數(shù)學建模綜述

1、數(shù)學建模綜述李健宗20132200012姚杰濤20132200040湯斌健20132200100指導老師：楊坦2014年美國大學生數(shù)學建模競賽A題論文綜述我們小組精讀兩篇14年美賽A題論文，選擇了其中一篇來進行學習，總結(jié)。1、問題分析TheKeep-Right-Except-To-PassRule除非超車否則靠右行駛的交通規(guī)則問題：建立數(shù)學模型來分析這條規(guī)則在低負荷和高負荷狀態(tài)下的交通路況的表現(xiàn)。這條規(guī)則在提升車流量的方面是否有效？如果不是，提出能夠提升車流量、安全系數(shù)或其他因素的替代品（包括完全沒有這種規(guī)律）并加以分析。在一些國家，汽車靠左形式是常態(tài)，探討你的解決方案是否稍作修改即可適用，或

2、者需要一些額外的需要。最后，以上規(guī)則依賴于人的判斷，如果相同規(guī)則的交通運輸完全在智能系統(tǒng)的控制下，無論是部分網(wǎng)絡還是嵌入使用的車輛的設(shè)計，在何種程度上會修改你前面的結(jié)果論文：基于元胞自動機和蒙特卡羅方法，我們建立一個模型來討論“靠右行”規(guī)則的影響。首先，我們打破汽車的運動過程和建立相應的子模型car-generation的流入模型，對于勻速行駛車輛，我們建立一個跟隨模型，和超車模型。然后我們設(shè)計規(guī)則來模擬車輛的運動模型。我們進一步討論我們的模型規(guī)則適應靠右的情況和，不受限制的情況，和交通情況由智能控制系統(tǒng)的情況。我們也設(shè)計一個道路的危險指數(shù)評價公式。我們模擬雙車道高速公路上交通（每個方向兩個車

3、道，一共四條車道）,高速公路雙向三車道（總共6車道）。通過計算機和分析數(shù)據(jù)。我們記錄的平均速度，超車取代率、道路密度和危險指數(shù)和通過與不受規(guī)則限制的比較評估靠右行的性能。我們利用不同的速度限制分析模型的敏感性和看到不同的限速的影響。左手交通也進行了討論。根據(jù)我們的分析，我們提出一個新規(guī)則結(jié)合兩個現(xiàn)有的規(guī)則（靠右的規(guī)則和無限制的規(guī)則）的智能系統(tǒng)來實現(xiàn)更好的的性能。該論文在一開始并沒有作過多分析，而是一針見血的提出了自己對于這個問題的做法。由于題目給出的背景只有一條交通規(guī)則，而且是題目很明確的提出讓我們建立模型分析。所以這篇論文也沒有過多的分析題目，而是直接寫出自己的做法，體現(xiàn)了這小組成員在這個問

4、題有很深的探究。2、模型介紹Introduction如今，大約65%的世界人口生活在右手交通的國家和35%在左手交通的國家交通流量。worldstandards。歐盟,2013右手交通的國家，比如美國和中國，法規(guī)要求駕駛在靠路的右邊行走。多車道高速公路在這些國家經(jīng)常使用一個規(guī)則，要求司機在最右邊開車除非他們超過另一輛車，在這種，f#況下，他們移動到左邊的車道、通過，返回到原來的車道。基于元胞自動機模型和蒙特卡羅算法，我們建立一個模型來模擬在不同條件下高速公路交通（靠右的規(guī)則或限制規(guī)則，根據(jù)交通或交通擁擠，雙車道或三車道）。我們的模型分為3個子模型（進入模型，跟隨行駛模型和超車模型）。進入模型采

5、用泊松概率分布的模擬vehicle-generation過程。跟隨模型引入了一個特別的概率分布模型，使模擬的過程一輛車跟隨另一輛車更為現(xiàn)實。超車模型模擬了超車行為，定義了危險指數(shù)的安全風險評估對于某些高速公路。我們也建立一個智能系統(tǒng)控制的擴展交通模型。到了第二部分，該論文先是闡述的問題背景，然后直接說明建立怎樣的模型去說明問題。跟第一部分連接的很自然，補充說明的第一部分提出的模型。這一部分經(jīng)常會被我們忽略掉，少了這部分會讓人覺得模型跟題目沒有聯(lián)系上，不知道模型想表達什么、模擬什么。所以這部分的說明是很有必要的。2.1術(shù)語Terminology?雙車道公路：兩個車道在路的右前衛(wèi)，總共四條車道。?

