步步高28：正態(tài)分布

1、§12.7正態(tài)分布1.考查根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性計(jì)算概率；2.考查3/原則的實(shí)際應(yīng)用【復(fù)習(xí)備考要這樣做】1.了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念，掌握正態(tài)分布的對(duì)稱性；2.能根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)I要點(diǎn)梳理I1正態(tài)曲線及性質(zhì)14(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)申卩”(x)=2n?_"x2<，xw(8,+g),其中實(shí)數(shù)卩和/9>o)為參數(shù)，我們稱(P(x)的圖象(如圖)為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)： 曲線位于x軸上方，與x軸不相交； 曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對(duì)稱: 曲線在x=處達(dá)到峰值二詈； 曲線與x軸之

2、間的面積為丄_； 當(dāng)。一定時(shí)，曲線隨著卩的變化而沿x軸平移，如圖甲所示； 當(dāng)卩一定時(shí)，曲線的形狀由。確定，O越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；/越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示.2正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b(avb)，隨機(jī)變量X滿足P(a<XWb)=f“，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作XN,決).(2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P(“一”vXW“+o)=0.6826： P(“一2”vXW"+26=0.9544： P«-3ovXW”+3o)=0.9974.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1.正態(tài)曲線

3、的對(duì)稱性1(X-“)21x2正態(tài)曲線的函數(shù)忖”花訂飛很顯然，當(dāng)"=0時(shí)，忖紂二頁(yè)產(chǎn)云2是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱；當(dāng)"工0時(shí)，對(duì)稱軸為x="，所以正態(tài)曲線是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，很多關(guān)于正態(tài)分布的概率問(wèn)題，都是根據(jù)其對(duì)稱性求解2.3o原則通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(“q2)的隨機(jī)變量X只取(”-3o,"+3o)之間的值，并簡(jiǎn)稱為3a原則正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(”-3a,"+3a)之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生I基礎(chǔ)自測(cè)I1. 已知N(0,a2)且P(2W?W0)=0.4,則P(d>2)=.答

4、案0.1解析.P(0WWW2)=P(-2W?W0)=0.4,AP(>2)=|(1-2X0.4)=0.1.2. 若XN(0,1),且P(Xv1.54)=0.9382,則P(IXIv1.54)=.答案0.8764解析由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知P(X21.54)=P(XW-1.54).又P(X21.54)=1-P(Xv1.54)=1-0.9382=0.0618P(XW-1.54)=0.0618,P(IXIv1.54)=P(-1.54vXv1.54)二P(Xvl.54)-P(XW-1.54)=0.9382-0.0618=0.8764.3. 設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)fx)的圖象，且?guī)坠?=

5、急_仁10)2，貝y這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A.10與8B.10與2C.8與10D.2與10答案B1(X-10)21(X-“)2解析由忌-=耳一蒼廠，可知0=2，“=10.4. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(Xvc1),則c等于()A.1B.2C.3D.4答案Bc1c-1解析“=2，由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，于是2=2,.°.c=2.5.已知隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(2,02),且Pv4)=0.8,則P(0vd<2)等于()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案C解析P(d<4)=0.8,PQ4)

6、=0.2,由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,P(d<0)=PQ4)=0.2,.P(0vd<4)=1-P(d<0)-PQ4)=0.6.P(0vd<2)=jp(0<<4)=0.3.題型分類(lèi)深度剖析登陸免費(fèi)聆聽(tīng)名師教你解題題型一正態(tài)曲線的性質(zhì)【例i若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為訂石.(1) 求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2) 求正態(tài)總體在(4,4的概率思維啟迪：要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù),O的值，其中“決定曲線的對(duì)稱軸的位置，。則與曲線的形狀和最大值有關(guān).解(1)由于該正態(tài)分布的概率密

