結(jié)構(gòu)動力學(xué)單自由學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)(jigu)動力學(xué)單自由動力學(xué)單自由第一頁，共150頁。輸入輸入input輸出輸出Output結(jié)構(gòu)體系結(jié)構(gòu)體系靜力響應(yīng)靜力響應(yīng)靜荷載靜荷載位移位移內(nèi)力內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力剛度、約束剛度、約束桿件尺寸桿件尺寸截面特性截面特性大小大小(dxio)方向方向作用點作用點結(jié)構(gòu)體系結(jié)構(gòu)體系動力響應(yīng)動力響應(yīng)輸入輸入input輸出輸出Output動荷載動荷載動位移動位移加速度加速度速度速度動應(yīng)力動應(yīng)力動力系數(shù)動力系數(shù)隨時間變化隨時間變化質(zhì)量、剛度質(zhì)量、剛度阻尼、約束阻尼、約束頻率、振型頻率、振型大小大小方向方向(fngxing)作用點作用點時間變化時間變化數(shù)值數(shù)值(shz)(shz)時間函數(shù)時間函數(shù)動

2、荷載和靜荷載動荷載和靜荷載第1頁/共149頁第二頁，共150頁。動荷載動荷載(hzi)(hzi)的定義和分類的定義和分類荷載荷載(hzi)：荷載荷載(hzi)三要素：三要素：荷載荷載(hzi)分類：分類：作用作用(zuyng)在結(jié)構(gòu)上的主動力在結(jié)構(gòu)上的主動力大小、方向和作用點大小、方向和作用點作用時間：作用時間：作用位置：作用位置：對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動力效應(yīng)：對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動力效應(yīng)：恒載恒載 活載活載固定荷載固定荷載 移動荷載移動荷載靜荷載靜荷載 動荷載動荷載第2頁/共149頁第三頁，共150頁。 大小、方向和作用點不隨時間變化大小、方向和作用點不隨時間變化(binhu)或變化或變化(binhu)很緩

3、慢的很緩慢的荷載。荷載。靜荷載靜荷載(hzi)：動荷載動荷載(hzi)： 大小、方向或作用點隨時間大小、方向或作用點隨時間(shjin)變化很快的荷載。變化很快的荷載。是否會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生是否會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著顯著的加速度的加速度快慢快慢標(biāo)準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)：質(zhì)量運動加速度所引起的慣性力質(zhì)量運動加速度所引起的慣性力與荷載相比是否可以忽略與荷載相比是否可以忽略顯著顯著標(biāo)準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)：第3頁/共149頁第四頁，共150頁。動荷載動荷載(hzi)(hzi)的定的定義義荷載在大小荷載在大小(dxio)、方向或作用點方面、方向或作用點方面隨時間變化，使得質(zhì)量運動加速度所引起隨時間變化，使得質(zhì)量運動加速度所引起的慣性力與荷載

4、相比大到不可忽略時，則的慣性力與荷載相比大到不可忽略時，則把這種荷載稱為動荷載。把這種荷載稱為動荷載。問題問題(wnt)(wnt)：你知道有哪些動荷載：你知道有哪些動荷載？第4頁/共149頁第五頁，共150頁。第5頁/共149頁第六頁，共150頁。動荷載動荷載(hzi)(hzi)的分類：的分類：概念概念(ginin)(ginin)：動荷載是時間：動荷載是時間的函數(shù)！的函數(shù)！分類分類(fn (fn li)li)：動荷載動荷載確定性荷載確定性荷載非確定性荷載非確定性荷載周周 期期 性性 荷荷 載載非周期性荷載非周期性荷載第6頁/共149頁第七頁，共150頁。 FPt突加荷載突加荷載 FPt沖擊荷載

5、沖擊荷載確定性荷載確定性荷載(hzi)：例如：例如： 簡諧荷簡諧荷載載 FPt 荷載荷載(hzi)的變化是時間的確定性函數(shù)。的變化是時間的確定性函數(shù)。第7頁/共149頁第八頁，共150頁。非確定性荷載非確定性荷載(hzi)：例如例如(lr)：風(fēng)荷載風(fēng)荷載(hzi)地震作用地震作用0501001502002503000510152025t(sec)Wind speed (m/s)平均風(fēng)平均風(fēng)脈動風(fēng)脈動風(fēng)-2000200400t(sec)01020304050515253545Acceleration (cm/s )2荷載隨時間的變化是不確定的或不確知的，荷載隨時間的變化是不確定的或不確知的，又稱

