1.1.3-四種命題間的相互關(guān)系

1、1.1.3 四種命題間的相互關(guān)系 四種命題形式: 原命題,逆命題,否命題,逆否命題四種命題形式四種命題形式: :原命題原命題: : 逆命題逆命題: :否命題否命題: : 逆否命題逆否命題: :若若 p , p , 則則 q q 若若 q q , , 則則 p p若若p p , , 則則q q若若q , q , 則則p p符號(hào)符號(hào)“”叫做叫做否定符號(hào)否定符號(hào)“p p”讀作讀作“非非p p”，表示表示p p的否定，的否定，即不是即不是p p探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 四種命題之間的關(guān)系四種命題之間的關(guān)系觀察與思考觀察與思考？你能說(shuō)出其中任意你能說(shuō)出其中任意兩個(gè)命題之間的關(guān)兩個(gè)命題之間的關(guān)系嗎系嗎? ?1.

2、1. 若若f(x)f(x)是正弦函數(shù)，則是正弦函數(shù)，則f(x)f(x)是周期函數(shù)；是周期函數(shù)；2.2. 若若f(x)f(x)是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則f(x)f(x)是正弦函數(shù)；是正弦函數(shù)；3.3. 若若f(x)f(x)不是正弦函數(shù)，則不是正弦函數(shù)，則f(x)f(x)不是周期函數(shù)；不是周期函數(shù)；4.4. 若若f(x)f(x)不是周期函數(shù)，則不是周期函數(shù)，則f(x)f(x)不是正弦函數(shù)不是正弦函數(shù). .四種命題之間的關(guān)系四種命題之間的關(guān)系 原命題原命題 若若p,p,則則q q 逆命題逆命題 若若q,q,則則p p 否命題否命題若若p,p,則則q q 逆否命題逆否命題若若q,q,則則p p互逆互

3、逆互互否否互互否否 互逆互逆(真真)探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 四種命題的真假四種命題的真假看下面的例子看下面的例子：（判斷真假）：（判斷真假）（1 1）原命題：若）原命題：若x=2x=2或或x=3, x=3, 則則x x2 2-5x+6=0.-5x+6=0.逆命題：若逆命題：若x x2 2-5x+6=0, -5x+6=0, 則則x=2x=2或或x=3.x=3.否命題：若否命題：若x2x2且且x3, x3, 則則x x2 2-5x+60.-5x+60.逆否命題：若逆否命題：若x x2 2-5x+60-5x+60，則，則x2x2且且x3.x3.(真真)(真真)(真真)（2 2）原命題：若）原命題：若a

4、b, a b, 則則 acac2 2bcbc2 2. .逆命題：若逆命題：若acac2 2bcbc2 2, ,則則ab.ab.否命題：若否命題：若ab,ab,則則acac2 2bcbc2 2. .逆否命題：若逆否命題：若acac2 2bcbc2 2, ,則則ab.ab.（假）（假）（真）（真）（真）（真）（假）（假）原命題原命題逆命題逆命題否命題否命題逆否命題逆否命題真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假一般地一般地, ,四種命題的真假性四種命題的真假性, ,有而且僅有下面有而且僅有下面四種情況四種情況: :比一比比一比【提升總結(jié)提升總結(jié)】（1 1）原命題為真，則其逆

5、否命題一定為真）原命題為真，則其逆否命題一定為真. .但其逆命題、否命題不一定為真但其逆命題、否命題不一定為真. .（2 2）若其逆命題為真，則其否命題一定為真）若其逆命題為真，則其否命題一定為真. .但原命題、但原命題、其其逆否命題不一定為真逆否命題不一定為真. . 由以上三例及總結(jié)我們能發(fā)現(xiàn)什么？由以上三例及總結(jié)我們能發(fā)現(xiàn)什么？ 解解：原命題與原命題與其其逆否命題同真假逆否命題同真假. . 原命題的逆命題與否命題同真假原命題的逆命題與否命題同真假. . ( (兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題, , 它們的真假性沒(méi)有關(guān)系它們的真假性沒(méi)有關(guān)系).).判一判判一判1.1.

