第12屆景潤杯 第五講一元函數(shù)積分學(xué)

1、Xiamen University廈門大學(xué)第廈門大學(xué)第十二十二屆屆“景潤杯景潤杯”數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)競賽暨第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽暨第七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽系列講座系列講座廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 莊平輝莊平輝例例1 設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上有原函數(shù) F (x)，即( )( ),.Fxf xxI證明：若存在0 xI是 f (x) 的間斷點，則0 x必為( )f x的第二類間斷點.證明：證明：用反證法. 若0 x為( )f x的第一類間斷點,利用導(dǎo)數(shù)的定義，可以推出00()()Fxf x原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念或 0()Fx不存在.一、積分的計算一、積分的計算1. 化簡分母化

2、簡分母給定分式：給定分式：CAB， 將分母將分母B化為單項式，便于計算?；癁閱雾検剑阌谟嬎?。例如，例如，11 sin x2221 sin1sincoscoscosxxxxx11sincosxx2sincos1sincos1(sincos )12sincosxxxxxxxx1211xx2112( 11)2xxxx1122 (1)(1)xxxx211112 12 121xxx一、積分的計算一、積分的計算sind1sincosxxxx1.cosdsincosxxxx1d1+1xxx2211d11xxx一、積分的計算一、積分的計算練習(xí)題：練習(xí)題：2.3.4.2. 遞推公式遞推公式考慮：考慮：( )d

3、nnIfxx，利用分解利用分解1( )( )1( )nnfxfxg x或或2( )( )1( )nnfxfxg x及分部積分可獲得遞推公式。及分部積分可獲得遞推公式。一、積分的計算一、積分的計算例例2. 求求sind ,2nnIx x n解：解：22sinsin(1 cos)nnxxx利用利用121(sincos),1nnnnIIxxIn及分部積分得及分部積分得故故1211sincos(2)nnnnIIxxnnn利用這個遞推式我們可以計算利用這個遞推式我們可以計算20sind .nx x一、積分的計算一、積分的計算的遞推公式的遞推公式.例例3. 求求tandnnIx x的遞推公式的遞推公式.解

4、：解：22tantan(sec1)nnxxx利用利用121tan.1nnnIxIn利用這個遞推式我們可以得到利用這個遞推式我們可以得到2401( 1)tand( 1) 14321mmmx xm 21401( 1)tand( 1) ln2 1(1)2mmmx xmm 一、積分的計算一、積分的計算例例4. 求求2(1) dnnIxx的遞推公式的遞推公式.解：解：2212(1)(1)(1)nnxxx利用利用212(1).2121nnnnxxIInn及分部積分得及分部積分得利用這個遞推式我們可以得到利用這個遞推式我們可以得到120(2 )!(1) d.(21)!nnxxn一、積分的計算一、積分的計算例

5、例5. 求求d,2sinnnxInx的遞推公式的遞推公式.解：解：利用利用221sincosxx一、積分的計算一、積分的計算,2cos dsin.sinnnnxxIIx第二項分部積分后可得第二項分部積分后可得212cos.1(1)sinnnnnxIInnx同理可得同理可得21d2sin.cos1(1)cosnnnnxnxJJxnnx例例6. 求求20cossind ,1nnIxnx x n解：解：一、積分的計算一、積分的計算111.22nIn120coscos sindnnIxxnx x1201cossin(1)sin(1) d2nxnxnxx121011()coscosd(cos )22nn

6、nIIxnxx的遞推公式的遞推公式.練習(xí)題：練習(xí)題：sind ,2nnIxx x n一、積分的計算一、積分的計算的遞推公式的遞推公式.1.求求1d ,1()nmnIx nxc2.求求的遞推公式，的遞推公式，其中其中,m c均為不為零的實數(shù)，且均為不為零的實數(shù)，且(1)1.m n3. 第一換元法（湊微分法）第一換元法（湊微分法）第一換元法的實質(zhì)是復(fù)合函數(shù)微分法則的逆用第一換元法的實質(zhì)是復(fù)合函數(shù)微分法則的逆用( )( ( )( )g xfxx可用于第一換元法的被積函數(shù)的特征：可用于第一換元法的被積函數(shù)的特征：一、積分的計算一、積分的計算注：有些被積函數(shù)本身不具有上述特征，需要通過變形注：有些被積函

