高中數(shù)學(xué)必修5?？碱}型：一元二次不等式及其解法

1、一元二次不等式及其解法【知識梳理】1. 一元二次不等式我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(>0)或ax2+bx+cv0(<0)(其中0)的不等式叫做一元二次不等式.2. 一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集.3.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表判別式=b24ac少0=0&0一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實根xi,X2,(xivX2)有兩相等實根xi=X2_b_=2

2、a沒有實數(shù)根二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象JILVIMi世/劉e0冬LSI«Ii|ax2+bx+c>0(a>0)的解集x|x<xi或X>X2bx|x亦Rax2+bx+c<0(a>0)的解集x|xi<x<x2?【常考題型】題型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1) 2x2+7x+3>0;(2) x2-4x5<0；(3) 4x2+18x84_>0；-|x2+3x5>0;(5)2x2+3x2v0.解因為=724X2X3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有兩個不等實根xi=3

3、,1 1X2=.又二次函數(shù)y=2x2+7x+3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為x|x>，或xv3-原不等式可化為(x5)(x+1)w0，所以原不等式的解集為x|Kx<5.99原不等式可化為2x22<0，所以原不等式的解集為x|x=9.(4) 原不等式可化為x26x+10v0,=(6)240=4v0,所以方程x26x+10=0無實根，又二次函數(shù)y=x26x+10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為？(5) 原不等式可化為2x23x+2>0,因為=94X2X2=7V0,所以方程2x23x+2=0無實根，又二次函數(shù)y=2x23x+2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.

4、【類題通法】解一元二次不等式的一般步驟(1) 通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；(2) 計算對應(yīng)方程的判別式；求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1 解下列不等式：(1) x25x6>0;(2)x2+7x>6.(3) (2x)(x+3)<0;(4)4(2x22x+1)>x(4x)解：方程x25x6=0的兩根為x1=1，X2=6.結(jié)合二次函數(shù)y=x25x6的圖象知，原不等式的解集為x|x<1或x>6原不等式可化為x27x+6<0.解方程x27x+6=0得，x1=1，x2=

5、6.結(jié)合二次函數(shù)y=x27x+6的圖象知，原不等式的解集為x|1<x<6(3) 原不等式可化為(x2)(x+3)>0.方程(x2)(x+3)=0兩根為2和一3.結(jié)合二次函數(shù)y=(x2)(x+3)的圖象知，原不等式的解集為x|x<3或x>2(4) 由原不等式得8x28x+4>4xx2.原不等式等價于9x212X+4>0.2 解方程9x212x+4=0，得xi=x2=3.2 結(jié)合二次函數(shù)y=9x212x+4的圖象知，原不等式的解集為x|xm-.3題型二、解含參數(shù)的一元二次不等式【例2】解關(guān)于x的不等式x2+(1a)xav0.解方程x2+(1a)xa=0的解

6、為xi=1,x2=a,函數(shù)y=x2+(1a)xa的圖象開口向上，則當(dāng)av1時，原不等式解集為x|avxv1;當(dāng)a=1時，原不等式解集為?;當(dāng)a>1時，原不等式解集為x|1vxva.【類題通法】解含參數(shù)的一元二次不等式時：(1) 若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0與小于0進(jìn)行討論；(2) 若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式進(jìn)行討論；(3) 若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論.【對點(diǎn)訓(xùn)練】2.解關(guān)于x的不等式：ax2(a1)x1v0(aR).解：原不等式可化為：(ax+1)(x1)v0,當(dāng)a=0時，xv1,1當(dāng)a>0時x+a(x1)v0vxv1.a當(dāng)a

7、=1時，xm1,1當(dāng)一1vav0時，x+(x1)>0,a x>1或xv1.a1當(dāng)av1時，一1v1,a x>1或xv，a綜上原不等式的解集是：當(dāng)a=0時，x|xv1;1當(dāng)a>0時，x|vxv1；a當(dāng)a=1時，x|xm1;當(dāng)一1vav0時，1x|xv1或x>匚.a1當(dāng)av1時，x|xv一或x>1,a題型三、一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系【例3】已知關(guān)于x的不等式x2+ax+bv0的解集為x|1vxv2,求關(guān)于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解/x2+ax+bv0的解集為x|1vxv2,1,2是x2+ax+b=0的兩根.a=1+2,由韋達(dá)定理有

8、b=1X2,b=2,代入所求不等式，得2x23x+1>0.1由2x23x+1>0?(2x1)(x1)>0?xv2或x>1.1bx2+ax+1>0的解集為g,U(1,+).【類題通法】1. 一元二次不等式ax2+bx+c>0(az0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，也是函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2+bx+c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2+bx+cv0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化.【對點(diǎn)訓(xùn)練】3 .已知方程

9、ax2+bx+2=0的兩根為一丁和2.求a、b的值；解不等式ax2+bx1>0.1解：方程ax2+bx+2=0的兩根為一和2,由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得a=2，b=3.由知，ax2+bx1>0可變?yōu)?x2+3x1>0,1即2x23x+1V0，解得2vXV1.1不等式ax2+bx1>0的解集為x*vxv1.【練習(xí)反饋】1. 不等式x(2x)>0的解集為()A.x|x>0B.xxv2C.x|x>2或xv0D.x|0vxv2解析：選D原不等式化為x(x2)v0，故0vxv2.2. 已知集合M=x|x23x28W0,N=x|x2x6>0,貝ymnn為()A

10、.x|4Wxv2或3vx<7B.x|4vx<2或3<xv7C.x|x<2或x>3D.x|xv2或x>3解析：選A/M=x|x23x28w0=x|4wx<7,N=x|x2x6>0=x|xv2或x>3,MnN=x|4wxv2或3vxw7.3 .二次函數(shù)y=x24x+3在yv0時x的取值范圍是解析：由yv0得x24x+3v0,1vxv3答案：(1,3)14 .若不等式ax2+bx+2>0的解集為x|x<2，則實數(shù)a=，實數(shù)b=解析：由題意可知一12,2是方程ax2+bx+2=0的兩個根.1cb-1+2=a,由根與系數(shù)的關(guān)系得丄2=2,2a解得a=2,b=3.答案：235.解下列不等式：(1) x(7x)>12;(2)