6、為隨機荷載。又稱為隨機荷載。第8頁/共149頁第九頁，共150頁。結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用(zuyng)下的響下的響應(yīng)分析通常稱為結(jié)構(gòu)振動分析。應(yīng)分析通常稱為結(jié)構(gòu)振動分析。結(jié)構(gòu)在隨機結(jié)構(gòu)在隨機(su j)荷載作用下的響應(yīng)分析荷載作用下的響應(yīng)分析，被稱為結(jié)構(gòu)的隨機，被稱為結(jié)構(gòu)的隨機(su j)振動分析。振動分析。本課程主要學(xué)習(xí)確定性荷載本課程主要學(xué)習(xí)確定性荷載(hzi)作用下的作用下的結(jié)構(gòu)振動分析。結(jié)構(gòu)振動分析。第9頁/共149頁第十頁，共150頁。 結(jié)構(gòu)動力學(xué)的研究結(jié)構(gòu)動力學(xué)的研究(ynji)內(nèi)容內(nèi)容理論理論(lln)(lln)研究：研究：結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析（結(jié)構(gòu)動力學(xué)的正問題）結(jié)

7、構(gòu)的響應(yīng)分析（結(jié)構(gòu)動力學(xué)的正問題）動荷載動荷載結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)體系體系響應(yīng)響應(yīng)控制控制(kngzh)結(jié)構(gòu)的參數(shù)識別或系統(tǒng)識別（反問題）結(jié)構(gòu)的參數(shù)識別或系統(tǒng)識別（反問題）荷載識別（反問題）荷載識別（反問題）結(jié)構(gòu)的振動控制（當(dāng)前科研重點問題）結(jié)構(gòu)的振動控制（當(dāng)前科研重點問題）優(yōu)化設(shè)計（動力設(shè)計，設(shè)計中考慮動力特性）優(yōu)化設(shè)計（動力設(shè)計，設(shè)計中考慮動力特性）第10頁/共149頁第十一頁，共150頁。實驗實驗(shyn)研究研究:高速鐵路橋高速鐵路橋梁動力試驗梁動力試驗材料性能的測定；材料性能的測定；結(jié)構(gòu)動力相似模型的研究結(jié)構(gòu)動力相似模型的研究(ynji)；結(jié)構(gòu)固有（自由）振動參量的測定；結(jié)構(gòu)固有（自由）振動參

8、量的測定；結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的測定結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的測定振動環(huán)境試驗等。振動環(huán)境試驗等。第11頁/共149頁第十二頁，共150頁。與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)相比，動力學(xué)的復(fù)雜性主要與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)相比，動力學(xué)的復(fù)雜性主要(zhyo)表現(xiàn)在：表現(xiàn)在： 結(jié)構(gòu)動力學(xué)的基本結(jié)構(gòu)動力學(xué)的基本(jbn)特性特性P P (t) 動力問題具有隨時間而變化的性質(zhì)；動力問題具有隨時間而變化的性質(zhì)；數(shù)學(xué)解答不是單一的數(shù)值，而是時間的函數(shù)；數(shù)學(xué)解答不是單一的數(shù)值，而是時間的函數(shù)；慣性力是結(jié)構(gòu)內(nèi)部慣性力是結(jié)構(gòu)內(nèi)部(nib)彈性力所平衡的全部荷載的一個重要部分！彈性力所平衡的全部荷載的一個重要部分！引入慣性力后涉及到二階微分方程的求解；引入慣性力后

9、涉及到二階微分方程的求解；需考慮結(jié)構(gòu)本身的動力特性：剛度分布、質(zhì)量分布、阻尼特性分布的影響；需考慮結(jié)構(gòu)本身的動力特性：剛度分布、質(zhì)量分布、阻尼特性分布的影響；t第12頁/共149頁第十三頁，共150頁。結(jié)構(gòu)動力結(jié)構(gòu)動力(dngl)(dngl)分析中體系的自分析中體系的自由度由度靜力自由度靜力自由度:在靜力學(xué)中，一個物體的自由度，通常定義為確定在靜力學(xué)中，一個物體的自由度，通常定義為確定此物體在空間中的位置以及全部變形狀態(tài)所需要此物體在空間中的位置以及全部變形狀態(tài)所需要(xyo)的獨立參數(shù)的數(shù)目。的獨立參數(shù)的數(shù)目。在振動過程的任一時刻，為了表示全部有在振動過程的任一時刻，為了表示全部有意義的慣性

10、力的作用，所必須考慮的獨立意義的慣性力的作用，所必須考慮的獨立位移位移(wiy)分量的個數(shù)，稱為體系的動力分量的個數(shù)，稱為體系的動力自由度。自由度。定義定義第13頁/共149頁第十四頁，共150頁。W=mg在振動在振動(zhndng)過程的任一時刻，為了表示全部有過程的任一時刻，為了表示全部有意義的慣性力的作用，所必須考慮的獨立位移分量的意義的慣性力的作用，所必須考慮的獨立位移分量的個數(shù)，稱為體系的動力自由度。個數(shù)，稱為體系的動力自由度。定義定義(dngy)動力動力(dngl)自由度自由度:F(t)W=mgW=mgW=mgmymymymy動荷載動荷載結(jié)構(gòu)產(chǎn)生彈性變形結(jié)構(gòu)產(chǎn)生彈性變形荷載變化荷載

