2022年高考數(shù)學總復習數(shù)學亮點試題（函數(shù)）

1、2022年高考復習數(shù)學亮點試題函數(shù)函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容。在整個中學數(shù)學課程中充當著聯(lián)系 各部分代數(shù)知識的"紐帶"，同時也為解析幾何學習中所需的數(shù)、形結合 思想奠定了基礎。函數(shù)是高中數(shù)學的主線，是每年高考必考查的重點 內(nèi)容之一，函數(shù)與方程、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與不等式的相互滲透和交 叉一直是高考的熱點，近年來抽象函數(shù)問題、函數(shù)與向量結合、函數(shù) 與概率統(tǒng)計結合、探索創(chuàng)新性問題又成為新的視點，可以說是?？汲?新。隨著新教材課程改革的不斷向前發(fā)展，高考函數(shù)命題已從理論和 實踐上發(fā)生了深刻的變化，給函數(shù)問題注入了生機和活力，開辟了許 多新的解題途徑，拓寬了高考對函數(shù)問題的命題空間。下

2、面結合2009 年全國各省的高考試題，探討高考函數(shù)問題命題新的趨勢，供復習時 參考。1對函數(shù)定義的深化理解與函數(shù)圖象的靈活運用的問題1.(2009年高考數(shù)學陜西卷)定義在R上的偶函數(shù)7(x)滿足：對任意的 ,x2 e(-oo,0(x, * kJ,有(9一士)(/(尤2)-/(E)>。則當 w/V* 時，有(A) /(-«)</(«-1) </(n + l)(B)-1)</(-)</(+ 1)(C) /(»+1)< /(-«) < f(n -1)(D)/(« + 1)</(«-1)<

3、/(-«)【答案：】C解析：%，w 6(-oo,0( x2) > (x2 - %1 )(/(x2) - /(%1) > 0o 電Xi時，/(%2)/(百)u> /(x)在(一°°,0為增函數(shù)/(x)為偶函數(shù)=> /(X)在(0, + 8為減函數(shù)而n+lnnT>0,，f (駕+1) <f(n)< fn-Y) = /(n+1) < f(-n) < f(n-1)2. （2009年高考數(shù)學山東卷）函數(shù)y =與二的圖象大致為（）.e - e【解析】：函數(shù)有意義需使婷-1，0,其定義域為卜|»0,排除C,D,又因

4、為y = 3a = F = l + -所以當x>0時函數(shù)為減函數(shù)，故選A."5 X X ZX 1I 'e -e e -1 e 1答案:A.【命題立意】：本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調 性等性質.本題的難點在于給出的函數(shù)比較復雜，需要對其先變形，再在 定義域內(nèi)對其進行考察其余的性質.3. （2009年高考數(shù)學江西卷）如圖所示，一質點F（x,y）在“伽平面上沿 曲線運動，速度大小不變，其在x軸上的投影點Q（x,0）的運動速度 V = V的圖象大致為Q(x,0)*ABCD答案：B【解析】由圖可知，當質點P(x,y)在兩個封閉曲線上運動時，投影點 Q(尤,0)

5、的速度先由正到0、到負數(shù)，再到0,到正，故A錯誤；質 點P(x,y)在終點的速度是由大到小接近0,故。錯誤；質點P(x,y)在 開始時沿直線運動，故投影點Q(x,0)的速度為常數(shù)，因此C是錯誤 的，故選B.4. (2009年高考數(shù)學江西卷)設函數(shù)/3=，立+字+ /<0)的定義域為 D,若所有點(s,/Q)(s,fe£>)構成一個正方形區(qū)域，貝h的值為A. -2B. -4C. -8D.不能確定答案：B【解析】|占 - w 1= ZnaxS)，一產(chǎn)' 1。1=2>/，a = 4 選 B5 .(2009年高考數(shù)學山東卷)若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且

6、a# 1)有兩個零點， 則實數(shù)a的取值范圍是 t【解析】：設函數(shù)y = av(a>0,且”1和函數(shù)y = x+a，則函數(shù) f(x)=a1 -x-a(a>0且ax 1)有兩個零點，就是函數(shù)> =優(yōu)3>0,且“1與函數(shù) y = x+a有兩個交點,由圖象可知當0<。<1時兩函數(shù)只有一個交點，不符合，當。>1時，因為函數(shù)y = *a>l)的圖象過點(0,1),而直線y = x + a所過的點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點.所以實數(shù)a的取值范圍 是a> 1答案:a>【命題立意】：本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關系，隱含著對

