彈性力學(xué)簡明教程第四版-課后習(xí)題解答

1、【3-13-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替式（2-152-15）, ,將會發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確

2、的應(yīng)力邊界條件（公式 2-152-15）, ,就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解答精度不足。【3-23-2】如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個(gè)小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個(gè)小邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實(shí)質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研究對象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個(gè)次要邊界上，三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的，因而可以不必校核?！?-33-3】如果某一應(yīng)力邊界問題中

3、有 m m 個(gè)主要邊界和 n n 個(gè)小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個(gè)條件？【解答】在 m m 個(gè)主要邊界上，每個(gè)邊界應(yīng)有 2 2 個(gè)精確的應(yīng)力邊界條件，公式（2-152-15）, ,共 2m2m 個(gè)；在 n n 個(gè)次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則有 2n2n 個(gè)；如果不能滿足公式（2-152-15）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個(gè)靜力等效的積分邊界條件來代替 2 2 個(gè)精確應(yīng)力邊界條件，共 3n3n 個(gè)?！?-43-4】 試考察應(yīng)力函數(shù) 6 6=ay=ay3在圖 3-83-8 所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)）? ?【解答】相容條

4、件：3不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)G=ay總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式（2-252-25）. .求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)中代入公式（2-242-24）, ,得二x二6ay,二y=0,xy=yx=0考察邊界條件2-15),2-15),而在O1Txhly一圖3-8上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力左右邊界上；當(dāng) a0a0 時(shí)，考察 O Ox x 分布情況，注意到Txy=0,=0,故 y y 向無面力左端：fxJx)x36ay0yhfy=.xyx=0=0右端：fx=；Lx=6ay(0_y_h)1=()幺阡0應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)l?h時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢

5、，主矩主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距 e e：因?yàn)樵?A A 點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為荷載 p p 的偏心距 e e：b b，集中糾 F FP P同理可知，當(dāng)（二x）APbh2=0=,e=h/6bh/6a0hlh 的淺梁，修正項(xiàng)很小，可忽略不計(jì)?！?-133-13】圖 3-143-14 所示的懸臂梁，長度為l,高度為h,l?h,在上邊界受均布荷載q,試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)：，=Ay5-Bx2y3Cy3Dx2-E攵昉否成為此問題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。【解答】用半逆解法求解。（1 1）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)中代入相容方程式（2-252-25）, ,120Ay24

6、By=0圖 3.14要使中滿足相容方程，應(yīng)使A1rA二一一B5(a)(a)（2 2）求應(yīng)力分量，代入式（2-242-24）32二x=20Ay6Bx2_y6Cy=20Ay-30Axy6Cy二2By2D2Ey-10Ay2D2Ey|xy-6Bxy2-2Ex=30Axy2-2Ex(b)(b)（3 3）考察邊界條件在主要邊界y=h/2上，應(yīng)精確到滿足應(yīng)力邊界條件103(仃y)y2=0,即Ah3+2D+Eh=08103(Oy)ya2=-q,即三Ah3+2D-Eh=-q8302(%)y自j2=0，即1Axh2Ex=0(c)(c)(d)(d)(e)(e)應(yīng)力分布圖A,D=E 烏樂5h344h在次要邊界x=0上

7、， 主矢和主矩都為零， 應(yīng)用圣維南原理,邊界條件：h/2fh/2(x)xdy=0滿足條件_h/2h/2h/23/2(二x)x衛(wèi)ydy=/2(20Ay6Cy)ydy=0=【3-143-14】矩形截面的柱體受到頂部的集中力 J2FJ2F 和力矩 M M 的作用（圖 3-153-15）,不計(jì)體力，試用應(yīng)力函數(shù)233.9=Ay+Bxy+Cxy+Dy求解其應(yīng)力分重?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼狻＃? 1）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-252-25）, ,顯然滿足。（2 2）求應(yīng)力分量：將中代入（2-242-24）二x=2A6Cxy6Dyy=0j(a)xy二一B-3Cy2（3 3）考察邊界條件。在主要

8、邊界y=b/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件滿足將 A A 的值帶入（g g）, ,得h/2/2(xydy=0滿足qh3寫出三個(gè)積分的應(yīng)力Ah53+Ch=0(g)2將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（b),b),得2y/y-q-(4hh2x一67)h3xy9(1.3、4。2hh33qxy2(1-4勺2hh2(h)(h)圖*15-32xyy=：b/2=一q=：B4cb二q在次要邊界 x=0 x=0 上，可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件【解答】（1）假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。因?yàn)樵趛=-b/2邊界上,1 中V=xfyex2(b)(b)b/2(二x)x衛(wèi)dy 一(2Ay+3Dy2)b/2二-FJ/2(c)

