積分變換及場(chǎng)論復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、第一章第一章 傅立葉變換傅立葉變換積分變換積分變換 若函數(shù)若函數(shù) 在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件在任何有限區(qū)間上滿足狄氏條件（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：（即函數(shù)在任何有限區(qū)間上滿足：(1)連續(xù)或只有連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn),(2)至多有有限個(gè)極值點(diǎn)）至多有有限個(gè)極值點(diǎn)）,并且在并且在 上絕對(duì)可積則有：上絕對(duì)可積則有： 一 . FourierFourier積分定理積分定理 ( )f t, 1( )2ii tfeded( )(0)(0)2f ttf tf tt 為連續(xù)點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn) 為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn)二二. Fourier. Fourier變換的定義式變換的定義式( ) ( )(

2、)i tFf tf t edtF F1( )Fourie1 ( )( )2r的逆變換:，i tFFe dFF F( )Fourierf t 的變換:( )( )Fourier( )( )f tFf tF ：一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，稱稱為為一一組組變變換換對(duì)對(duì)。稱稱為為原原像像函函數(shù)數(shù)，稱稱為為像像函函數(shù)數(shù)。記住下面的傅里葉變換對(duì)記住下面的傅里葉變換對(duì), 0000( )112()1( )()1( )e2()()etitittu tiu t eitt 000sin()() =ti 000cos()()t = （1）對(duì)任意的無(wú)窮次可微函數(shù)）對(duì)任意的無(wú)窮次可微函數(shù)( )f t,都有都有 ( ) ( )=0

3、t f t dt f 00() ( )ttf t dtf t （2）函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù),即即( ) t()( )tt 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)三三.1）.線性性質(zhì)線性性質(zhì):2）. 位移性質(zhì)位移性質(zhì):四四 FourierFourier變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)1212( )( )()()f tftFFF F11212( )( )( )( )FFf tftF F若若= =( )F( ) ,f tF F0t為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù), ,則則 00()( )i tf tteFF F（1）象原函數(shù)的位移性質(zhì)）象原函數(shù)的位移性質(zhì)（2）象函數(shù)的位移性質(zhì)）象函數(shù)的位移性質(zhì)若若=( )F( ) ,f tF F0為實(shí)常數(shù)為實(shí)

4、常數(shù), ,則則 00( )()itef tF F F010()( )itFf t eF F設(shè)設(shè)，則則對(duì)對(duì)于于實(shí)實(shí)常常數(shù)數(shù)有有0( )(),f tF F F推論推論0001cos( )()(),2tf tFF F F000sin( )()().2itftFF F F3 3）. .微分性質(zhì)微分性質(zhì)： ( )( )f ti FF F ( )( )lim( )0,tf tFf tF F若，且則則（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)）象原函數(shù)的微分性質(zhì):( )( )lim( )00,1,2,1 ,( )( )ktnnftknftiF F F一般地，若則4 4）. .積分性質(zhì)積分性質(zhì)： ( )( )()( )nnnF

5、it f t F F( )( )Fitf t F F（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)）象函數(shù)的微分性質(zhì): ( )( )tf tiFF F或( )( )( )nnnt f ti FF F或一般地一般地 ( )( )f tFF F設(shè)，lim( )0,ttf t dt若則1( )( ).tf t dtFiF F五五. .卷積的概念卷積的概念1.定義：定義：, 定義定義在在若函數(shù)若函數(shù)1( ),f t2( )f t函數(shù)函數(shù)1( ),f t2( )f t的卷積的卷積,1( )f t2( )f t12( )()ff td上上,2.卷積定理：卷積定理：=2( )F2( )f tF F=1( )F1( )f tF F(

6、1)若若則則11212( )( )( )( )FFf tf tF F1212( )( )( )( )f tf tFFF F=2( )F2( )f tF F=1( )F1( )f tF F(2)則則12121( )( )( )( )2f t f tFFF F若若象原函數(shù)象原函數(shù)( (方程的解方程的解) )象函數(shù)象函數(shù)微分積分方程微分積分方程象函數(shù)的象函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程取取Fourier逆變換逆變換取取Fourier變換變換解代數(shù)解代數(shù)方程方程六六、微分、積分方程的微分、積分方程的Fourier變換解法變換解法第二章第二章 拉普拉斯變換拉普拉斯變換0( )( )stF sf t edt一一.

7、定義式定義式 ( )f t二二.拉普拉斯變換存在定理拉普拉斯變換存在定理 的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù), ,亦即亦即存在常數(shù)存在常數(shù) 若函數(shù)若函數(shù)( )f t滿足下列條件滿足下列條件 在在0t 的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù)的任一有限區(qū)間上連續(xù)或分段連續(xù), , 當(dāng)當(dāng)t 時(shí)時(shí), , ( )f t0,M 及及0C , ,使得使得 0c tf tMet 成立成立, ,則函數(shù)則函數(shù) 的拉氏變換的拉氏變換( )f t0( )( )stF sf t edt在半平面在半平面 上一定存在上一定存在. .此時(shí)右端的積分絕對(duì)收此時(shí)右端的積分絕對(duì)收斂而且一致收斂斂而且一致收斂. .并且在