7、指數(shù)函數(shù)的性質的考查，根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的 圖象解答.2函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性和對稱性的綜合應用問題新課標高考中，求函數(shù)的值域(或最值)及活用奇偶性、單調性、 周期性及對稱性成為熱點問題，重點考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù) 函數(shù)、分段函數(shù)及抽象函數(shù)的有關性質，并且利用函數(shù)性質靈活解題. 函數(shù)的單調性常用來判斷、證明、比較大小，求單調區(qū)間及有關參數(shù) 的范圍，奇偶性則經(jīng)常擴展到圖象的對稱性，且與單調性和周期性聯(lián) 系在一起，解決較復雜的問題.尤其值得注意的是，凡涉及到函數(shù)、方 程和不等式的問題，必須首先考慮定義域，這也是學生解決問題時容 易忽略的地方.6 .(2009年高考數(shù)

8、學山東卷)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足 /。-4) = -/(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間 -8,8上有四個不同的根苞,工2，覆，*4，則% +x2+Xj+x4=.【解析】：因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(x-4) = -/(x),所以 /(x-4) = /(-x),所以，由/(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關于直線x=2對稱 且/(0) = 0,由/。-4) = -)知/(-8) = /),所以函數(shù)是以8為周期的周 期函數(shù)，又因為/(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間12,0上也是增函數(shù).如圖所示，那么方程f(x)=m(m0)在區(qū)間-8,8上

9、有四個不同的 根司,毛,七，巧，不妨設王 工2 覆與由對稱性知玉+ %2 = T2覆+X4 = 4所以 Xy + / + 七 + %4 = - 12 + 4 = 8【命題立意】：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調性，對稱性,周期性，以 及由函數(shù)圖象解答方程問題，運用數(shù)形結合的思想和函數(shù)與方程的思 想解答問題.7 .(2009年高考數(shù)學山東卷)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x)=log2(l-x),x<0/(x-l)-/(x-2),x>0，則/ (2009)的值為(A.-1B. 0C.lD. 2【解析】：由已知得了(-1) = 1嗚2 = 1,/(0) = 0,八1) = /(0)-

10、/(-1) = -1, /= /(1)-/(0) = -1, /(3) = /(2)- /(1) = -1-(-1) = 0, /(4) = /(3)-/(2) = 0-(-1) = 1, /(5) = /(4) 一 /(3) = 1 ,/(6) = /(5) - /(4) = 0,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復性出現(xiàn).，所以f (2009) =f (5) =1,故 選C.答案:C.【命題立意】：本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對數(shù)的運算./(%一4) = -/(此,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ).A./(-25)</(l 1)</(80)B. /(80)</(11

11、)</(-25)C. /(11)</(80)</(-25)D. /(-25)</(80)</(11)解析】：因為/(%)滿足/(x-4) = -/(x),所以/(x-8) = /(%)，所以函數(shù)是以 8為周期的周期函數(shù)，則/(-25) = /(-1),/(80) = /(0),/(11)=八3),又因為 /(x)在 R 上是奇函數(shù),/(0) = 0,/(80) = /(0) = 0,/(-25) = /(-I) = -/(D/ 而由 /(x-4) = -/(x)得/(11)=八3) = -/(-3) = -/d-4) = /(D，又因為 f(x)在 區(qū)間0,2上是

12、增函數(shù)，所以/(1)>/(0)=0 ,所以-/<0 ,即 f(-25)<f(80)故選 D.答案:D.【命題立意】：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性等性質, 運用化歸的數(shù)學思想和數(shù)形結合的思想解答問題.3以分段函數(shù)為主線的問題r 79. (2009天津卷文)設函數(shù)/(x)= x、4x + 6,xN0則不等式/(幻>/的 x + 6, x < 0解集是()A (-3,1) u (3,+oo)B (-3,1) u (2,+oo)C (-l,l)u(3,+oo)D (-oo,-3) u (1,3)【答案】A【解析】由已知,函數(shù)先增后減再增當xNO, /(x)N

13、2/=3令/=3, 解得x = I,x = 3 o 當x<0, x + 6 = 3,x = 3故/(x)>/=3，解得-3<x<l或x>3【考點定位】本試題考查分段函數(shù)的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解。0.1 + 151n,(% < 6)10. (2009年高考數(shù)學上海卷)有時可用函數(shù)/(x)="一"x-4.4 , 八-,U>6).x-4描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數(shù)(xgN*), /表示對該學科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學科知識 有關。(1)證明：當xN7時，掌握程度的增加量/(x + 1

