一-一點的應力狀態(tài)與應力張量

1、一點的應力狀態(tài)與應力張量二主應力與應力不變量，如P點處應力狀態(tài)在直角坐對于一般空間問題，一點的應力狀態(tài)可以由九個應力分量表示標系可表不為Sijxxyxzyxyyzzxzyz如圖1-1所示.在固定受力情況下，應力分量大小與坐標軸方向有關，但由彈性力學可知，新舊坐標的應力分量具有一定變換關系.通常，我們稱這種具有特定變換關系的一些量為張量.式（1-1）就是應力張量，它是二階張量.因為它具有=xy=yx,yz=zyxzzxyyyy已知物體內某點P的九個應力分量，則可求過該點的任意傾斜面上的應力。在P點處取出無限小四面體oabc（圖1-2）它的三個面分別與x,y,z三個軸相垂直。另一方面即任意斜面，它

2、的法線N,其方向余弦為l,m,n。分別以dF、dFx、dFy、dFz代表abc、obc、oac、oab三角形面積。dFxldFdFymdF（1。2）dFzndF在三個垂直于坐標的平面上有應力分量，在傾余面abc上有合應力PN,它可分解為正應力一一2N及切向男應力N,即Pn22NNXnxlxymxznyNyxlymyznZnzxlzymznPn沿坐標軸方向分量為求出xN,yN,zN,由平衡條件可得Xn,yN,Zn在法線上的投影之和，即得正應力N,222c.ez-xnXnIyNmZNnJymzn2xylm2yzmn2zxnl15而男應力則由式15得N=PNN在空間應力狀態(tài)下一點的應力張量有三個主方

3、向，三個主應力。在垂直主方向的面上，N0,N即為主應力，等于合應力Pn,而主應力在坐標軸上的分量為:：m-7zNNn將式17代入14整理后得(xN)lyxmzxn0xyl(yN)mzyn0(1-8)xzlyzm(zN)n0此外，法線N的三個方向余弦應滿足12m2n21(19)由上面四個方程可求得n及方向余弦l,m,n。如果將l,m,n看作未知量，則由式19可見，l,零。m。n不能同時為零。因此線性方程組式1-8非零解的充要條件為系數(shù)行列式等于xyxz展開行列式得到Ii式中12yxzxzyyzIi1112xyyzzx2xy2yz2yz2zx1-122zx2yz方程1-11有三個實根，即三個主應力

4、。按三個主應力數(shù)值，分別由式18求出三個主方向。當坐標方向改變時，應力分量均將改變，但主應力的數(shù)值是不變的，因此該式的關系也不變。由于系數(shù)I1,I2,I3與坐標無關，故稱作應力張量不變量，通常分別叫作應力張量第一不變量，第二不變量，第三不變量。設三個正應力的平均值為平均應力，用m表示11mq(xyz)q(123)33m）zm（zm）由此，應力張量可分解為兩個分量m00xyxzij0m0+yxyz00mzxzyzm等式右端第一個張量稱為應力球張量，第二個張量稱為應力偏張量。mij式中定義為令Sxx-m,偏量Sj即為Syy-mz-m,SxySxSxySxzSxxyxzSijij-mijSyxSyS

5、yzSxzyyzSzxSzySzzxzySz當（i=j）當（ij）10xy,Syxyx,Syzyz,則應力三應力空間如果我們將1、2、3取為三個相互垂直的直角坐標軸而構成一空間直角坐標系，則該空間中任一點的三個坐標值就相應于物體某點應力狀態(tài)的三個主應力的數(shù)值，也就是說。該空間中的一點對應于物體某點的應力狀態(tài).我們就把這個空間稱為應力空間。如圖26所示，P點的坐標為(123),這個應力狀態(tài)可寫為三個矢量OPi(1),OP2(2),OP3(3)的矢量和.四應力圓和Lode參數(shù)在傳統(tǒng)塑，f理論中，認為應力張量不影響屈服，所以對應力偏量特別感興趣，而洛德(Lode)參數(shù)或洛德角是應力偏量的特征量。此外

6、，采用洛德參數(shù)或洛德角研究塑性問題十分方便，因而在巖土塑性理論中應用極為廣泛.設橫坐標為正應力，縱坐標為剪應力，設已知應力1,2,3,令2,0R3以P1P2,P2P3,PE為直徑畫三個圓，如圖2-8(a)。其半徑為叫23,空33223221、2、3稱為主剪應力，半徑最大者為最大剪應力P3Pmax,如果把圖2-8(a)中坐標原點0移到新的位置0,使00這時0P1mSi,0F22mS2,0P33S3由此所得移軸后應力圓即是描述應力偏量的應力圓圖2-8(b)原點任意平移一個距離，就相當于在原有應力狀態(tài)下疊加一個靜水壓力。在傳統(tǒng)塑性力學中，這個疊加并不影響屈服函數(shù)和塑性變形。因此，對塑性變形有決定性意

