傅立葉變換-時(shí)域-頻域

1、傅立葉變換，時(shí)域，頻域一（2012-08-2815:50:39）轉(zhuǎn)載，標(biāo)簽：雜談參考文獻(xiàn)：信號(hào)完整性分析”信息傳輸調(diào)制和噪聲”P(pán)31,"傅立葉變換的數(shù)學(xué)再認(rèn)識(shí)"及若干網(wǎng)上博客。目錄信號(hào)分析方法概述時(shí)域頻域時(shí)域與頻域的互相轉(zhuǎn)換傅立葉變換原理傅立葉變換分類傅立葉級(jí)數(shù)的五個(gè)公式（周期性函數(shù)）傅立葉積分（非周期性函數(shù)）振幅譜和相位譜的關(guān)系功率譜傅立葉變換推導(dǎo)出：時(shí)移原理與頻移原理，對(duì)偶性質(zhì)時(shí)間-頻率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)應(yīng)關(guān)系1:時(shí)間變化速率（即時(shí)域信號(hào)的變化速率）與頻譜呈正比關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系2,時(shí)間周期T與頻譜：呈反比關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系3:脈沖寬度與頻譜：呈反比關(guān)系用脈沖寬度定義帶寬頻譜、幅度譜

2、、相位譜、功率譜與周期性函數(shù)的頻譜周期函數(shù)、非周期函數(shù)的頻譜總結(jié)，與對(duì)稱頻譜的意義離散傅立葉變換與抽樣：時(shí)域的抽樣點(diǎn)數(shù)與頻域點(diǎn)數(shù)的關(guān)系傅立葉變換與正交性傅立葉變換的思想總結(jié)與優(yōu)點(diǎn)時(shí)域的物理意義頻域的物理意義1,頻域的物理意義2,傅立葉變換與諧波3,傅立葉反變換與諧波疊加4,帶寬與時(shí)鐘頻率、脈沖寬度關(guān)鍵技術(shù)點(diǎn)解釋1,IFFT反變換后各諧波如何疊加在一起？2,什么是正交？正交的條彳是什么？傅立葉變換后的諧波為什么一定是正交的？傅立葉反變換之前的頻譜要滿足什么條件？3,為什么說(shuō)時(shí)域上波形急劇變化，頻域上就有很高的頻率分量4,頻域中幅值與時(shí)域中的幅值有什么關(guān)系？5,采樣傅立葉變換的缺點(diǎn)信號(hào)分析方法概述

3、通信的基礎(chǔ)理論是信號(hào)分析的兩種方法：1是將信號(hào)描述成時(shí)間的函數(shù)，2是將信號(hào)描述成頻率的函數(shù)。也有用時(shí)域和頻率聯(lián)合起來(lái)表示信號(hào)的方法。時(shí)域、頻域兩種分析方法提供了不同的角度，它們提供的信息都是一樣，只是在不同的時(shí)候分析起來(lái)哪個(gè)方便就用哪個(gè)。思考：原則上時(shí)域中只有一個(gè)信號(hào)波（時(shí)域的頻率實(shí)際上是開(kāi)關(guān)器件轉(zhuǎn)動(dòng)速度或時(shí)鐘循環(huán)次數(shù)，時(shí)域中只有周期的概念），而對(duì)應(yīng)頻域（純數(shù)學(xué)概念）則有多個(gè)頻率分量。人們很容易認(rèn)識(shí)到自己生活在時(shí)域與空間域之中（加起來(lái)構(gòu)成了三維空間），所以比較好理解時(shí)域的波形（其參數(shù)有：符號(hào)周期、時(shí)鐘頻率、幅值、相位）、空間域的多徑信號(hào)也比較好理解。但數(shù)學(xué)告訴我們，自己生活在N維空間之中，頻域

4、就是其中一維。時(shí)域的信號(hào)在頻域中會(huì)被對(duì)應(yīng)到多個(gè)頻率中，頻域的每個(gè)信號(hào)有自己的頻率、幅值、相位、周期（它們?nèi)≈挡煌?，可以表示不同的符?hào)，所以頻域中每個(gè)信號(hào)的頻率范圍就構(gòu)成了一個(gè)傳輸信道。時(shí)域中波形變換速度越快（上升時(shí)間越短），對(duì)應(yīng)頻域的頻率點(diǎn)越豐富。所以：OFDM中，IFFT把頻域轉(zhuǎn)時(shí)域的原因是：IFFT的輸入是多個(gè)頻率抽樣點(diǎn)（即各子信道的符號(hào)），而IFFT之后只有一個(gè)波形，其中即OFDM符號(hào)，只有一個(gè)周期。時(shí)域時(shí)域是真實(shí)世界，是惟一實(shí)際存在的域。因?yàn)槲覀兊慕?jīng)歷都是在時(shí)域中發(fā)展和驗(yàn)證的，已經(jīng)習(xí)慣于事件按時(shí)間的先后順序地發(fā)生。而評(píng)估數(shù)字產(chǎn)品的性能時(shí)，通常在時(shí)域中進(jìn)行分析，因?yàn)楫a(chǎn)品的性能最終就是在時(shí)

5、域中測(cè)量的。時(shí)鐘波形的兩個(gè)重要參數(shù)是時(shí)鐘周期和上升時(shí)間。時(shí)鐘周期就是時(shí)鐘循環(huán)重復(fù)一次的時(shí)間間隔，通產(chǎn)用ns度量。時(shí)鐘頻率Fclock,即1秒鐘內(nèi)時(shí)鐘循環(huán)的次數(shù)，是時(shí)鐘周期Tclock的倒數(shù)。Fclock=1/Tclock上升時(shí)間與信號(hào)從低電平跳變到高電平所經(jīng)歷的時(shí)間有關(guān)，通常有兩種定義。一種是10-90上升時(shí)間，指信號(hào)從終值的10%跳變到90%所經(jīng)歷的時(shí)間。這通常是一種默認(rèn)的表達(dá)方式，可以從波形的時(shí)域圖上直接讀出。第二種定義方式是20-80上升時(shí)間，這是指從終值的20%跳變到80%所經(jīng)歷的時(shí)間。時(shí)域波形的下降時(shí)間也有一個(gè)相應(yīng)的值。根據(jù)邏輯系列可知，下降時(shí)間通常要比上升時(shí)間短一些，這是由典型CM

