2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何章末提升學(xué)案北師大版選擇性必修第一冊(cè)20

1、-1-/14第第3章空間向量與立體幾何章空間向量與立體幾何2H械恥“gFTI$HEHQ心鞏固層知識(shí)整合cO)玉間向墾的概念|直線的方向向量平行WW提升層題型探究CQD類型1利用空間向量證明垂直與平行【例1】如下列圖在四棱錐PABCD中底面ABCD是正方形側(cè)棱PD丄底面ABCD,PD二DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF丄PB于點(diǎn)F.證明：PAII平面EDB;(2)證明：PB丄平面EFD.空間向粧的運(yùn)算空間向疑運(yùn)篦的坐標(biāo)表亦空間向irtirt的應(yīng)廠|點(diǎn)的坐標(biāo)|空間向量運(yùn)算的出袪則空耐向晁運(yùn)算word-2-/14通過(guò)計(jì)算PBDE=0,西花0,證明PB丄DE,PB丄EF.思路點(diǎn)撥(1)取BD中點(diǎn)G,證明PA

2、llEG.word-3-/14解以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DCDC,DP所在的方向?yàn)閄,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz(如下列圖).設(shè)DC二a.連接AC,交BD于G,連接EG.(aa)依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E0，2,2k22丿因?yàn)镚是正方形ABCD的中心，所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為|,|,0|,且亦00),罔2,0,嶺所以PA二2EG，即PAIIEG,而EG平面EDB且PA平面EDB,所以PAII平面EDB.(2)依題意得B(a,a,0),PB=(a,a,-a),(aa)又DE二0，2,2,k22丿a2a2故PBDE二0+_2-2=0,所以PB丄DE.由EF丄PB,且EFnDE=

3、E,所以PB丄平面EFD.思領(lǐng)悟*、平行與垂直是立體幾何中常見(jiàn)的兩種位置關(guān)系，利用空間向量證明這兩種位置關(guān)系，主要是將其轉(zhuǎn)化為兩空間向量之間的垂直與平行關(guān)系來(lái)求解正確求出直線的方向向量與平面的法向量word-4-/14是求解的關(guān)鍵.跟進(jìn)訓(xùn)練1如圖，在三棱錐PABC中，AB丄BC,AB二BC,點(diǎn)0、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，且0A二OP,0P丄平面ABC.求證：ODII平面PAB.證明因?yàn)锳B二BC,0為AC的中點(diǎn)，所以0B丄AC,0A二OB二0C,如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OA二a,(aa)如此A(a,O,O),B(O,a,O),C(-a,O,O),P(O,O,a),如此D巧，。，2I22丿

4、(aa)所以0D二-,0,2.k22丿設(shè)平面PAB的法向量為n二(x,y,z).nPA二0,如此5AB二0.由于PA二(a,0,-a),AB二(-a,a,0),word-5-/14得n二(1,1,1),word-6-/14所以O(shè)D丄n,因?yàn)镺D不在平面PAB內(nèi)，所以O(shè)DII平面PAB.類型2利用空間向量求空間角【例2】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中,E,F分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中點(diǎn)，求:A”與EF所成角的大小；A】F與平面BEB所成角的正弦值；(3)平面CD”與平面DBB夾角的余弦值.思路點(diǎn)撥通過(guò)相應(yīng)向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算線線角、線面角與二面角.-(11解設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,如

5、此AD=(-1,0,-1),EF二2，_2，A”與EF所成的角是60.1AF=(-1,2，-1),AB二(0,1,0),.cosA”,EFADEF如此cosAF,ABIAFIIABAQEFword-7-/14又AB是平面BB的一個(gè)法向量，1AF與平面BEB所成角的正弦值為3.word-8-/14根據(jù)圖形易得AC廣(-1,1,1)為平面CBD的一個(gè)法向量,AC=(-1,1,0)為平面BBD的一個(gè)法向量.由題圖知平面CD”】與平面DBB的夾角為銳角，利用空間角可對(duì)直線與平面的位置關(guān)系作定量分析， 利用空間向量可將空間角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角來(lái)求解.1求異面直線所成的角：，找出或求出兩異面直線a,b的

6、方向向量V,v2，假2求直線與平面所成的角：，找出或求出直線的一個(gè)方向向量v和平面的一個(gè)法|vn|n向量n，設(shè)直線與平面所成角為0,如此有朮0二同.當(dāng)v，n為銳角時(shí)，0巧-v，nn；當(dāng)v,n為鈍角時(shí)，0二v,巧.3求二面角：，設(shè)叫是平面a的法向量，n2是平面B的法向量，0為二面角的平面角，跟進(jìn)訓(xùn)練2正方體ABCDA1B1C1D1中，求平面ABQ】與平面AfD夾角的余弦值.cosAC】,ACACfACACAC其余弦值為如6為a與b所成的角，如此有cos0二|VV麗，然后求出0即可.如此|cos0|二lnJln2l,0二叫，n2或n-n】,n2，需借助空間幾何體進(jìn)展具體判斷.)33word-9-/

