小學奧數(shù)模塊教程四年級杯賽備戰(zhàn)講義——最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)

1、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)一知識框架一、約數(shù)的概念與最大公約數(shù)（0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外）1.求最大公約數(shù)的方法（1）分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來.例如：231=3x7x11,252=2晨32M7,所以（231,252）=37=21;（2）短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘.例如：396,所以（12,18）=2父3=6;32（3）輾轉相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù).用輾轉相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個

2、余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止.那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù).（如果最后的除數(shù)是1,那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的）.例如，求600和1515的最大公約數(shù)：1515+600=2|315;600亍315=1川285;315得285=1川30;285-30=9用15;30£15=2川0;所以1515和600的最大公約數(shù)是15.2 .最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)n,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以n.3 .求一組分數(shù)的最大公約數(shù)先把帶

3、分數(shù)化成假分數(shù)，其他分數(shù)不變；求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)a;求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù)b；b即為所求.a二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)1.求最小公倍數(shù)的方法(1)分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：231=3父7M11,252=22父32M7,所以匕31,252=22M32M7M11=2772；(2)短除法求最小公倍數(shù)；21812例如：396，所以8,12=2m3m3m2=36;32(a,b)2 .最小公倍數(shù)的性質(zhì)(1)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).(2)兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積.(3)兩個數(shù)具有倍數(shù)關系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù).3 .求一

4、組分數(shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；求出各個分數(shù)分子的最小公倍數(shù)a;求出各個分數(shù)分母的最大公約數(shù)b;-a即為所求.例如：3島=儂-=-412(4,12)4注意：兩個最簡分數(shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：|1,-L-1J=4_232,3三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1 .兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果m為A、B的最大公約數(shù)，且A=ma,B=mb,那么a、b互質(zhì)，所以A、B的最小公倍數(shù)為mab,所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關系：M|ABab(1) AMB=maMmb=mxmab,即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這

5、兩個數(shù)的積；(2)最大公約數(shù)是A、B、A+B、A-B及最小公倍數(shù)的約數(shù).2 .兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即(a,b)Ma,b=aMb,此性質(zhì)比較簡單，學生比較容易掌握。3 .對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為(1)奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：5M6M7=210,210就是567的最小公倍數(shù)(2)偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：6M7M8=336,而6,7,8的最小公倍數(shù)為336*2=168性質(zhì)(3)不是一個常見考點，但是也比較有助于學生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關系，即“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一

6、定不會比他們的乘積大”例題精講【例1】寫出72的所有因數(shù)，寫出72的所有質(zhì)因數(shù)【鞏固】寫出48的所有因數(shù)，寫出48的所有質(zhì)因數(shù)?！纠?】用短除法對90進行分解質(zhì)因數(shù)【鞏固】用短除法對90進行分解質(zhì)因數(shù)?！纠?】求(28,36)和28,36【例4】填空：（1）A、B都是自然數(shù)，如果A+B=5,A和B的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。（2）如果m和n是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。（3）數(shù)a和數(shù)b是互質(zhì)數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的（）倍。（4）A=2X3Xa,B=2XaX7,已知A、B的最大公約數(shù)是6,那么a=（）;A和B的最小公倍數(shù)是（）。（5）兩個數(shù)的積是96

7、,它們的最大公因數(shù)是4,則它們的最小公倍數(shù)是（）?！眷柟獭刻羁眨海?）A、B都是自然數(shù)，如果A=6RA和B的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。（2）如果a和b是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。（3）數(shù)m和數(shù)n是互質(zhì)數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的（）倍。（4）A=2X5Xa,B=2XaX7,已知A、B的最大公約數(shù)是14,那么a=（）;A和B的最小公倍數(shù)是（）。（5）兩個數(shù)的積是104,它們的最大公因數(shù)是8,則它們的最小公倍數(shù)是（）。【例5】三個連續(xù)自然數(shù)的和是30,這三個自然數(shù)分別是（），這三個數(shù)的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）?！眷柟獭咳齻€連續(xù)偶數(shù)的和是48,這