6、OS輸出驅(qū)動(dòng)器的設(shè)計(jì)造成的。在典型的輸出驅(qū)動(dòng)器中，p管和n管在電源軌道Vcc和Vss間是串聯(lián)的，輸出連在這個(gè)兩個(gè)管子的中間。在任一時(shí)間，只有一個(gè)晶體管導(dǎo)通，至于是哪一個(gè)管子導(dǎo)通取決于輸出的高或低狀態(tài)。假設(shè)周期矩形脈沖信號(hào)f的脈沖寬度為g脈沖巾M度為E,重復(fù)周期為T(mén),頻域頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實(shí)的，而是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造。時(shí)域是惟一客觀存在的域，而頻域是一個(gè)遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對(duì)頻域的描述，因?yàn)闀r(shí)域中的任何波形都可用正弦波合成。這是正弦波的一個(gè)非常重要的性質(zhì)。然而，它并不是正弦波的獨(dú)有特性，還有許多其他的波形也有這樣的性質(zhì)。正弦

7、波有四個(gè)性質(zhì)使它可以有效地描述其他任一波形：(1)時(shí)域中的任何波形都可以由正弦波的組合完全且惟一地描述。(2)任何兩個(gè)頻率不同的正弦波都是正交的。如果將兩個(gè)正弦波相乘并在整個(gè)時(shí)間軸上求積分，則積分值為零。這說(shuō)明可以將不同的頻率分量相互分離開(kāi)。(3)正弦波有精確的數(shù)學(xué)定義。(4)正弦波及其微分值處處存在，沒(méi)有上下邊界。使用正弦波作為頻域中的函數(shù)形式有它特別的地方。若使用正弦波，則與互連線的電氣效應(yīng)相關(guān)的一些問(wèn)題將變得更容易理解和解決。如果變換到頻域并使用正弦波描述，有時(shí)會(huì)比僅僅在時(shí)域中能更快地得到答案。而在實(shí)際中，首先建立包含電阻，電感和電容的電路，并輸入任意波形。一般情況下，就會(huì)得到一個(gè)類似正

8、弦波的波形。而且，用幾個(gè)正弦波的組合就能很容易地描述這些波形，如下圖2.2所示:圖2.2理想RLC電路相互作用的時(shí)域行為頻域的圖如下？時(shí)域與頻域的互相轉(zhuǎn)換時(shí)域分析與頻域分析是對(duì)模擬信號(hào)的兩個(gè)觀察面。時(shí)域分析是以時(shí)間軸為坐標(biāo)表示動(dòng)態(tài)信號(hào)的關(guān)系；頻域分析是把信號(hào)變?yōu)橐灶l率軸為坐標(biāo)表示出來(lái)。一般來(lái)說(shuō)，時(shí)域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡(jiǎn)練，剖析問(wèn)題更為深刻和方便。時(shí)域與頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：時(shí)域里一條正弦波曲線的簡(jiǎn)諧信號(hào)，在頻域中對(duì)應(yīng)一條譜線，即正弦信號(hào)的頻率是單一的，其頻譜僅僅是頻域中相應(yīng)f0頻點(diǎn)上的一個(gè)尖峰信號(hào)。按照傅里葉變換理論：任何時(shí)域信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的疊加。1、正弦

9、波時(shí)域信號(hào)是單一頻率信號(hào)；2、正弦波以外的任何波型的時(shí)域信號(hào)都不是單一頻率信號(hào)；3、任何波型都可以通過(guò)不同頻率正弦波疊加得到；解*I1:初學(xué)者一個(gè)經(jīng)常的困惑是：無(wú)法理解信號(hào)為何會(huì)有多個(gè)頻率，加上許多書(shū)中的描述不夠嚴(yán)謹(jǐn)，比如：語(yǔ)音信號(hào)的頻率是在4k以下，是34千赫正弦波。正確的解釋是：一個(gè)信號(hào)有兩種表示方法，時(shí)域和頻域。在時(shí)域，信號(hào)只有周期，正是因?yàn)橛辛烁盗⑷~變換，人們才能理解到信號(hào)頻域的概念。（先有傅立葉變換的結(jié)果才讓你認(rèn)識(shí)到聲音信號(hào)里包含了某種頻域的正弦波，它僅僅是聲音信號(hào)里的一個(gè)分量用你的眼睛你可能永遠(yuǎn)看不出這些幅度變動(dòng)里包含了你所熟悉的34KHZ的正弦波!）注：大家應(yīng)牢記：頻域最重要的性

10、質(zhì)是：它不是真實(shí)的，而是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域?qū)嶋H上是時(shí)域信號(hào)進(jìn)行傅立葉變換的數(shù)學(xué)結(jié)果。通過(guò)數(shù)學(xué)方法，可以更方便的觀察到信號(hào)內(nèi)含的信息、可以分解合成信號(hào)。無(wú)線通信中傳輸資源包括了時(shí)間、頻域、空間等。時(shí)間比較好理解，就是：時(shí)間周期1發(fā)送符號(hào)1,時(shí)間周期2發(fā)送符號(hào)2.。，時(shí)域的波形可以用三角函數(shù)多項(xiàng)式表示，函數(shù)參數(shù)有：時(shí)間、幅度、相位。在載波傳輸中，載波信號(hào)由振蕩器產(chǎn)生，它的時(shí)鐘頻率是固定的，倒數(shù)就是時(shí)間周期。頻域比較難理解，按傅立葉分析理論，任何時(shí)域信號(hào)都對(duì)應(yīng)了頻域的若干頻率分量（稱為諧波）的疊加，頻域的頻率與時(shí)域的時(shí)鐘頻率不同?？梢哉J(rèn)為：時(shí)域不存在頻率，只存在時(shí)間周期。信號(hào)處理與通信中所指的頻率一

