高二數(shù)學(xué)上冊《7.6.1》圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、教學(xué)目標(biāo)（一）知識目標(biāo)1. 掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑；2. 理解并掌握切線方程的探求過程和方法。（二）能力目標(biāo)1進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法研究幾何問題的能力；2.通過教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用觀察、類比、聯(lián)想、猜測、證明等合情推理方法，提高學(xué)生運(yùn)算能力、邏輯思維能力；3. 通過運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題及分析、解決問題的能力。（三）情感目標(biāo)通過運(yùn)用圓的知識解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，理解理論來源于實(shí)踐，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣，同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅忍不拔的意志品質(zhì)。

2、教學(xué)重、難點(diǎn)（一）教學(xué)重點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解、掌握。（二）教學(xué)難點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。教學(xué)方法選用引導(dǎo)探究式的教學(xué)方法。教學(xué)手段借助多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)。教學(xué)過程I. 復(fù)習(xí)提問、引入課題師：前面我們學(xué)習(xí)了曲線和方程的關(guān)系及求曲線方程的方法。請同學(xué)們考慮：如何求適合某種條件的點(diǎn)的軌跡？生：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y):寫出適合某種條件p的點(diǎn)M的集合P=M|p(M門；用坐標(biāo)表示條件，列出方程f(x,y)=O;化簡方程f(x,y)=0為最簡形式。證明以化簡后方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)(一般省略)。多媒體演示師：這就是建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡四步曲。用這四步曲我們可以求適

3、合某種條件的任何曲線方程，今天我們來看圓這種曲線的方程。給出標(biāo)題師：前面我們曾證明過圓心在原點(diǎn)，半徑為5的圓的方程：x2+y2=52即x2+y2=25.若半徑發(fā)生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程？生:x2+y2=r2.師：你是怎樣得到的？(引導(dǎo)啟發(fā))圓上的點(diǎn)滿足什么條件？生：圓上的任一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑。即JW二F，亦即x2+y2=r2.師：x2+y2=r2表示的圓的位置比較特殊：圓心在原點(diǎn)，半徑為r.有時圓心不在原點(diǎn)，若此圓的圓心移至C(a,b)點(diǎn)(如圖)，方程又是怎樣的？生：此圓是到點(diǎn)C(a,b)的距離等于半徑r的點(diǎn)的集合，由兩點(diǎn)間的距離公式得即：(x-

4、a)2+(y-b)2=r2n講授新課、嘗試練習(xí)師：方程(x-a)2+(y-b)2=r2叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特別：當(dāng)圓心在原點(diǎn)，半徑為r時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=r2師：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由哪些量決定？生：由圓心坐標(biāo)(a,b)及半徑r決定。師：很好！實(shí)際上圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個獨(dú)立變量即可。1、寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：多媒體演示 圓心在原點(diǎn)，半徑是3: 圓心在點(diǎn)C(3,4)，半徑是巧: 經(jīng)過點(diǎn)P(5,1)，圓心在點(diǎn)C(8,-3)：2、變式題多媒體演示求以C(1,3)為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。256答案：(x-1)

5、2+(y-3)2=工222已知圓的方程是(x-a)+y2=a2,寫出圓心坐標(biāo)和半徑。答案：C(a,0),r=|a|川.例題分析、鞏固應(yīng)用師：下面我們通過例題來看看圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用已知圓的方程是x2+y2=17，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)P(的方程。師：你打算怎樣求過P點(diǎn)的切線方程？生：要求經(jīng)過一點(diǎn)的直線方程，可利用直線的點(diǎn)斜式來求。師：斜率怎樣求?.OOOOOO師：已知條件有哪些？能利用嗎？不妨結(jié)合圖形來看看（如圖）生：切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，故斜率互為負(fù)倒數(shù)半徑0P的斜率所以切線的斜率所以所求切線方程:即：Yx+,1.y=17（教師板書）22師：對照圓的方程x+y=17和經(jīng)過點(diǎn)P（Y）的切線方程x+y

