高等數(shù)學(xué)教案22定積分的概念與性質(zhì)

1、第5章定積分及其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì)【教學(xué)目的】：1. 理解曲邊梯形的面積求法的思維方法；2. 理解定積分的概念及其性質(zhì)；3. 掌握定積分的幾何意義；【教學(xué)重點(diǎn)】：1.定積分的概念及其性質(zhì)；【教學(xué)難點(diǎn)】：1.曲邊梯形面積求法的思維方法；【教學(xué)時(shí)數(shù)】：2學(xué)時(shí)【教學(xué)過(guò)程】：案例研究引例曲邊梯形的面積問(wèn)題所謂曲邊梯形是指由連續(xù)曲線(xiàn)yf(x)(設(shè)f(x)0)，直線(xiàn)xa，xb和y0(即x軸)所圍成的此類(lèi)型的平面圖形(如圖5-1所示).下面來(lái)求該曲邊梯分析由于“矩形面積=底高”，而曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間a,b上是變動(dòng)的，故它的面積不能按矩形面積公式計(jì)算.另一方面，由于曲線(xiàn)yf(x)在a

2、,b上是連續(xù)變化的，所以當(dāng)點(diǎn)x在區(qū)間a,b上某處變化很小時(shí)，相應(yīng)的f(x)也就變化不大.于是，考慮用一組平行于y軸的直線(xiàn)把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，當(dāng)分割得較細(xì)，每個(gè)小曲邊梯形很窄時(shí)，其高f(x)的變化就很小.這樣，可以在每個(gè)小曲邊梯形上作一個(gè)與它同底、以底上某點(diǎn)函數(shù)值為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，進(jìn)而用所有小曲邊梯形的面積之和近似代替整個(gè)曲邊梯形的面積(如圖5-2所示)顯然，分割越細(xì)，近似程度越高，當(dāng)無(wú)限細(xì)分時(shí)，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值.根據(jù)以上分析，可按以下四步計(jì)算曲邊梯形的面積A.xn1xnb，1)分割在閉區(qū)間a,b上任意插入n1個(gè)分

3、點(diǎn)，ax0x1x2.xi1xi將閉區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間xnxnxn1x0,x1,x1x2,xi1,xi,x1x1x0,x2x2x1,xixixi1,它們的長(zhǎng)度依次為過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線(xiàn)，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形；(2) 取近似在每個(gè)小區(qū)間Xii,Xi(i1,2,.,n)上任取一點(diǎn)心1ixi)，以小區(qū)間XiXiXi1為底，f(i)為高作小矩形，用小矩形的面積f(i)Xi近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積A，即Af(i)Xi(i1,2,.,n)，n(3) 求和把這樣得到的n個(gè)小矩形的面積加起來(lái)，得和式f(i)Xi，將i1其作為曲邊梯形面積的近似值，即nf(i)Xi；i1AAii1(4

4、) 取極限當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)n無(wú)限增加，且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值maXXi)趨于零時(shí)，上述和式的極限值就是曲邊梯形面積的精確值，即nAlimf(i)Xi.0iii1定積分的定義定義1設(shè)函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a,b上有界，在閉區(qū)間a,b中任意插入n1個(gè)分點(diǎn)ax0x1x2.xi1xi.xn1xnb，將區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間x0,x1,x1,x2,.,xi1,xi,.,xn1,xn，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為x1x1x0,x2x2x1,.,xixixi1,.,xnxnxn1，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i(xi1iXi)，作函數(shù)值f(i)與小區(qū)間長(zhǎng)度Xi的n乘積f(i)n(i1,2,n),并作和f(i)Xi，記i1maX

5、Xi，(i1,2,n)，當(dāng)n無(wú)限增大且0時(shí)，若上述和式的極限存在，貝U稱(chēng)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上可積，并將此極限值稱(chēng)為函數(shù)yf(x)在a,b上的定積分，記為f(X)dX.b即f(X)dXlimf(i)Xi，a0i1其中x稱(chēng)為積分變量，f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)，f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式，a稱(chēng)為積分下限，b稱(chēng)為積分上限，a,b稱(chēng)為積分區(qū)間，符號(hào)bf(x)dx讀作函數(shù)f(x)從aa到b的定積分.按定積分的定義，兩個(gè)引例的結(jié)果可以分別表示為:bbAaf(x)dx，QaP(t)dt，關(guān)于定積分的定義作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：(1) 和式的極限"叫f(i)xi存在(即函數(shù)f(x)在a,b上可積)是指不i