11、般都是指頻域的頻率分量。而每個(gè)頻率分量都可從數(shù)學(xué)意義上對(duì)應(yīng)時(shí)域的一個(gè)波形（稱為諧波，基波是一種特殊的諧波，它的頻率與時(shí)域波形的時(shí)鐘頻率相同）。因?yàn)檩d波一般都是正弦波，所以定義信號(hào)在1秒內(nèi)完成一個(gè)完整正弦波的次數(shù)就是信號(hào)的頻率（以Hz為單位），即1Hz。時(shí)間周期T=1/fo載波的功能參見(jiàn)調(diào)制解調(diào)部分內(nèi)容。這里可以先不理解何為載波，關(guān)鍵是時(shí)域與頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系。以這個(gè)時(shí)域波形為例設(shè)時(shí)域波形（圖中的合成波）的時(shí)間周期=T（如2秒），其時(shí)鐘頻率則為f0=1/2Hzo那么基波的頻率、周期與合成波一樣。每個(gè)諧波之間頻率間隔=基波頻率。而諧波1的頻率f1=1/2+1/2=1Hz,周期T1=1o諧波2的頻率f2

12、=1+1/2=3/2Hz,周期T2=2/3。諧波8的頻率f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz,周期T8=0.2222在頻域中，每個(gè)頻率分量都有自己的幅度與相位。按諧波的頻率、幅度、相位信息可以得到諧波所對(duì)應(yīng)時(shí)域的波形。將各諧波的時(shí)域波形疊加起來(lái)，即得到時(shí)域中合成波。解木12：時(shí)域信號(hào)的數(shù)據(jù)傳輸速率，常用bps,如100Kbps,指1s內(nèi)傳輸了100Kbits的二進(jìn)制數(shù)據(jù)。即:時(shí)域的傳輸效率。引入頻域后，帶來(lái)一個(gè)新的數(shù)據(jù)：頻譜效率，作為頻域的傳輸效率。如80bps/Hz指1Hz頻率上能傳輸80bps數(shù)據(jù)。按信息論，帶寬越大，數(shù)據(jù)速率越高。解*I3:為什么我們要用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線呢？如

13、我們也還可以用方波或三角波來(lái)代替呀，分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。注：此處仍要牢記：頻域是數(shù)學(xué)構(gòu)造，只要有助于我們分析信號(hào)，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法就是有用的。傅立葉變換原理傅立葉變換分類根據(jù)原信號(hào)的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)(FourierSeries)非周期性連續(xù)信

14、號(hào)傅立葉變換(FourierTransform)非周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅立葉變換(DiscreteTimeFourierTransform)周期性離散信號(hào)離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform)-DFT這四種傅立葉變換都是針對(duì)正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大的信號(hào)，即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無(wú)窮大的，我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來(lái)說(shuō)是不可能的，那么有沒(méi)有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅立葉變換呢？沒(méi)有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無(wú)窮小到正無(wú)窮大，我們無(wú)法把一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào)。面對(duì)這種困難，方法是把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)，可以把信號(hào)無(wú)限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來(lái)表示，這樣，

15、這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離解信號(hào)，我們就可以用到離散時(shí)域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào)，這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)處理信號(hào)的。但是對(duì)于非周期性的信號(hào)，我們需要用無(wú)窮多不同頻率的正弦曲線來(lái)表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用

16、DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無(wú)意義的。每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過(guò)，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換（realDFT）,再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來(lái)理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來(lái)理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們所要說(shuō)的變換（transform）雖然是數(shù)學(xué)意義上的變

17、換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理（DSP）,有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡(jiǎn)單地說(shuō)變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。

18、因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。傅立葉級(jí)數(shù)的五個(gè)公式（周期性函數(shù)）傅立葉（19世紀(jì)的法國(guó)人）認(rèn)為：任何周期函數(shù)f總是可以變成下面的傅立葉級(jí)數(shù)Kt）+京ECORdf十瓦隼E3力*=I（傅立葉公式1）它等價(jià)于下面的公式(傅立葉公式2)兩個(gè)公式的關(guān)系是:公式中a0,an、bn都是常數(shù)。AkCosWkt+BkSinWkt即時(shí)域信號(hào)的第k個(gè)頻率分量對(duì)應(yīng)的正弦波(即諧波)表示。an,bn也稱為傅立葉系數(shù)。時(shí)域的信號(hào)用f表示，下面介紹這個(gè)信號(hào)如何轉(zhuǎn)換

19、到頻域的表示方法。因?yàn)槿呛瘮?shù)間有正交關(guān)系，如下1,兩個(gè)不同三角函數(shù)的乘積在kpi,+pi上的定積分為0。即正交。產(chǎn)1cosCnj")dx=0理=1,2,JT*1 sin(nT)dj,=0n=1*2,J一cos(加h)cos(rtx)dj=0m#nJ7*flsin(zrtj)sin(jix)dz0mnJTjsinfm.r),cos(nr)djr-02,兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在卜pi,+pi上的定積分為2Pi或pi.Jl*dI=2以Jsin2itm=1,2*Jeos=)djrk«=1,2»-*解釋：上圖中的x對(duì)應(yīng)傅立葉公式中的時(shí)間參數(shù)t。pi可對(duì)應(yīng)時(shí)間周期To首先：我們

20、考慮如何對(duì)于時(shí)域信號(hào)f(t)分解出其中的各個(gè)子信號(hào)(子諧波)：AkCosWkt+BkSinWkt。然后可以得到各個(gè)諧波在頻域的表示方法：頻率W,幅度Cn、相位。這三項(xiàng)就是傅立葉變換的結(jié)果：頻域信號(hào)表不按上述的三角函數(shù)關(guān)系，要得到ak,就把f乘以coswkt,并在整個(gè)周期內(nèi)取積分。得frn2afr/I/(t)cosci>ehjt=co$*£y*tdf-TniJ2qTT2圖中的an就是ak.得到(下圖中的an就是ak)白心.r+。is/cgs3j=sins/2J解釋：頻域分量轉(zhuǎn)成的時(shí)域信號(hào)都是復(fù)信號(hào)（含實(shí)部與虛部），雖然實(shí)際信號(hào)都是實(shí)的。實(shí)際上信號(hào)的傳輸都用實(shí)信號(hào)，而接收信號(hào)的處理

