灰色系統(tǒng)分析方法

1、灰色系統(tǒng)分析方法一、灰色關(guān)聯(lián)度分析一、灰色關(guān)聯(lián)度分析二、灰色二、灰色GMGM（1,11,1）模型）模型三、灰色GM（2，1）模型四、灰色GM（1，N）模型主要內(nèi)容一、灰色關(guān)聯(lián)度分析關(guān)聯(lián)度是對兩個(gè)系統(tǒng)或兩個(gè)因素之間關(guān)聯(lián)性大小的度量?；疑P(guān)聯(lián)度分析法是建立在灰色系統(tǒng)理論基礎(chǔ)上的一種對系統(tǒng)發(fā)展變化態(tài)勢的定量描述。它根據(jù)評價(jià)因素間發(fā)展態(tài)勢的相似和相異程度來確定評價(jià)因素的關(guān)聯(lián)程度。關(guān)聯(lián)度分析的核心是計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)和關(guān)聯(lián)度。一、灰色關(guān)聯(lián)度分析Nxxx,21 MttxtxtxN, 2 , 1,21jx設(shè) 為N個(gè)因素，反應(yīng)各因素變化特性的數(shù)據(jù)列分別為因素 對 的關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為ix kxkxkxkxkxkxkxk

2、xkikiiikiikii0000maxmaxmaxmaxminmin)(式中， 為第k個(gè)時(shí)刻比較曲線 與參考曲線 的相對差值，稱為 對 在k時(shí)刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)；)(kiix0 xix0 x一、灰色關(guān)聯(lián)度分析 kxkxiki0minmin kxkxiki0maxmax 為兩級最小差； 為兩級最大差； 為分辨系數(shù)，一般在0與1之間選取,一般取0.5。1)(5 . 0ki關(guān)系數(shù)的個(gè)數(shù)很多，信息過于分散，不便于比較，為此有必要將各個(gè)時(shí)刻的關(guān)聯(lián)數(shù)集中為一個(gè)值，這個(gè)值便是關(guān)聯(lián)度，其表達(dá)式為NkiikNr1)(1一、灰色關(guān)聯(lián)度分析irir ix式中， 為曲線 對參考曲線 的關(guān)聯(lián)度。根據(jù)關(guān)聯(lián)度 可計(jì)算出參評因素

3、的權(quán)重 0 xnirrniiii，21100/1根據(jù)關(guān)聯(lián)度的計(jì)算可以看出，它的大小主要取決于各時(shí)刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)，而關(guān)聯(lián)系數(shù)的值又取決于各時(shí)刻xi與x0之差。顯然，xi與x0的量綱不同，就會(huì)影響關(guān)聯(lián)度ri的計(jì)算結(jié)果。為消除量綱的影響，就需要在進(jìn)行關(guān)聯(lián)度計(jì)算之前，一、灰色關(guān)聯(lián)度分析對各要素的原始數(shù)據(jù)作初等變換或均值變換等，然后利用變換后所得到的數(shù)據(jù)作關(guān)聯(lián)度計(jì)算。原始數(shù)據(jù)變換方法如下：（1）均值化變換：先分邊求出各個(gè)序列的平均值，再用平均值去除對應(yīng)序列中的各個(gè)原始數(shù)據(jù)，所得到新的數(shù)據(jù)列即為均質(zhì)化序列。（2）初值化變換：分別用同一序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)去除后面的各個(gè)原始數(shù)據(jù)得到新的倍數(shù)數(shù)列，即為初值化數(shù)列。一

4、、灰色關(guān)聯(lián)度分析（3）標(biāo)準(zhǔn)化變換：先分別求出各個(gè)序列的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，然后將各個(gè)原始數(shù)據(jù)漸趨平均值再除以標(biāo)準(zhǔn)差，得到的數(shù)據(jù)即為標(biāo)準(zhǔn)化序列。一、灰色關(guān)聯(lián)度分析實(shí)例分析實(shí)例分析沙漠化土地面積及其影響因素沙漠化土地/x1年平均降水量/x2年平均大風(fēng)日數(shù)/x3農(nóng)牧業(yè)總?cè)丝?x4耕地面積/x5牲畜總數(shù)/x6129535294.8744.648355165191288030168462298.5642.369345487961456793187856325.3536.682134536791879653205678309.8447.594567563462098764224595295.8950.3108

5、031591992200625一、灰色關(guān)聯(lián)度分析關(guān)聯(lián)度關(guān)聯(lián)度取灰數(shù)的白化值為0.5（ =0.5）完整的計(jì)算步驟是完全根據(jù)前面介紹的得來完整的計(jì)算步驟是完全根據(jù)前面介紹的得來10.7037070.7324910.5713720.734550.7134030.70370710.7209050.6556880.744160.5492670.7324910.72090510.7879080.7744960.8059720.5713720.6556880.78790810.6487380.5882160.734550.744160.7744960.64873810.7272750.7134030.549