7、數(shù)本身不具有上述特征，需要通過變形才會呈現(xiàn)上面的特征。才會呈現(xiàn)上面的特征。例例7. 222ln(1)d1xxxx注：注：一、積分的計算一、積分的計算221ddln(1)1xxxx例例8. 2arcsin(1)d2xxxx注：注：21ddarcsin(1)2xxxx 例例9. 222(12) ed23exxxxx注：注：一、積分的計算一、積分的計算222(12)e dd( e )xxxxx例例10. 3222(31)e dxxx xxx注：注：22()e (31)exxxxxx練習(xí)題練習(xí)題 1.一、積分的計算一、積分的計算2. arctand(1)xxxx；223d1(1)xxxx；3.arcs

8、in2edxxxx；5. 3d1xxx；4.2211(secln) d11xxxx；6.22d1(1)xxxx；例例11. 1lndxxxxxx注：注：一、積分的計算一、積分的計算(1+ln )ddxxxxxx例例12. 2sincossindcos (1cose)xxxxxx注：注：sin2sind(cos e)(cossin ) edxxxxxx練習(xí)題：練習(xí)題：1d(1e )xxxxx一、積分的計算一、積分的計算1. 2.2ln2dln(1ln)xxxxxx3.21lnd(ln )xxxx241d1xxx一、積分的計算一、積分的計算例例13. 解：解：222422211111ddd111(

9、)2xxxxxxxxxxx221111d()arctan122()2xxCxxxx（第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試題）（第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試題）241d .1xxx一、積分的計算一、積分的計算練習(xí)題：計算練習(xí)題：計算進一步，進一步，224441111ddd 1211xxxxxxxx222444111ddd 1211xxxxxxxxx324232d .1xxxxx練習(xí)題：計算練習(xí)題：計算4. 分部積分法分部積分法分部積分公式：分部積分公式：( ) ( )d( ) ( )( ) ( )du x v xxu x v xu x v xx一、積分的計算一、積分的計算注：分部積分法的關(guān)鍵在于注：

10、分部積分法的關(guān)鍵在于u的選擇。的選擇。通常，反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)往往作為通常，反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)往往作為u的首選，的首選，其次就是冪函數(shù)。其次就是冪函數(shù)。22lnd(1)xxxx一、積分的計算一、積分的計算例例14. 注：注：222ln1d() ln d(1)2(1)xxxx xxx 322arccosd(1)xxx例例15. 注：注：32221dd1(1)xxxx2arctanln(1)dxxxx一、積分的計算一、積分的計算例例16. 注：先求注：先求2ln(1)dxxx，（第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題）（第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題）然后分部積分。然后分部積分。練習(xí)題：練習(xí)題：e

11、 sin d ;xxx x1. 2. 32arccosd .1xxxx11(1) edxxxxx一、積分的計算一、積分的計算例例17. 注：注：111211(1) eded(1) edxxxxxxxxxxxxx=（第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試題）（第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試題）對后一項分部積分，于是對后一項分部積分，于是11111(1) ededeedxxxxxxxxxxxxxx=1e.xxxC=一、積分的計算一、積分的計算練習(xí)題：練習(xí)題： 2cossind(cos )xxxxxx1. 2. ln()()d()()x ax bxaxbxxa xb5. 關(guān)于定積分計算關(guān)于定積分計算公式公式

12、1( )d()dbbaaf xxf abxx一、積分的計算一、積分的計算1( )d ( )()d2bbaaf xxf xf abxx公式公式2例例18.40ln(1tan )dxx401ln(1tan )ln(1tan()d24xxx一、積分的計算一、積分的計算例例19.( )d( )()baf xxf xf abx1( )()=d.()2( )2baf xf abxbaxf abxf x類似地，類似地，20(sin )1 d.(sin )(cos )2 24fxxfxfx例例20.求求121(1) ( )d .xf xx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f x在在, 上連續(xù)，上連續(xù)， 且對于任意的且對于任意