21、中則使用復(fù)信號(hào)。三角函數(shù)運(yùn)算法則是:ssinS=2i仁as。=產(chǎn)+L*2從上面的復(fù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)公式中，可以直接得到各子頻率分量對(duì)應(yīng)正弦波（諧波）的振幅和相位C9='/0三十比復(fù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)公式（傅立葉公式4）可以推導(dǎo)出三角函數(shù)形式j(luò)Q）=y3CM+，IC.I+.3冊(cè)）+一亨*|CJCQ式十九）D1傅立葉公式5另外，在傅立葉公式4中看起來(lái)出現(xiàn)了負(fù)頻率”，但實(shí)際上它們是不存在，只是數(shù)學(xué)的一種表示方法。所以在傅立葉公式5中就消除了負(fù)頻率”這里給出了五種傅立葉級(jí)數(shù)f的表示方式，它們都是等價(jià)的，并可互相推導(dǎo)出來(lái)。傅立葉積分（非周期性函數(shù)）非周期性函數(shù)使用傅立葉積分來(lái)得出頻譜。因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)總可

22、以在時(shí)間間隔之外按其本身形狀來(lái)重復(fù)，這里可使用傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算頻譜。而當(dāng)時(shí)間間隔不斷增大，在極限情況下就變?yōu)楦盗⑷~積分。考慮一個(gè)周期函數(shù)f，用傅立葉級(jí)數(shù)表示。了。)全:C.ofsr-Qihi1C.=If-J-r"其頻譜圖如下，*lU=Im2-io閥制讖敷的振幅圖43=3一(-%=其相鄰各諧波頻率之間間隔為,E3E?/(f)*2,->_:CLeMfNs所以這個(gè)f可以寫(xiě)為一”-g,將aw代入原f公式而得。當(dāng)T->無(wú)窮大時(shí)，N3一口，而Wn也->0,所以頻譜會(huì)由離散頻率點(diǎn)變?yōu)檫B續(xù)頻譜。則Cn作為諧波Wk的幅值也會(huì)變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)F(w),一、-15nLq則我們得到非周期函數(shù)f

23、(t)的傅立葉積分表示方法f(t)。f(t)=；jF(t<>)r=f-16*J-a非周期函數(shù)f的時(shí)域、頻域圖舉例如下：圖z-u一個(gè)/型的酎回的敷我其翔/(弓)時(shí)阿平囿tb)城室?哪B2-13把F(w)的計(jì)算公式稱為傅立葉積分公式。F(w)稱為f的傅立葉變換。f公式即傅立葉反變換公式。F(w)與f(t)的計(jì)算公式看起來(lái)很像，甚至可以互相調(diào)換f與F(w).由F(w)公式得出時(shí)域信號(hào)f的頻率分量。頻率、頻譜從本質(zhì)上說(shuō)是某種數(shù)學(xué)抽象。振幅譜和相位譜的關(guān)系上面的頻譜圖實(shí)際上是振幅譜，看不出相位與頻率間的關(guān)系。F(w)是頻率的復(fù)函數(shù)。F(w)也可分解為振幅譜和相位譜。fo)=|網(wǎng)砌用做

24、4;)相位角曲)則代表相位漕.，它隨頻率變化。它們有奇怪的對(duì)稱性。振幅譜是頻率的偶對(duì)稱函數(shù)。相位譜是頻率的奇對(duì)稱函數(shù)?？梢酝茖?dǎo)出：/£廣）*丘3/drM'O.L空.3即相位就是rrtrtAK12,S,-m3U1七|i。)時(shí)則函數(shù)(b)/幅唐IC)相位i，圖？-找一種信號(hào)的慍幅口鄰相怪譜解釋：時(shí)域中的相位，與頻域中的相位完全不同。頻域中相位是指各諧波的相位，它隨頻率而時(shí)間變化。所以：1,頻域中完全看不出時(shí)間，只有諧波的各頻率、幅值、相位。這些諧波在非穩(wěn)定信號(hào)中可能并不會(huì)在所有時(shí)間中存在，這是另一個(gè)信號(hào)處理領(lǐng)域的問(wèn)題。2,時(shí)域信號(hào)中看不出頻率，只有各諧波疊加后的信號(hào)。時(shí)域信號(hào)的周

25、期=各諧波信號(hào)中的最大周期，即基波的周期。頻率也相當(dāng)于基波的頻率。相位則是各諧波疊加后形成(相位在時(shí)域與頻域沒(méi)有固定的、可按公式計(jì)算出的關(guān)系)。時(shí)域信號(hào)的一個(gè)周期中的符號(hào)包括了以下信號(hào)的疊加(且可通過(guò)正交分解出來(lái))：一個(gè)基波在一個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)，一次諧波在2個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)，二次諧波在3個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)，三次諧波在4個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)。在快速傅立葉變換中，因?yàn)闀r(shí)域抽樣點(diǎn)必須是2的K次方，所以偶次諧波的幅值總為0,即不攜帶信息或空符號(hào)功率譜從電路分析可知，如代表1歐電阻上的電壓，則在此電阻內(nèi)損耗的平均功率為(An2+Bnj/2瓦。所以振幅頻譜的平方就是不同頻率上(n=0,1,2.)1歐電阻內(nèi)所損耗功率的測(cè)

26、量。各個(gè)頻率上的功率相加，就得到周期性電壓加到電阻上的平均損耗功率。任意電壓f加到1歐電阻上的瞬時(shí)功率就是|f|2傅立葉變換推導(dǎo)出：時(shí)移原理與頻移原理，對(duì)偶性質(zhì)傅立葉變換有兩個(gè)重要的原理：1,時(shí)間移位原理jCOtR將時(shí)域時(shí)間原點(diǎn)從t=0處移到t=t0處，則相當(dāng)于頻域F(w)的相移"，即2,頻譜搬移原理£產(chǎn)如果F(w)的角頻率移動(dòng)了W0弧度儂，則f(t)要乘上*即：“?！?。尸仙一孫)推導(dǎo)公式是：f*叫)=/(re-J8J-.在調(diào)制技術(shù)中，信號(hào)f要調(diào)制到載波上產(chǎn)生的頻率移動(dòng)，即通過(guò)上述關(guān)系確立?；鶐盘?hào)(帶有信息)f(t)對(duì)載波信號(hào)CosW0t的調(diào)幅結(jié)果(即已調(diào)制信號(hào))，可表示