6、2670.8059720.5882160.7272751一、灰色關(guān)聯(lián)度分析 灰色關(guān)聯(lián)分析方法在數(shù)據(jù)少的情況下完全可以在Excel中實(shí)現(xiàn)。但是如果數(shù)據(jù)量龐大的話，Excel就顯得笨拙了。那么，我們就得另辟蹊徑：Matlab。據(jù)我所知，在座各位同學(xué)對Matlab熟練掌握的人很少。下面我給大家介紹一個(gè)軟件：DPS數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)。DPS是一套通用多功能數(shù)據(jù)處理、數(shù)值計(jì)算、統(tǒng)計(jì)分析和模型建立軟件，與目前流行的同類軟件比較，具有較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)分析和數(shù)學(xué)模型模擬分析功能。是目前國內(nèi)功能最完整的統(tǒng)計(jì)軟件包。一、灰色關(guān)聯(lián)度分析如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操作實(shí)現(xiàn)。第一步：將數(shù)據(jù)輸入DPS數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)中

7、；第二步：在“其他”菜單欄中找到“灰色系統(tǒng)方法”，在其箭頭里找到“灰色系統(tǒng)分析”第三步：在對話框中實(shí)現(xiàn)。一、灰色關(guān)聯(lián)度分析在數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)換方式，一般為均質(zhì)化。母序列個(gè)數(shù)一般為0；是否令min為0，如果要精確的話，盡量不要為0；分辨系數(shù)（白化值），一般情況設(shè)為0.5.二、灰色GM（1,1）模型此模型建立的基本過程是：對時(shí)間變化的序列無明顯趨勢時(shí)，采用“累加”的方法，建立一個(gè)隨時(shí)間變化趨勢明顯的時(shí)間序列。例如，時(shí)間序列（1，3，4，7，5，9）變化趨勢不明顯，對其元素進(jìn)行雷杰可以生成一列趨勢明顯的序列（1，2，8，15，20，29）。按照累加后序列的增長趨勢可以簡歷考慮灰色因子的預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測，然

8、后采用“累減” 的方法進(jìn)行逆運(yùn)算，回復(fù)原時(shí)間序列，得到預(yù)測結(jié)果。基本原理基本原理二、灰色GM（1,1）模型 nxxxx1111,3,2,1 nxxxx0000,3,2,1模型建立的方法與步驟模型建立的方法與步驟（一）方法設(shè)時(shí)間序列 X(0) =其累加生成的序列為 X(1) =按后者建立微分方程模型為 uaXdtdX11二、灰色GM（1,1）模型式中所對應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為確定a、u,按模型遞推，便得到預(yù)測的累加序列，進(jìn)行檢驗(yàn)后“累減”便可得到預(yù)測值。 aueauXtXat1101二、灰色GM（1,1）模型 0X nmmXiX101 tX1二、步驟（1）由原序列 按照 生成序列 ，以弱化原始數(shù)列的

9、隨機(jī)性和波動(dòng)性；（2）按 采用最小二乘法按下式確定模型參數(shù) ，其中， 1XNTTYBBBua1 111212121212121111111XXXXXXB nXXXYN00032二、灰色GM（1,1）模型 aueauXtatX1100 ateauXatX1100 tx0（3）將灰色參數(shù)代入時(shí)間函數(shù)然后對 求導(dǎo)還原得到（4）計(jì)算 與 之差 及相對誤差 tx0 t0 t 1X二、灰色GM（1,1）模型 t0 tq式中t=1,2,，N，并規(guī)定還原值初始值為0.原始數(shù)據(jù)的還原值與實(shí)際觀測值之間的殘差值 和相對誤差 如下 tx1 1110tttxxx %10000000txttqttxx根據(jù)（3）講述的基

10、礎(chǔ)公式，對一次累加成數(shù)列的預(yù)測值 ，可以求得原始數(shù)的還原值二、灰色GM（1,1）模型 210021)(mttxtxs 210022)(11mtttms12ssc （5）模型檢驗(yàn)與預(yù)報(bào)：為保證模型的可靠性，必須對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，方法是對模型進(jìn)行后驗(yàn)誤差檢驗(yàn)，即先計(jì)算實(shí)測數(shù)據(jù)離差及殘差的離差 在計(jì)算方差比 以及小誤差概率 。根據(jù)后驗(yàn)比c和小誤差概率p對模型進(jìn)行診斷，當(dāng)p0.95和c0.8和c0.7和c0.65時(shí)，模型勉強(qiáng)合格；當(dāng)p=0.65時(shí)，模型不合格。 1006745.0|stp二、灰色GM（1,1）模型應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例利用上一節(jié)的沙漠化數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測年代沙漠化土地/x1擬合值預(yù)測數(shù)據(jù)殘差相對誤差