6、1i(xiixj怎樣取法，極限都存在.f(x)的表達(dá)式及積分區(qū)間a,b有關(guān)，與積論對(duì)區(qū)間a,b怎樣分法，也不論對(duì)點(diǎn)(2) 和式的極限僅與被積函數(shù)分變量使用什么字母無(wú)關(guān)，即bbaf(t)dtaf(u)du.我們補(bǔ)充如下規(guī)定：bf(x)dxa(3) 定義中要求積分限ab，b當(dāng)ab時(shí)，af(x)dx0.,ba當(dāng)ab時(shí)，f(x)dxf(x)dxab則f(x)在a,b上可積。(4) 函數(shù)可積的兩個(gè)充分條件：若f(x)在a,b上連續(xù)，若f(x)在a,b上有界,且只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則f(x)在a,b上可積。baf(x)dx在幾何上f(x)0時(shí)，由前述可知，定積分Ay=當(dāng)f(x)在a,b上有正f(x)及

7、兩直線(xiàn)圖5a3xbz=/()定積分示x軸，曲線(xiàn)Jbf(x)dx在幾何上a寸，b所圍成的各個(gè)曲邊梯形面圖5的代數(shù)和(見(jiàn)圖5-4)，定積分的幾何意義當(dāng)表示由曲線(xiàn)yf(x)，兩直線(xiàn)xa,xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積；b如果f(x)0，這時(shí)曲邊梯形位于x軸下方，定積分f(x)dx在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值，如圖5-3;af(x)dxAA2A.定積分的性質(zhì)以下性質(zhì)中函數(shù)均為可積函數(shù).性質(zhì)1函數(shù)和(差)的定積分等于它們定積分的和(差)bbbaf(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx.性質(zhì)1可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形.性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分的符號(hào)外面,bb即kf(x

8、)dxkf(x)dx，(k為常數(shù)).aa性質(zhì)3如果在區(qū)間a,b上f(x)C，貝Ubbf(x)dxCdxC(ba),aab特別地，C1時(shí)，dxba.a性質(zhì)3的幾何意義如圖5-7所示.性質(zhì)4(積分區(qū)間的可加性)如果積分區(qū)間a,b被點(diǎn)c分成兩個(gè)區(qū)間a,c和c,b,則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩個(gè)區(qū)間上定積分的和，即f(x)dxcaf(x)dxf(x)dx.注意：無(wú)論a,b,c的相對(duì)位置如何，總有上述等式成立。b性質(zhì)5如果在區(qū)間a,b上,f(x)0，貝Uf(x)dx0(ab).a性質(zhì)6(定積分的單調(diào)性)如果在區(qū)間a,b上，有f(x)g(x),bb則f(x)dxg(x)dx(ab).aa例2比較下列各對(duì)

9、積分值的大小(1) 3xdx與x3dx00(2) 2xdx與2sinxdx00解(1)由幕函數(shù)的性質(zhì)，在0,1上，有3xx3由定積分性質(zhì)，得Vxdx13,xdx00(2)在0,-內(nèi)有xsinx，得2xdx2sinxdx200性質(zhì)7(估值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值為M，最小b值為m，貝Um(ba)f(x)dxM(ba)(ab).a性質(zhì)7說(shuō)明，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍12例3估計(jì)定積分exdx的值.12解先求f(x)ex在區(qū)間1,1上的最大值和最小值，為此求得2f(x)2xex，令f(x)0，得駐點(diǎn)x0，比較駐點(diǎn)x0處與區(qū)間端點(diǎn)x1處的函數(shù)值：f(0)得最小值m-，最大值Me性質(zhì)8(積分中值定理)存在一點(diǎn)a,b，使得bf(x)dxf()(ba)a這個(gè)公式稱(chēng)為積分中值公式