13、的x，有有()( )( )f xyf xf y，一、積分的計算一、積分的計算練習(xí)題練習(xí)題36sindsincosxxxx1.2.201 sind2sincosxxxx3.42ln(9)dln(9)ln(3)xxxx一、積分的計算一、積分的計算2( )d ( )()da bbaaf xxf xf abxx公式公式3特別地，特別地，0( )d ( )()daaaf xxf xfxx2 ( )()dba bf xf abxx例例21.244sind1exxx2244sinsin+d1e1exxxxx2401sind84x x一、積分的計算一、積分的計算例例22. 計算定積分計算定積分2sinarct

14、aned .1cosxxxIxx公式公式4.00(sin )d(sin )d2xfxxfxx（第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題）（第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題）注：利用公式注：利用公式3和公式和公式4.一、積分的計算一、積分的計算例例23. 計算定積分計算定積分2sinarctaned .1cosxxxIxx解：解：2sinarctaned1cosxxxIxx220sinarctanesinarctane+d .1cos1cosxxxxxxxxx20sind21cosxxxx220sind41cosxxx3.8一、積分的計算一、積分的計算例例24. 計算定積分計算定積分120ln(1)d

15、.1xIxx解一：解一：令令tanxt，40ln(1tan )d .Itt解二：解二：令令21,1xt 120ln2ln(1)d .1tItt二、含有積分的方程二、含有積分的方程例例1.設(shè) 解：令解：令已知方程兩邊同乘已知方程兩邊同乘，然后積分，然后積分， cos x 0cos dfxxfxx x，求 .fx，求出常數(shù)，求出常數(shù) A.即可得到即可得到 .fx 0cos dAfxx x練習(xí)題：練習(xí)題：1. 設(shè)設(shè) 21200( )d( )dfxxxf xxf xx，求，求 .fx2. 設(shè)設(shè) 1216( )d2fxxfxx ，求，求 .fx二、含有積分的方程二、含有積分的方程3.設(shè)設(shè) 1203( )

16、( )d ,fxxg xf xx 104( )2( )d ,g xxf xg xx求求( )f x與與( ).g x例例2.設(shè)函數(shù)( )f x，提示：提示：可微且對任意 0 x 滿足 130df txtxfx求 ( )f x的一般表達式。 作代換utx 301dxf uuxfxx， 則，即 40dxf uuxxfx，兩邊求導(dǎo)，得2( )4fxx所以，34( ).3f xxC二、含有積分的方程二、含有積分的方程例例1.設(shè)( )f x是(,) 內(nèi)連續(xù)的奇函數(shù)， 且是以2T為周期的周期函數(shù)，則0( )( )dxF xf tt也是以2T為周期的周期函數(shù).三、變上限積分三、變上限積分注：注：若( )f

17、x是以2T為周期的周期函數(shù)，則220( )d( )d( )d .aTTTaTf ttf ttf tt例例2. 設(shè)( )f x是(,) 內(nèi)連續(xù)的以2T為周期的周期函數(shù)，則0( )( )dxF xf tt能表示成線性函數(shù)與以2T為周期的周期函數(shù)之和.三、變上限積分三、變上限積分注：設(shè)注：設(shè)0( )( )dxg xf ttkx，求，求k使得使得(2 )( )g xTg x例例3. 設(shè)函數(shù)2( )sindxxf xtt， 求( )f x的最大值與最小值.注：注：( )f x是以為周期的 ，故只需計算一個周期.當(dāng)02x時，( )2 sin()4f xx；當(dāng)2x時，( )22 sin()4f xx；所以，

