三四五章習(xí)題解答

1、第三章習(xí)題解答思考題1.（a）僅當(dāng)稀疏矩陣時病態(tài)或者奇異的時候，不選主元的Gauss消去法才會失敗。（b）系數(shù)矩陣是對稱正定的線性方程組總是良態(tài)的。 （c）兩個對稱矩陣的乘積仍然是對稱的。 （d）如果一個矩陣的行列式值很小，則它很接近奇異。 （e）兩個上三角矩陣的乘積仍然是上三角矩陣。（f）一個非奇異上三角矩陣的逆仍然是上三角矩陣。（g）一個奇異的矩陣不可能有LU分解。 （h）奇異矩陣的范數(shù)一定為零。 （i）范數(shù)為零的矩陣一定是零矩陣。（j）一個非奇異的對稱矩陣，如果不是正定的則不能有Cholesky分解。2.全主元Gauss消去法與列主元Gauss消去法的基本區(qū)別是什么？它們各有什么優(yōu)點？解

2、答：區(qū)別：主元的選取方式不同，全主元消去法每步選取絕對值最大的元素作為主元素，列主元消去法每步選取一列中最大的元素作為主元素。優(yōu)勢：全主元算法復(fù)雜，穩(wěn)定性好；列主元算法簡單，穩(wěn)定性差。4.滿足下面的哪個條件，可以判定矩陣接近奇異？（a）矩陣的行列式小； （d）矩陣的條件數(shù)?。╞）矩陣的范數(shù)?。?（e）矩陣的條件數(shù)大（c）矩陣的范數(shù)大； （f）矩陣的元素小解答：（e）矩陣的條件數(shù)大矩陣奇異的本質(zhì)原因是有0特征值，當(dāng)矩陣的某個特征值的模遠小于其他特征值的模，那么這個矩陣就接近奇異。矩陣的條件數(shù)定義為 當(dāng)我們選取因此，矩陣的條件數(shù)越大矩陣越接近奇異。1( )cond AAA2Amax2min()(

3、)()TTA Acond AA A8.Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法相比（a）它們的基本差別是什么 （c）哪種方法更節(jié)省存儲空間（b）哪種方法更適合并行運算 （d）Jacobi方法是否總是更快解答：（a）迭代過程新值使用問題。 （b）Jacobi（c）Gauss-Seidel（d）否習(xí)題4.考慮矩陣 ，試求A的Cholesky分解。解答：方法1：Matlab運行 R=chol（A）R =1.4142 -0.7071 0 0 0 1.2247 -0.8165 0 0 0 1.1547 -0.8660 0 0 0 1.1180方法2：利用Cholesky定義求解211211211

4、2A6.矩陣證明：求解以 為系數(shù)矩陣線性方程組的Jacobi迭代是收斂的，而Gauss-Seidel方法是發(fā)散的；求解以 為系數(shù)矩陣線性方程組的Gauss-Seidel迭代收斂，而Jacobi方法是發(fā)散的。解答： ：Jacobi迭代 Gauss-Seidel迭代 12122211111,222221112AA1A2A1A1022101220BID A ( )01B1022()021002MDLU()21M 矩陣：Jacobi迭代 Gauss-seidel迭代11102210111022BID A 2A5( )12B11102211()0221002MDLU2()12M7.矩陣（a）參數(shù)a取什么

5、值時，矩陣時正定的。（b）a取什么值時，求解以A為系數(shù)矩陣線性方程組的Jacobi迭代是收斂的。解答：（a）A的各階順序主子式大于零，則A為正定矩陣（b）根據(jù)迭代收斂條件111aaAaaaa2210(1) (21)0aaa112a( )1B( )21Ba1122a實驗題4.考慮方程組Hx=b，其中系數(shù)矩陣為Hilbert矩陣，適當(dāng)選擇問題的維數(shù)，并通過首先給定解再定出右端的辦法確定問題。用Gauss消去法（即LU分解）求解方程組，其結(jié)果如何？計算結(jié)果說明了什么？解答：A=hilb(3); %產(chǎn)生三階Hilbert矩陣x=1 2 3; %假設(shè)解向量為xb=A*x; %確定等式右端L U P=lu

6、(A); %矩陣lu分解x_lu=UL(P*b); %根據(jù)lu分解求解x結(jié)果：x_lu =4.3556 -1.1620 -1.0264 說明Hilbert矩陣為病態(tài)矩陣 ,1(), ,1,2,.1i jn ni jHhhi jnij第四章思考題1.（a）對給定的連續(xù)函數(shù)，構(gòu)造等距節(jié)點上的Lagrange插值多項式，節(jié)點數(shù)目越多，得到的插值多項式越接近被逼近函數(shù)。（b）對給定那個的連續(xù)函數(shù)，構(gòu)造其三次樣條插值，則節(jié)點數(shù)目越多，得到的樣條函數(shù)越接近被逼近的函數(shù)。（c）高次的Lagrange插值多項式很常用。（d）樣條函數(shù)插值具有比較好的數(shù)值穩(wěn)定性。 習(xí)題3.以0.1，0.15，0.2為插值節(jié)點，計

