一元二次方程常見(jiàn)解法論文

1、一元二次方程常見(jiàn)解法探析摘要一元二次方程作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其在初中代數(shù)中的地位不言而喻。在一元二次方程的學(xué)習(xí)過(guò)程中，關(guān)鍵在于其基本解法。本文著重研究了一元二次方程的多種常見(jiàn)解法，并在此基礎(chǔ)上分析各解法的特點(diǎn)及具體適用性，力求幫助學(xué)生更有效率的解答一元二次方程。關(guān)鍵詞一元二次方程解法探析一、一元二次方程解法教學(xué)的重要性一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其在數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的運(yùn)用不勝枚舉，且在中考中占據(jù)大量分值。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷深入，一元二次方程更多的是以解題工具的形式出現(xiàn)，如在應(yīng)用題、取值題等題型中的運(yùn)用。因此，一元二次方程的解往往成為判定解題準(zhǔn)確與否關(guān)鍵。由此可見(jiàn)，既快又準(zhǔn)的解

2、一元二次方程在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。鑒于此，本文就一元二次方程的幾種常見(jiàn)解法進(jìn)行分析，力圖建立特定的解方程思維模式，以幫助學(xué)生提高解決此類題之效率。二、一元二次方程解法分析一元二次方程的重點(diǎn)與關(guān)鍵在于其解法。常用的解法主要有：因式分解法、配方法、直接開(kāi)方法和公式法。為更直觀展現(xiàn)解法特點(diǎn)，本文選取本分題型加以歸類分析：（一）直接開(kāi)方法適用此法的方程多以x2=p或（ax+b）2=p的形式出現(xiàn)。觀察此類方程特征發(fā)現(xiàn)，其中一次項(xiàng)系數(shù)為0。例7.解方程x2=225例8.(x+3)2=9直接開(kāi)方得x1=15,x2=-15直接開(kāi)方得x+3=±3x1=0,x2=-6該方法較為簡(jiǎn)單，僅能決部分一元二次方

3、程。且在考試中多出現(xiàn)在解題的某一環(huán)節(jié)中，而較少單獨(dú)作為大題來(lái)命題。(二)因式分解法因式分解法是運(yùn)用分解因式的方法求一元二次方程的根。其特點(diǎn)在于分解后的因式中至少一個(gè)為零。具體原則：(1)將方程式右邊化為0,且始終為0;(2)將等式左邊盡可能化簡(jiǎn)成為兩個(gè)因式的成績(jī)；(3)令各因式結(jié)果為0;(4)解化簡(jiǎn)后的多個(gè)因式。因式公式法、十字相乘法。ax2+bx=0(其中a,b為系數(shù))，止匕0,等式左邊存在公因式。例2.解方程(2x+3(2=4x+6移項(xiàng)得(2x+3)2-2(2x+3)因式分解得(2x+3)分解法具體包括：提公因式法、1 .提公因式法。特有模式：方法的特點(diǎn)在于等式右邊值為例1.解方程5x2+

4、15x=0因式分解得：5x(x+3)=0=0x1=0,x2=-3(2x+3-2)=0x1=-3/2,x2=-1/2例1是提取公因式法較為直接的使用。但在考試中，例2更為常見(jiàn)。通過(guò)例2可知，在使用提取公因式法時(shí)，不能僅限于觀察未知項(xiàng)，需從整體進(jìn)行分析。2 .公式法。直接利用常見(jiàn)公式解方程求根的方法。在此法中較為常見(jiàn)的公式有平方差公式和完全平方公式。具體表現(xiàn)形式如下：(1)平方差：(a2-b2)=(a+b)(a-b);(2)完全平方：(a±b)2=a2土2ab+b2。此方法特點(diǎn)在于已知方程與上述公式形式一致。例3.解方程4x2-9=0例4.解方程9x2+6x+1=0因式分解得(2x-3)