11、變化結(jié)構(gòu)變形變化結(jié)構(gòu)變形變化變形變化變形變化結(jié)構(gòu)上質(zhì)點振動結(jié)構(gòu)上質(zhì)點振動質(zhì)點振動質(zhì)點振動慣性力慣性力獨立參數(shù)確定質(zhì)量的位置獨立參數(shù)確定質(zhì)量的位置獨立參數(shù)的數(shù)量：獨立參數(shù)的數(shù)量：振動自由度振動自由度第14頁/共149頁第十五頁，共150頁。mymymymmmEI=mmmEI=mmmDOF=1DOF=3【例【例 】考察】考察(koch)圖示結(jié)構(gòu)的自由度圖示結(jié)構(gòu)的自由度:動力自由度數(shù)目動力自由度數(shù)目(shm) 結(jié)構(gòu)動力體系分類結(jié)構(gòu)動力體系分類單自由度體系單自由度體系(tx)多自由度體系多自由度體系(tx)無限自由度體系無限自由度體系(tx)結(jié)構(gòu)動力體系結(jié)構(gòu)動力體系第15頁/共149頁第十六頁，共15

12、0頁。myxm【例【例 】考察】考察(koch)圖示結(jié)構(gòu)的自由度圖示結(jié)構(gòu)的自由度:DOF=2m,yxIDOF=3通常假定通常假定(jidng)受彎直桿無軸向變形，否則自由度數(shù)還會增加；受彎直桿無軸向變形，否則自由度數(shù)還會增加；如果考慮轉(zhuǎn)動，自由度數(shù)還會增加。如果考慮轉(zhuǎn)動，自由度數(shù)還會增加。DOF=3DOF=？DOF=？第16頁/共149頁第十七頁，共150頁。自由度數(shù)是否自由度數(shù)是否(sh fu)取決于質(zhì)點數(shù)？取決于質(zhì)點數(shù)？dxmdxDOF=my機機器器振振動動y自由度數(shù)與結(jié)構(gòu)是靜定還是超靜定有無自由度數(shù)與結(jié)構(gòu)是靜定還是超靜定有無(yu w)關(guān)系？關(guān)系？實際工程結(jié)構(gòu)的質(zhì)量一般都是連續(xù)分布的，都

13、是無限自由度體系，通常實際工程結(jié)構(gòu)的質(zhì)量一般都是連續(xù)分布的，都是無限自由度體系，通常(tngchng)將其簡化為多自由度或單自由度體系分析。將其簡化為多自由度或單自由度體系分析。不完全！不完全！No！第17頁/共149頁第十八頁，共150頁。體系體系(tx)(tx)自由度的簡化自由度的簡化1. 集中集中(jzhng)質(zhì)量法質(zhì)量法把結(jié)構(gòu)的分布質(zhì)量按一定的規(guī)則集中到結(jié)構(gòu)的某個或某些位置上，成為把結(jié)構(gòu)的分布質(zhì)量按一定的規(guī)則集中到結(jié)構(gòu)的某個或某些位置上，成為(chngwi)一系列離散的質(zhì)點或質(zhì)量塊一系列離散的質(zhì)點或質(zhì)量塊 。適用于大部分質(zhì)量集中在若干離散點上的結(jié)構(gòu)。適用于大部分質(zhì)量集中在若干離散點上的

14、結(jié)構(gòu)。例如：房屋結(jié)構(gòu)一般簡化為層間剪切模型。例如：房屋結(jié)構(gòu)一般簡化為層間剪切模型。 1m2m3m第18頁/共149頁第十九頁，共150頁。 例如例如(lr)：m11xm 22xm kkxm NNxm 1m2mkmNm第19頁/共149頁第二十頁，共150頁。適用于質(zhì)量分布適用于質(zhì)量分布(fnb)比較均勻，形狀規(guī)則且比較均勻，形狀規(guī)則且邊界條件易于處理的結(jié)邊界條件易于處理的結(jié)構(gòu)。構(gòu)。例如：右圖簡支梁的變例如：右圖簡支梁的變形可以用三角函數(shù)的線形可以用三角函數(shù)的線性組合來表示。性組合來表示。2. 廣義坐標(biāo)法廣義坐標(biāo)法假定具有分布假定具有分布(fnb)質(zhì)量的結(jié)構(gòu)在振動時的位移曲線可用一系列規(guī)定的位移