7、度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即“=0.由盍=意4,得"=4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是1x2卩(X)=e-32，用(亠，+呵.(2)P(-4<XW4)=P(0-4<XW0+4)=P(u-o<XW+d)=0.6826.探究提高解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響變式訓(xùn)練1設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(w1，cr2)(1>0)和N2,玄)©。)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有A.嚇卩2,O<o2C.嚀卩2,勺<込答案AB.“<2，竹>込D.陀卩2,竹>0

8、2解析根據(jù)正態(tài)分布N(“，o2)函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線工=對(duì)稱，在x=處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；。越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，。越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A.題型二服從正態(tài)分布的概率計(jì)算【例2】某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示.(1) 求總體隨機(jī)變量的期望和方差；(2) 求成績(jī)X位于區(qū)間(52,68的概率.思維啟迪：根據(jù)正態(tài)分布圖象的特征進(jìn)行求解解(1)從給出的密度曲線圖可知，該正態(tài)曲線關(guān)于x=60對(duì)稱，最大值為4，尸60'點(diǎn)二點(diǎn)解得°F1(x-60)2，(x)=4?2ne32，円°，1°0，總

9、體隨機(jī)變量的期望是”=60，方差是°2=16.(2)成績(jī)X位于區(qū)間(52,68的概率為P(p-2°<XW”+2°)=0.9544.探究提高求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助于正態(tài)曲線的性質(zhì)，找所求概率和參數(shù)“、°的關(guān)系，利用3°原則.變式訓(xùn)練2(1)在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果乙服從正態(tài)分布N(1,°2)(°>0).若乙在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則E在(2,+)上取值的概率為.若X仏9)，則X落在(一R,1U(1,+r)內(nèi)的概率為.答案(1)0.1(2)0.0026解析(1)由正態(tài)分布的特征

10、易得P(>2)=|x1-2P(0<<1)=|x(1-0.8)=0.1.(2)7=0,°=|,AP(X<-1或x>1)=1-P(-1<XW1)=1-P-3°<XW+3°)=1-0.9974=0.0026.題型三正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】已知電燈泡的使用壽命XN(1500,1002)(單位：h).(1)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)燈泡，求它的使用壽命不小于1400小時(shí)的概率；(2)這種燈泡中，使用壽命最長(zhǎng)的占0.13%，這部分燈泡的使用壽命至少為多少小時(shí)？思維啟迪：先求P(Xvl400)，再求P(X21400)；(2)設(shè)使用壽命最長(zhǎng)的燈泡壽命至少為x

11、0小時(shí)，重點(diǎn)分析P(X-1500x0-1500)如何求.解(l)P(Xl400)1-P(1400<XW1600)21+0.68262=0.8413.二1-P(X<1400)(2)設(shè)這部分燈泡的使用壽命至少為x0小時(shí)，則x0>1500，則P(X2x0)=0.13%.P(X-15002x0-1500)1-P(|X-1500|<x0-1500)=2_0=0.13%,P(|X-1500|<x0-1500)=1-0.26%=0.9974，所以x0-1500=300，x0=1800(小時(shí))探究提高解答此類(lèi)題目關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性表示出所給區(qū)間的概率利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí)，

12、要注意正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x=“，只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x=0.變式訓(xùn)練3在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)乙服從正態(tài)分布，即孑n(100,100)，已知滿分為150分(1) 試求考試成績(jī)E位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率；(2) 若這次考試共有2000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)解(1)由dN(100,100)知“=100,o=10.P(80vdW120)=P(100-20v?W100+20)=0.9544,即考試成績(jī)位于區(qū)間(80,120內(nèi)的概率為0.9544.(2)P(90v?W110)=P(100-10v?W100+10)=0.6826,.P(d>110)=