6、Three-lane路:三車道在路的右前衛(wèi)，總共6車道。?危險指數(shù)：索引設(shè)計在我們的論文評估的危險道路系統(tǒng)。?最小安全差距：認為兩輛車之間的距離在我們的模型足夠安全。?靠右規(guī)則：保持正確的除了通過規(guī)則。?無限制的規(guī)則：車輛不受限制，可以超越別人任何一方。?Free-driving風格：當沒有附近的車輛，司機不會故意加速或減速，但速度仍將小幅波動。術(shù)語不是每篇論文都有，也不是規(guī)定一定要有。但是術(shù)語說明會讓人覺得這篇論文設(shè)分專業(yè)和有水平，就像符號說明一樣會讓讀者更容易讀懂這篇論文，能讓門外漢也能看懂的論文才是好論文。2.2假設(shè)Assumptions?路是直的，并且沒有旁路。?一個車道的寬度只夠一車

7、。?所有車輛都有相同的體積。?只有兩種車輛在路上（一快一慢）。?環(huán)境和氣候?qū)﹂_車有好處。?駕駛右邊是常態(tài)。?行人被忽略。假設(shè)是模型建立的前提，假設(shè)要考慮到每個方面，當然不是什么假設(shè)都寫上去，只有對模型建立有幫助的才寫，但是我們往往會把不必要的假設(shè)加上，這樣就使得論文看上去不那么嚴謹。該論文的假設(shè)就考慮的比較周全，而且每個假設(shè)都是對后面模型的計算有幫助的。3、模型TheModels1.1 元胞自動機的設(shè)計DesignofCellularAutomata元胞自動機(CA底明，在大量的前人交通模擬(瓦格納Petal.2005)的基礎(chǔ)，CA模型是可行和有效的方法來模擬交通流?？臻g、時間和狀態(tài)都是離散的

8、細胞自動機。例如，該模型將道路劃分成小矩形將時間分為時間單位。這個特性顯著簡化模擬過程。此外，細胞的狀態(tài)由周邊控制，細胞的這一組規(guī)則，非常類似于現(xiàn)實生活中的交通汽車的運動很大程度上取決于周邊汽車運動。因此，對我們來說是合理應用元胞自動機在解決我們的問題。在我們的模擬中，我們每個車道劃分為1000個細胞。每個細胞都是4米在長度和寬度兩個屬性上，當前速度V和最大速度Vm。每個細胞是空的即當V為0,因為一輛車不會停止，模擬時是絕對無故障。我們簡單的認為只有一個方向的高速公路。因此，高速公路有n條車道轉(zhuǎn)化為n*1000矩陣。在我們的模擬中，我們使用兩種類型的汽車，快的速度的模擬汽車和緩慢的模擬卡車。對

9、于每一個車道，前6個細胞作為car-generation區(qū)域,車流觀察至少10細胞和交通密度計算的基礎(chǔ)上至少500個細胞。我們的模型每秒更新一次，當周期T=1s為一個司機的平均反應時間我們討論了CA模型的基本過程：?流入過程：根據(jù)流入模型，我們將討論最近的，分配車輛vehicle-generation地區(qū)。?加速過程：如果V<Vm,?V為汽車增加的速度，和新的速度V?=V+?V?減速過程：如果車輛與車輛之間的距離(前保險杠和后保險杠的距離，我們稱之為的差距，用G表示差距及其單位是細胞。當沒有車輛，G=+8。)不超過V,車輛減速V?=(G-1)/To?移動過程：車輛前進通過V,*T細胞只有

