多項(xiàng)式回歸、非線性回歸模型

1、多項(xiàng)式回歸、非線性回歸模型關(guān)鍵詞：回歸方程的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)、殘差分析、一元多項(xiàng)式回歸模型、一元非線性回歸模型一、回歸方程的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)1 .擬合優(yōu)度檢驗(yàn)1 .概念介紹SST總離差平方和totalSSR回歸平方和regressionSSEtiJ余平方和errornn.二（yi-?i）.二（？i-yi）2R2=1_i=1_i=1n-n.二(yi-yi).二(yi-yiVidi12.例題1存在四點(diǎn)（-2,-3）、2.回歸方程的顯著性檢驗(yàn)F例6（F檢驗(yàn)）在合金鋼強(qiáng)度的例1中，我們已求出了回歸方程，這里考慮關(guān)于回歸方程的顯著性檢驗(yàn),經(jīng)計(jì)算有：(-1

2、,-1)、nzimn（1,2）、（4,3）求擬合直線與決定系數(shù)。(4-Yi)2二(yi-yi)2/(n-2)i1SSASSE/(n-2)表5X射線照射次數(shù)與殘留細(xì)菌數(shù)的方差分析表來源平方和自由度均方F比p值回歸SR=327.34fR=1MSR=327.34184.940.0000殘差Se=17.72fe=10MSe=1.77總計(jì)ST=345.06fT=11這里值很小，因此，在顯著性水平0.01下回歸方程是顯著的。3 .回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)4 .殘差分析二、一元多項(xiàng)式回歸模型模型如以下形式的稱為一元多項(xiàng)式回歸模型:nn1y/xanx-aiXao例1(多項(xiàng)式回歸模型)為了分析X射線的殺菌作用，用2

3、00千伏的X射線來照射細(xì)菌，每次照射6分鐘，用平板計(jì)數(shù)法估計(jì)尚存活的細(xì)菌數(shù)。照射次數(shù)記為t,照射后的細(xì)菌數(shù)為y見表1。試求：(1)給出y與t的二次回歸模型。(2)在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出原始數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果的散點(diǎn)圖。(3)預(yù)測t=16時(shí)殘留的細(xì)菌數(shù)。(4)根據(jù)問題的實(shí)際意義，你認(rèn)為選擇多項(xiàng)式函數(shù)是否合適？表1X射線照射次數(shù)與殘留細(xì)菌數(shù)t123456789101112131415y3522111971601421061046056383632211915程序1t=1:15;y=3522111971601421061046056383632211915;p=polyfit(t,y,2)%作二次多項(xiàng)式回歸y

4、1=polyval(p,t);%模型估計(jì)與作圖plot(t,y,'-*',t,y1,'-o');%在同一坐標(biāo)系中做出兩個(gè)圖形legend('原始數(shù)據(jù)',二次函數(shù)')xlabel('t(照射次數(shù))')%橫坐標(biāo)名ylabel('y(殘留細(xì)菌數(shù))')縱坐標(biāo)名t0=16;yc1=polyconf(p,t0)%預(yù)測t0=16時(shí)殘留的細(xì)菌數(shù)，方法1yc2=polyval(p,t0)%預(yù)測t0=16時(shí)殘留的細(xì)菌數(shù)，方法2即二次回歸模型為：y1=1.9897t2-51.1394t347.8967O40oooooO50505

5、0332211數(shù)菌細(xì)留聲y原始數(shù)據(jù)二次函數(shù)+4-51015t（照射次數(shù)）圖1原始數(shù)據(jù)與擬合效果的散點(diǎn)圖原始數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果的散點(diǎn)圖如圖所示，從圖形可知擬合效果較好。照射16次后，用二次函數(shù)計(jì)算出細(xì)菌殘留數(shù)為39.0396,顯然與實(shí)際不符。由實(shí)際問題的意義可知，盡管二次多項(xiàng)式擬合效果較好，但是用于預(yù)測并不理想。因此如何根據(jù)原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖的規(guī)律，選擇適當(dāng)?shù)幕貧w曲線是非常重要的，這樣就有必要給出非線性回歸模型。三、一元非線性回歸模型為了便于正確選擇合適的函數(shù)進(jìn)行回歸分析建模，我們給出通常選擇的6類曲線：1b（1）雙曲線1-a-（如圖所不）yx（2）哥函數(shù)曲線y=axb,其中x>0,a>0（