6、判斷下列說(shuō)法是否正確判斷下列說(shuō)法是否正確. .（1 1）一個(gè)命題的逆命題為真，它的逆否命題不一定）一個(gè)命題的逆命題為真，它的逆否命題不一定為真；為真；（對(duì)）（對(duì)）（2 2）一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真）一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真. .（對(duì)）（對(duì)）（3 3）一個(gè)命題的原命題為假，它的逆命題一定為假）一個(gè)命題的原命題為假，它的逆命題一定為假. .（錯(cuò)）（錯(cuò)）（4 4）一個(gè)命題的逆否命題為假，它的否命題為假）一個(gè)命題的逆否命題為假，它的否命題為假. .（錯(cuò)）（錯(cuò)） 例例1 1 設(shè)原命題是：當(dāng)設(shè)原命題是：當(dāng)c0c0時(shí)，若時(shí)，若ab,ab,則則acbc. acbc. 寫出它的逆

7、命題、否命題、逆否命題寫出它的逆命題、否命題、逆否命題. .并分別判斷它并分別判斷它們的真假們的真假. .分析：分析：“當(dāng)當(dāng)c0c0時(shí)時(shí)”是大前提，寫其它命題時(shí)應(yīng)該是大前提，寫其它命題時(shí)應(yīng)該保留保留. .原命題的條件是原命題的條件是“abab”，結(jié)論是，結(jié)論是“acbcacbc”. .解：解：逆命題：當(dāng)逆命題：當(dāng)c0c0時(shí)，若時(shí)，若acbc, acbc, 則則ab.ab.否命題：當(dāng)否命題：當(dāng)c0c0時(shí)，若時(shí)，若ab, ab, 則則acbc.acbc.逆否命題：當(dāng)逆否命題：當(dāng)c0c0時(shí)，若時(shí)，若acbc, acbc, 則則ab.ab.（真）（真）（真）（真）（真）（真）例例2 2 若若m0m0或

8、或n0n0，則，則m+n0.m+n0.寫出其逆命題、寫出其逆命題、否命題、逆否命題，并分別指出其否命題、逆否命題，并分別指出其真真假假. .分析：分析：搞清四種命題的定義及其關(guān)系，注意搞清四種命題的定義及其關(guān)系，注意“且且” “或或”的否定為的否定為“或或” “且且”. .解：解：逆命題：若逆命題：若m+n0m+n0，則，則m0m0或或n0.n0.否命題：若否命題：若m0m0且且n0, n0, 則則m+n0.m+n0.逆否命題：若逆否命題：若m+n0, m+n0, 則則m0m0且且n0.n0.（真）（真）（真）（真）（假）（假）小結(jié)：在判斷四種命題的真假時(shí)，只需判斷兩小結(jié)：在判斷四種命題的真假

9、時(shí)，只需判斷兩種命題的真假種命題的真假. .因?yàn)槟婷}與否命題真假等價(jià)，因?yàn)槟婷}與否命題真假等價(jià)，逆否命題與原命題真假等價(jià)逆否命題與原命題真假等價(jià). .【提升總結(jié)提升總結(jié)】因?yàn)樵}和它的逆否命題有相同的因?yàn)樵}和它的逆否命題有相同的真假性，所以當(dāng)直接證明某一命題為真命題有困難真假性，所以當(dāng)直接證明某一命題為真命題有困難時(shí)，可以通過(guò)證明它的逆否命題為真命題，來(lái)時(shí)，可以通過(guò)證明它的逆否命題為真命題，來(lái)間接證明原命題為真命題間接證明原命題為真命題.例例3 3 證明：若證明：若x x2 2+y+y2 2=0=0，則，則x=y=0.x=y=0.證明：證明：若若x x，y y中至少有一個(gè)不為中至少有

10、一個(gè)不為0 0，不妨設(shè)，不妨設(shè)x0 x0，則則x x2 20 0，所以，所以x x2 2+y+y2 2 0 0， 也就是說(shuō)也就是說(shuō)x x2 2+y+y2 2 0.0. 因此，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題因此，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題為真命題. . 在數(shù)學(xué)的證明中，我們會(huì)常常用到一種在數(shù)學(xué)的證明中，我們會(huì)常常用到一種方法方法反證法反證法. . 反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來(lái)達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種來(lái)達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法數(shù)學(xué)證明方法. .此處是命題的否定，要區(qū)別于否命題此處是

