多元函數(shù)的極值及其求法學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1多元多元(du yun)函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法第一頁，共26頁。引例引例1：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價瓶進價1元，外地牌子每瓶進價元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估計元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的每瓶元，外地牌子的每瓶賣賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本地牌瓶本地牌子的果汁，子的果汁， 瓶外地牌子的果汁問：瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？大收益？xyyx4570 yx7680 顯然顯然(xin

2、rn)每天的收每天的收益為益為求最大收益求最大收益(shuy)即為求二元函數(shù)的最大值即為求二元函數(shù)的最大值.第1頁/共25頁第二頁，共26頁。引例引例2： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機種急需物品：計算機U盤和鼠標(biāo)，設(shè)他購買盤和鼠標(biāo)，設(shè)他購買 個個U盤，盤， 個鼠標(biāo)達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為個鼠標(biāo)達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每個設(shè)每個U盤盤8元，每個鼠標(biāo)元，每個鼠標(biāo)10元，問他如何元，問他如何分配這分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實質(zhì)：求問題的實質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點下的極值點yxyxUl

3、nln),( 200108 yx第2頁/共25頁第三頁，共26頁。 無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外(niwi)(niwi)，并無其他條件，并無其他條件. . 條件極值條件極值(j zh)：對自變量附加條件的極值：對自變量附加條件的極值(j zh)問題稱為條件極值問題稱為條件極值(j zh). 如引例如引例(yn l)1(yn l)1。 如引例如引例2 2。 從上面的兩個引例中可以看到，與一元函數(shù)極值不同，多從上面的兩個引例中可以看到，與一元函數(shù)極值不同，多元函數(shù)的極值分為兩類：元函數(shù)的極值分為兩類： 思考思考：為什么一元函數(shù)的極值沒有分類?。簽?/p>

4、什么一元函數(shù)的極值沒有分類！ 兩個引例中都是求多元函數(shù)的最值！為了求最值，先討論與最兩個引例中都是求多元函數(shù)的最值！為了求最值，先討論與最值有密切聯(lián)系的極值問題！值有密切聯(lián)系的極值問題！第3頁/共25頁第四頁，共26頁。第4頁/共25頁第五頁，共26頁。注意(zh y)：這里要求嚴(yán)格小于。第5頁/共25頁第六頁，共26頁。極大值、極小值統(tǒng)稱極大值、極小值統(tǒng)稱(tngchng)(tngchng)為極值為極值. .使函數(shù)取得極值使函數(shù)取得極值(j zh)(j zh)的點稱為極值的點稱為極值(j zh)(j zh)點點. .第6頁/共25頁第七頁，共26頁。(1)(3)例例1 1例例例例例例4.4.

5、的極值(j zh).第7頁/共25頁第八頁，共26頁。定理定理(dngl)1 (必要條必要條件件)函數(shù)函數(shù)(hnsh)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值且在該點取得極值且在該點取得極值 ,則有則有存在存在故該定理說明偏導(dǎo)數(shù)存在并且不等于該定理說明偏導(dǎo)數(shù)存在并且不等于0的點一定不是極值！的點一定不是極值！第8頁/共25頁第九頁，共26頁。注：注：1 1）幾何意義）幾何意義: :極值點處的切平面極值點處的切平面(pngmin)(pngmin)平行于平行于xoyxoy平面平面(pngmin)(pngmin)； 駐點駐點(zh di

6、n)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在(cnzi)的的極值點極值點如何判定駐點是否為極值點？（稍后回答）如何判定駐點是否為極值點？（稍后回答）注意：注意： 2 2）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，稱為函數(shù)的駐點）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，稱為函數(shù)的駐點. .第9頁/共25頁第十頁，共26頁。與一元函數(shù)類似與一元函數(shù)類似(li s)，可能的極值點除了駐點之外，可能的極值點除了駐點之外，偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)不存在的點也可能是不存在的點也可能是極值點。極值點。如例如例2，顯然，顯然(xinrn)函數(shù)函數(shù)不存在。不存在。結(jié)論：極值點必在駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點中！結(jié)論：極值點必在駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點中！把駐點和偏導(dǎo)數(shù)不