7、算 的二次Lagrange插值多項式 ，比較 和 ，問定理4.1的結(jié)果是否適用于本問題。解答：首先構(gòu)造二次Lagrange插值多項式( )f xx2( )P x2(0)P(0)f1230.1,0.15,0.2yyy1(0.15)(0.2)( )(0.1 0.15)(0.1 0.2)xxl x2(0.1)(0.2)( )(0.150.1)(0.150.2)xxlx3(0.1)(0.15)( )(0.20.1)(0.20.15)xxl x321( )( )k kkP xy lx 代入x=0， 根據(jù)定理4.12(0)0.1406P(1)1( )( )( )(1)!nnnfR xxn5223(0)(0

8、)16R22(0)(0)PR5.（a）求 在節(jié)點上的三次自然樣條插值（即 ）。（b）用同樣的數(shù)據(jù)做Lagrange插值。將f（x）及它的三次自然樣條插值和Lagrange多項式插值用Matlab畫出來，比較它們的結(jié)果。解答：( )f xx123452,0.5,0,1.5,2xxxxx 150MM23451.5,0.5,1.5,0.5hhhh2333344454210036312121636123412004363hhhhhhhAhhh020Tb 2344932943MMM 插值比較程序close all;clear all;clc;x=-.2 -.5 0 .5 .2;y=abs(x);x0=-

9、.2:0.01:.2;y0_sp=interp1(x,y,x0,spline);figureplot(x0,y0_sp,b)hold ony0_la=polyinterp(x,y,x0);plot(x0,y0_la,r)-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.200.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 spline interpolationLagrange interpolation實驗題1.考慮本章“交互實驗”中討論的著名問題的非等距節(jié)點Lagrange插值。區(qū)間a,b上的Chebyshev定義為以 為插值節(jié)點構(gòu)造函數(shù)f（x）的

10、Lagrange插值多項式，重做“交互實驗”步驟，比較其結(jié)果。21( ), 1,1125f xxx (21)cos(),1,2,.1222(1)kbabakxknn1,21,.,nx xxclose allclear allclcn=10;x=zeros(n+1,1);for k=1:n+1 x(k)=cos(2*k-1)*pi/2/(n+1);endy=1./(1+25*x.2);x0=-1:0.1:1;y0=polyinterp(x,y,x0);figureplot(x0,y0,r)x1=linspace(-1,1,n+1);y1=1./(1+25*x1.2);y1_u=polyinter

11、p(x1,y1,x0);hold onplot(x0,y1_u,b)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.500.511.52n=10 nonuniform intervaluniform interval2.仍然考慮上述實驗中的著名問題，使用Matlab的函數(shù)“spline”作f（x）的樣條插值。增加插值的節(jié)點，觀察樣條插值的收斂性。close allclear allclcn=10;x=zeros(n+1,1);for k=1:n+1 x(k)=cos(2*k-1)*pi/2/(n+1);endy=1./(1+25*x.2);x0=-1:0.1:1;y0=i

12、nterp1(x,y,x0,spline);plot(x0,y0,r)-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.91 n=10n=30n=903.仍然考慮實驗1中的著名問題。下面的Matlab程序給出了該函數(shù)的二次和三次擬合多項式。x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.2);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,o,xx,yy);xlabel(x);ylabel(y);hold onp3=polyfit(x,y,3);yy=poly

13、val(p3,xx);plot(x,y,o,xx,yy);hold off-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.200.20.40.60.811.2xy第五章思考題1.（a）如果函數(shù)在有限的區(qū)間上連續(xù)，則它的Riemann定積分一定存在。（b）積分的計算總是好條件問題。（c）代數(shù)精度是衡量算法穩(wěn)定性的重要指標(biāo)。（d）梯形方法與兩個節(jié)點的Gauss型方法相比會更加精確。習(xí)題2.確定下列數(shù)值幾分公式中的參數(shù)，使它有盡可能高的代數(shù)精度。（a）（b）解答：（a）（b）101( )()(0)( )hhf x dxA fhA fA f x21012( )()(0)( )hh

14、f x dxA fhA fA f x10111223112023AAAhA hAhA hAhh1104,33hhAAA101112231140163AAAhA hAhA hAhh11084,33hhAAA 3.取N=8,16,32，分別用梯形公式和Simpson公式計算如下的積分。（a） （c）解答：以N=8為例梯形公式：Simpson公式：101xxedxe1.992114dxx7101 ( )( )( )1211127 (0)(1) ( )( ).( )168888xixiehdxf af bhf xefffff7710102 ( )( )( )()1633211127 (0)(1) ( )( ).( )482488811315 ()().()12161616xiixiiehhhhdxf af bf xf xeffffffff2.考慮積分（a）用Matlab函數(shù)ezplot在 上畫被積函數(shù)的圖像；（b）用Matlab的符號計算工具箱，精確計算該積分；（c）如果直接用Matlab函數(shù)quad數(shù)值計算該積分有什么問題？如何設(shè)法克服。解答：（a） y=sym(x*sin(1/x); figure ezplot(y,-