7、14解建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,易得A”二(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A廣(1,0,1),AD廣(0,1,1),設(shè)m=(x1,y1,Z)、n二(x2,y2,z2)分別是平面AB1D1與平面A1BD的法向量，得,|X1+Z1_0,取Z廣-1,得m二(1,1,-1),”1+寧01得2Z20取z2=1,得n二(1,1,1),2=0,2mn1cosm,n=|m而廣3,1平面AB1D1與平面A1BD夾角的余弦值為3.口類型3用空間向量求空間距離【例3】如下列圖，四邊形ABCD、EADM和口MDCF都是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)P、Q分別是ED和AC的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面EFB

8、的距離.思路點(diǎn)撥建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過(guò)平面EFB的法向量用公式求P點(diǎn)到平面EFB的距離.m.AB二0,由JmAD二0B二0由:mAD二0Piword-10-/14解如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，如此D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,word-11-/14aa)-/a、0),M(0,0,a),E(a,0,a),F(0,a,a),如此由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P0O,/Q一-022設(shè)n二 （x,y,z） 是平面EFB的單位法向量，所以n丄EF,且n丄能.又EF=(-a,a,0),匪二(0,-a,a),X2+y2+Z2二1,所以-ax+ay二0,、-ay+az二0,所以點(diǎn)P到平面E

9、FB的距離為|徒n|二1點(diǎn)到直線的距離的向量求法先求直線的方向向量，再在直線上任取一點(diǎn)，與原來(lái)點(diǎn)構(gòu)成向量，利用公式2點(diǎn)到平面的距離的向量求法所以n二)aa)，又PE二-0-2,23，3，3nIPA2-IPA冋|2計(jì)算.word-12-/14先求出平面的法向量，再在面內(nèi)任取一點(diǎn)，與原來(lái)點(diǎn)構(gòu)成向量，此向量在法向量上的投word-13-/14n影的絕對(duì)值，就是點(diǎn)到面的距離，即d二卩人而|.跟進(jìn)訓(xùn)練3如下列圖的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEqF所截而得到的，其中AB二4,BC二2,CC二3,BE二1.求點(diǎn)C到平面AEC】F的距離.解健立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系，如此D(0,0,0),B(2

10、,4,0),A(2,0,0),C(0,可知AE二(0,4,1),EC廣(-2,0,2).設(shè)ni為平面AEC1F的法向量，顯然n1不垂直于平面ADF，故可設(shè)n廣(x,y,1).r1)-n廣|1,-4,1|又CC廣(0,0,3),C到平面AEC1F的距離d二|CCf類型4空間向量與存在性問(wèn)題【例4】 如圖， 四棱錐PABCD中，PA丄面ABCD,底面ABCD是直角梯形,zBAD二/ABC二90,PA由叫応0,護(hù)廣0,4y+1二0,得|-2x+2=0 x=1,word-14-/14二AD二2,AB二BC二1,試問(wèn)在線段PA上是否存在一點(diǎn)M到面PCD的word-15-/14距離為號(hào)3?假如存在，試確定

11、M點(diǎn)的位置；假如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.思路點(diǎn)撥建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)到平面的距離的向量公式列方程，假如方程有解可求M點(diǎn)坐標(biāo)，無(wú)解如此不存在M.解根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系.如此A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0).所以PC=(1,1,-2),PD=(0,2,-2),設(shè)直線AP上有一點(diǎn)M(0,0,z0)，平面PCD的法向量為n二(x,y,z),如此n0rd二,.|2-z0|=1-解得z0=1或z0=3.如此由nPC二0,、nPD二0,fx+y-2z二0,得yS0.取，得心1,1那么，點(diǎn)M到平面PCD的距離為d二|n0MP|二計(jì)J2

12、-z0|word-16-/14當(dāng)z=3時(shí)，M(0,0,3)在線段AP的延長(zhǎng)線上，故舍去;當(dāng)z=1時(shí)，M(0,0,1)是線段AP的中點(diǎn).word-17-/14設(shè)N(0,y,z)，如此MN1,y-1,z-1),綜上所述，線段AP的中點(diǎn)(即點(diǎn)M)到面PCD的距離為廠思領(lǐng)悟“存在不存在是否存在等語(yǔ)句表述，解答這類問(wèn)題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合條件進(jìn)展推理論證，假如導(dǎo)致合理的結(jié)論，如此存在性也隨之解決；假如導(dǎo)致矛盾，如此否認(rèn)了存在性.跟進(jìn)訓(xùn)練4在四棱錐PABCD中，AB丄AD,CD丄AD,PA丄底面ABCD,PA二AD二CD二2AB二2,M為PC的中點(diǎn).求證：BMI

13、I平面PAD;(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN丄平面PBD?假如存在，確定N的位置；假如不存在，說(shuō)明理由.解以A為原點(diǎn)，以AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如此B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1).(1)證明：BMl二(0,1,1),平面PAD的一個(gè)法向量為n二(1,0,0),丄n,又BM平面PAD,.BMII平面PAD.BD二(-1,2,0),PB=(1,0,-2),假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN丄平面PBD.3word-18-/14-(ii)在平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N0,2V，使MN丄平面PBD.匝培優(yōu)層-素養(yǎng)升華心【例】(201