11、/%1950-1959129535X(t+1)=234928.179691960-1969168462178050.4459X(t+2)=254937.54808-7900.63-4.98441970-1979187856190090.1424X(t+3)=276651.159966369.4923.35411980-1989205678209672.0046X(t+4)=300214.169659144.5344.22181990-1999224595227530.247X(t+5)=325784.09457-7287.19-3.4078二、灰色GM（1,1）模型得到上表的結(jié)果根據(jù)計(jì)算得到的

12、預(yù)測模型是x(t+1)=1989033.435309exp(0.081739t)-1851541.435309模型精確檢驗(yàn)值為C=0.2657（好），p=0.9677（好）表明上述模型可以進(jìn)行預(yù)測。二、灰色GM（1,1）模型 Nxxx000,2,1 ix0災(zāi)變預(yù)測災(zāi)變預(yù)測一般地，如果表征系統(tǒng)行為特征的指標(biāo)通過了某個(gè)臨界值，則稱發(fā)生了災(zāi)變，所以災(zāi)變是相對于所研究問題的表征變量而言的。設(shè)表征系統(tǒng)行為的原始數(shù)據(jù)列為規(guī)定一個(gè)災(zāi)變臨界值 ， 中那些= 的點(diǎn)數(shù)被認(rèn)為是具有異常值的點(diǎn)（災(zāi)變發(fā)生點(diǎn)），二、灰色GM（1,1）模型 qxqxix000| qip:把它們按原來的順序挑出來組成一個(gè)新的數(shù)據(jù)序列（災(zāi)變數(shù)

13、列）)(,),2(),1 (npppp作災(zāi)變映射 ，則災(zāi)變預(yù)測就是按災(zāi)變?nèi)掌谛纬傻男蛄薪M(1,1)預(yù)測模型進(jìn)行災(zāi)變?nèi)掌陬A(yù)測。二、灰色GM（1,1）模型應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例如果年降水量小于或等于300mm，就認(rèn)為發(fā)生了旱災(zāi)。試用災(zāi)變預(yù)測法對下一個(gè)災(zāi)變到來的年份進(jìn)行預(yù)測。年份19711972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980降水量 298.7489.9398.6345289.8478.3515.6421.5299.8432.1年份19811982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990降水量 435.9278.

14、9483510.6398.2430.6300467.4389356.9年份19911992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000某地區(qū)年降水量某地區(qū)年降水量(mm)(mm)二、灰色GM（1,1）模型 30,25, 22 ,17,12, 9 , 5 , 18,7,6,5,4,3,2,1000000000 xxxxxxxxX從根據(jù)題綱結(jié)合上表可以得知以下年份發(fā)生了旱災(zāi)，為方便把年份1971-2000按數(shù)字編寫為1-30.1，5，9，12，17，22，25，30作災(zāi)變映射，記為： 其中， 。為映射建立GM(1,1)模型。 8 , 7 , 6 , 5 , 4

15、, 3 , 2 , 1,0iiX二、灰色GM（1,1）模型X(k+1)=29.521368*e0.23545590*k-28.521368利用DPS數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)得到預(yù)測方程如下：三、灰色GM（2,1）模型在灰色GM模型中，對于非負(fù)數(shù)的數(shù)列，累加的次數(shù)越多，隨機(jī)性弱化就越明顯，規(guī)律性就越強(qiáng)從而也就越容易用指數(shù)函數(shù)去逼近?；疑到y(tǒng)建模的觸及形式GM(1,1)是基于一階單變量微分方程建立的，其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)只有一個(gè)指數(shù)分量，因而它隨時(shí)間的發(fā)展過程是單調(diào)的，無法反應(yīng)擺動(dòng)情況，一般僅用于預(yù)測。而灰色數(shù)列GM（2,1）模型為單序列二階線形動(dòng)態(tài)模型，它改進(jìn)了這種局限性，不僅可以預(yù)測，還可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析。（此處不詳細(xì)介紹，還沒有掌握）四、灰色GM（1,N）模型GM(h,n)模型中，通常以GM(h,1)模型進(jìn)行預(yù)測，前面講到的GM(1,1)模型和GM（2,1）模型為單序列現(xiàn)行動(dòng)態(tài)模型，均屬這一類型。而當(dāng)n=2時(shí)，模型