6、如圖所示）（3）指數(shù)曲線y=aebx,其中參數(shù)a>0（如圖所示）（4）倒指數(shù)曲線y=aeb/x,其中a>0（如圖所示）（5）對數(shù)曲線y=a+blnx（如圖所示）一，,1,._,（6）S型曲線y=一，其中ab0（如圖所不）abe非線性回歸建模通常有兩種方法：一是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，例如雙曲1b11.線模型一=a十一（如圖1所不）,如果作變換y=,x=一則有y=a+bx,此時(shí)就yxyx是線性回歸模型。如果無法實(shí)現(xiàn)線性化，可以利用最小二乘法直接建立非線性回歸模型，求解最佳參數(shù)。例2（非線性回歸模型、置信區(qū)間）煉鋼廠出鋼時(shí)所用盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕，容積不斷增

7、大，我們希望找出使用次數(shù)與增大容積之間的函數(shù)關(guān)系。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表2。1b(1)建立非線性回歸模型1=ab;yx(2)預(yù)測鋼包使用xo=17次后增大的容積y0；(3)計(jì)算回歸模型參數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間。表2鋼包使用次數(shù)與增大容積使用次數(shù)(x)2345678910111213141516增大容枳6.428.29.589.59.7109.939.9910.4910.5910.610.810.610.910.76(y)解：(1)建立非線性回歸模型：程序2x=2:16;y=6.428.29.589.59.7109.939.9910.4910.5910.610.810.610.910.76;%建立非

8、線性雙曲線回歸模型b0=0.084,0.1436;%回歸系數(shù)初值fun=inline('x./(b(1)*x+b(2)','b','x');%建立函數(shù)beta,r,J=nlinfit(x,y,fun,b0);%非線性擬合命令；其中，beta表示最佳回歸系數(shù)的估計(jì)值，r是殘差，J是雅可比矩陣beta%輸出最佳參數(shù)y1=x./(0.0845*x+0.1152);%擬合曲線plot(x,y,'*',x,y1,'-or')legend('原始數(shù)據(jù)',擬合曲線')legend為圖例命令初始值要先計(jì)算后

9、才能得到上面程序中的b0,選擇已知程序中的點(diǎn)(2,6.42)和點(diǎn)(16,10.76),可選擇手工方法解方程，也可利用以下MATLAB程序求解。程序3a,b=solve('1/6.42=a+b/2','1/10.76=a+b/16')%解方程注：當(dāng)所求解的方程過于復(fù)雜時(shí)，MATLAB運(yùn)行會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，此時(shí)需將方程盡量化簡后再進(jìn)行求解，如以下形式：a,b=solve('6.42*(2*a+b)=2','10.76*(16*a+b)=16')運(yùn)行程序3可得到最佳參數(shù)為a=0.0845、b=0.1152,求解得到鋼包使用次數(shù)與增大容積的非線

10、性擬合圖，如圖2所示。11,r,."原始數(shù)據(jù)I一105T*擬合曲線-10士*r9.5T*.9.8.5.8.-7.5,一7,-6.5,一6246810121416圖2鋼包使用次數(shù)與增大容積的非線性擬合圖(2)預(yù)測鋼包使用17次后增大的容積：程序4ypred=nlpredci(fun,17,beta,r,J)%預(yù)測鋼包使用17次后增大的容積(3)置信區(qū)間：程序5ci=nlparci(beta,r,J)%置信區(qū)間運(yùn)行后得到ci=0.08140.08760.09340.1370即回歸模型中參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間分別為0.0814,0.0876與0.0934,0.1370。我們求出的最佳參數(shù)分別為a=0.0845和b=0.1152,均屬于上述置信區(qū)間