11、命題的否定，要區(qū)別于否命題. .反證法的一般步驟：反證法的一般步驟：（1 1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立）假設(shè)命題的結(jié)論不成立 , , 即假設(shè)結(jié)論即假設(shè)結(jié)論的反面成立的反面成立; ; （2 2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)）從這個(gè)假設(shè)出發(fā) , , 經(jīng)過(guò)推理論證經(jīng)過(guò)推理論證, , 得出矛盾得出矛盾; ; （3 3）由矛盾判定假設(shè)不正確）由矛盾判定假設(shè)不正確 , , 從而肯定從而肯定 命題的結(jié)論正確命題的結(jié)論正確. . 反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論1.1.設(shè)原命題：若設(shè)原命題：若a+b2a+b2，則，則a,ba,b中至少有一中至少有一個(gè)不小于個(gè)不小于1 1，則原命題與其逆命題的真假情況，則原命題與其逆命題的真假情況是（是

12、（ ）A A原命題真，逆命題假原命題真，逆命題假B B原命題假，逆命題真原命題假，逆命題真C C原命題與逆命題均為真命題原命題與逆命題均為真命題D D原命題與逆命題均為假命題原命題與逆命題均為假命題A A2.2.命題命題“若若a ab,b,則則acacbc”(bc”(這里這里a,b,ca,b,c都是實(shí)數(shù)都是實(shí)數(shù)) )與它的逆命題，否命題、逆否命題與它的逆命題，否命題、逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A A4 B4 B3 3C C2 D2 D0 0D D3.3.命題命題“ “ 若若ABCABC不是等腰三角形，則它的任不是等腰三角形，則它的任何兩個(gè)內(nèi)角都不相等何兩個(gè)內(nèi)角都不相等

13、”的逆否命題是的逆否命題是 _._.它是它是 命題（命題（“真真”或或“假假”）. .真真若若ABCABC的兩個(gè)內(nèi)角相等，則它是等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等，則它是等腰三角形4. 4. 命題命題“若若q1q1，則，則x x2 2+2x+q=0+2x+q=0有實(shí)根有實(shí)根”的的逆否命題是逆否命題是_ _ _ _ _ _ . .逆命題是逆命題是_ _ _ _ ，它是它是 命題（命題（“ “ 真真 ” ”或或“ “ 假假 ” ” ）. .若若x x2 2+2+2x x+ +q q =0 =0 無(wú)實(shí)根，則無(wú)實(shí)根，則q q11若若x x2 2+2+2x x+ +q q=0=0有實(shí)根，則有實(shí)根，則q q11真真

14、5.5.命題命題“已知已知a a，b b為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，若x x2 2axaxb0b0有非空有非空解集，則解集，則a a2 24b04b0”寫出該命題的逆命題，否命寫出該命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷真假題，逆否命題，并判斷真假 解：解：逆命題逆命題“已知已知a a，b b為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，若a a2 24b04b0，則則x x2 2axaxb0b0有非空解集有非空解集”. .否命題否命題“已知已知a a，b b為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，若x x2 2axaxb0b0沒(méi)有非空解集，則沒(méi)有非空解集，則a a2 24b4b0 0”. .逆否命題逆否命題“已知已知a a，b b為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，若a a2 24b4b0 0，則則x x2 2axaxb0b0沒(méi)有非空解集沒(méi)有非空解集”. .原命題，逆命題，否命題，逆否命題均為原命題，逆命題，否命題，逆否命題均為真命題真命題6.6.求證：若一個(gè)三角形的兩條邊不相等，則這兩求證：若一個(gè)三角形的兩條邊不相等，則這兩條邊所對(duì)的角也不相等條邊所對(duì)的角也不相等. . 證明：證明：如果一個(gè)三角形的兩邊所對(duì)的角相等，如果一個(gè)三角形的兩邊所對(duì)的角相等，根據(jù)等腰三角形的判定定理，這個(gè)三角形是等腰三根據(jù)等腰三角形的判定定理，這個(gè)三角形是等