15、曲線的和來表示：質(zhì)量的結(jié)構(gòu)在振動時的位移曲線可用一系列規(guī)定的位移曲線的和來表示：lxnbxnnsin)( 1 lxbsin1lxb2sin2lxb3sin3)(x 第20頁/共149頁第二十一頁，共150頁。 nkkkxtAtxy1)()(),(則組合系數(shù)則組合系數(shù)Ak(t)稱為稱為(chn wi)體系的廣義坐標(biāo)。體系的廣義坐標(biāo)。假定具有分布質(zhì)量假定具有分布質(zhì)量(zhling)的結(jié)構(gòu)在振動時的位移曲線為的結(jié)構(gòu)在振動時的位移曲線為 y(x,t)，可用一系列位移函數(shù)，可用一系列位移函數(shù) 的線性組合來表示：的線性組合來表示：定義定義(dngy)(xk 位移函位移函數(shù)數(shù)lxnbxnnsin)( 1 廣

16、義坐廣義坐標(biāo)標(biāo)廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)表示相應(yīng)位移函數(shù)的幅值，是隨時間變化的函數(shù)。表示相應(yīng)位移函數(shù)的幅值，是隨時間變化的函數(shù)。廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)確定后，可由給定的位移函數(shù)確定結(jié)構(gòu)振動的位移曲線。確定后，可由給定的位移函數(shù)確定結(jié)構(gòu)振動的位移曲線。以以廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)作為自由度，將無限自由度體系轉(zhuǎn)化為有限個自由度。作為自由度，將無限自由度體系轉(zhuǎn)化為有限個自由度。所采用的所采用的廣義坐標(biāo)數(shù)廣義坐標(biāo)數(shù)代表了所考慮的代表了所考慮的自由度數(shù)自由度數(shù)。第21頁/共149頁第二十二頁，共150頁。3. 有限有限(yuxin)單元法單元法先把結(jié)構(gòu)劃分成適當(dāng)（任意）數(shù)量的單元；先把結(jié)構(gòu)劃分成適當(dāng)（任意）數(shù)量的單元；對每個單

17、元施行廣義坐標(biāo)法，通常取單元的節(jié)點位移對每個單元施行廣義坐標(biāo)法，通常取單元的節(jié)點位移(wiy)作為廣義坐標(biāo)；作為廣義坐標(biāo)；對每個廣義坐標(biāo)取相應(yīng)的位移對每個廣義坐標(biāo)取相應(yīng)的位移(wiy)函數(shù)函數(shù) （插值函數(shù)）；（插值函數(shù)）；由此提供了一種有效的、標(biāo)準(zhǔn)由此提供了一種有效的、標(biāo)準(zhǔn) 化的、用一系列離散坐標(biāo)表示化的、用一系列離散坐標(biāo)表示無限自由度的結(jié)構(gòu)體系。無限自由度的結(jié)構(gòu)體系。要點要點(yodin)： 將有限元法的思想用于解決結(jié)構(gòu)的動力計算問題。將有限元法的思想用于解決結(jié)構(gòu)的動力計算問題。第22頁/共149頁第二十三頁，共150頁。對分布質(zhì)量的實際結(jié)構(gòu)，體系的自由度數(shù)為單元節(jié)點可發(fā)生的獨立位對分布質(zhì)量

18、的實際結(jié)構(gòu)，體系的自由度數(shù)為單元節(jié)點可發(fā)生的獨立位移未知量的總個數(shù)。移未知量的總個數(shù)。綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的某些特點，是最靈活有效的離散化綜合了集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法的某些特點，是最靈活有效的離散化方法，它提供了既方便方法，它提供了既方便(fngbin)又可靠的理想化模型，并特別適合又可靠的理想化模型，并特別適合于用電子計算機進行分析，是目前最為流行的方法。于用電子計算機進行分析，是目前最為流行的方法。已有不少專用的或通用的程序（如已有不少專用的或通用的程序（如SAP，ANSYS等）供結(jié)構(gòu)分析之等）供結(jié)構(gòu)分析之用。包括靜力、動力用。包括靜力、動力 和穩(wěn)定分析。和穩(wěn)定分析。第23頁/共1

19、49頁第二十四頁，共150頁。第24頁/共149頁第二十五頁，共150頁。結(jié)構(gòu)的動力結(jié)構(gòu)的動力(dngl)(dngl)特性特性第25頁/共149頁第二十六頁，共150頁。kcm( )yt( )F t 承受動力承受動力(dngl)荷載的結(jié)構(gòu)體系的主要物理特性：荷載的結(jié)構(gòu)體系的主要物理特性： 質(zhì)量質(zhì)量m = 結(jié)構(gòu)的慣性結(jié)構(gòu)的慣性(gunxng)；彈簧彈簧k = 結(jié)構(gòu)的剛度；結(jié)構(gòu)的剛度；阻尼器阻尼器c = 結(jié)構(gòu)的能量結(jié)構(gòu)的能量耗散耗散. 質(zhì)量質(zhì)量(zhling)、彈性特性、阻尼特性、外荷載、彈性特性、阻尼特性、外荷載在最簡單的單自由度體系模型中，所有特性都假定集結(jié)于一個簡單的在最簡單的單自由度體系模

