40,8)(其它xxXfX設隨機變量 X 具有概率密度：試求 Y=2X+8 的概率密度.例例4 4解：解：., 0,168,328)(其它yyyfY 整理得 Y=2X+8 的概率密度為：本例用到變限的定積分的求導公式).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx則如果設隨機變量 X

6、具有概率密度,),(xxfX求 Y = X 2 的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y = X 2 的分布函數(shù)的分布函數(shù) FY(y)：. 0)(0, 0120yFyXYY時故當由于yyXYdxxfyXyPyXPyYPyFy.)()(,0220時當例例5 5yyXYdxxfyF.)()(得：及變限定積分求導公式利用)()()2(yfyFYY. 0, 0, 0),()(21)(yyyfyfyyfXXY設隨機變量 X 具有概率密度,),(xxfX求 Y = X 2 的概率密度.解：解：(1)例例5 5yyXYdxxfyF.)()(. 0, 0, 0,21)(221yyeyyfyY例如,設 XN(0

7、,1),其概率密度為：.,21)(22xexx那么 Y = X 2 的概率密度為：分布。的服從自由度為此時稱21Y例例6 6 的密度函數(shù)求隨機變量，試，的密度函數(shù)為隨機變量設yfYXYxfXYX解： yFYyFXYX的分布函數(shù)為，隨機變量的分布函數(shù)為設隨機變量 yYPyFYyXP，則若0y yYPyFYyXP P0，則若0yyXyP yYPyFYyXP yFyFXX的分布函數(shù)為綜上所述，得隨機變量 Y 000yyyFyFyFXXY的密度函數(shù)為對上式求導，可得XY 000yyyfyfyfXXY例例6 6 的密度函數(shù)求隨機變量，試，的密度函數(shù)為隨機變量設yfYXYxfXYX解： 定理定理2.12.

8、1 設隨機變量 X 具有概率密度, )(xxfX).0)(0)()(xgxgxg或恒有處處可導，且有又設函數(shù)那么 Y =g(X ) 是一個連續(xù)型隨機變量 Y，其概率密度為., 0,|,)(|)()(其它yyhyhfyfXY其中 h(y) 是 g(x) 的反函數(shù)，即 ).(),(max),(),(mingggg)()(1yhygx此時仍有：或恒有上恒有在設以外等于零，則只須假在有限區(qū)間若),0)(0)(,)(xgxgbabaxf).(),(max),(),(minbgagbgag這里., 0,|,)(|)()(其它yyhyhfyfXY 定理定理2.12.1續(xù)）續(xù)） yhXPygXPyFY1因此，

9、 yhXdxxf ，的分布函數(shù)為設隨機變量yFXgYY yXgPyYPyFY則有 加的函數(shù)是嚴格增，則由題設，不妨假設xgxg0定理的證明定理的證明上變化，在區(qū)間隨機變量上變化時，在區(qū)間由題設，當隨機變量YX定理的證明定理的證明其中，gggg，maxmin yhXYdxxfyF時，當因此，y yhXYdxxfdydyFyf所以， yhyhfX yhyhfX yhXYdxxfdydyFyf所以，時，當因此，y 是嚴格減少的函數(shù)，則若xgxg0 yhXdxxf yXgPyYPyFY yhXPygXP1定理的證明定理的證明 yhyhfX yhyhfX證。綜上所述，得補充定理：補充定理：若若g(x)在

10、不相疊的區(qū)間在不相疊的區(qū)間,21II上逐段嚴格單調，其反函數(shù)分別為),(),(21yhyh均為連續(xù)函數(shù)，那么Y=g(x)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為)()()(11yhyhfyfXY)()(22yhyhfX例例7 7 的密度函數(shù)，試求隨機變量，設隨機變量yfYeYNXYX2解：的密度函數(shù)為，知題設由X函數(shù)為是嚴格增加的，它的反因為函數(shù)yxeyxln xexfx22221上變化，在區(qū)間，上變化時，在區(qū)間并且當隨機變量0XeYX時，所以，當 0y yyfyfXYlnlnyy12lnexp2122 0002lnexp2122yyyyyfY的密度函數(shù)為由此得隨機變量XeY .)0(),(2也服從正態(tài)

11、分布的線性函數(shù)試證明設隨機變量abaXYXNX滿足定理的條件，,)(,)(axgbaxxgy.1)(,)()(ayhabyyhxxgy且的反函數(shù)為：證證 X X的概率密度為：的概率密度為：.,21)(222)(xexfxX例例8 8.,21)(222)(xexfxX.|2121|1)(|1| )(|)()(2222)(2)(2)(abayabyXXYeaeaabyfayhyhfyf由定理的結論得：.)( ,2abaNbaXY即有.)0(),(2也服從正態(tài)分布的線性函數(shù)試證明設隨機變量abaXYXNX證證例例8 8例例9 9均勻分布，試求電壓V的概率密度.上服從在區(qū)間是一個隨機變量相角是一個已知的正常數(shù)其中設電壓2,2,sinAAV解：,1)(,arcsin)(, 0cos)(22,sin)(22vAvhAvvhAxgAgv以及且有反函數(shù)）上恒有，在（的概率密度為：., 0,22,1)(其它f., 0,|,)(|)()(:其它利用定理的結論yyhyhfyfXY,1)(22vAvh., 0,11)(sin22其它的概率密度為：得AvAvAyfAVY 1 引進了隨機變量的概念，要求會用隨機變量表 示隨機事件。 2 給出了分布函數(shù)的定義及性質，要會利用分布 函數(shù)示事件