(完整版)復(fù)變函數(shù)知識點梳理解讀

1、第一章:復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)這一章主要是解釋復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)的相關(guān)概念,大部分內(nèi)容與實變函數(shù)近似,不難理解。一、復(fù)數(shù)及其表示法介紹復(fù)數(shù)和幾種新的表示方法,其實就是把表示形式變來變?nèi)?方便和其他的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來。二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算高中知識,加減乘除,乘方開方等。主要是用新的表示方法來解釋了運(yùn)算的幾何意義。三、復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程和平面幾何圖形就是把實數(shù)替換成復(fù)數(shù),因為復(fù)數(shù)的性質(zhì),所以平面圖形的方程式二元的。四、復(fù)數(shù)域的幾何模型復(fù)球面將復(fù)平面上的點,一一映射到球面上,意義是擴(kuò)充了復(fù)數(shù)域和復(fù)平面,就是多了一個無窮遠(yuǎn)點,現(xiàn)在還不知道有什么意義,猜想應(yīng)該是方便將微積分的思想用到復(fù)變函數(shù)上。五、復(fù)變函數(shù)不同于實變函數(shù)

2、是一個或一組坐標(biāo)對應(yīng)一個坐標(biāo),復(fù)變函數(shù)是一組或多組坐標(biāo)對應(yīng)一組坐標(biāo),所以看起來好像是映射在另一個坐標(biāo)系里。六、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性與實變函數(shù)的極限、連續(xù)性相同。第二章:解析函數(shù)這一章主要介紹解析函數(shù)這個概念,將實變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)、初等函數(shù)等概念移植到復(fù)變函數(shù)體系中。一、解析函數(shù)的概念介紹復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù),類似于實變二元函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求導(dǎo)法則與實變函數(shù)相同。所謂的解析函數(shù),就是函數(shù)處處可導(dǎo)換了個說法,而且只適用于復(fù)變函數(shù)。而復(fù)變函數(shù)可以解析的條件就是:卩對X與V對y的偏微分相等且卩對y和v對x的偏微分互為相反數(shù),這就是柯西黎曼方程。二、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系出現(xiàn)了新的概念:調(diào)和函數(shù)。就是對同一個未知

3、數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù)的實變函數(shù)。而解析函數(shù)的實部函數(shù)和虛部函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)。而滿足柯西黎曼方程的兩個調(diào)和函數(shù)可以組成一個解析函數(shù),而這兩個調(diào)和函數(shù)互為共軛調(diào)和函數(shù)。三、初等函數(shù)和實變函數(shù)中的初等函數(shù)形式一樣,但是變量成為復(fù)數(shù),所以有一些不同的性質(zhì)。第三章:復(fù)變函數(shù)的積分這一章,主要是將實變函數(shù)的積分問題,在復(fù)變函數(shù)這個體系里進(jìn)行了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化,讓復(fù)變函數(shù)有獨立的積分體系。但是很多知識都和實變函數(shù)的知識是類似的。可以理解為實變函數(shù)積分問題的一個兄弟。一、復(fù)積分的概念復(fù)積分就是復(fù)變函數(shù)的積分,實質(zhì)是兩個實二型線積分。所以應(yīng)該具有相應(yīng)的實二型線積分的性質(zhì)。復(fù)積分存在的充分條件是實部函數(shù)和虛部函數(shù)都

4、連續(xù)。二、柯西積分定理意思就是如果復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處解析,則沿任意封閉曲線的積分為0.我感覺類似于格林公式,又有點像大物里的無旋場。這里有兩個重要的推論,閉合變形原理和復(fù)合閉路定理。三、柯西積分公式用柯西積分定理的推論推導(dǎo)出來的一個公式,揭示了解析函數(shù)可以由復(fù)積分表示。為求解復(fù)積分提供了一種途徑。四、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)講了復(fù)變函數(shù)和實變函數(shù)完全不同的一點,解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)是必然存在的。還解釋了幾個定理公式:柯西不等式、劉維爾定理、最大模原理。實數(shù)范圍內(nèi)的級數(shù)問題的拓展,研究對象從實數(shù)換成了復(fù)數(shù)。一、復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù),在我看來,就是兩個實數(shù)項級數(shù)湊成一組,但是求解問題時還是要分開解決。這

5、部分的問題和實數(shù)項級數(shù)沒有什么差別,就是一個變成了兩個。二、冪級數(shù)這部分內(nèi)容基本是原原本本的把實數(shù)范圍的冪級數(shù)概念抄了一遍,多了阿貝爾定理和收斂圓、收斂半徑等新概念,需要時間吸收。三、泰勒級數(shù)將實數(shù)的泰勒級數(shù)概念,轉(zhuǎn)化為了復(fù)數(shù)的泰勒級數(shù)概念,將解析函數(shù)展開為冪級數(shù)的方法類似,同時因為復(fù)數(shù)的一些性質(zhì),讓原本在實數(shù)范圍內(nèi)泰勒級數(shù)的一些東西變得容易理解。四、洛朗級數(shù)因為泰勒級數(shù)的定義，使得解析函數(shù)無法在指定點的去心鄰域內(nèi)展開，所以發(fā)展出了洛朗級數(shù)。而洛朗級數(shù)的實質(zhì)還是泰勒級數(shù)。這一章可以看作是微積分中講定積分那章，但是由于復(fù)變函數(shù)和實變函數(shù)的區(qū)別,所以求定積分的方法也不同。而孤立奇點、留數(shù)、復(fù)變函數(shù)

6、的定積分這三節(jié)的內(nèi)容是層層推進(jìn)的,每一節(jié)都是下一節(jié)的基礎(chǔ)。、孤立奇點簡言之，函數(shù)在孤立奇點某個去心鄰域可解析，但在該點不可解析。而通過孤立奇點這個概念，又發(fā)展了可去奇點、極點、本性奇點、零點等概念。二、留數(shù)留數(shù)就是解析函數(shù)展開成冪級數(shù)后再逐項積分最后留下來的那個常數(shù)。而求留數(shù)則要用一條封閉曲線將所有孤立奇點包起來，再用公式求留數(shù)。所以留數(shù)其實是種積分。而確定孤立奇點的類型會更加方便地求出留數(shù)。三、留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用因為之前所講的復(fù)變函數(shù)的積分都是閉合回路的積分，所以求定積分先要湊出閉合回路。即還是要用到前面的積分知識，然后在通過變形整理湊成留數(shù)公式的形式,求取定積分。第六章：保形映射這一

7、章就是講復(fù)變函數(shù)自變量所在的平面和因變量所在的平面，通過函數(shù)映射產(chǎn)生的數(shù)量、位置關(guān)系，我感覺主要是位置關(guān)系。很多內(nèi)容都是新的。但是各小節(jié)之間是互相聯(lián)系的。一、保形映射的概念這一節(jié)介紹了復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)，和保形映射的概念、分類、性質(zhì)。這一節(jié)和以前的知識有很大的區(qū)別，主要是在于復(fù)變函數(shù)的因變量是復(fù)數(shù)，可以看做實變函數(shù)中的對數(shù)，所以性質(zhì)和學(xué)過的單值函數(shù)有很多不一樣的地方。二、分式線性映射azb分式線性映射就是滿足這種形式的映射，本節(jié)介紹了這種映射的構(gòu)成、czd各種性質(zhì)，和保形映射有很多相似之處。三、唯一決定分式線性映射的條件因為滿足azb這種形式的映射包含四個常數(shù)，而只要分子分母同時czd除以