7、存在的點稱為把駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點稱為可疑極值點可疑極值點.第10頁/共25頁第十一頁，共26頁。時時, 具有具有(jyu)極值極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), 令令則: 1) 當(dāng)A0 時取極小值時取極小值.2) 當(dāng)當(dāng)3) 當(dāng)當(dāng)不證明，自己看第二節(jié)(P108) . 時時, 沒有極值沒有極值.時時, 不能確定不能確定 , 需另行討論需另行討論.若函數(shù)若函數(shù)且且第11頁/共25頁第十二頁，共26頁。求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐點求駐點(zh din).(zh din).得駐點(zh din): (1, 0) , (1, 2) , (3

8、, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別(pnbi).在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)xyxyxyxf933),(2233第12頁/共25頁第十三頁，共26頁。在點(3,0) 處不是(b shi)極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,0B,6C在點(1,2) 處不是(b shi)極值;第13頁/共25頁第十四頁，共26頁。由上例可知由上例可知(k (k zh):zh):第14頁/共25頁第十五頁，共26頁。及是否(sh fu)取得極值.解解: 顯然顯然 (0,0) 都是它們都是它們(t

9、men)的的駐點駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正正負(fù)負(fù)0222)(yxz在點(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為Oxyz第15頁/共25頁第十六頁，共26頁。第16頁/共25頁第十七頁，共26頁。函數(shù)(hnsh) f 在閉域上連續(xù)函數(shù)(hnsh) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點我們可以把最值問題分為兩類：偏導(dǎo)不存在的點第17頁/共25頁第十八頁，共26頁。（1 1）連續(xù)函數(shù)在開區(qū)域）連續(xù)函數(shù)在開區(qū)域(qy)(qy)上的最值；上的最值；（2 2）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域(qy)(qy

10、)上的最值：上的最值：方法方法(fngf)(fngf)：將函數(shù)在：將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)不存內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)不存在的點處的在的點處的方法：方法：將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在在D D的邊界的邊界函數(shù)值相互比較，函數(shù)值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即其中最大者即為最大值，最小者即為最小值為最小值. .上的上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值最大值，最小者即為最小值. .第18頁/共25頁第十九頁，共26頁。當(dāng)區(qū)域內(nèi)部(nib)最值存在, 且只有一個極值點P 時, )(

11、Pf為極小值)(Pf為最小值( (大大) )( (大大) ) 更特別更特別(tbi)(tbi)的，當(dāng)可微函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部有最值存在的，當(dāng)可微函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部有最值存在, ,且只且只有唯一的駐點時有唯一的駐點時，則該點必是該最值點！，則該點必是該最值點！ 第19頁/共25頁第二十頁，共26頁。把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面(dun min)面積x24一個(y )斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,x224積最大. 為問怎樣折法才能使斷面面第20頁/共25頁第二十一頁，共26頁。令解得:由題意(t y)知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有(zhyu)一個(y )駐點,故

12、此點即為所求.)0,120:(2 xD第21頁/共25頁第二十二頁，共26頁。解解: 設(shè)水箱設(shè)水箱(shuxing)長，寬，高分別為長，寬，高分別為 x , y ，z ,則水箱所用材料(cilio)的面積為令得駐點(zh din)某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水箱,問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.2xyz故就是求面積A在約束下 的極值 第22頁/共25頁第二十三頁，共26頁。這類最值問題這類最值問題(wnt)下節(jié)討論！下節(jié)討論！xyo6 yx第23頁/共25頁第二十四頁，共26頁。無條件極值：對自變量除了限制無條件極值：對自變量除了限制(xinzh)在定義域內(nèi)外，并無其他條件在定義域內(nèi)外，并無其他條件.第24頁/共25頁第二十五頁，共26頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會計學(xué)。第1頁/共25頁。第2頁/共25頁。無條件極值：對自變量除了