高等數(shù)學教案22定積分的概念與性質

1、第5章定積分及其應用定積分的概念與性質【教學目的】：1. 理解曲邊梯形的面積求法的思維方法；2. 理解定積分的概念及其性質；3. 掌握定積分的幾何意義；【教學重點】：1.定積分的概念及其性質；【教學難點】：1.曲邊梯形面積求法的思維方法；【教學時數(shù)】：2學時【教學過程】：案例研究引例曲邊梯形的面積問題所謂曲邊梯形是指由連續(xù)曲線yf(x)(設f(x)0)，直線xa，xb和y0(即x軸)所圍成的此類型的平面圖形(如圖5-1所示).下面來求該曲邊梯分析由于“矩形面積=底高”，而曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間a,b上是變動的，故它的面積不能按矩形面積公式計算.另一方面，由于曲線yf(x)在a

2、,b上是連續(xù)變化的，所以當點x在區(qū)間a,b上某處變化很小時，相應的f(x)也就變化不大.于是，考慮用一組平行于y軸的直線把曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形，當分割得較細，每個小曲邊梯形很窄時，其高f(x)的變化就很小.這樣，可以在每個小曲邊梯形上作一個與它同底、以底上某點函數(shù)值為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，進而用所有小曲邊梯形的面積之和近似代替整個曲邊梯形的面積(如圖5-2所示)顯然，分割越細，近似程度越高，當無限細分時，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值.根據(jù)以上分析，可按以下四步計算曲邊梯形的面積A.xn1xnb，1)分割在閉區(qū)間a,b上任意插入n1個分

3、點，ax0x1x2.xi1xi將閉區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間xnxnxn1x0,x1,x1x2,xi1,xi,x1x1x0,x2x2x1,xixixi1,它們的長度依次為過每一個分點作平行于y軸的直線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形；(2) 取近似在每個小區(qū)間Xii,Xi(i1,2,.,n)上任取一點心1ixi)，以小區(qū)間XiXiXi1為底，f(i)為高作小矩形，用小矩形的面積f(i)Xi近似代替相應的小曲邊梯形的面積A，即Af(i)Xi(i1,2,.,n)，n(3) 求和把這樣得到的n個小矩形的面積加起來，得和式f(i)Xi，將i1其作為曲邊梯形面積的近似值，即nf(i)Xi；i1AAii1(4

4、) 取極限當分點個數(shù)n無限增加，且小區(qū)間長度的最大值maXXi)趨于零時，上述和式的極限值就是曲邊梯形面積的精確值，即nAlimf(i)Xi.0iii1定積分的定義定義1設函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a,b上有界，在閉區(qū)間a,b中任意插入n1個分點ax0x1x2.xi1xi.xn1xnb，將區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間x0,x1,x1,x2,.,xi1,xi,.,xn1,xn，各小區(qū)間的長度依次為x1x1x0,x2x2x1,.,xixixi1,.,xnxnxn1，在每個小區(qū)間上任取一點i(xi1iXi)，作函數(shù)值f(i)與小區(qū)間長度Xi的n乘積f(i)n(i1,2,n),并作和f(i)Xi，記i1maX

5、Xi，(i1,2,n)，當n無限增大且0時，若上述和式的極限存在，貝U稱函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上可積，并將此極限值稱為函數(shù)yf(x)在a,b上的定積分，記為f(X)dX.b即f(X)dXlimf(i)Xi，a0i1其中x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，a稱為積分下限，b稱為積分上限，a,b稱為積分區(qū)間，符號bf(x)dx讀作函數(shù)f(x)從aa到b的定積分.按定積分的定義，兩個引例的結果可以分別表示為:bbAaf(x)dx，QaP(t)dt，關于定積分的定義作以下幾點說明：(1) 和式的極限"叫f(i)xi存在(即函數(shù)f(x)在a,b上可積)是指不i

6、1i(xiixj怎樣取法，極限都存在.f(x)的表達式及積分區(qū)間a,b有關，與積論對區(qū)間a,b怎樣分法，也不論對點(2) 和式的極限僅與被積函數(shù)分變量使用什么字母無關，即bbaf(t)dtaf(u)du.我們補充如下規(guī)定：bf(x)dxa(3) 定義中要求積分限ab，b當ab時，af(x)dx0.,ba當ab時，f(x)dxf(x)dxab則f(x)在a,b上可積。(4) 函數(shù)可積的兩個充分條件：若f(x)在a,b上連續(xù)，若f(x)在a,b上有界,且只有有限個第一類間斷點，則f(x)在a,b上可積。baf(x)dx在幾何上f(x)0時，由前述可知，定積分Ay=當f(x)在a,b上有正f(x)及

7、兩直線圖5a3xbz=/()定積分示x軸，曲線Jbf(x)dx在幾何上a寸，b所圍成的各個曲邊梯形面圖5的代數(shù)和(見圖5-4)，定積分的幾何意義當表示由曲線yf(x)，兩直線xa,xb與x軸所圍成的曲邊梯形的面積；b如果f(x)0，這時曲邊梯形位于x軸下方，定積分f(x)dx在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值，如圖5-3;af(x)dxAA2A.定積分的性質以下性質中函數(shù)均為可積函數(shù).性質1函數(shù)和(差)的定積分等于它們定積分的和(差)bbbaf(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx.性質1可推廣到有限多個函數(shù)代數(shù)和的情形.性質2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分的符號外面,bb即kf(x

8、)dxkf(x)dx，(k為常數(shù)).aa性質3如果在區(qū)間a,b上f(x)C，貝Ubbf(x)dxCdxC(ba),aab特別地，C1時，dxba.a性質3的幾何意義如圖5-7所示.性質4(積分區(qū)間的可加性)如果積分區(qū)間a,b被點c分成兩個區(qū)間a,c和c,b,則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩個區(qū)間上定積分的和，即f(x)dxcaf(x)dxf(x)dx.注意：無論a,b,c的相對位置如何，總有上述等式成立。b性質5如果在區(qū)間a,b上,f(x)0，貝Uf(x)dx0(ab).a性質6(定積分的單調性)如果在區(qū)間a,b上，有f(x)g(x),bb則f(x)dxg(x)dx(ab).aa例2比較下列各對

9、積分值的大小(1) 3xdx與x3dx00(2) 2xdx與2sinxdx00解(1)由幕函數(shù)的性質，在0,1上，有3xx3由定積分性質，得Vxdx13,xdx00(2)在0,-內有xsinx，得2xdx2sinxdx200性質7(估值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值為M，最小b值為m，貝Um(ba)f(x)dxM(ba)(ab).a性質7說明，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值可以估計積分值的大致范圍12例3估計定積分exdx的值.12解先求f(x)ex在區(qū)間1,1上的最大值和最小值，為此求得2f(x)2xex，令f(x)0，得駐點x0，比較駐點x0處與區(qū)間端點x1處的函數(shù)值：f(0)得最小值m-，最大值Me性質8(積分中值定理)存在一點a,b，使得bf(x)dxf()(ba)a這個公式稱為積分中值公式