9、(c)b/232gx)x衛(wèi)ydy=-MI1Ay22Dy32yyb/2-MM2(d)(d)b/2/2xyx/y二一F3b/2-By-Cy3,/2-F(e)(e)聯(lián)立（b b）、（c c）、（d d）、（e e）式得A=互，B2bq-b2D-2M，b3將各系數(shù)據(jù)（f f）代入式（a a）, ,得應(yīng)力分量解答F12Fxybyq_b2I12Mxy3F_2qybJb2Vb/【分析】本題題目中原教材給出的坐標(biāo)軸有誤，無法計(jì)算。x,x, y y 坐標(biāo)互換后可以計(jì)算,但計(jì)算結(jié)果與題目提示解答幾乎完全不同，又將 y y 軸調(diào)為水平向左為正方向，才得到提示結(jié)果?？梢?，在求解問題時(shí)，坐標(biāo)軸的方向及原點(diǎn)的位置與解答關(guān)

10、系密切,完全不同的結(jié)果。坐標(biāo)軸不同可得到【3-153-15】擋水墻的密度為 R,R,厚度為 b b（圖 3-163-16）, ,水的密度為 P P2 2，試求應(yīng)力分量。bTL b!2by=0；y=b/2邊界上，Oy-p?gx,所以可以假設(shè)在區(qū)域內(nèi)。y為=xfy77X7773可（2 2）推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由仃y推求中的形式x=-fyf1y(3)由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將6Ey2F-?igx(5)考察邊界條件在主要邊界y=1b/2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件13-21Ab-b上仆b上一A+B+C+D842).3.2.-A+B-Cb+D=03x0=6fyxfiyf2y3,4,xdfrx6dy44d4f

11、d%dy4dy4卷二。要使上式在任意的x處都成立，必須d4f獷d4f1d2f412rdydyd4f2歹f(y)=Ay3By2CyD;A5B432f1(y)-10y-?yGyHyIy;f2(y)=Ey3Fy2代入中即得應(yīng)力函數(shù)的解答，其中已經(jīng)略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次項(xiàng)，得應(yīng)力函數(shù)為:3A54中=(Ay3By2CyD)Xy-y-GjHIy(EyFy)6106(4)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，將代入公式(2-24),注意體力fx=P1g,fy=0,求得應(yīng)力分量表達(dá)式-fxx=xAy332.x-2Ay-2By6Cy2Hxy；：20.x產(chǎn)。fyy:xAy3By2CyDx22八A42B3-23Ay2ByCy一y-

12、3Gy-2Hy-I223yy+/2二0.xyy二b/2二03b2A3b4)fb4b33b2土Bb+C+ABB-G+HbI八32124842J【3-163-16】試分析簡支梁受均布荷載時(shí)，平截面假設(shè)是否成立？【解答】彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別是由于各自的解法不同。簡言之，彈性力學(xué)的解法是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程和物理方程。以及在邊界上的邊界條由上式得到,4,32A至一BTTG彳蝕b-求解各系數(shù),2一3一1一A=：2g,B=0,C=-2g,D=；-2g,H=0b32b2(a)(a)在次要邊界X=0上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件b/26/2b/2二xx/y=06/2二xydy=0

13、 x-0b/2上/2xyx=0dy=0二X0b80、b22g7G(b)(b)由式(a)(a)、(b)(b)解出1=-802g,G=將各系數(shù)代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得110bxy272gb33312g412g3-、一號刈一年功一1gx=P2gx伴一型;lb32b2J一2gx22yb24b-;?2gy上b310b80y件而求解的，因而得出的解答較精確。而在材料力學(xué)的解法中，沒有嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的是近似的解答。例如，材料力學(xué)引用了平面截面假設(shè)而簡化了幾何關(guān)系，但這個(gè)假設(shè)對于一般的梁是近似的。所以，嚴(yán)格地說，平截面假設(shè)不成立。【3-173-17】試證明剛體位移u0,V0和 8 80 0實(shí)際上表示彈性體中原點(diǎn)的平移和轉(zhuǎn)動分量,并應(yīng)一，人,r,t-1IV/方U用3-33-3 的解答加以驗(yàn)證（注：微分體的轉(zhuǎn)動分量值=-）2、