高中數(shù)學橢圓離心率求法專題

1、關于橢圓離心率設橢圓=1(ab0)的左、右焦點分別為，如果橢2圓上存在點P,使.F1PF2二90，求離心率e的取值范圍。設P(x,y)，又知F1(-C,0），F(xiàn)2（c，0），則Ff=(xc，y)，F(xiàn)2P=(x-c，y)由F1PF90，知RP_F2P，則F1PF2P=0，即(xc)(x-c)y2=0222得xyc將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得222.22ac-abx=2riab但由橢圓范圍及.F1PF2=90知0乞x2:a22222acab-22a-b可得c2-b2，即c2-a2-c2，且c2:a2從而得e-，且e，：1a2a所以e予，1）解法2:利用二次方程有實根由橢圓定義知222|

2、PFj|PF2|=2a=|PFjIPF2I2|PF1|PF2|=4a又由.F1PF2=90，知2222|PFi|PF2|MF1F2I=4c則可得|卩片|卩卩2|=22-c2)這樣，|PFi|與|PF2|是方程u2-2au2(a2-c2)=0的兩個實根，因此：=4a2_8(a2_c2)_0>-因此e,1)2解法3:利用三角函數(shù)有界性記.PFiF:,PF2F1二由正弦定理有|PFi|=IPF2I_時2|sin：sin：sin903旦節(jié)問sin：sin-又|PFjIPFzInZa，|F1F22c，則有11sin二1sin:5a+Pa-P2sincos22ce=_a-2cos-P2而0-刁：:：

3、90知0J1:4522cos122Rf從而可得<e<1解法4:利用焦半徑由焦半徑公式得|PF11=aex,|PF21=a-ex又由IPF|PF2|2=廳芾2|2，所以有a22cxe2x2a2-2cxe2x2=4c2即a2e2x2=2c2，x2222c-a又點P(x，y)在橢圓上,2e且x=二a，則知0込x2:a2，即222C-a202:ae解法5:利用基本不等式由橢圓定義，有2aPF11|PF2|平方后得4a2=|PFIPFzt22|PFi|PF2#2(|PFi|2IPF2I2)=2|FiF2,8c2c21,2得一所以有e，1)a2解法6:巧用圖形的幾何特性由F1PF2=90，知點

4、P在以|FiF2|=2c為直徑的圓上。又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P故有c_b=c2_b2二a2-c2V2由此可得e-蘭，1)2演練、直接求出a,c或求出a與b的比值，以求解22a-b2aJ2a2倍，則橢圓的離心率等于-12722. 已知橢圓兩條準線間的距離是焦距的2倍，則其離心率為213. 若橢圓經過原點，且焦點為F1(1,0),F2(3,0),則橢圓的離心率為-2在橢圓中，e=，eCaa1.已知橢圓的長軸長是短軸長的4.已知矩形ABCDAB=4,BC=3，則以AB為焦點，且過CD兩點的橢1圓的離心率為。25.若橢圓X2a22與=1,(ab0)短軸端點為P滿足PF1_PF2，則橢圓

5、b的離心率為e亠。212x26.已知1(m0.n0)則當mn取得最小值時，橢圓一mnm、.32丄-12n的的離心率為2227. 橢圓X2篤=1(ab0)的焦點為F|,F2，兩條準線與x軸的交點ab分別為M,N，若MN<2F1F2，則該橢圓離心率的取值范圍是22，1IL28. 已知F1為橢圓的左焦點，AB分別為橢圓的右頂點和上頂點，P為橢圓上的點，當PF丄F1A,PO/ABO為橢圓中心)時，橢圓的離心率為e=2。2229. P是橢圓X?+?=1(a>b>0)上一點，F(xiàn)eF2是橢圓的左右焦點，已知ab2PFF2F扌FF=股ZF1PF2=3g橢圓的離心率為e=J3110. 已知R、

6、F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，若f6ZPF1F2=15，乙PF2F1=75,則橢圓的離心率為11.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為2,焦點到相應準線的距離為1,則該橢圓的離心率為2X12.設橢圓飛a22by2=1（卩b>0的右焦點為F1,右準線為"若過F且垂直于213.橢圓篤ax軸的弦的長等于點F1到11的距離，則橢圓的離心率是-。22-y2=1(a>b>0)的兩頂點為A(a,0)B(O,b),若右焦點Fb21到直線AB的距離等于一IAFI，則橢圓的離心率是32214.橢圓篤爲=1（a>b>0）的四個頂點為A、B、CD,若四邊形ABCDa

7、b的內切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率是2x15.已知直線L過橢圓a2每=1(a>b>0)的頂點A(a,0)、B(0,b),bax6如果坐標原點到直線L的距離為a，則橢圓的離心率是°3一x2y216.在平面直角坐標系中，橢圓+=1（ab>0）的焦距為2,以0ab為圓心，a為半徑作圓，過點-2、,0作圓的兩切線互相垂直，則離心.c丿2217.設橢圓X2y2ab方程ax2bx-c=0的兩個實根X2)=1(ab0)的離心率為e=1，右焦點為F(c,O),分別為和X2，則點P(xu(A)A.必在圓x2y2=2內c.必在圓x2y2=2夕卜、構造a,c的齊次式，解出e22e.必在

8、圓xy=2上D.以上三種情形都有可能1.已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是2以橢圓的右焦點F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于MN兩點，橢圓的左焦點為Fi,直線MF與圓相切，則橢圓的離心率是3-13. 以橢圓的一個焦點F為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心0并且與橢圓交于MN兩點，如果IMFI=IM0，則橢圓的離心率是J314. 設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若AF1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是、.2-15.已知R、F2是橢圓的兩個焦點，過F且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓43于A、B兩點，若ABF2是正三角形，

9、則這個橢圓的離心率是3x2y26.設F1>F2分別是橢圓y2=1ab0的左、右焦點，P是其右ab準線上縱坐標為J3c(c為半焦距)的點，且f1f2|f2p，則橢圓的離心率是2三、尋找特殊圖形中的不等關系或解三角形。1.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1MF2二0的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是(0,2已知F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且一RPF?=90，橢圓離心率e的取值范圍為3.已知F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且斤卩卩2=60，橢圓離心率e的取值范圍為1,112丿224.設橢圓篤y2=1(a>b>0)的兩焦點為Fi、F2,若橢圓上存在一點Qab、6使/F1QF=120o,橢圓離心率e的取值范圍為3_e：15.在ABC中，AB二BC,cosB=7若以A,B為焦點的橢圓18經過點C，則該橢圓的離