27、為f0=W0/2pi,為時(shí)域載波信號(hào)的頻率m如iq有以等顆率力中心杓蟒滿.那么已叫翅目則有以蚊改妙舉九沏江心的戚i鼠五圖2-24M的；|；T-個(gè)切子.已調(diào)制信號(hào)的傅立葉變換結(jié)果為：即：調(diào)制之后，f的頻譜被移動(dòng)了,時(shí)間頻率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,2A是最大振幅（尸（S3鼻）十3一%）比如：先將一段音樂(lè)的離散時(shí)間信號(hào)做傅里葉變換（FFT）,再將得到的頻譜向高處搬移，最后做傅里葉反變換（IFFT），恢復(fù)到時(shí)域，聽(tīng)到的聲音會(huì)比原來(lái)的聲調(diào)高對(duì)應(yīng)關(guān)系1:時(shí)間變化速率（即時(shí)域信號(hào)的變化速率）與頻譜呈正比關(guān)系F面是一個(gè)調(diào)幅信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)波形的例子，振幅的變化代表了傳送的信息。時(shí)域信號(hào)波形中，振幅的變化構(gòu)成整個(gè)信號(hào)的包

28、絡(luò)“）敏皆號(hào)舞簫1”噂動(dòng)后覆電”玳。sot颯微.圖人4M事售電M示，圖f(tJ=A(l+cosieo$w0tr切必m5*3HMFSt上式經(jīng)簡(jiǎn)單的三角運(yùn)算后，得Af1+COS3.E)£053.r=Aeos*±+A+石(O=(H一口).)£斗cos(3。+皿./其頻譜如下:-4A。硝*卬*3圖2-4m狎載波的蕤幡一1（事留當(dāng)原信息信號(hào)變化更快時(shí)（Wm增大），使得振幅調(diào)制后的信號(hào)也變化更快，邊帶頻率（W0-Wm,W0+Wm）也更遠(yuǎn)的離開(kāi)載波。所以：較快速的變化相當(dāng)于較高頻率的變動(dòng)。即：時(shí)間變化速率增加，頻率也增高了（這點(diǎn)在上升時(shí)間與帶寬關(guān)系中也可見(jiàn)）對(duì)應(yīng)關(guān)系2,時(shí)間周期

29、T與頻譜呈反比關(guān)系下面用矩形脈沖序列來(lái)深入討論時(shí)間-頻率之間的關(guān)系S1-S周制味用的索班巾分析它的頻譜可以表示成給出一個(gè)歸一化的無(wú)量綱變數(shù)sinX函數(shù)sinx/x在x=0處有最大值，此處sinx->x,（sinx/x）->1,而當(dāng)x->無(wú)窮大時(shí)，它->0函數(shù)sinx/x的形狀如下的1-T如的墟因?yàn)閚是離散的，所以Wn也取離散值（W1=2pi/T的各諧波），所以歸一化參數(shù)x也是離散點(diǎn)，但Cn的包絡(luò)無(wú)疑與上圖一致。雖然周期函數(shù)包括有基本頻率的所有整數(shù)倍的頻率分量，但在較高頻率上，振幅的包絡(luò)減小。并且基本周期T越?。疵棵氲拿}沖數(shù)增多），頻率譜線越移越開(kāi)。時(shí)間函數(shù)比較快速的變

30、化則相當(dāng)于比較高的頻率分量：周期T減少，則頻譜變大（因?yàn)閒=2pi/T變大）由于集中在低頻區(qū)的譜線有較高的幅度，所以這個(gè)周期波所具有能量的大部分都分布在較低的頻率分量上。當(dāng)函數(shù)變化增快（T減小）時(shí)，在較高頻率范圍內(nèi)所包含的能量所占的比重將增大。對(duì)應(yīng)關(guān)系3:脈沖寬度與頻譜：呈反比關(guān)系從上圖可見(jiàn)，隨著脈沖寬度：苞的減少，信號(hào)的頻率分量分布的更寬思考：因?yàn)?J那么因?yàn)閟inxx的圖形不變，當(dāng)sinxx=0時(shí)的x不會(huì)變，則此時(shí)減少,表示W(wǎng)n會(huì)變大。同時(shí)在3L2/叫處的第一個(gè)零交點(diǎn)在頻率軸上移遠(yuǎn)。因此，在脈沖寬度或持續(xù)時(shí)間與脈沖的頻率展布之間，有反比關(guān)系存在。aVe.V不用脈沖寬度定義帶寬如,（即很窄的

31、脈沖），則大部分信號(hào)能量將落在下式的范圍內(nèi)這個(gè)點(diǎn)也當(dāng)作信號(hào)的帶寬解釋：上面三點(diǎn)其實(shí)與上升時(shí)間越小，對(duì)應(yīng)帶寬越大的關(guān)系是一致的頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜與周期性函數(shù)的頻譜頻譜就是時(shí)域信號(hào)經(jīng)過(guò)傅立葉變換后的復(fù)信號(hào)；因?yàn)镃n是復(fù)數(shù)。幅度譜就是復(fù)頻譜取幅度后得到的幅度與頻率之間的關(guān)系曲線；相位譜就是復(fù)頻譜取出相位后得到的相位與頻率之間的關(guān)系曲線；功率譜就是功率與頻率之間的關(guān)系曲線。周期性函數(shù)按上面傅立葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)方法來(lái)得到頻譜（以頻率Wn為x軸、幅值Cn為y軸）2-12同期性慰神技共朗博按傅立葉公式1中定義，可知每個(gè)頻率點(diǎn)間的間隔是2Pi/T,那么第0個(gè)頻率點(diǎn)即基波，它的頻率=2Pi/ToT是時(shí)域信