13、2(1-0.6826)=0.1587,.P(&90)=0.6826+0.1587=0.8413.及格人數(shù)為2000X0.84131683(人).易錯(cuò)警示系列18正態(tài)分布中概率計(jì)算錯(cuò)誤典例：(5分)已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(116,64),貝9成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為()A0.3%B0.23%C1.5%D0.13%易錯(cuò)分析解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要有以下兩個(gè)方面：一是對(duì)正態(tài)分布的理解不深刻，不能正確地得出該正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)“和o，導(dǎo)致計(jì)算無(wú)從下手；二是對(duì)正態(tài)分布中隨機(jī)變量在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率數(shù)值記憶不扎實(shí)，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)解析依題意，“二116,8,所以-3o=

14、92，“+3o二140,而服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在3-3o，”+3o)內(nèi)取值的概率約為0.9974，所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間(92,140)內(nèi)的考生所占1-99.74%百分比約為99.74%，從而成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為2-0.13%.答案D溫馨提醒在正態(tài)分布中,數(shù)值計(jì)算問(wèn)題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn),往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤.若隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(“，爐)，那么隨機(jī)變量乙在區(qū)間_o,+o,(p2o,+2o,(w3o,+3o內(nèi)取值的概率分別約為0.6826,0.9544，0.9974，應(yīng)牢記這幾個(gè)概率值，在解決正態(tài)分布問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常用到這類(lèi)數(shù)值的計(jì)算.思想方法感

15、悟提高方法與技巧1(x-")21.熟練地掌握正態(tài)曲線的解析式(p(x)-e-匕孑,x£R.注意結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，特別是寸2no2o2參數(shù)o的一致性.2理解正態(tài)曲線的形狀特征，如對(duì)稱軸、頂點(diǎn)變化趨勢(shì)等3.若XN(",o2)，則P("-o<XW+o)-0.6826,P("-2o<XW+2o)-0.9544,PQ-3°<XWy+3刃二0.9974.失誤與防范在實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行概率、百分比計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)“，/求出，然后確定三個(gè)區(qū)間（范圍）：3/,+刃，2/,+2刃，-3/,+3刃與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解.練出高

16、分A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘，滿分：57分）一、選擇題（每小題5分，共20分）11(xII)2已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)0j(x)=2ne2/2"(xR，ii=1,2,3)的圖象如圖所示，貝()A.1<2=3，/1=/2>/3B. i>2=3，/1=/2</3C. i=2<3，/i</2=/3D.1<2=3，/1=/2</3答案D解析正態(tài)分布密度函數(shù)02（X）和03（X）的圖象都是關(guān)于同一條直線對(duì)稱所以其平均數(shù)相同，故叮出，又02（X）的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值比你的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值大，故有嚇匕二3.又/越大，曲線越“矮胖”，/越小，曲線越

17、“瘦高”，由圖象可知，正態(tài)分布密度函數(shù)0（x）和02（x）的圖象一樣“瘦高”，03（x）明顯“矮胖”，從而可知/1=/2</3.2.設(shè)隨機(jī)變量XN（0，/2），且P（2WXW0）=0.4，則P（0WXW2）的值是（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6答案B解析正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱，P(-2WXW0)二0.4，P(0WXW2)二0.4.3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2WXW4)=0.6826，則P(X>4)等于()A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585答案B解析由于X服從正態(tài)分布N(3,l),故正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x=3.所

18、以P(X>4)=P(X<2),1-P(2WXW4)故P(X>4)=2=0.1587.4.已知隨機(jī)變量N(3,22),若&2"+3,則D(n)等于()A0B1C2D4答案B解析由=2n+3,得D©=4D(n)，而D()=a2=4,.D(n)=1.二、填空題(每小題5分,共15分)5. 某中學(xué)2000名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(120,100)，則此校數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的考生人數(shù)約為.(注：正態(tài)總體N(“，°2)在區(qū)間2o,+2o內(nèi)取值的概率約為0.954)答案46解析因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是10，故在區(qū)間(120-20,12020之外的