10、當G>Gs(V,)。(Gs(V?是為了安全考慮，所需的最小差距和是被定義之后。)具體的規(guī)則將被設(shè)置在流入模型中，下面的模型和超車模型是為了模擬靠右行車交通規(guī)則和自由行車交通規(guī)則論文在模型建設(shè)引用了元胞自動機的CA模型，但并不是簡單的引用，而是在情景對比過后選擇最符合的模型。有時我們的論文也會引用一些現(xiàn)有的模型，千萬要注意要說明相同的地方以及引用后加上自己對模型模擬的過程的理解不然就會讓人覺得你沒有深入研究，只是單單的引用。該論文就做的很好，不僅詳細說明了模型的模擬過程還分析了模型每個過程。1.2 流入模型InflowModel讓ts表示采樣時間間隔和N表示在ts時間內(nèi)車輛的總數(shù)。然后N可

11、以近似服從泊松概率分布。讓Pt(N)表示N的可能性，于是我們有兒(N)-哈廣人，界0IVIts表示在一秒，我們可以分配N的期望的值的范圍從0到3.6。N作為在每一秒中到達的總車輛,N的期望能有效地反映交通狀況。入越小，交通越輕松。因此我們能夠模擬不同流量條件下，交通的輕或重，通過分配相應的值入。入的值設(shè)定后，我們得到了進入高速公路的車輛模擬每一秒的隨機號碼。每個車道然后隨機分配進入。我們的車輛模型支持兩種不同的速度范圍，假設(shè)所有車輛的初始速度設(shè)置為20m/so這種做法帶來了簡化而不削弱結(jié)果。1.3 跟隨模型Vehicle-FollowingModel?當G>Gs,車輛會加速（后來我們將介

12、紹一個概率模型去模擬這種傾向，直到實現(xiàn)高速公路速度限制或其最大可能速度；?當G<Gs,是否超車或跟隨由超越概率Po和超車條件決定（Po和超越條件將在超車模型中講到）。當跟隨時，車輛加速，減速或保持原來的速度。我們引入兩個參數(shù)（SUNyue2005）,加速概率Pa和減速概率Pb。速度越高，Pa越小，Pb越大。Vl代表最高的高速公路限速，Vmax是車輛的最大可以達到速度。這個概率模型考慮到，超速是不能忽視的這一事實。當V>Vl,Pa會變得更小和Pb會變得更大，這使得超速的可能性很小。我們使用一個隨機變量R來實現(xiàn)：如果R<Pb、車輛減速；?如果R>1-Pa車輛加速；否則，車輛

13、保持目前的速度?；诟怕誓Ｐ?，我們對元胞自動機創(chuàng)建多個規(guī)則來實現(xiàn)（車輛的最大可能速度Vmax,當前的差距G,最低安全差距Gs及其速度由V表示,Pa、Pb是有關(guān)速度V的函數(shù)和Pa+Pb<=1Hi2n(rraw.V-PI),"eCmieJ一»?自由駕駛規(guī)則：如果G>Gs,triihpfTof)atntifu'tthprababthiy卅二?安全減速規(guī)則：如果G<Gs且繼續(xù)向前行駛不會相撞Vmin是最低速度限制?不相撞規(guī)則：如果不能前進，停止在前車輛的后邊。Pa和Pb的值在表2為快車，表3為緩慢的。Table2：Accrieration43rleIDec

14、elerationProbabilityfarFastVehicles34567SPt10.80.7050.30現(xiàn)00J0203040MTable3:AccckrsticmandDocdcrationLrbabilityforSlow讓I出345%10.70.40他00.20L40.S1.4 超車模型OvertakingModel1.4.1 OvertakingProbability超車概率司機將決定是否超過另一輛車的概率Po。Po概率取決于車輛A和前方的車輛B。讓Vmax1是A車輛的速度,Vmax2是B車輛的速度。Po概率應滿足：1/hmajr它合理的假設(shè)了速度差異越大，越有可能是加速的事實