5、(2x+3)=0因式分解得(3x+1)2=0x1=-3/2,x2=3/2x=-1/3公式法的使用可以大幅提高解題速度，但其關(guān)鍵在于必須熟記平方差和完全平方公式。3、十字相乘法。十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。特有模式：x2+(a+b)x+ab=0。通常在方程既有常數(shù)項(xiàng)，又無(wú)上述公式可使用時(shí)，慣用此法。該法可以快速的解出跟，提高學(xué)生自信心。例5.解方程3x2+11x+10=0例6.解方程3x2-x-10=0分析：x2分析：x-23x53x-6x+5x=-x因式分解得（x+2）（3x+5）=0因式分解得（x-2）（3x+5）=0x1=-2,x2=-5/

6、3x1=2,x2=-5/3使用十字相乘法的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：（1）在運(yùn)算過(guò)程中，務(wù)必注意系數(shù)項(xiàng)的符號(hào)；（2）當(dāng)首項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，需多次試驗(yàn)。通過(guò)上述分析可知，使用因式分解法有一定的局限性，僅限于解部分有特定關(guān)系的一元二次方程。（三）配方法配方法是將已知方程配成完全平方公式，而此法是解一元二次方程的通法。究其根本即是將一元二次方程化為x2=p來(lái)加以解答例9,x2+10x+9=0例10.2x2+3x+1=0移項(xiàng)得x2+10x=-9化首項(xiàng)系數(shù)為1得x2+3x/2+1/2=0配方得x2+10x+25=-9+25-1/2+9/16即（x+5）2+16直接開(kāi)方得x+5=±41/4即x1=-1,x2=

7、-9酉己方得x2+3x/2+9/16=即（x+3/4）2=1/16直接開(kāi)方得x+3/4=土即x1=-1/2,x2=-1通過(guò)例題9和例題10對(duì)比發(fā)現(xiàn)，雖配方法可解任何一元二次方程，但當(dāng)已知方程二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，該方法的使用可大幅減少計(jì)算量。而當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1,或一次項(xiàng)系數(shù)不為偶數(shù)時(shí)，使用該方法計(jì)算量將增大。如在做題過(guò)程中遇到二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，首先需將其系數(shù)轉(zhuǎn)化為1,然后再用配方法計(jì)算?？偨Y(jié)配方法口訣：“二次系數(shù)化為一，常數(shù)要往右邊移，一次系數(shù)一半方，兩邊加減最相當(dāng)（四）公式法此公式法與分解因式法中提及的公式法略有差異。該公式法是用求根公式求出一元二次方程的跟的方法。其可解任

8、何ax2+bx+c=0（a?0）的方程。其步驟有：（1）將已知方程化為一元二次方程的一般形式；（2）分別確定a、b、c的值；（3）求出b2-4ac的值；（4）當(dāng)b2-4acA0時(shí)，將其帶入原方程式，求出兩根；當(dāng)b2-4ac0x1=-2/3,x2=12、當(dāng)ax2+bx+c=0（a#0）的各項(xiàng)系數(shù)均為無(wú)理數(shù)，且較難使用因式分解法和配方法時(shí)，可使用該法。例12.解方程x2-5x+4=0例13.解方程x2-x+4=0確定各項(xiàng)系數(shù)：a=1,b=-5,c=4確定各項(xiàng)系數(shù)：a=1,b=-1,c=4S=b2-4ac=25-4乂1X4=9>0S=b2-4ac=1-4乂1X4=-150時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)

9、不同的根；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程的兩根相等；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，一元二次方程無(wú)解。此方法較配方法具有更廣闊的適用性，具在使用過(guò)程中省略了配方的過(guò)程，且有效彌補(bǔ)了在使用配方法解決二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)所存在的不足。三、總結(jié)綜上所述，在解一元二次方程時(shí)，要善于觀察已知方程的特點(diǎn)。同一方程有時(shí)可使用兩種或兩種以上不同方法解答。因而在方法選擇上，要遵循由易到難的順序。即在遇到解一元二次方程題型時(shí)，首先觀察該題是否可采用直接開(kāi)方法解答，如若不行則依次考慮提取公因式法、配方法、公式法?？傊夥ㄖx必為最簡(jiǎn)單、快捷、準(zhǔn)確之道。參考文獻(xiàn)：1唐宗康.一元二次方程幾種常見(jiàn)解法的選擇之我見(jiàn)j.教育研究.2010(2)2孫致義.對(duì)中學(xué)數(shù)