14、)-/(x)總是下降；(2)根據(jù)經(jīng)驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為(115,(121 121,127,(121,133 o當學習某學科知識6次時,掌握程度 是85%,請確定相應的學科。證明(1)當XN7時，f(x + )-f(x) = 一- (x-3)(x-4)而當x2 7時，函數(shù)y = (x-3)(x-4)單調遞增，且(x-3)(x-4) >0故/(X+1) -/單調遞減當XN7時，掌握程度的增長量/(X+D-/(x)總是下降(2)由題意可知 0.1+15ln'-=0.85 a-6整理得，_ = e0°5 a 60.05解得 a = 6 = 20.50 x6

15、 = 123.0,123.0g(121,1 27J e -1由此可知，該學科是乙學科4以抽象函數(shù)為主線的問題11. (2009年高考數(shù)學四川卷)已知函數(shù)/(x)是定義在實數(shù)集/?上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)X都有獷(x + l) = (l + x)/(x),則/(/($)的 值是()()(A.OB.-C.l D.-22【考點定位】本小題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值之賦值法，綜合題。(同文12)解析：令* = 一；，則一；/(；)= ；/(一；)= ；/(；)=八；)=0；令x = 0,則 /(0)= 0« I 1_由 (+1) = (1 + 為/(%)得/(*+1) =/(X),所以

16、X53=/(/(1)= /(0) = 0 , 故選擇 Ao2212. (2009年高考數(shù)學全國卷I )函數(shù)的定義域為R,若/(x+1)與 都是奇函數(shù)，貝弘 )(A) /(x)是偶函數(shù)(B) /(x)是奇函數(shù)(C) /(x) = /(x+2)(D) /(x+3)是奇函數(shù)解：/(x+1) 與 /(x-1) 都是奇 函數(shù)，./(-X+1) = -/(x+l),/(-x-l) = -/(x-1),.函數(shù)/(x)關于點(1,0),及點(-1,0)對稱，函數(shù)/(x)是周期7 = 21-(-1)=4 的周期函數(shù)./(一x-l + 4) = /(x-1 + 4), /(-x + 3) = -/(%+3),即/

17、(x + 3)是 奇函數(shù)。故選D13. (2009年高考數(shù)學江西卷)已知函數(shù)/(x)是(to,收o)上的偶函數(shù)，若 對于 x2 0,都有/(x + 2) = /(x),且當 xw0,2)時，/(x) = log2(x+i),則/(-2008) +/(2009)的值為()A. -2B. -1C. 1D. 2答案：C【解析】/(-2008) + /(2009) = f(0) + f(l) = log"log；=l做選 C.點評：本題融抽象函數(shù)、函數(shù)的單調性、數(shù)列等知識于一體，解題 思路是：賦值(化抽象為具體)f作恒等變形f逆用函數(shù)單調性將函數(shù)關 系式轉化為自變量間的關系式(數(shù)列中an與S

18、n的關系)。利用抽象條件, 通過合理賦值(賦具體值或代數(shù)式)、整體思考、找一個具體函數(shù)原型等 方法去探究函數(shù)的性質。如奇偶性、周期性、單調性、對稱性等，再 運用相關性質去解決有關問題，是求解抽象函數(shù)問題的常規(guī)思路。其 中合理賦值起關鍵性的作用。對抽象函數(shù)問題的考查在近幾年高考中 有逐年增加數(shù)量的趨勢。5以三次函數(shù)為主線的問題14.(2009年高考數(shù)學山東卷)已知函數(shù)/(x) = go?+bx2+x+3,其中(1)當“力滿足什么條件時,/(x)取得極值？(2)已知a>0,且/(x)在區(qū)間(0,1上單調遞增，試用n表示出b的取值范 圍.解：(1)由已知得八%)=d + 2" + 1

19、,令/”(x)=0,得ar? +2" + 1 = 0,/(%)要取得極值,方程辦2 +次+1 =()必須有解,所以 = 4Z?2 -4 >0,即2 >%此時方程ar? +2Z?x + l = 0的根為_ -2b-飛4b2 -4a _jb2 -a_ -2b + “Z? -4a _ 一力 +-a12aa 9 22aa所以/'(x) = (x X )(x-x2)當a0時,X(-°0,X1)X1(X1,X2)X2僅2,+8)f'(x)+00+f(X)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以/(X)在X1, X2處分別取得極大值和極小值.當”0時,X(-00,X