32、號(hào)的周期,所以基波頻率=時(shí)域信號(hào)的時(shí)鐘頻率，基波表示時(shí)域信號(hào)的直流分量。從頻譜圖也能看出，相鄰各諧波頻率之間間隔為，它就是基波角頻（角頻率與頻率之間就是多了個(gè)2pi的關(guān)系，那么基波頻率就是時(shí)域信號(hào)的頻率）W0在傅立葉級(jí)級(jí)數(shù)中用常數(shù)a0表示。周期=2pi/W0.一次諧波分量W1:周期是基波分量周期的1/2,頻率是基波頻率的2倍。二次諧波分量W2:周期是基波分量周期的1/3,頻率是基波頻率的3倍。所以：頻域各諧波頻率一定是時(shí)域信號(hào)時(shí)鐘頻率的倍數(shù)基波的定義是：將非正弦周期信號(hào)按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，頻率與原信號(hào)頻率相同的量。在復(fù)雜的周期性振蕩中，包含基波和諧波。和該振蕩最長(zhǎng)周期相等的正弦波分量稱為基波。相

33、應(yīng)于這個(gè)最長(zhǎng)周期的頻率稱為基本頻率。頻率等于基本頻率的整倍數(shù)的正弦波分量稱為諧波。周期為T(mén)的信號(hào)中有大量正弦波，其頻率分別為1/THz、2/THz、n/THz,稱頻率為1/THz的正弦波為基波”，頻率為等n/THz（nil）的正弦波為n次諧波”。解釋：基波諧波來(lái)自于原時(shí)域信號(hào)的頻譜中各頻率點(diǎn)的頻率、相位在時(shí)域中體現(xiàn)為各正弦波，它們疊加在一起形成了原時(shí)域信號(hào)。在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，在單位時(shí)間內(nèi)物體完成全振動(dòng)的次數(shù)叫頻率，用f表示。頻率也表示單位時(shí)間波動(dòng)傳播的波長(zhǎng)數(shù)。頻率的2無(wú)倍叫角頻率，即3=2%of在國(guó)際單位制中，角頻率的單位也是弧度/秒。頻率是描述物體振動(dòng)快慢的物理量，所以角頻率也是描述物體振動(dòng)快慢

34、的物理量。頻率、角頻率和周期的關(guān)系為3=2Ttf=2。無(wú)/t在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，角頻率與振動(dòng)物體間的速度v的關(guān)系為v=3asin（3t+（）圓周運(yùn)動(dòng)中的角速度3與簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的角頻率3,雖然單位相同且都有3=2元的相同形式，但它們并不是同一個(gè)物理量。角頻率對(duì)時(shí)間的積分等于相位的改變量。周期函數(shù)、非周期函數(shù)的頻譜總結(jié)，與對(duì)稱頻譜的意義動(dòng)態(tài)信號(hào)從時(shí)間域變換到頻率域主要通過(guò)傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換實(shí)現(xiàn)。周期信號(hào)靠傅立葉級(jí)數(shù)，非周期信號(hào)靠傅立葉變換。兩個(gè)域都有自己的測(cè)量工具：時(shí)間是示波器，頻域是頻譜分析儀。而在一個(gè)域進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)換算可求得另一個(gè)域的結(jié)果。傅立葉級(jí)數(shù)公式中，Cn表示了各次諧波的振幅隨頻率變化的情

35、況，一般所指的頻譜是幅度譜，指頻率和振幅的關(guān)系，表示每個(gè)頻率分量及其所占的比重大小，如振幅大小或功率大小。周期函數(shù)的頻譜是離散的。它的頻率是一個(gè)不連續(xù)的離散值。因?yàn)轭l譜函數(shù)Cn的公式由傅立葉級(jí)數(shù)公式（實(shí)際上是一個(gè)三角函數(shù)級(jí)數(shù)）推導(dǎo)出，其中的n=0,1,2.,n是整數(shù)，那么Wn=W1,W2,W3.W也是離散值。非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)的。由于頻譜函數(shù)F(W)的公式由傅立葉積分推導(dǎo)出，根據(jù)積分的定義，所以：其中的W是連續(xù)變化的。這說(shuō)明非周期函數(shù)的頻率成分比周期函數(shù)的頻率成分豐富。傅立葉級(jí)數(shù)、傅立葉積分可以取出兩種函數(shù)的不同頻率成分及其幅值。因?yàn)榻衧=2*同/T,故”/明6-"2而MT)和&

36、#169;4押.t16-jCsr/TM-Ji)£=©-j«-nt所以jr和C：=a.+ib.=Jr/:frza=1_JT/3上圖是共羯復(fù)數(shù)的出發(fā)點(diǎn)，它說(shuō)明了頻譜圖中出現(xiàn)的負(fù)頻率只是數(shù)學(xué)上的方便寫(xiě)法。(注：必須記住頻域只有數(shù)學(xué)意義，在現(xiàn)實(shí)中是不存在的)頻譜圖中會(huì)得到一個(gè)關(guān)于y軸對(duì)應(yīng)的頻譜圖?，F(xiàn)實(shí)中負(fù)頻域是不存在的。這是因?yàn)樵谟筛盗⑷~級(jí)數(shù)到指數(shù)形式的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，歐拉公式對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)重新分析，即Cn對(duì)an和bn進(jìn)行了共羯對(duì)稱調(diào)整，使得各頻率分量的幅度折半按y軸分配，使之出現(xiàn)了對(duì)稱的頻譜和負(fù)頻域形式。離散傅立葉變換與抽樣：時(shí)域的抽樣點(diǎn)數(shù)與頻域點(diǎn)數(shù)的關(guān)系所謂信息，是指信

37、號(hào)隨時(shí)間的變化。奈奎斯特定理已經(jīng)證明。為了從抽樣信號(hào)中無(wú)失真的再現(xiàn)原信號(hào)，當(dāng)原信號(hào)(為頻帶有限的模擬信號(hào))帶寬為BHz時(shí)，最小抽樣速率，應(yīng)該為每秒2B個(gè)樣值。即抽樣時(shí)間間隔=1/2B秒。這些樣值包含了原信號(hào)的全部信息。具體證明過(guò)程如下：以下的信號(hào)以頻帶有限的信號(hào)。設(shè)其帶寬為BHz。即理想情況下，頻域中，超過(guò)f=B就絕對(duì)沒(méi)有任何頻率分量(實(shí)際波形中，超過(guò)BHz后，頻率分量幅度迅速下降，也可視為信號(hào)帶寬=B)。1,原信號(hào)轉(zhuǎn)換成抽樣點(diǎn)時(shí)，即抽樣速率為多少對(duì)周期信號(hào)f(t)抽樣時(shí)，只要抽樣速率f0>=2B,則抽樣不會(huì)損害其信息含量。1/2B為抽樣間隔。設(shè)周期脈沖信號(hào)為S(t),脈沖幅度為1,寬度