19、概率是1-0.954，數(shù)學(xué)成績(jī)1-0.954在140分以上的概率是一2一=0.023，故數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的人數(shù)為2000X0.023=46.6. 隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(1,°2),已知P(d<0)=0.3，則P(d<2)=.答案0.7解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱所以P(d<2)=P(dv0)+P(0vd<1)+P(1vd<2),又P(0vd<1)=P(1vv2)=0.2,所以Pv2)=0.7.7. 商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的某種包裝大米的質(zhì)量(單位：kg)服從正態(tài)分布XN(10,0.12)，任選一袋這種大米，質(zhì)量在9.810.2kg的

20、概率是.答案0.9544解析P(9.8<XW10.2)=P(10-0.2<XW10+0.2)二0.9544.三、解答題（共22分）8. （10分）工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4,問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間（3,5這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？解XN（4,9）,=4,=3.不屬于區(qū)間（3,5的概率為P（XW3）+P（X>5）=1-P（3<XW5）=1-P（4-1<XW4+1）=1-P（p-3o<XW+3o）=1-0.9974=0.00260.003.1000X0.003=3（個(gè)）,即不屬于區(qū)間（3,5這個(gè)尺寸范圍的零件

21、大約有3個(gè)9. （12分）某人乘車(chē)從A地到B地，所需時(shí)間（分鐘）服從正態(tài)分布N（30,100）,求此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率.解由”=30,o=10,P«-o<XW“+o）=0.6826知，此人在20分鐘至40分鐘到達(dá)目的地的概率為0.6826，又由于P-2ovXW+2o）=0.9544，所以此人在10分鐘至20分鐘和40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.9544-0.6826=0.2718，由正態(tài)曲線關(guān)于直線x=30對(duì)稱得此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.1359.B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升（時(shí)間：25分鐘，滿分：43分）一、選擇題（每小題5分，共15分）1

22、.把一正態(tài)曲線q沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到一條新的曲線C2，下列說(shuō)法不正確的是（）A. 曲線C2仍是正態(tài)曲線B. 曲線q,C2的最咼點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C. 以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C1為概率密度曲線的總體的方差大2D. 以曲線C2為概率密度曲線的總體的期望比以曲線q為概率密度曲線的總體的期望大2答案C1(x-")2解析正態(tài)密度函數(shù)為fx)二鬲記-蒼廠，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x="，曲線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為f")二土所以曲線C向右平移2個(gè)單位后，曲線形狀沒(méi)變，仍為正態(tài)曲線，且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f")沒(méi)變，從而。沒(méi)變，所以方差沒(méi)變，而平移前后對(duì)稱

23、軸變了，即"變了，因?yàn)榍€向右平移2個(gè)單位，所以期望值"增大了2.2某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為1(x80)2,(x)=邁石0°一200(xUR)，則下列命題不正確的是()A. 該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分B. 分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C. 分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D. 該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10答案B解析由密度函數(shù)知，均值(期望)"=80，標(biāo)準(zhǔn)差o=10，又曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱，故分?jǐn)?shù)在100分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同

24、，所以B是錯(cuò)誤的.3. 設(shè)隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(",°2),函數(shù)fx)=x2+4x+d沒(méi)有零點(diǎn)的概率是2，則"等于()A.1B.2C.4D.不能確定答案C解析根據(jù)題意，函數(shù)fx)=x2+4x+d沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，/二16-40，即d>4，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，當(dāng)函數(shù)fx)=x2+4x+d沒(méi)有零點(diǎn)的概率是2時(shí)，"=4.二、填空題(每小題5分,共15分)4. 在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果乙服從正態(tài)分布N(1,。2)(。>0).若乙在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則乙在(0,2)內(nèi)取值的概率為.答案0.8解析服從正態(tài)分布N(1,°2),鸞在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4.：(在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4+0.4=0.8.52010年中國(guó)汽車(chē)銷(xiāo)售量達(dá)到1700萬(wàn)輛，汽車(chē)耗油量對(duì)汽車(chē)的銷(xiāo)售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車(chē)制造企