8、三個偶數(shù)分別是（）,這三個數(shù)的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）?！眷柟獭績蓚€數(shù)的最大公約數(shù)是9,最小公倍數(shù)是90,求這兩個數(shù)分別是多少?【例7】兩個自然數(shù)的積是360,最小公倍數(shù)是120,這兩個數(shù)各是多少?【鞏固】已知兩個數(shù)的積是3072,最大公約數(shù)是16,求這兩個數(shù)【例8】用一個數(shù)去除30、60、75,都能整除，這個數(shù)最大是多少?【鞏固】用一個數(shù)去除20、30、45,都能整除，這個數(shù)最大是多少?【例9】一所學校的同學排隊做操，排成14行、16行、18行都正好能成長方形，這所學校至少有多少人？【鞏固】一個數(shù)用7、11、13除都能整除，這個數(shù)最小是多少?【例10】一袋糖，平均分給15個小朋友或

9、20個小朋友后，最后都余下5塊。這袋糖至少有多少塊？【鞏固】學校六年級有若干個同學排隊做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年級最少多少人？【例11】有一個自然數(shù)，被10除余7,被7除余4,被4除余1。這個自然數(shù)最小是多少?【鞏固】有一批水果，總數(shù)在1000個以內(nèi)。如果每24個裝一箱，最后一箱差2個；如果每28個裝一箱，最后一箱還差2個；如果每32個裝一箱，最后一箱只有30個。這批水果共有多少個?【例12】一個數(shù)能被3、5、7整除，但被11除余1。這個數(shù)最小是多少?【鞏固】一個數(shù)能被2、3、7整除，但被5除余2。這個數(shù)最小是多少?【例13】一個長方體長27厘米、寬18

10、厘米、高15厘米，要把它切成大小相等的正方體小塊，要求正方體的棱長是整厘米數(shù)，那么這些小正方體的棱長最多是多少厘米？【鞏固】一個長方體長30厘米、寬20厘米、高15厘米，要把它切成大小相等的正方體小塊,要求正方體的棱長是整厘米數(shù)，那么這些小正方體的棱長最多是多少厘米？【例14】一塊磚長20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊？【鞏固】用長9厘米、寬6厘米、高7厘米的長方體木塊疊成一個正方體，至少需要用這樣的長方體多少塊？【例15從學校到少年宮的這段公路上，一共有37根電線桿，原來每兩根電線桿之間相距50米，現(xiàn)在要改成每兩根之間相距60米，除兩端兩根不需移動外，中途還

11、有多少根不必移動？【鞏固】插一排紅旗共26面。原來每兩面之間的距離是4米，現(xiàn)在改為5米。如果起點一面不移動，還可以有幾面不移動？家庭作業(yè)【作業(yè)1】寫出60的所有因數(shù)，寫出60的所有質(zhì)因數(shù)【作業(yè)2】用短除法對48進行分解質(zhì)因數(shù)【作業(yè)3】求（60,72）和60,72【作業(yè)4】填空：（1）A、B都是自然數(shù)，如果A=8RA和B的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。（2）如果a和b是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。（3）數(shù)m和數(shù)n是互質(zhì)數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的（）倍。（4）A=3X5Xa,B=2XaX7,已知A、B的最大公約數(shù)是14,那么a=（）;A和B的最小公倍數(shù)是（）

12、。（5）兩個數(shù)的積是60,它們的最大公因數(shù)是3,則它們的最小公倍數(shù)是（）。）,這三個數(shù)的最【作業(yè)5】三個連續(xù)奇數(shù)的和是21,這三個奇數(shù)分別是（大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）?！咀鳂I(yè)6】兩個數(shù)的最大公約數(shù)是12,最小公倍數(shù)是60,求這兩個數(shù)的和是多少?【作業(yè)7】已知兩個數(shù)的積是1014,最大公約數(shù)是13,求這兩個數(shù)【作業(yè)8】用一個數(shù)去除40、50、60,都能整除，這個數(shù)最大是多少?【作業(yè)9】一個數(shù)用8、10、16除都能整除，這個數(shù)最小是多少?【作業(yè)10】有一批乒乓球，總數(shù)在1000個以內(nèi)。4個裝一袋、5個裝一袋或6個、7個、8個裝一袋最后都剩下一個。這批乒乓球到底有多少個？【作業(yè)11】一盒圍棋子，4顆4顆數(shù)多3顆，6顆6顆數(shù)多5顆，15顆15顆數(shù)多14顆，這盒棋子在150至200顆之間，問共有多少顆？【作業(yè)13】有200塊長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方