38、為g周期T=1/f0則抽樣后信號(hào)為fs(t)=f(t)S(t)oRt),S(t)都可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)(公式1),根據(jù)傅立葉頻譜搬移原理，可以得到fs(t)的傅立葉變換為,.a每一項(xiàng)的中心位于抽樣頻率的倍數(shù)點(diǎn)上。所以：對(duì)f(t)抽樣的效果是使其頻譜搬移至IJ抽樣頻率的所有t皆波上。頻譜沿原先的頻率線對(duì)稱的分布。而對(duì)于非周期函數(shù)f抽樣，也有類似效果。頻譜如下:圖3-5當(dāng)抽樣速率下降時(shí)，f0及所有諧波都會(huì)互相靠攏，則上圖中各頻譜分量會(huì)重疊在一起，比如中心位于f0的分量F(W+W0)會(huì)同中心位于原點(diǎn)的未偏移項(xiàng)F(W)相混，這樣就不能從Fs(W)中分出F(W),也就不可能從fs(t)中恢復(fù)f(t)。這

39、種因抽樣間隔太寬而引起頻譜重疊并導(dǎo)致失真的現(xiàn)象稱為混淆。而開(kāi)始相混的極限頻率，可從上圖中看出f0-B=B,即f0=2B。這就是奈奎斯特抽樣速率。解釋：上面說(shuō)明了，抽樣的過(guò)程即周期脈沖信號(hào)(抽樣信號(hào))與原信號(hào)(信息信號(hào))相乘，產(chǎn)生的結(jié)果信號(hào)：在頻域上，會(huì)保留原信號(hào)的所有信息(即其頻域分量會(huì)全部保留)，但頻譜捌殳移至U抽樣頻率的所有諧波上。即：以抽樣信號(hào)的頻譜各頻率點(diǎn)為中心，每個(gè)頻率點(diǎn)的上下邊帶都會(huì)保留全部的原信號(hào)頻譜信息。因?yàn)樯舷逻厧У拇嬖?，所以從?shù)學(xué)上看，要避免頻譜分量重疊的辦法只有讓抽樣信號(hào)的頻譜間隔為2B,即f=2B,它也是抽樣信號(hào)的基波頻率(見(jiàn)基波的定義部分)，即時(shí)域信號(hào)的速率.如果抽樣

40、速率較小，則抽樣信號(hào)的帶寬變小，諧波的頻率分量會(huì)更緊密的靠在一起。則很容易發(fā)生，原信號(hào)抽樣后，頻譜分量容易重疊在一起。如抽樣速率較大，則抽樣信號(hào)諧波的頻率分量間隔會(huì)增大，如上圖中的間隔。原信號(hào)抽樣后，不易發(fā)生重疊。抽樣速率不需要越大越好。因?yàn)槟菢訋捥?。并且只需要一個(gè)頻率分量的上下邊帶就可完全恢復(fù)原信號(hào)，比如上圖中fc、2fc左右邊帶就是無(wú)用的，在反傅立葉變換時(shí)只需要0點(diǎn)左右的頻譜分量作為輸入數(shù)據(jù)即可。2,從抽樣點(diǎn)可以得到周期信號(hào)的證明過(guò)程如下：注：抽樣點(diǎn)可以是非周期性的取得，比如每隔幾秒開(kāi)始抽樣也可以。已證明：每秒任何2B個(gè)獨(dú)立樣值就可完全表示一個(gè)頻帶有限的信號(hào)。或：完全規(guī)定一個(gè)T秒長(zhǎng)間隔

41、上的信號(hào)，只需要任何2BT個(gè)單獨(dú)的(獨(dú)立的)信息樣值。證明過(guò)程如下：設(shè)T秒時(shí)間上頻帶有限信號(hào)為f(t),(即非周期信號(hào))，它可以展開(kāi)成以T為周期的傅立葉級(jí)數(shù)，由于頻帶有限，則傅立葉級(jí)數(shù)中的項(xiàng)數(shù)是有限的，即諧波是有限的，也即頻譜中頻率點(diǎn)是有限的。,因?yàn)锽是f的最高頻率分量，則Wn=2p舊（當(dāng)n最大時(shí)），此時(shí)2P舊=2pi*n/T,得出n=BT所以：n的最大值是BTo基波C0是直流項(xiàng)，僅改變f的平均電平，不提供任何信息（因?yàn)樾畔⒈硎拘盘?hào)隨時(shí)間的變化）。由于頻譜的對(duì)稱性，所以傅立葉系數(shù)共有2BT個(gè)，即頻譜上的頻率分量共有2BT個(gè)。解釋：1,抽樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)*2=頻域中頻率點(diǎn)的個(gè)數(shù)（含正頻率與負(fù)頻率）2,

42、當(dāng)T=1s時(shí)，只需要2B個(gè)頻譜分量即可恢復(fù)原信號(hào)，即：抽樣后信號(hào)，從頻域變換到時(shí)域后的信息與抽樣前信號(hào)一樣。3,抽樣信號(hào)的解調(diào)即：如何從2BT個(gè)樣值中恢復(fù)原信號(hào)f（t）o通過(guò)傅立葉變換可以證明，在各個(gè)抽樣點(diǎn)（時(shí)間點(diǎn)分別為：1/2B,2/2B.n/2B）給定信號(hào)f時(shí)，對(duì)它們分別FFT之后可以得到相應(yīng)的傅立葉系數(shù)Cn或F（w）o如下：而對(duì)Cn或F（w）進(jìn)行傅立葉反變換，可以得到所有可能時(shí)間上的Rt）解釋：反變換之前是頻域，沒(méi)有時(shí)間參數(shù)。反變換之后則是時(shí)域的連續(xù)信號(hào)。這里的方法是：從頻域的離散頻譜反變換后生成時(shí)域的連續(xù)信號(hào)。而頻域信號(hào)來(lái)自于時(shí)域的抽樣值。所以，連續(xù)信號(hào)f先抽樣，再FFT,然后再I(mǎi)FF