18、( )f x的最大值和最小值分別為2，22.三、變上限積分三、變上限積分例例4設(shè)1ln( )d (0)1xtf xt xt，求1( )( ) .f xfx提示：提示：1lnln1( )( )ln1(1)xxf xfxxxxxx所以，211ln1( )( )dln.2xxf xfxxxx三、變上限積分三、變上限積分例例5. 設(shè) f (x) 是( )( )d ,0.ttF xxu f uutxt t (,) 上的連續(xù)函數(shù)，且( )0.f x 函數(shù)（1）證明( )Fx是嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)， 曲線( )yF x向上凹的；（2）證明當(dāng) f (x)是偶函數(shù)時，( )Fx是奇函數(shù)；（3）當(dāng) f (x)是偶函數(shù)

19、時，求函數(shù) F(x) 的最小值點；（4）當(dāng) f (x)是偶函數(shù)時，把函數(shù) F (x) 最小值作為t 的函數(shù)，使它等于2( )1f tt，試求函數(shù) f (x).三、變上限積分三、變上限積分例例6. 設(shè)( )f x可導(dǎo)，且(0)0f，求10( )()dxnnnF xtf xtt，20( )lim.nxF xx提示：提示： 作變換nnuxt， 于是，01( )( )d .nxF xf uun用洛必達法則求極限20( )lim.nxF xx122100( )()1limlim(0).22nnnnxxF xxf xfxnxn三、變上限積分三、變上限積分例例7. 設(shè)( )f x提示提示 ： 注意到連續(xù)，1

20、0( )()dxf txt， 且0( )limxf xAx，求( )x， 并且討論( )x在0 x 處的連續(xù)性.(0)0f，(0)0020( )d( )(0)(0)lim02xxf uuxAxx.當(dāng)0 x 時，02( )( )d( )xxf xf uuxx可以求得0lim( )(0).2xAx( )x在0 x 處連續(xù).三、變上限積分三、變上限積分例例8. 設(shè)( )f x連續(xù)，(0)0f000()( )dlim.()dxxxxt f ttIxf xtt求極限解解 令uxt，00()d( )dxxf xttf uu利用洛必達法則，000( )dlim.( )( )dxxxf ttIxf xf uu

21、注：此時不能用洛必達法則！注：此時不能用洛必達法則！三、變上限積分三、變上限積分例例9. 設(shè)函數(shù)( )yy x21edy xuxu由方程確定，試寫出( )y x的二階帶皮亞諾余項的麥克勞林公式.注：注：求出(0),(0),(0).yyy三、變上限積分三、變上限積分例例10.設(shè)函數(shù)( )f x與其反函數(shù)都可微 ， g x求函數(shù)( )f x，使其滿足關(guān)系式( )11( )d(1).3fxg ttxx注：注：兩邊對 x 求導(dǎo)，注意到( ).g f xx三、變上限積分三、變上限積分例例1.( )f xxT，則 2d2dd .bbTbaTafxxfxxfxx四、定積分的證明題四、定積分的證明題1. 定積

22、分等式的證明定積分等式的證明（1）換元法）換元法若若關(guān)于關(guān)于對稱，且對稱，且aTb注：右端注：右端 2ddd .bbTbaTTfxxfxxfxx因此，只要證明因此，只要證明 2ddbTbTTfxxfxx 即可即可例例2.2224400e edeed .xtxxxtttt四、定積分的證明題四、定積分的證明題證明：證明：注：實際上是證明注：實際上是證明從證明式子上看，令從證明式子上看，令2221().4xttxu解得解得2xut或或222400eded .xtxxxt ttt.2xut做變換做變換,2xut可得結(jié)果可得結(jié)果.例例3.00 ( ) () d ()d .aaxfxfaxxafaxx四、

23、定積分的證明題四、定積分的證明題證明：證明：注：做變換注：做變換.uax練習(xí)題：練習(xí)題：44112ln2d()dln 2(+).22xxxxfxfxxxx四、定積分的證明題四、定積分的證明題1. 設(shè)設(shè)是連續(xù)函數(shù)，證明：是連續(xù)函數(shù)，證明：( )f x2.設(shè)設(shè)( )fx連續(xù)，連續(xù)，0( )( )(2)d ,xF xf t fatt證明：證明：2(2 )2( )( )(0)(2 ).FaF afaffa例例3.四、定積分的證明題四、定積分的證明題設(shè)設(shè)在在內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，(,) 為為(0)0,( ),ff ab的反函數(shù)，證明：的反函數(shù)，證明：( )f x( )g x注：注：( ).xf t對第二個積分