8、此半平面內(nèi)并且在此半平面內(nèi) 為為解析函數(shù)解析函數(shù) Re s C F s 1t 1u ts三三. 一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換1ktesk1!nnnts22sinkktsk22cossktsk的函數(shù)，即上的周期為是設(shè)Ttf), 0)()( )(0)f tTf tt 則則)0)(Re()(11)(0sdtetfetfTstsT四四. 周期函數(shù)的周期函數(shù)的Laplace變換變換1212( )( )( )( )f tf tF sF s1 線性性質(zhì)線性性質(zhì) , 設(shè)設(shè)為常數(shù)則為常數(shù)則 11212( )( )( )( )F sF sf tf t1( )F s1( )f t 2( )F

9、 s2( )f t 四四.拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)2. 微分性質(zhì)微分性質(zhì)（1）象原函數(shù)的微分性質(zhì)）象原函數(shù)的微分性質(zhì)( )( )(0)ftsF sf L L.)Re(cs ( )(0).tsffL L推論推論( )( )nft L L1(1)( )(0)(0)nnns F ssff )()()(sFstfnn時(shí)，有當(dāng)0)0()0()0()1(nfff2( )( )(0)(0).fts F ssff L L ( )( )f tF s設(shè)設(shè)，L L（2）象函數(shù)的微分性質(zhì)）象函數(shù)的微分性質(zhì)則則( )( )F stf t_ _L L11( )( )()( )nnnFst f t_ _L L(

10、 )( )dtf tF sds L L1( )( )()( )nnnt f tFs L L ( )( )f tF s設(shè)設(shè)，L L1111( )( )( )()( )nnnF sf tFst _ _ _L LL L01則則( )( )tf t dtF ssL L一般地一般地0001次次dd( )d( )tttnttf ttF ssn L L3.積分性質(zhì)積分性質(zhì) ( )( )f tF s設(shè)設(shè)，L L( )( )sf tF s dst則則L L( )( )sf tF s dstL L( )( )nsssf tdsdsF s dstL L ( )( )f tF s設(shè)設(shè)，L L特別地，特別地，在在* *

11、式中令式中令s=0s=0，則，則.)()(00 dssFtdttf (*)4.位移性質(zhì)位移性質(zhì)5. 延遲性質(zhì)延遲性質(zhì)( )()(Re()atf tF sasaceL L ( )( )f tF s設(shè)設(shè)，則則L L ( )( )f tF s設(shè)設(shè)，則則L L () ()( ).sf tu teF s L L0, 對(duì)對(duì)有有 或或1( )() ().seF sf tu t _ _L L 0( )( ),f tF sa若若則則L L 1()().sfatFaaL L 6.相似相似性質(zhì)（補(bǔ)充）性質(zhì)（補(bǔ)充） v 求拉普拉斯逆變換的方法求拉普拉斯逆變換的方法主要有留數(shù)法、部主要有留數(shù)法、部分分式法、查表法等分分

12、式法、查表法等. 102is tif tF s e dsti 五五.拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換拉氏反演積分拉氏反演積分1( )f t2( )f t120( )()tff td 六六. 拉氏變換的卷積與卷積定理拉氏變換的卷積與卷積定理(2)拉氏變換的卷積定理拉氏變換的卷積定理 若若則則 11212( )( )( )( )F s F sf tf t1212( )( )( )( )f tf tF s F s 1( ),F s 1( )f t2( ),F s 2( )f t(1).定義：定義：七七. 拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換的應(yīng)用微分、積分微分、積分方程方程象函數(shù)的象函數(shù)的(代代數(shù)、微分?jǐn)?shù)、微

13、分)方程方程象原函數(shù)象原函數(shù)(方程的解方程的解)象函數(shù)象函數(shù)場(chǎng)場(chǎng) 論論一、數(shù)量場(chǎng)及其等值面在數(shù)量場(chǎng)在數(shù)量場(chǎng) 中，中，( , , )uu x y z稱曲面稱曲面 為該為該( , , )u x y zc數(shù)量場(chǎng)的等值面數(shù)量場(chǎng)的等值面. 在空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)性函數(shù)在空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)性函數(shù)來(lái)表示。來(lái)表示。( , , )uu x y z二、矢量場(chǎng)及其矢量線 1 .在空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)矢量場(chǎng)可用一個(gè)矢性函數(shù)在空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)矢量場(chǎng)可用一個(gè)矢性函數(shù)來(lái)表示。來(lái)表示。( , , )( , , )( , , )( , , )xyzAA x y zA x y z i

14、A x y z jA x y z k2. 矢量場(chǎng)的矢量線矢量場(chǎng)的矢量線矢量線滿足矢量線滿足xyzdxdydzAAA定理定理1則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在 ,coscoscosuuuulxyz且有且有若函數(shù)若函數(shù)( , )uu x y z在點(diǎn)在點(diǎn)0000(,)Mxyz處可微，處可微，曲線曲線C光滑，光滑，uusl( , )uu x y z若在點(diǎn)若在點(diǎn)( , )M x y z處函數(shù)處函數(shù) 可微、可微、l 為為 C 在在 處處 的切線方向（正向），的切線方向（正向），M則則uuuijkxyzgrad u 三三 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度四四 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度ddd dd dSSA dSPyzQzxR xy 散度散度divPQRAxyz五五 矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度LLA d lPdxQdyRdz 環(huán)環(huán)量量環(huán)量面密度環(huán)量面密度()cos()cos()cosnyzzxxyRQPRQPcoscoscosxyzPQR旋度旋度rotijkAxyzPQRA A的雅可比矩陣的雅可比矩陣PPzPxyzQQQD AxyzRRRxyz()yzRQ idiv A ()zxPRj