-立體幾何之正四面體的內(nèi)切球和外接球

1、如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)-立體幾何之正四面體的內(nèi)切球和外接球如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)?在高中幾何部分，掌握正四面體有關(guān)的公式，在解題是效率大大提高。有些同學(xué)在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的時(shí)候都感覺比較吃力，有點(diǎn)跟不上老師的步伐，不知道如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)？原因是高中數(shù)學(xué)相對(duì)于初中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，難度層次更高，知識(shí)點(diǎn)，難點(diǎn)也更多，所以學(xué)習(xí)好高中數(shù)學(xué)，方法是關(guān)鍵。下面就和大家分享學(xué)霸們是怎么學(xué)好高中數(shù)學(xué)的。如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)，本質(zhì)教育有三條重要的原則:一，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，簡(jiǎn)單的題目做得又快又對(duì)；二，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三招，有邏輯地思考那些難題；三，改掉錯(cuò)誤習(xí)慣，避免運(yùn)算錯(cuò)誤、看錯(cuò)題目等毛病。通過(guò)這篇文章，我們講四面體的內(nèi)切球和外接球有關(guān)問(wèn)題，來(lái)幫助基

2、礎(chǔ)知識(shí)掌握得不錯(cuò)的同學(xué)進(jìn)一步提高解題速度，從而為我們學(xué)好高中數(shù)學(xué)走好第一步（文章尾部附有往期文章鏈接）如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)-利用公式快速解決正四面體內(nèi)切球和外接球的問(wèn)題正四面體的棱長(zhǎng)為0，則正四面體的高為Y。，內(nèi)切球半徑為上12我們先證明一下這個(gè)公式:內(nèi)切球與外接球半徑的關(guān)系：，如圖所示“在正四面體ABCD中，0為外接球圓心，設(shè)處切球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r,正四面體高為":0為外接球圓心，0到點(diǎn)B,C,D的距離相等，點(diǎn)0在平面BCD內(nèi)的射影即Q到B,C,D的距離相等O.B=01c=QO“又,BCD為正三角形，工。為a3CE的中心（重心，外心，內(nèi)心）二AC_L平面BCDp,.o在高/

3、q上d同理0也在其他面的高上:.OA-OB=OC=OD口'0到四面體各面的距離相等裂即0也為正四面體內(nèi)切球的球心“又,：oq=jOA=R、AO=hyAR+r=hi維出四面體的島*如下圖“F為CD中點(diǎn)，AE為正四面體ABCD的高/VAB=AC=AJD丫：.CE=BE=ED（斜線相等則其射影也相等），E為正aBCD中心（重心）又88是正三角形且F為CD中點(diǎn)，正四面體像長(zhǎng)為a-Z7：.BF=AF=a“2又；E為正a&CD重心v.z?r_1rd_W36在R38CD中力=AE=AF2-EF2=t/2d2=4“V4123，在棱長(zhǎng)為a的正四面體中高h(yuǎn)為逅。3求內(nèi)切球的半徑：如圖所示：在正四面

4、體ABCD中，作E為內(nèi)切球圓心，連接AE,ED,EC,BE.設(shè)內(nèi)切球半徑為匚正四面體橡長(zhǎng)為'高為h。/又88是正三角形且F為CD中點(diǎn)，正四面體像長(zhǎng)為a-Z7：.BF=AF=a“2又；E為正a&CD重心v.z?r_1rd_W36在R38CD中力=AE=AF2-EF2=t/2d2=4“V4123，在棱長(zhǎng)為a的正四面體中高h(yuǎn)為逅。3求內(nèi)切球的半徑：如圖所示：在正四面體ABCD中，作E為內(nèi)切球圓心，連接AE,ED,EC,BE.設(shè)內(nèi)切球半徑為匚正四面體橡長(zhǎng)為'高為h。/根等（楨法，%-BCD=%-ABD+/-ABC+E-ACD+七-58g'S一uc.6=；5_®

5、r+；S.®/+s_jCdj+；SrqJJJJJ'.,四邊形ABCD為正四面體/-S_iBD=S_iBC=，一加口"-改口”/.h=4/'即1=，,4內(nèi)切圓半徑=邁。12求外接球半徑：，二五+F二人Rfliact61舉3124+J綜上所述:族長(zhǎng)為a正四面體的高為逅.,內(nèi)切球半徑為理叫外接球半徑為31.疾CI+14如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)：提高解題速度-實(shí)戰(zhàn)演示接下來(lái)，我們用兩道例題來(lái)展示一下這個(gè)公式的簡(jiǎn)便性與實(shí)用性。例1:“在正四面體且以8中，基援氐加必若正四面體1以6。有一個(gè)內(nèi)切球，則這個(gè)球的表面積為-舉【直接記住結(jié)論解題】+,用數(shù)學(xué)三招第三招盯住目標(biāo)：我們的目標(biāo)

6、是茹四面體內(nèi)切球的表面積I所以我們聯(lián)想有關(guān)的定理和公式Z定理28;正四面體的棱長(zhǎng)為明則正四間體的高為逅/內(nèi)切球半徑為好人外312切球半徑為遠(yuǎn)。.,4球的我面積公式：S=4開產(chǎn)，r為球的半徑.一內(nèi)切球的半徑為R=四.12J表面那i）S=4汗逅=a:卡126例2:（2018?新華區(qū)校級(jí)模擬）已知正四面體P-ABC的棱長(zhǎng)均為a,0為正四面體P-ABC的外接球的球心，過(guò)點(diǎn)0作平行于底面ABC的平面截正四面體P-ABC得到三棱錐P-A1B1C1和三棱臺(tái)ABC-A1B1C1那么三棱錐P-A1B1C1的外接球的表面積為.【直接記住結(jié)論解題】，解：先用數(shù)學(xué)三招第一招翻譯：，畫出圖形取石。中點(diǎn)。，BiCi中點(diǎn)D

7、,連結(jié)AD.ADi,過(guò)點(diǎn)尸作PM平面ABC,交于交于。，v連結(jié)。4.設(shè)三棱錐P-/1B1Q的外接球球心為。1，“則5在產(chǎn)做上，連結(jié)，Qi,則014。*，Q4是球。的半徑，記為H,4。1是球。1的半徑，記為廠，“再用數(shù)學(xué)三招第三招盯住目標(biāo)；我們的目標(biāo)是求三棱錐P-小8£的外接球的表面積口我們聯(lián)想球的表面積公式S=4不產(chǎn)為球的半徑.現(xiàn)在目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求三棱錐P-/iEiCi的外接球半徑L事OAPA；p0乂，卞而F.r_PO_RPM"所以我們的R標(biāo)再轉(zhuǎn)化為求R和PM的值口我們聯(lián)想有關(guān)的定理一/內(nèi)切球半徑為。，定理28:正四面體的棱長(zhǎng)為4則正四而體的高為逅3外切球半徑為逅叫，4#；正叫面體尸5C的正長(zhǎng)均為m，三棱錐的外接球的表面枳為：4S=4M=47TX(-a)2=-a2*“