24、做變換對第二個積分做變換( )f x00( )d( )d.abf xxg xxab( )( ( ).g f xf g xx練習(xí)題：練習(xí)題：四、定積分的證明題四、定積分的證明題1. 若函數(shù)若函數(shù)在在上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，其反函數(shù)上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，其反函數(shù) , a b為為證明：證明：( )f x( )xg y，( ),xg y且且( ),( ),f af b( )d( )d .baf xxbag yy(0)0,f2. 若函數(shù)若函數(shù)為為上嚴(yán)格單調(diào)增加的可導(dǎo)函數(shù)，上嚴(yán)格單調(diào)增加的可導(dǎo)函數(shù)，0,)( )f x它的反函數(shù)為它的反函數(shù)為證明：證明：00( )d( )d, ( ,0).abf xxg yyaba

25、b（2）分部積分法）分部積分法110011( )d(0)(1)(1)( )d .22f xxffxx fxx四、定積分的證明題四、定積分的證明題例例3. 設(shè)設(shè)在在0,1上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：( )f x當(dāng)被積函數(shù)中出現(xiàn)當(dāng)被積函數(shù)中出現(xiàn)( )f x的導(dǎo)數(shù)或易由題設(shè)條件求出的導(dǎo)數(shù)或易由題設(shè)條件求出( )fx的命題，一般可考慮用分部積分法的命題，一般可考慮用分部積分法.注：對等式右邊的最后一項用分部積分。注：對等式右邊的最后一項用分部積分。練習(xí)題：練習(xí)題：000() ( )d( )d d .xxuxu f uuf ttx 四、定積分的證明題四、定積分的證明題1. 設(shè)設(shè)在積分

26、區(qū)間上連續(xù)，證明：在積分區(qū)間上連續(xù)，證明：( )f x注：對等式右邊用分部積分。注：對等式右邊用分部積分。定積分第一中值定理：定積分第一中值定理：( ) ( )d( )( )d .bbaaf x g xufg xx四、定積分的證明題四、定積分的證明題若若在在a,b上連續(xù)，上連續(xù)，( )f x不變號，則在不變號，則在a,b上至少存在一點上至少存在一點( )g x在在a,b上可積且上可積且，使得，使得注：注：( )1g x ，就是課本上的積分中值定理，就是課本上的積分中值定理.例例5.( ) ( )d( )( )d( )( )d .bbaaf x g xug af ttg bf tt四、定積分的證

27、明題四、定積分的證明題若若在在a,b上連續(xù)，上連續(xù)，( )f x的導(dǎo)數(shù)且的導(dǎo)數(shù)且( )g x在在a,b上有連續(xù)上有連續(xù) , a b，證明存在，證明存在注：注：然后分部積分，并利用定積分第一中值定理然后分部積分，并利用定積分第一中值定理.( )0g x，使得，使得( ) ( )d( )d( )d .bbxaaaf x g xug xf tt四、定積分的證明題四、定積分的證明題（3）構(gòu)造輔助函數(shù)法）構(gòu)造輔助函數(shù)法p 將要證的定積分改成變上限（或變下限）積分，將要證的定積分改成變上限（或變下限）積分，移項使得等式一邊為零，則另一邊即為輔助函數(shù)移項使得等式一邊為零，則另一邊即為輔助函數(shù).p 利用介值定