15、。這種概率分布很好的反映這種趨勢。1.4.2 OvertakingCondition超車條件司機不能按他喜歡的方式去超車。超車有時是危險的，車輛能夠成功超車，即能夠回到正常車道,在不超車請靠右行駛的準則下。因此，超車是有限制的。超車條件?與前車白車距G”大于標準車距Gs?車輛的速度大于前車1.4.3 DangerIndex危險指數(shù)這里我們定義的最小安全車距Gs使用不同的方法來計算危險指數(shù)。Gs和當前車速度V之間的理論關(guān)系是：f是制動時摩擦力;G0是車輛停止后最小差距?？紤]下正常行駛速度是在200公里/小時以下和司機能接受差距通常大于理論安全值，為了簡單的計算機實現(xiàn)，我們近似Gs是關(guān)于V的函數(shù)，

16、V是線性的。1*，前I“卜.ity這部分十分詳細的介紹了模型的各個階段不同的模型，而且寫出每個階段的公式，但又不僅僅是堆疊公式，每個公式后都有詳細的分析。論文最忌諱的是公式的堆疊，公式加分析才能表達出模型模擬的效果，必要時加上表格和圖標。在公式中穿插圖表會更加直觀的反映出結(jié)果。4 .用電腦實現(xiàn)模型基于元胞自動機模型和蒙特卡羅算法，我們成功地通過MATLAB實現(xiàn)了我們的模型。從一個簡單的情況下，我們第一次模擬2車道的高速公路下靠右的規(guī)則。然后稍微的改變規(guī)則，我們有無限制雙車道模型進行比較。我們擴展模型，模擬實現(xiàn)了3車道的高速公路和規(guī)則條件。此外，在交通靠左行駛規(guī)則下，以不同的速度限制以及交通由一

17、個智能系統(tǒng)也能實現(xiàn)。為了看到交通擁擠的影響，我們用不同的流入率測試這些模型。通過足夠的模擬數(shù)據(jù)，我們可以精確分析靠右走在擁擠和稀松交通的情況，包括車流和安全，平均速度，交通密度和超車頻率之間的權(quán)衡。圖顯示了車輛，預期流入率是0.5veh/s,小型汽車的比例是較大的車輛的二倍，在三車道上。圖記錄位置的所有車輛在每一個時間周期。紅色代表小型汽車和綠色代表大的車輛。每三列代表高速公路的一個時間周期狀態(tài)。5 .數(shù)據(jù)分析與模型驗證5.1 平均速度車流對于vehicle-generationrate呈線性關(guān)系。我們選擇車流的平均速度來反映交通效率。從雙車道模型和三車道模型我們分析數(shù)據(jù)，在靠右規(guī)則和無限制規(guī)

18、則下。平均速度和車流率之間的關(guān)系在不同條件下的圖4和圖5所小。1|fe鼻/Figure41WknitvunderDiffrrpn.tFigure頊AvEn-at1Vclwi1underRu1pn(2Lme)Rules(3很明顯，在雙車道模型中，一般靠右的規(guī)則產(chǎn)生更快的平均速度。當涉及到三個車道或者更多車道的高速公路時，靠右的規(guī)則不能再提高平均速度。根據(jù)圖我們可以看到，當vehicle-generation率超過0.75veh/s,無限制的規(guī)則勝過靠右的規(guī)則。我們可以從圖中得到高車流量可能引發(fā)交通堵塞，。當車流量高于1.8veh/s,兩個模型中的平均速度都低于高速公路最低限速。如果忽視了其他車輛

19、的干擾(也就是說，車輛以自由規(guī)則的方式行駛在空的高速公路，平均速度，或者我們稱之為理想速度最慢是19.44m/s,和理想最快速度是25.88米/秒。(數(shù)據(jù)來自我們的MATLAB仿真。)我們可以從圖4和5,看到，當車流量很低，靠右的規(guī)則幾乎可以達到理想的速度，但不受限制的規(guī)則就不理想。我們可以從分析得出在三車道高速公路，靠右走在車流量小時能促進車輛的平均速度，但改善沒有改善交通擁擠的交通效率。然而雙車道高速公路上，靠右走能顯著促進了車輛的平均速率。5.2 快車的平均速度我們計算了在三車道模型平均速度更快的汽車速度。我們主要專注快車是為了研究快車被慢車阻塞的程度關(guān)系L促白n叼keepriglilu