20、型中，所有特性都假定集結(jié)于一個簡單的基本動力體系模型基本動力體系模型內(nèi)，每一個特性分別由一個具有相應(yīng)物理特性的元件表示：內(nèi)，每一個特性分別由一個具有相應(yīng)物理特性的元件表示：數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型第26頁/共149頁第二十七頁，共150頁。tytytytytytytytytytytytytytytytytytytytytyty表征表征(bio zhn)結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)特性的一些固有量稱為結(jié)構(gòu)的動力特性，又稱自振特性。結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)特性的一些固有量稱為結(jié)構(gòu)的動力特性，又稱自振特性。定義定義(dngy)結(jié)構(gòu)的動力結(jié)構(gòu)的動力(dngl)響應(yīng)響應(yīng)結(jié)構(gòu)的動力特性結(jié)構(gòu)的動力特性與結(jié)構(gòu)的與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量質(zhì)量、剛度剛度、阻尼阻

21、尼及其分布有關(guān)。及其分布有關(guān)。第27頁/共149頁第二十八頁，共150頁。ty定義定義(dngy)結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動，而在干擾消失后繼續(xù)結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動，而在干擾消失后繼續(xù)(jx)振動，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的自由振動。振動，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的自由振動。如果結(jié)構(gòu)在振動過程中不斷地受到外部干擾力作用，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的強迫振動，又稱受迫振動如果結(jié)構(gòu)在振動過程中不斷地受到外部干擾力作用，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的強迫振動，又稱受迫振動 。ty結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)(jigu)的自由振動與受迫振動的自由振動與受迫振動第28頁/共149頁第二十九頁，共150頁。固有頻率固有頻率( yu pn l)質(zhì)點在運動過程質(zhì)點

22、在運動過程(guchng)中完成一個完整的循環(huán)所需要的時間稱為周期，單位時間內(nèi)完成的循環(huán)次數(shù)稱為頻率。中完成一個完整的循環(huán)所需要的時間稱為周期，單位時間內(nèi)完成的循環(huán)次數(shù)稱為頻率。結(jié)構(gòu)在自由振動時的頻率稱為結(jié)構(gòu)的自振頻率或固有頻率。結(jié)構(gòu)在自由振動時的頻率稱為結(jié)構(gòu)的自振頻率或固有頻率。對大部分工程結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的自振頻率的個數(shù)與結(jié)構(gòu)的動力自由度數(shù)相等。對大部分工程結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的自振頻率的個數(shù)與結(jié)構(gòu)的動力自由度數(shù)相等。結(jié)構(gòu)的自振頻率與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)。結(jié)構(gòu)的自振頻率與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)。tyT第29頁/共149頁第三十頁，共150頁。阻尼阻尼(zn)結(jié)構(gòu)在振動過程中的能量耗散作用稱為阻尼。結(jié)構(gòu)在振動

23、過程中的能量耗散作用稱為阻尼。結(jié)構(gòu)的自由振動會因為阻尼作用而隨時間衰減并最終停止。結(jié)構(gòu)的自由振動會因為阻尼作用而隨時間衰減并最終停止。由于阻尼而使振動衰減的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)由于阻尼而使振動衰減的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)(xtng)稱為有阻尼系統(tǒng)稱為有阻尼系統(tǒng)(xtng)。阻尼原因復(fù)雜：內(nèi)摩擦、連接摩擦、周圍介質(zhì)阻力等。阻尼原因復(fù)雜：內(nèi)摩擦、連接摩擦、周圍介質(zhì)阻力等。ycFD 等效粘滯阻尼：以阻尼器表示結(jié)構(gòu)阻尼作用：等效粘滯阻尼：以阻尼器表示結(jié)構(gòu)阻尼作用：c 為阻尼系數(shù)，為阻尼系數(shù)， 為質(zhì)量的速度。為質(zhì)量的速度。y tyTtyT第30頁/共149頁第三十一頁，共150頁。結(jié)構(gòu)體系結(jié)構(gòu)體系(tx)(tx)運動方程的建立運

24、動方程的建立在結(jié)構(gòu)動力分析中，描述體系在結(jié)構(gòu)動力分析中，描述體系(tx)質(zhì)量運動規(guī)律的質(zhì)量運動規(guī)律的數(shù)學(xué)方程，稱為體系數(shù)學(xué)方程，稱為體系(tx)的運動微分方程，簡稱運的運動微分方程，簡稱運動方程。動方程。定義定義(dngy)運動方程的解揭示了體系在各自由度方向的位移隨運動方程的解揭示了體系在各自由度方向的位移隨時間變化的規(guī)律。時間變化的規(guī)律。建立運動方程是求解結(jié)構(gòu)振動問題的重要基礎(chǔ)。建立運動方程是求解結(jié)構(gòu)振動問題的重要基礎(chǔ)。常用方法：直接平衡法、虛功法、變分法。常用方法：直接平衡法、虛功法、變分法。第31頁/共149頁第三十二頁，共150頁。kcm( )yt( )F t單自由度單自由度體系體系