28、理或微分中值定理證明利用介值定理或微分中值定理證明.例例6.設(shè) f (x) 在0, 1可導(dǎo)，當(dāng)01x時，有0(1)( )ff x，且( )( ).fxf x證明存在惟一的點(0,1)，使得0( )( )dff tt提示：提示：作輔助函數(shù)0( )( )( )dxF xf xf tt，利用零點定理證明。 由( )F x的單調(diào)性證明唯一性。四、定積分的證明題四、定積分的證明題例例7.設(shè) f (x) 在a, b上連續(xù)，( )d( )d0bbaaf xxxf xx，證明：在(a, b)內(nèi)至少存在兩個不同的點, ，使得( )( )0.ff證明：證明：作輔助函數(shù)( )( )d .xaF xf tt顯然( )

29、( )0.F aF b注意到( )( ).Fxf x因此，只需證明存在( , )ca b，使得( )0F c . 然后利用羅爾定理，可證明結(jié)論.四、定積分的證明題四、定積分的證明題例例8. 設(shè)函數(shù) fx在閉區(qū)間 0,1上連續(xù)， 在開區(qū)間 0,1內(nèi)可導(dǎo)， 且 21120(1)2e( )dxff xx，求證： 在開區(qū)間 0,1內(nèi)至少存在一點 ， 使得 ( )2( ).ff提示：提示：利用積分中值定理，存在10,2，使得2120(1)2e( )d( ).xf xx 作輔助函數(shù)2( )e( ) ,xxf x最后，利用羅爾定理證明結(jié)論.四、定積分的證明題四、定積分的證明題四、定積分的證明題四、定積分的證

30、明題（4）泰勒公式法）泰勒公式法 當(dāng)被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時，常用當(dāng)被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時，常用泰勒公式法，然后利用介值定理等方法再作適當(dāng)處理。泰勒公式法，然后利用介值定理等方法再作適當(dāng)處理。例例9.設(shè) f (x)在a, a (a 0)上連續(xù)，且具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f (0) = 0.（1）寫出 f (x) 的帶Lagrange余項的一階Maclaurin公式；（2）證明在a, a上至少存在一點，使得3( )3( )d .aaa ff xx四、定積分的證明題四、定積分的證明題提示：提示：（1）對任意, ,xa a 211( )(0)(),2f xfxfx1位于 0 和

31、x 之間.（2）兩邊積分， 可得33( )daamf xxMa其中m，M分別是( )fx, a a在上的最小值和最大值.利用介值定理可以得到結(jié)論.四、定積分的證明題四、定積分的證明題例例9.( )yf x提示：提示：記( )0fx設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，又( )xt為任意一個連續(xù)函數(shù)，證明不等式：0011( )d )( ( )d .aafttfttaa01( )dactta，利用泰勒公式四、定積分的證明題四、定積分的證明題2. 定積分不等式的證明定積分不等式的證明21( ( )( )( )( ( )( )( ( )2ftf cfctcftc( )( )( ( )f cfctc，然后兩邊積分.例例1

32、0.( )f x設(shè)( )0 ()fxmaxb，證明:2sin( )d.baf xxm證明：證明：( ),tf x四、定積分的證明題四、定積分的證明題（第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題）作變換sin( )dsin( )dbBaAf xxttt則( ),xt012sin d.t tmm例例11.( )yf x設(shè)函數(shù)在0,1上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且0( )1fx，(0)0f， 證明不等式112300( )d )( )d .f uufuu證明：證明： 構(gòu)造輔助函數(shù)2300( )( )d )( )d .xxF xf uufuu四、定積分的證明題四、定積分的證明題例例11.設(shè)函數(shù) fx在0,1上非負(fù)可導(dǎo)， 且 2( )( ).f xfxx 證明存在惟一的(0,1)，使得1( )( )d .ff xx提示：提示：輔助函數(shù)1( )( )dtF ttf xx，利用羅爾定理證明.由2( )( )f xfxx 證明( )0Ft，從而證明惟一性.四、定積分的證明題四、定積分的證明題例例12.設(shè) f (x) 在a, b上連續(xù)，證明 22dd .bbaafxxbafxx注：注：柯西不等式： 222ddd.bbbaaafx g xxfxxgxx提示提示:輔助函數(shù) 22ddxxaaF xf ttxaftt四、定積分的證明題四、定積分