7、義的是應力圓本身。若以M表示PE的中點，則1 1、MPmax2(13)MP2(2213)若考慮到中間應力2對屈服函數(shù)的影響，可由MP2與MP1之比確定2的相對位置，其比值用洛德參數(shù)u表示。若主應力次序為123,則MP2221322312MP113133-1a式中3)&u(13)3-1b3。P2由P3變到P,因此u和的變化范圍為1u1,3030由式3-1可見，u為主應力值的函數(shù)，說明是應力差的比例關系，而與應力大小無關。不管坐標縱軸原點位置移動多少，其u不變，可見u是描述應力偏量的特征值，它與應力偏量不變量J2、J3有關，而與應力球張量無關由上可見，洛德參數(shù)或洛德角都不能表示一點的應力狀態(tài)的特征

8、值，因為它不表示應力球張量。然而它卻能反映受力狀態(tài)的形式，即主應力分量之間的比例關系.因而不同的洛德參數(shù)與洛德角可以反映材料的不同受力狀態(tài).在彈性力學和傳統(tǒng)塑性力學中，符號一般都是規(guī)定以拉為正，但在巖土力學都一般規(guī)定以壓為正。五應力路徑1應力路徑的基本概念巖土的性質與本構關系，與應力或應變狀態(tài)的變化過程有關，因此需要描述一個單元在它加載過程中的應力或應變的變化過程。通常稱描述一單元應力狀態(tài)變化的路線為應力路徑，而稱描述應變狀態(tài)變化的路線為應變路徑，目前過程上應用較多的是應力路徑。對巖土來說，一點的應力狀態(tài)完全可由總主應力及其方向和孔隙壓力所確定。有效主應力可用計算算出。我們令三個總主應力或有效

9、主應力為坐標軸，而建立應力空間或有效應力空間.如圖2.12所小，圖上1、2及3為三個有效主應力，將一單兀的瞬時有效應力狀態(tài)所有的點聯(lián)結起來的線，并標上箭頭指明發(fā)展的趨向，就可得到有效應力路徑，簡稱ESP。同樣可在主應力空間中給出總應力路徑。簡稱TSP。通常，我們將總主應力軸與有效應力軸放在一起，在這張圖上不僅能表示有效應力路徑和總主應力路徑，而且還能表示空隙壓力的大小。當略去其中間王應力2和2時，則可在二向應力平面上繪制有效應力路徑和總王應力路徑。如圖213所示.圖中ABC為有效應力路徑，若在B的孔隙壓力位u值，則B點代表瞬時總應力，因為有效應力與總應力之間的水平距離與垂直距離均為孔隙壓力u的

10、值.由目測可知，瞬時總應力與有效應力的點，必定沿坐標軸傾斜成45的線上，由J2u線段隔開，如圖2-13所示。一點的應變狀狀態(tài)，主應變，應變不變量在外力的作用下，物體內各點的位置要發(fā)生變化，即發(fā)生位移.如果物體各點發(fā)生位移后仍保持各點間初始應力狀態(tài)的相對位置，則物體實際上只產生了剛體移動和轉動，稱這種位移為剛體位移。如果物體各點發(fā)生位移后改變了各點間初始應力狀態(tài)的相對位置，則物體就同時產生了形狀變化，統(tǒng)稱為該物體產生了變形。在外力的作用下，物體內部質點產生相對位置的改變。設A點的坐標為（X、y、z）,其臨近點的坐標為（xdx、ydy、zdz）,變形后A點移到A,點B移到B.A點的位x、y、移向量

11、分量為u、v、w,B點的位移分量為u、v、w。u、v、w是坐標點z的函數(shù)，當dx、dy、dz很小時，可以利用泰勒公式展開，只需要保留一次項，得u、v、w與u、v、w關系如下udxdydzxyzdxxdyydzzww后面的九個量構成了位移梯度張量5j,一般是不對稱的二階張量,Jwwwdxdydzxyzuuuxyzvvvxyzwwwxyz將矩陣ui,j可以分解為兩部分u1vu1wu01vu1uwx2xy2zz2xy2zx1vuv1wv1vu01wv2xyy2yz2xy2yz1wu1wuw1uw1wu02xz2yzz2zx2yzui,j前一項是一個對稱張量，就是在小變形條件下的應變張量，應變量的矩陣形式是xyxzyxy2yzxxxyxzyxyyyzzxzyzzzxzy左式是工程力學的習慣寫法，右式適用于使用張量下標記號.用張量下標記號，以j表示應變張量，令U1,vU2,wU3,U1xx11U1,1xy122(u)y!(U2,12u1,2)由此2(ui,jUj,i)應變張量的不變量是xxyyzz這里(xxxxyyyyzz1、2、yyzzzzxx)2xy2yz2x)31)2xyyzzxxx2yzyy2zx2zzxy3是三個主應變.平均正應變表示為1m3(xxyyzz)應變率張量應變率設介質處于運動狀態(tài),質點的速度可用Vt土個分量表示,它們是坐標位置和時間的函數(shù)。在微小時段