25、(tx)模型模型質(zhì)量塊質(zhì)量塊m，用來表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和慣性特性，用來表示結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和慣性特性自由度只有一個：水平位移自由度只有一個：水平位移y(t)無重彈簧，剛度無重彈簧，剛度(n d)為為 k，提供結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力，提供結(jié)構(gòu)的彈性恢復(fù)力無重阻尼器，阻尼系數(shù)無重阻尼器，阻尼系數(shù)c，表示結(jié)構(gòu)的能量耗散，提供結(jié)構(gòu)的阻尼力，表示結(jié)構(gòu)的能量耗散，提供結(jié)構(gòu)的阻尼力隨時間變化的荷載隨時間變化的荷載F(t)單自由度體系運動單自由度體系運動(yndng)方程的建立方程的建立第32頁/共149頁第三十三頁，共150頁。單自由度體系運動方程單自由度體系運動方程(fngchng)的建立的建立kcm( )yt( )F

26、t( )yt建立建立(jinl)計算模型計算模型)(tFFFFSDI 取質(zhì)點為隔離體畫平衡力系取質(zhì)點為隔離體畫平衡力系建立平衡方程建立平衡方程IFDFSF)(tF第33頁/共149頁第三十四頁，共150頁。)(tFFFFSDI 平衡平衡(pnghng)方程：方程：ymFI ycFD kyFS 根據(jù)根據(jù)dAlembert原理，等于原理，等于(dngy)質(zhì)量與加速度的乘積：質(zhì)量與加速度的乘積：等于等于(dngy)彈簧剛度與位移的乘積：彈簧剛度與位移的乘積：阻尼力等于阻尼系數(shù)與速度的乘積：阻尼力等于阻尼系數(shù)與速度的乘積：由此得到體系的由此得到體系的運動方程運動方程：)(tFkyycym 慣性力：慣性

27、力：彈性力：彈性力：阻尼力：阻尼力：( )yt( )F tSFDFIF第34頁/共149頁第三十五頁，共150頁。建立體系運動建立體系運動(yndng)方程的方法方程的方法直接平衡法，又稱動靜法，將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為任一時刻的靜力學(xué)問題：根據(jù)達朗貝爾原理，把慣性力作為附加的虛擬力，并考慮直接平衡法，又稱動靜法，將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為任一時刻的靜力學(xué)問題：根據(jù)達朗貝爾原理，把慣性力作為附加的虛擬力，并考慮(kol)阻尼力、彈性力和作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載，使體系處于動力平衡條件，按照靜力學(xué)中建立平衡方程的思路，直接寫出運動方程。阻尼力、彈性力和作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載，使體系處于動力平衡條件，按照靜力學(xué)中建立

28、平衡方程的思路，直接寫出運動方程。虛功法虛功法: 根據(jù)虛功原理，即作用在體系上的全部力在虛位移上所做的虛功總和為零的條件，導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運動方程。根據(jù)虛功原理，即作用在體系上的全部力在虛位移上所做的虛功總和為零的條件，導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運動方程。變分法變分法: 通過對表示能量關(guān)系的泛函的變分建立方程。根據(jù)理論力學(xué)中的哈密頓原理或其等價形式的拉格朗日方程導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運動方程。通過對表示能量關(guān)系的泛函的變分建立方程。根據(jù)理論力學(xué)中的哈密頓原理或其等價形式的拉格朗日方程導(dǎo)出以廣義坐標(biāo)表示的運動方程。第35頁/共149頁第三十六頁，共150頁。直接平衡法，又稱動靜法，將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為

29、任一時刻直接平衡法，又稱動靜法，將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為任一時刻的靜力學(xué)問題：根據(jù)達朗貝爾原理，把慣性力作為附加的的靜力學(xué)問題：根據(jù)達朗貝爾原理，把慣性力作為附加的虛擬力，并考慮阻尼力、彈性力和作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載虛擬力，并考慮阻尼力、彈性力和作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載，使體系，使體系(tx)處于動力平衡條件，按照靜力學(xué)中建立平衡處于動力平衡條件，按照靜力學(xué)中建立平衡方程的思路，直接寫出運動方程。方程的思路，直接寫出運動方程。直接直接(zhji)平衡法平衡法根據(jù)根據(jù)(gnj)所用平衡方程的不同，直接平衡法又分為剛所用平衡方程的不同，直接平衡法又分為剛度法和柔度法。度法和柔度法。第36頁/共149頁第三十七