20、2)X2(X2,X1)X1(Xl, + 8)f'(x)一0+0一f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以/(%)在x 1, X2處分別取得極大值和極小值.綜上，當a力滿足。? >"時，/(x)取得極值.(2)要使/(%)在區(qū)間(0,1上單調遞增，需使fx)=/+ 2版+1 n 0在(0,1上恒 ,p- -1-成乂.即此一與;,X(0,l恒成立，所以2(-與 2 2x2 2xa 2x2:a /、 奴 1 八 a 1設 g(x)= W，g(x) = -5 + * =令屋(x) = ()得x =或工=-舍去), yja yla當a>l時,0<!< a1,當

21、xe(0,2)時屋(x)>0,g(x) = -單調增函數(shù);當 x e (-L,l時 g '(x) < 0, g(x)= -竺-單調減函數(shù), yja2 2x所以當時，g(x)取得最大，最大值為=-a .所以之一6當0<aWl時,21,此時g，(x)NO在區(qū)間(0,1恒成立，所以g(x) =-竺-工 Ja2 2x在區(qū)間(0,1上單調遞增，當x = l時g(x)最大，最大值為g6 = -,所以2綜上，當 a>l 時，b>-y; 當 0<aWl 時，b>-【命題立意】：本題為三次函數(shù),利用求導的方法研究函數(shù)的極值、單調 性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單

22、調函數(shù)，則導函數(shù)在該區(qū)間上的符 號確定，從而轉為不等式恒成立,再轉為函數(shù)研究最值.運用函數(shù)與方程 的思想，化歸思想和分類討論的思想解答問題.15. (2009年高考數(shù)學天津卷)(本小題滿分12分)設函數(shù)/(尤)=-；X3 +X2 +(/ -1)X,(XG 4)其中7>0(I )當加=1時，曲線y = /(x)在點(1, f (1)處的切線斜率(II)求函數(shù)的單調區(qū)間與極值；(III)已知函數(shù)/(x)有三個互不相同的零點0,七,吃，且再<。若 對任意的xe區(qū),超,/(x)>/恒成立，求m的取值范圍?！敬鸢浮?1)1(2) /(x)在(-oo,l - m)和(1 + m,+<

23、;x>)內(nèi)減函數(shù),在(1 + m)內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)/(%)在x = l + m處取得極大值/(I+ M，且 /(I + w) = m3 + m2 -函數(shù)/(x)在x = l-m處取得極小值/(I-ni),且/(I-=-；疝+m2 - 【解析】解：當= 1時，/'(X)=，尤3(X)= / +2無，故/''=1所以曲線y = /(x)在點(1, /)處的切線斜率為1.(2)解：/ (x) = -X2 + 2x + /?22 -1,令八幻=0,得至 lX = 1 2,X= 1因為2 > 0,所以1 +m> 1 -6當X變化時，/(x),/1(x)的變化情況如

24、下表：X(00,1 ni)(1 zn,l + z)1 +團(1 + 機,+8)/(X)+0-0+f(x)、極小值極大值f(x)在(-00,1 - m)和(1 +m,+8)內(nèi)減函數(shù)，在(1 - /nJ + ni)內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)/(x)在x = 1 + "7處取得極大值/(I + m) 9且/(I + m)=2/+*函數(shù)f(x)在x = 1-zn處取得極小值,且= +療-g (3)解：由題設，/(x) = x(-x2 +x+ m2 -1) = -x(x-x,)(x-x2)所以方程呈+% +4-1=0由兩個相異的實根%,*2,故X + %2 = 3,且 =1+3(加2-)>0,解得加

25、<_!_(舍)，W>1 322因為玉 v /，所以2% > X)4- x2 = 3,故/ > > J若玉41<片,貝曠=_$1_再)(1_%2)20，而/(為)=0,不合題意若1<$ <松則對任意的XGpC,/有X-Xx > 0,x-x2 < 0,則 /(x) =-%(%-%)(%-%2) > 0 X /(x,) = 0 ,所以函數(shù)/(x)在彳區(qū), 的最小值為0,于是對任意的尤，/(x) >/恒成立的充要條件是 /(I) = m2 -g < 0，解得 一 <m<綜上，m的取值范圍是(；，4)數(shù)與方程的根的