20、nretncledFigure6:AverageVdodlyofFjstcirs總的趨勢是下降的原因如下：次型車輛（慢）可能阻塞道路導致限制小型汽車的速度。碘擁擠的高速公路，平均速度越會被慢的車輛影響。當流入率相對較低時速度上升。這是因為在開始，流入率如此之低以至于汽車幾乎沒有被超車這使得他們以自由的風格行駛。隨著流入率在較低的范圍（0-0.5veh/s）提高時，汽車有更多的機會去超速以至于他們加速的可能增加和平均速度增加。曲線的趨勢也可以解釋，密集的交通（在一個某些范圍）能刺激司機超車的愿望。5.3 車流密度HigOPC既LAsratyvtJrdHirirtLkJiLaneW3FlgUftI

21、U：UtrwlyvflrtdiiL-mLasJiLaftE5<3這四個圖表顯示在不同的規(guī)則下每個車道的車流密度。我們發(fā)現(xiàn)靠右的規(guī)則能引起車道的不平衡使用，在現(xiàn)實中可能的結(jié)果在車道中不同程度的磨損。所以對車道不同程度的交錯修復可以減小對車道的損壞。5.4 超車率我們在五分鐘內(nèi)總結(jié)在三車道中超車或通過事件的發(fā)生。Figure1：PashinsEventsWithDifferentlanr,JUOs在無限制的規(guī)則下，左超車和右超車是相等的，所以兩邊的車流量大約是相同的。在靠右的規(guī)則下，如果可能的話大部分車輛行駛在右車道，這樣騰出左邊的車道，于是更能滿足超車的要求，使得這種事件的發(fā)生的可能大于行

22、駛在左車道，。高通過率能使更快的汽車減少被速度較慢的車輛的限制，充分體現(xiàn)靠右的規(guī)則。除此之外，在右車道太多的車行駛會大大降低危險隱患。這些數(shù)據(jù)是非常重要的對我們評價道路系統(tǒng)的危險指數(shù)。5.5 危險指數(shù)在交通狀況好的情況下，危險系數(shù)是低的。在交通狀況密集的情況下，高速公路是擁擠的車速是慢的，所以危險系數(shù)也是低的。只有當車流密度出現(xiàn)在中間水平時，危險指數(shù)Dm是高的。我們從圖表中知道在兩車道和三車道情況下Dm在靠右的規(guī)則下明顯低于沒有限制規(guī)則。Figure12：DangurIndexunderDi/ifierun-FlglllW13：DangerIndexunderDiffirrcn-tRulf42

23、131M對tRui匈3lanes)論文從多個思考方向出發(fā)，基于假設(shè)建立了多個模型。這些模型不僅解決了原本的問題，并在其他的角度分析了靠右行駛和無規(guī)則行駛在兩車道以及三車道之間的不同，從各方面分辨出靠右行駛和無規(guī)則行駛兩種規(guī)則的優(yōu)劣。然后小組再對模型進行分析，檢驗結(jié)果得出，靠右行駛規(guī)則在雙車道情況下，能有效改善車輛平均速度從而提高交通效率，但并不適用于三車道且車流量較大的情況；同時得出：靠右行駛規(guī)則能有效降低交通道的危險指數(shù)，明顯優(yōu)于無規(guī)則行駛規(guī)則，但同時會增大對車道的損壞程度。論文分析觀點全面，思路清晰，因此解題過程不僅思路完整，并且需要角度全面，條理清楚，增強說服力。6.7.8.9、結(jié)論Co

24、nclusions靠右行走在很多國家，甚至一些國家法律中確定。通過建立一個合理的模型和實際路況的仿真，我們發(fā)現(xiàn)在某種程度上靠右走規(guī)則可以分割快速和慢速車輛到不同的車道上?？焖俚能囕v在車流中將獲得更少的限制，因此高速公路承載能力和人們的出行效率會得到改善。（盡管我們多車道的模擬，無限制的規(guī)則執(zhí)行在車輛擁擠的路上好一點，但也帶來了巨大的風險與keepright-except-to-pass規(guī)則相比，所以我們建議keep-right-expect-to-pass規(guī)則。E<veh3)f*1H:AveTAg-t'V&dtyuhd>LTDdhru力ERuleN.inw加旭Hi&kjrhESyile