6、=17，你能作出怎樣的猜想?生：。師：由x2+y2=仃怎樣寫出切線方程Tx+.1.y=17,與已知點(diǎn)P（Y,J.）有何關(guān)系?（若看不出來，再看一例）例1/:圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點(diǎn)（2,3）的切線方程。答案：2x+3y=13即:2x+3y13=0師：發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？（學(xué)生紛紛舉手回答）生:分別用切點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)代替圓方程中的一個x和一個y，便得到了切線方程。師：若將已知條件中圓半徑改為r，點(diǎn)改為圓上任一點(diǎn)（xo,yo）,則結(jié)論將會發(fā)生怎樣的變化？大膽地猜一猜！生:Xox+yoy=r.師：這個猜想對不對？若對，可否給出證明?生:例2已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一

7、點(diǎn)P（Xo,yo）的切線的方程。解：如圖（上一頁），因?yàn)榍芯€與過切點(diǎn)的半徑垂直，故半徑0P的斜率與切線的斜率互為負(fù)倒數(shù)1巴半徑OP的斜率K1一，切線的斜率K=7,所求切線方程：y-yo=-(x-xo)222即：xox+yoy=xo+yo亦即：xox+yoy=r.(教師板書)當(dāng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上時，可以驗(yàn)證上面方程同樣適用。歸納總結(jié)：圓的方程可看成x.x+y.y=r2,將其中一個x、y用切點(diǎn)的坐標(biāo)xo、y。替換,可得到切線方程例3右圖為某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB=20M，拱高OP=4M,在建造時每隔4M需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度。（精確到0.01M）引導(dǎo)學(xué)生分析，共同完成

8、解答。師生分析：建系；設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（待定系數(shù)）；求系數(shù)（求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）；利用方程求A2P2的長度。tS解：以AB所在直線為X軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系。則圓心在Y軸上，設(shè)為（0，b）,半徑為r，那么圓的方程是x2+（y-b）2=r2.P（O,4）,B（1O,O）都在圓上，于是得到方程組：03+(44)2=*l(y+(O-b)2=r2解得：b=-10.5,r22=14.5圓的方程為X2+（y22+10.5)=14.5將P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程且取y>0得：y=#14.36-10.5=3.86（M）答：支柱A2P2的長度約為3.86M。IV.課堂練習(xí)、課時小結(jié)課

9、本P77練習(xí)2,3師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解并掌握切線方程的探求過程和方法，能運(yùn)用圓的方程解決實(shí)際問題.V.問題延伸、課后作業(yè)（一）若P（x°,y。）在圓（x-a）2+（y-b）2=r2上時，試求過P點(diǎn)的圓的切線方程。課本P81習(xí)題7.7:1,2,3,4（二）預(yù)習(xí)課本P77P79教學(xué)設(shè)計說明設(shè)計思想：在教學(xué)過程中，教師遵循數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，并依據(jù)建構(gòu)主義教育理論，創(chuàng)設(shè)一系列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，在情境中讓學(xué)生觀察、類比、猜想、嘗試、探索、歸納并引導(dǎo)加以證明，強(qiáng)調(diào)主動建構(gòu)，從深層次加強(qiáng)學(xué)生對知識的感知度，使學(xué)生能更好地理解和掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。設(shè)計理念：設(shè)計的根本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)

10、生的發(fā)展。教師以合作者的身份參與，課堂上建立平等、互助、融洽的關(guān)系，師生共同研究，共同提高。設(shè)計思路:本節(jié)課的設(shè)計與教材的呈現(xiàn)方式有所不同，教材只是教學(xué)的藍(lán)本，教師在理解教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，應(yīng)發(fā)揮主觀能動作用，對教材資源進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造，這樣教學(xué)有利于認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)的有機(jī)結(jié)合，也有利于學(xué)生從深層次理解和掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。鑒于此，本節(jié)在給出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，運(yùn)用簡單、特殊的到復(fù)雜、一般的數(shù)學(xué)思想，使用了觀察、猜測、經(jīng)驗(yàn)歸納等方法進(jìn)行合情地推理，同時引導(dǎo)學(xué)生對照圓的幾何形狀，觀察和欣賞圓的方程，體會數(shù)學(xué)中的美一一對稱、簡潔。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用是本節(jié)的難點(diǎn)。為了突破難點(diǎn)，設(shè)計三個例題。第一、二個例題，從特殊到一般給出切線方程，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，不斷完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第三個例題，充分利用多媒體的動感演示，刺激學(xué)生的感官，引起更強(qiáng)的注意，從而使學(xué)生理解理論來源于實(shí)踐，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣，增強(qiáng)應(yīng)用意識；同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅忍不拔