26、關系解不等式等基礎知識，考查綜合分析問題和解決 問題的能力。16. (2009年高考數(shù)學福建卷)已知函數(shù)/a) = +辦2+法,且尸(一1)= 0(1)試用含。的代數(shù)式表示b,并求/(x)的單調區(qū)間；(2 )令” =-1 ,設函數(shù)/(X)在看,工2(須 <r2)處取得極值，記點M (X,/(X), N(x2,/(x2),), % < ? < 9,請仔細觀察曲線在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：(I)若對任意的m e(x” x2),線段MP與曲線/(x)均有異于M,P的公 共點，試確定t的最小值，并證明你的結論；(II)若存在點Q(n/m及x使得線段PQ與

27、曲線/切有異于P、Q的公共點，請直接寫出m的取值范圍(不必給出求解過程) 解法一：(I )依題意，得/。) = /+2"+人由 /(-l) = l-2a + b = O得8= 2a-l.iflj f (x) =x3 + ux + (2a l)x, Ulf (x) = (x + 1)(x + 2a 1).令尸(x) = 0,得x =-1物=1 - 2a.當 3>1 時,l-2a<-l當X變化時，f'(x)與/(x)的變化情況如下表：X(-00,1 2。)(1 功,一 1)(-1,4-00)/'(X)+/(X)單調遞增單調遞減單調遞增由此得，函數(shù)/(x)的單調

28、增區(qū)間為(3-2a)和(-l,+oo),單調減區(qū)間為(1一2。,一1) o當a = l時，1 -2a = -1此時有尸(x)>0恒成立,且僅在x = -l處/(x) = 0 ,故函數(shù)/0)的單調增區(qū)間為R當4<1時，1-為>-1同理可得，函數(shù)/(X)的單調增區(qū)間為(Y0,-1)和(l-2a,+oo),單調減區(qū)間為(-1,1-2a)綜上：當4>1時,函數(shù)/(X)的單調增區(qū)間為(-oo,l-2tz)和(-L+00),單調減區(qū)間為(1 -;當a = l時，函數(shù)/的單調增區(qū)間為R;當a<l時，函數(shù)/(x)的單調增區(qū)間為(-oo,-l)和(1 - 2«,+Q0),

29、單調減區(qū)間為(-1,1 - %).(H )由 a = - 得 /(x)-x?-3x令/(*)=工2-23一3 = 0得玉=-l,x2 = 3由(1)得/(x)增區(qū)間為(fo,-1)和(3,+oo),單調減區(qū)間為(-1,3),所以函數(shù)/(x)在處 =-1,=3取得極值，故M (-1,| ) N(3,-9 )o觀察/(x)的圖象，有如下現(xiàn)象：當m從-1 (不含-1)變化到3時，線段MP的斜率與曲線/G)在點P 處切線的斜率/(x)之差Kmp-/(M的值由正連續(xù)變?yōu)樨?。線段MP與曲線是否有異于H, P的公共點與Kmp 一/(的m正負 有著密切的關聯(lián)；Kmp一/(加)=0對應的位置可能是臨界點，故推測

30、：滿足Kmp fm) 的m就是所求的t最小值,下面給出證明并確定的t最小值.曲線/在 點 P(z, /(?)處的切線斜率 f rri) = M - 2/n - 3 ;線段MP的斜率Kmp 一丁7當Kmp /(加)=0時，解得? = 1或加=2古 r a c -t*工口 斗i/" 4/71 - 5 77廣一477Z直線MP的方程為y = (X +令 g(x) = /(x)-(m 4m-5 nr 4tnXH當帆=2時，g，(x) = x2_2x在上只有一個零點x = 0,可判斷/(x)函數(shù) 在(-1,0)上單調遞增,在(0,2)上單調遞減，又g(-l) = g(2) = (),所以g(x

31、)在 (T,2)上沒有零點，即線段MP與曲線/(x)沒有異于M, P的公共點。當m e(2,3時，g(0) = -r-4w > 0. g(2) = -(m-2)2 < 0所以存在/e(0,2使得g(5) = 0即當me(2,3吐MP與曲線/(x)有異于M,P的公共點綜上，t的最小值為2.(2)類似(1)于中的觀察，可得m的取值范圍為(1,3解法二：(1)同解法一.(2)由a = -1得/(%) = 一一x3-x2-3xt 令 fx) = x1-2x-3=0 » 得 =-1,£ =3 由(1)得的/(x)單調增區(qū)間為(F,-1)和(3,+00),單調減區(qū)間為(-1