30、頁，共150頁。剛度法剛度法: 取每一運動質(zhì)量為隔離體，通過分析所受的全部取每一運動質(zhì)量為隔離體，通過分析所受的全部外力外力(wil)，建立質(zhì)量各自由度的瞬時力平衡方程，得，建立質(zhì)量各自由度的瞬時力平衡方程，得到體系的運動方程。到體系的運動方程。kcm( )yt( )F t( )ytIFDFSF)(tF)(tFFFFSDI 平衡平衡(pnghng)方程：方程：第37頁/共149頁第三十八頁，共150頁。柔度法柔度法以結(jié)構(gòu)整體為研究對象，通過分析所受的全部外力以結(jié)構(gòu)整體為研究對象，通過分析所受的全部外力，利用結(jié)構(gòu)靜力分析中計算，利用結(jié)構(gòu)靜力分析中計算(j sun)位移的方法，位移的方法，根據(jù)位移

31、協(xié)調(diào)條件建立體系的運動方程。根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件建立體系的運動方程。取每一運動質(zhì)量為隔離取每一運動質(zhì)量為隔離(gl)體，通過分析所受的體，通過分析所受的全部外力，建立質(zhì)量各自由度的瞬時力平衡方程全部外力，建立質(zhì)量各自由度的瞬時力平衡方程，得到體系的運動方程。，得到體系的運動方程。剛度剛度(n d)法法第38頁/共149頁第三十九頁，共150頁。試用剛度試用剛度(n d)(n d)法建立圖示剛架的運動方程法建立圖示剛架的運動方程m 1EIEIEI2l1lPF(t) 解解 1） 確定自由度數(shù)確定自由度數(shù): 橫梁剛性，柱子橫梁剛性，柱子(zh zi)無軸無軸向變形。向變形。)(ty)(tFPIFDF2S

32、F1SF2） 確定確定(qudng)自由度的位移參自由度的位移參數(shù)。數(shù)。3） 質(zhì)量受力分析：取剛梁為隔離體，確定所受的所有外力！質(zhì)量受力分析：取剛梁為隔離體，確定所受的所有外力！4） 列動平衡方程：列動平衡方程：1個自由度個自由度。021 SSDIPFFFFtF)()(ty第39頁/共149頁第四十頁，共150頁。ymFI ycFD ylEIFS32212 其中其中(qzhng)各力的大?。焊髁Φ拇笮。何灰品ǎ褐右欢水a(chǎn)生位移法：柱子一端產(chǎn)生(chnshng)單位平移時的桿端剪力單位平移時的桿端剪力等效等效(dn xio)粘滯阻尼力：粘滯阻尼力：212li柱端發(fā)生平移柱端發(fā)生平移 y 時產(chǎn)生的

33、梁時產(chǎn)生的梁-柱間剪力：柱間剪力：ylEIFS31112 EIl1由此得到體系的由此得到體系的運動方程運動方程：)(tFylEIlEIycymP 32311212 慣性力：慣性力：021 SSDIPFFFFtF)(彈性力彈性力: Fs=Fs1+Fs2：第40頁/共149頁第四十一頁，共150頁。由此得到體系由此得到體系(tx)的運動方程：的運動方程：)(tFkyycymP 比較比較(bjio)：kcm( )yt( )F t)(tFkyycym （0）m 1EIEIEI2l1lPF(t)(ty)(tFylEIlEIycymP 32311212 ；k 為為（等效）剛度系數(shù)（等效）剛度系數(shù)。3231

34、211212lEIlEIFFkSS 令：令：第41頁/共149頁第四十二頁，共150頁。試用柔度法建立試用柔度法建立(jinl)(jinl)圖示簡支梁的運動方程圖示簡支梁的運動方程q t ( )mEIl 解解 1） 確定自由度數(shù)確定自由度數(shù): 集中質(zhì)量集中質(zhì)量(zhling)，僅豎向，僅豎向位移：位移：)(ty2） 確定自由度的位移確定自由度的位移(wiy)參數(shù)：質(zhì)量參數(shù)：質(zhì)量 m 的的位移位移(wiy)：3） 體系受力分析：取梁整體為隔離體，確定所受的所有外力！體系受力分析：取梁整體為隔離體，確定所受的所有外力！1個自由度個自由度。q t ( )DFIF4） 列位移方程：列位移方程：)(DI

35、PFFy 改寫成：改寫成： PDIyFF 1)(ty第42頁/共149頁第四十三頁，共150頁。)(tqEIlP38454 Dp為動荷載為動荷載 q(t) 引起的質(zhì)量沿引起的質(zhì)量沿y方向的位移：方向的位移：其中：其中：d為自由度方向加單位力所引起的位移，即為自由度方向加單位力所引起的位移，即柔度柔度：EIl483 慣性力：慣性力：ymFI 阻尼力：阻尼力：ycFD PDIyFF 1由此得到由此得到(d do)體系的運動方程：體系的運動方程：)(tqlyycym851 q t ( )位移位移(wiy)方方程：程：)(ty第43頁/共149頁第四十四頁，共150頁。比較比較(bjio)：kcm(