43、T可以得到原時(shí)域信號(hào)f（t）o上述過(guò)程已經(jīng)證明：用時(shí)間相隔1/2B的各個(gè)抽樣點(diǎn)上的f信號(hào)就足以確定所有時(shí)間的Rt）。上述過(guò)程已經(jīng)證明，讓信號(hào)樣值通過(guò)一個(gè)帶寬為Bhz的理想低通濾波器，可以再現(xiàn)原信號(hào)f（t）。這就是解即：N個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過(guò)FFT之后，頻譜上得到N個(gè)頻率點(diǎn)的幅值，反變換到時(shí)域得到連續(xù)函數(shù)f（t）o采樣速率越高或采樣點(diǎn)數(shù)越多，相當(dāng)于從頻域反變換到時(shí)域時(shí)得到的諧波越多，疊加后得到的Rt）更像原信號(hào)。比如：原信號(hào)帶寬500Hz,時(shí)域的采樣頻率則應(yīng)為1024Hz（則1秒內(nèi)得到的采樣點(diǎn)為1024個(gè)），那么根據(jù)采樣點(diǎn)變換到頻域后最大帶寬應(yīng)該為1024（解釋：因?yàn)榘l(fā)生了頻譜搬移。）1秒時(shí)間的采樣，

44、得到1024個(gè)采樣點(diǎn)，F(xiàn)FT變換到頻域后得到1024個(gè)頻率點(diǎn)，橫坐標(biāo)的頻率的最大值是采樣頻率1024Hz,從小到大分別是：0Hz,1Hz,2Hz.1024Hz。而2秒時(shí)間的采樣，得到2048個(gè)采樣點(diǎn)，F(xiàn)FT變換到頻域后得到2048個(gè)采樣點(diǎn)，橫坐標(biāo)的頻率的最大值仍是采樣頻率1024Hz，從小到大分別是：0Hz,0.5Hz,1Hz,1.5Hz,2Hz.1024Hz。頻率點(diǎn)之間的間隔是0.5hz。因?yàn)?，最大帶寬W與采樣時(shí)間無(wú)關(guān)，總是恒定值，當(dāng)頻譜上頻率點(diǎn)n的次數(shù)增加時(shí)，頻率點(diǎn)之間間隔只能縮短。所以：在采樣率確定的情況下：采樣時(shí)間越長(zhǎng)，頻域的頻率點(diǎn)越多，即頻率分辨率（即：兩個(gè)頻率點(diǎn)之間的間隔）越高。

45、恢復(fù)到時(shí)域后諧波更多。結(jié)論：頻域頻率分辨率要精確到xHz,則需要采樣長(zhǎng)度為1/x秒的信號(hào)，再做FFT變換到頻域。實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)實(shí)時(shí)處理的要求較高，可采用：采樣比較短時(shí)間的信號(hào)，然后在后面補(bǔ)充一定量的為采樣點(diǎn)，使其長(zhǎng)度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù)。這也可以提高頻率分辨率。如果想用時(shí)分復(fù)用的方式來(lái)同時(shí)傳送多路信號(hào)，在每路信號(hào)的抽樣間隔中，可以用來(lái)傳送其它信號(hào)的抽樣點(diǎn)。傅立葉變換與正交性在第一個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)公式中，通過(guò)時(shí)域f信號(hào)求頻譜Cn（先求an,bn）的過(guò)程中利用了三角函數(shù)的正交性。cos（nx）,sin（nx）就像一個(gè)智能過(guò)濾裝置，只允許和自己完全同頻率的函數(shù)通過(guò)（可以得到這個(gè)頻率的頻域信號(hào)），將其余的頻率完

46、全正交化為0。這是傅立葉變換的原理與正交化的重要意義所在。傅立葉變換的思想總結(jié)與優(yōu)點(diǎn)傅立葉認(rèn)為：任何周期信號(hào)都可用成諧波關(guān)系的正弦函數(shù)級(jí)數(shù)來(lái)表示。而非周期信號(hào)是不全成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)積分。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。疊加是指原始信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位在時(shí)域的累加。解釋：時(shí)域上原信號(hào)波形，看起來(lái)頻率是固定的，但實(shí)際上信號(hào)波形只表達(dá)了二

47、維空間，而在三維空間中，還有一個(gè)軸是頻率軸，所以在頻率軸上每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的時(shí)域諧波信號(hào)）解釋：一般可以這樣看：時(shí)域沒(méi)有頻率，只有周期與時(shí)鐘頻率。頻域沒(méi)有周期，只有頻率。傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)分別進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。傅立葉的優(yōu)點(diǎn)是：* 傅里葉變換屬于諧波分析。* 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；* 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)，從

48、而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲?。? 卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；* 線性性質(zhì)：兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和* 頻移T質(zhì)（見(jiàn)下）* 微分關(guān)系：原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的傅立葉變換間的關(guān)系。* 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT）.解釋：傅立葉給出的定理大致是，任意一個(gè)周期函數(shù)都可以表示為sin與cos的無(wú)窮級(jí)數(shù)。前者（周期函數(shù)）是時(shí)域的表示方法。后者（sin與cos的無(wú)窮級(jí)數(shù)）是頻域的表示方法。時(shí)域，有周期T（時(shí)間），就有頻率f=1/T的概念.數(shù)學(xué)上任何相乘=1的東西都是互相垂直，也叫正交所以時(shí)域坐標(biāo)想象成立方體的一個(gè)面，那么頻域坐標(biāo)系一定是其相鄰垂直的另一個(gè)面.換個(gè)說(shuō)法，任何一個(gè)時(shí)域里的周期函數(shù)f（t）,可以拆分得到一系列sin跟cos的疊加時(shí)域與頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以舉例：南郭先生吹竽的故事。齊宣王喜歡聽(tīng)合奏，南郭先生也可混在里面；齊宣王死了之后，就是齊泯王了，齊泯王要聽(tīng)獨(dú)奏，南郭先生就跑了（濾波了）。傅里葉變