32、,3), 所以函數(shù)在處取得極值。故M(/).N(3,-9)(I )直線MP的方程為丫 =加一4，”-5»心馴得x3 -3x2 - (nr -4/n + 4)x-nr + 4m = 0線段MP與曲線f(x)有異于M,P的公共點等價于上述方程在(一 l,m)上有 根,即函數(shù)g(x) = %3 - 3x2 -(m2 - 4m + 4)x -m2 + 4ffl在(T, m)上有 零點.因為函數(shù)g(x)為三次函數(shù)，所以g(x)至多有三個零點,兩個極值點.又g(-l) = g(m) = O.因此，g(x)在(-1,山)上有零點等價于g(x)在內(nèi)恰有 一個極大值點和一個極小值點，即g'(x

33、) = 3x? -6x-("-4»/ + 4) = 0在(1,利)內(nèi)有 兩不相等的實數(shù)根.=36 + 12(療-4m + 4) >0r ,-<m<5等價于 3(-1)2 + 6 -(> -癡 + 4) > 0即 “ 2或m < -1,解得2 <53m2 6w - (m2 - 4m + 4) >07ah>1又因為-1<桃43,所以m的取值范圍為(2,3)從而滿足題設條件的r的最小值為2.點評：以上三題融三次函數(shù)、導數(shù)、不等式、方程等知識于一體, 主要考查導數(shù)在三次函數(shù)的極值與單調性問題中的應用。新增導數(shù)內(nèi) 容后，近幾

34、年高考卷中陸續(xù)出現(xiàn)考查三次函數(shù)的最值、極值、單調性、 圖象等內(nèi)容，導數(shù)為這類問題的解決提供了新的方法。這類問題雖然 難度不大，但具有內(nèi)容新、背景新、方法新等特點。6以向量知識為背景的函數(shù)問題17. (2009年高考數(shù)學四川卷)設V是已知平面M上所有向量的集合， 對于映射KaeV,記。的象為了。若映射/W V滿足：對所 有a、力eV及任意實數(shù)尢都有了(而+ 勿=皿(4)+ /(b),則/稱為平面 M上的線性變換。現(xiàn)有下列命題：設/是平面M上的線性變換，a. beV,則/(a+b) =/(a) + /S)若e是平面M上的單位向量，對a w V,設/'(a) = a + e ,則/是平面M上

35、 的線性變換；對aeV,設，則/是平面M上的線性變換；設/是平面M上的線性變換，asV,則對任意實數(shù)%均有f(ka) = kf(a) o 其中的真命題是 (寫出所有真命題的編號)【答案】【解析】：令丸= =1,則/(a+。) =/(a) +/(b)故是真命題同理，：令2 =匕 =0,則/伏“)=左/(a)故是真命題：V f (a) = -a > 則有/(力=-。f(Aa + jub) = -(Aa + "力=丸 (a) + (-b) = 2f(a) + 麻b)是線性 變換，故是真命題：由/(a) = a + e 9 則有 f(b) = b + ef(Aa + jLib) = (

36、Aa + /jb) + e = /l(a + e) + S + e) - e = Af(a) + 博助e ,e是單位向量，eHO,故是假命題【備考提示】本小題主要考查函數(shù)，對應及高等數(shù)學線性變換的相關 知識，試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學閱讀能力，具 有選拔性質。點評：本題融向量、函數(shù)、導數(shù)、含參數(shù)的不等式等知識于一體，解 題思路是：將向量間的幾何(位置)關系數(shù)量化(坐標關系)，利用導數(shù)研 究函數(shù)的單調性。由于向量具有幾何表示和代數(shù)表示的特點，這就使 其成為近幾年高考表述函數(shù)問題的重要載體。以向量知識為背景的函數(shù)問題常常在高考中作為“把關題"，對此，復習中我們要引起高度重視。7函數(shù)

37、與其他知識網(wǎng)絡交匯點問題現(xiàn)實世界中的問題解決往往不只是由單一的知識能解決，而是需 要幾科或一科內(nèi)的幾個知識綜合起來才能解決.考試說明明確要求 要注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合，高考命題充分體現(xiàn)了這方面的 要求.函數(shù)與其它數(shù)學知識、其它學科知識的結合，滲透大學的數(shù)學知 識聯(lián)系等，這些綜合問題，需要扎實掌握各部分的知識，科學架設橋 梁，全面分析問題，從而達到解決問題的目的.18. (2009高考數(shù)學陜西卷)設曲線y = jcFeN")在點(1, 1)處的切 線與X軸的交點的橫坐標為x“，則蒼 .巧Z的值為()(A) -(B)(C)白(D)l答案:B解析：對y = x"“(eN*

38、)求導得y =( + 1)/,令x = l得在點(1, 1)處的切線 的斜率4= + 1,在點(1, 1 )處的切線方程為y-l = k(x“-l) = (" + l)(x“-l),不妨設 J = 0,= ,7+1 則 %/工2 Xn = X X X.X_-X 11-=,故選 B.234 n n+1 +1【考點定位】本試題考察了導數(shù)的應用，求切線的方程以及錯位相消 的數(shù)學思想。19. 若曲線力=加+而存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)。的取值范圍是.一解析 解析：由題意該函數(shù)的定義域x>0,由/'") = 2如+工。因為存在 X垂直于y軸的切線，故此時斜率為0,問題

39、轉化為x>0范圍內(nèi)導函數(shù) (x) =存在零點。解法1 (圖象法)再將之轉化為g(x) = -2依與(力=，存在交點。當a = 0X不符合題意，當a>0時，如圖1,數(shù)形結合可得顯然沒有交點，當a<0如圖2,此時正好有一個交點，故有a<0應填(f,0)或是a|a<0 o圖1解法2 (分離變量法)上述也可等價于方程2+： = 0在(0,包)內(nèi)有解,顯然可得。=-5G(-OO,0)20. (2009江蘇卷)設a為實數(shù),函數(shù) f(x) = 2x2 +x-a)x-a.若/(0)21,求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；設函數(shù)6(x) = /(x),x(a,+oo),稟段

40、寫卡(不需給出演算步驟)不等式 力(x) 21的解集.【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質、圖象及解一元二次不等 式等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探 索、分析與解決問題的綜合能力。(1)若 /(0)> 1,則一 |1 n °a W -1a >1(2 )當 xN a, f (x) 3廠一2cuc +。，/(%)f(aa>02a2,a>0當xWa時，f(x) = x2 +2ax-cr. /(x)min =/(-a),6?>0 f(a),a<02。,a 2 0 2a2,a<0-2a2,a>0綜上，*濡=<2/

41、,。< 03(3) xe (a,+oo) 時 ， h(x) > 1 得 3%2一2奴+4-120A = 4a2-12(a2-l) = 12-8a2當士當或。冷時，A < 0, X G(4, +00);當一巫 <a< 四時，>(),得：hx-a-)(x-a + )>0 22'J討論得：當4G（日，手）時，解集為（a,+00）；當ae（Y，W）時，解集為3”與紇3里運,+8）； 2233當“小日當時，解集為增運，+8）.21. （2009年高考數(shù)學廣東卷）已知二次函數(shù)y = g（x）的導函數(shù)的圖 像與直線y = 2x平行，且y = g（x）在x =

42、 -l處取得極小值，-1（6工0）.設（1）若曲線y = /（x）上的點尸到點Q（0的距離的最小值為后,求加的值；(2) Z(&eR)如何取值時，函數(shù)y = /(x)-依存在零點，并求出零點.解：(1)依題可設g(X)= (+1尸+加-1( QWO ), 則g'(x) = 2a(x 4-1) = 2ar+ 2a ;又小的圖像與直線y = 2x平行：,2a = 2 a = g(x) = (x +1)2 -F /n -1 = x2 + 2x + m ,/(x) = x4- - + 2 ,XX設尸(qJ，則|PQ=x：+(y0-2)2 =x+(x0+)2文()=2x(； H + 2m

43、 N 2y12m + 2m 2V2 | m +2m A 2當且僅當2/=勺時，|PQ取得最小值，即|PQ|取得最小值四 癡當? > 0 時，J(2& + 2)m = V2 解得 w = V2-1當7<0時，-J(-2V2 + 2)w = V2解得”=-亞 -1(2 )由 y = /(x)-履= (l-k)x+二+ 2 = O(xhO), -M(l-)x2 +2x+/n = 0 (*)當左=1時，方程(*)有一解了 =4，函數(shù)y = /(x)»有一零點x = W；當時，方程(*)有二解oA = 4-4/(l-Z)>0 ,若機>0, k > 1-,

44、m函數(shù)y = f(x)-kx有兩個零點*=-2±44一4皿1心，即 2(1 無)1 i J1 - ?(1 - k)X= k-若6<0，k < 1 -, m函數(shù)y = f(x)-kx有兩個零點-2土,4-4砥12 ,即m( - k)x =；k-l當 Z W1 時,方程(*)有一*解u> A = 4-=。/k = l /m函數(shù)y = /(x)-質有一零點x = h = 'n綜上，當 = 1時，函數(shù)y = /(x)-日有一零點工=-令；k5k< 1- ( /n<0 )時，mm函數(shù)y=/(x)-"有兩個零點"1土/；一心；當A = l

45、_l時，函數(shù)y = x)一日有一零點x = _L = _m.mk-22. (2008年高考數(shù)學江蘇卷第18題)設平面直角坐標系丁中，設二 次函數(shù)f(x) = x2+2x+b(x e R)的圖象與坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交 點的圓記為C。(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；問圓C是否經(jīng)過某定點(其坐標與b無關)？請 證明你的結論解：本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質、圓的方程的求法.(I )令x=0,得拋物線與y軸交點是(0, b)；令/()=£+2%+6 = 0,由題意 bwO 且>(),解得 bVl 且 bwO.(II )設所求圓的一般方程為/+y2+Dx+Ey+

46、尸=0令y=0得/+瓜+f=0這與寸+ 2+人=0是同一個方程，故D = 2, F b.令x =0得丁 +3=0,此方程有一個根為b,代入得出E = b1.所以圓C的方程為f+ V+2x-(b+l)y + Z; = 0.（Ill）圓c必過定點，證明如下：假設圓C過定點（面,打）（如外不依賴于勿，將該點的坐標代入圓C的方程, 并變形為片 + y：+2%-%+優(yōu)1-汽）=0（*）為使（*）式對所有滿足 <1（6x0）的b都成立，必須有1 - %=。， 結合（*）式得片+ y： + 2xy0=。，解得二：或二：2，經(jīng)檢驗知，點（0,1）,（-2,0）均在圓C上，因此圓C過定點。8現(xiàn)實生活中函數(shù)

47、的實際問題23. （2009年高考數(shù)學山東卷）兩縣城A和B相距20km,現(xiàn)計劃在兩縣 城外以AB為直徑的半圓弧&上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市 的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度 為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km,建在C處 的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調查表明：垃圾處理 廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù) 為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系 數(shù)為k，當垃圾處理廠建在&的中點時，對城A和城B的總影響度為 0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1

48、）中函數(shù)的單調性，并判斷弧麓上是否存在一點，使建 在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該 點到城A的距離;若不存在，說明理由。解法一：（1） 如圖，由題意知cr 4 kAC±BC, SC2 =400-x2,y = +-(0<x<20)x 400-廠其中當x = 10&時,y=0.065,所以k=9所以y表示成X的函數(shù)為y = 3 + *_ J(0<x<20) x 400 x(2 ) y- 4 I 99x(-2x) =18/-8(40°-/)2 令，=o 得 X2 400-x2 , - x3 (400-x2)2?(400-

49、x2)2'、'18無4 =8(400-V)2 ,所 以 X2 =160 ,即 x = 4>/io ,當 0<x<4歷 時， 18x4<8(400-x2)2 ,BP1<0所以函數(shù)為單調減函數(shù)，當4#<x<20時, 18/>8(400-犬)2,即">()所以函數(shù)為單調增函數(shù).所以當X = 4而時，即 當C點到城A的距離為4何時，函數(shù)y = ： + _(0<x<20)有最小直 r 400-%解法二：(1)同上.(2 )設機= /, = 400 - x2,則 m+ n = 400, y = + /所以 m n4

50、 9 z4 9、z + 1 rio An 9機、11一、 l 止口 m 土y = + - = ( + -)=13 + (一 + ) >(13 + 12) = 當且僅當m n m n 400400 w n 40016例=%即( =240時取”=".m n /n = 160下面證明函數(shù)y = 臼 + F在(0,160)上為減函數(shù)，在(160,400)上為增 m 400 m函數(shù).、門n 4949設 0<mi<m2<160,貝I %=+-(+)"4 400 -叫 m2 400 - m244 . .99、 4(%-犯)9(犯一%)+ () =- +!叫 m2

51、400-叫 400-根2 mym2 (400 - )(400 -m2)、49i ,、4(400-in,)(400-/n,)-9m.m.)-=(機。一叫)-tt-77-班機2 (400-)(400-，%)mxm2 (400 - mx )(400 -m2)因為 0<mi<m2<160,所以 4(400-nz,)(400-m2)>4x240x2409mm2v。所以4（能需。；贏二普。,所以（嗎-町）>。即y>%函數(shù)尸在4(400 一班)(400 -zn2)- 9，%，%m?(400 一 町)(400 7n2)（0,160）上為減函數(shù).同理，函數(shù)y = & +一在（160,400）上為增函數(shù)，設160<mi<m2<400,貝IJ m