36、)yt( )F tq t ( )mEIl)(tFyycymE 1 含義含義(hny)：等效動荷載直接作用在質(zhì)量自由度上產(chǎn)生的動位移與：等效動荷載直接作用在質(zhì)量自由度上產(chǎn)生的動位移與 實際動荷載產(chǎn)生的位移相等！實際動荷載產(chǎn)生的位移相等！)(tqlyycym851 )(tFkyycym 令：令：)()(tqltFE85 FE(t) 定義為體系的定義為體系的等效動荷載等效動荷載或或等效干擾力等效干擾力。其通用表達式。其通用表達式 PEtF )(第44頁/共149頁第四十五頁，共150頁。)(tFkyycymE 結(jié)論：任何一個單自由度體系的運動方程都可以抽象成為一結(jié)論：任何一個單自由度體系的運動方程都

37、可以抽象成為一 質(zhì)量、彈簧、阻尼器體系的運動方程，一般質(zhì)量、彈簧、阻尼器體系的運動方程，一般(ybn)形式為：形式為：)(tFkyycymP 比較比較(bjio)：)(tFkyycymP 剛架：剛架：)(tFkyycym 基本質(zhì)量彈簧基本質(zhì)量彈簧(tnhung)體系：體系：簡支梁：簡支梁：第45頁/共149頁第四十六頁，共150頁。 練習(xí)題練習(xí)題 試建立試建立(jinl)(jinl)圖示簡支梁的運動方程圖示簡支梁的運動方程EIlllm1F ( ) tP21P=12121P=121112y ymFI F ( ) tP 解解 1） 確定確定(qudng)自由度數(shù)自由度數(shù): 1個自由度。個自由度。2

38、） 位移位移(wiy)參數(shù)：質(zhì)量參數(shù)：質(zhì)量 m 的位移的位移(wiy)y(t)。3） 用柔度法：梁整體分析。用柔度法：梁整體分析。任一時刻任一時刻m 的慣性力的慣性力ymFI )()()(tFymtFFyPPI12111211 )(tFyymP1112111 則則m 的位移方程為：的位移方程為：整理得：整理得：)(tFPP12 )()(tFtFPPE11 )(tFyymE 111 第46頁/共149頁第四十七頁，共150頁。32l32lEIl94311 EIl187312 位移位移(wiy)方程方程：EIlllm1F ( ) tP2)(tFyymP1112111 作單位作單位(dnwi)彎矩圖

39、，如右彎矩圖，如右圖：圖：代入位移方程，整理得：代入位移方程，整理得：)(tFylEIymP87493 或或：)(tFkyymE 311491lEIk )()(tFtFPE87 用圖乘法用圖乘法(chngf)求求d11、d12：第47頁/共149頁第四十八頁，共150頁。第48頁/共149頁第四十九頁，共150頁。最簡單的由剛體、彈簧和阻尼器組成的單自由度體系最簡單的由剛體、彈簧和阻尼器組成的單自由度體系. 已經(jīng)得到已經(jīng)得到(d do)單自由度體系的運動方程：單自由度體系的運動方程：kcm( )yt( )F t)(tFkyycymP （3-1）這個運動方程這個運動方程(fngchng)(fng

40、chng)也適用于可轉(zhuǎn)換為單自由度體系的任何復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的廣義坐標(biāo)反應(yīng)。也適用于可轉(zhuǎn)換為單自由度體系的任何復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系的廣義坐標(biāo)反應(yīng)。 第49頁/共149頁第五十頁，共150頁。0 kyycym 運動運動(yndng)(yndng)方程：方程： 等效動荷載為零的情況等效動荷載為零的情況(qngkung)下的振動稱為下的振動稱為自由振動。自由振動。定義定義(dngy)自由振動產(chǎn)生的原因：自由振動產(chǎn)生的原因：初始時刻的干擾！初始時刻的干擾！ 初始位移；初始速度；初始位移初始位移；初始速度；初始位移+ +初始速度初始速度結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動，而在干擾消失后繼續(xù)振動，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)受外部干

41、擾后發(fā)生振動，而在干擾消失后繼續(xù)振動，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的自由振動自由振動。如果去掉外荷載如果去掉外荷載FP(t)=0!kcm( )yt( )F t上式稱為（二階線性常系數(shù)）上式稱為（二階線性常系數(shù)）齊次方程；齊次方程； 第50頁/共149頁第五十一頁，共150頁。0 kyycym （3-2）齊次方程齊次方程(fngchng)(fngchng)的求解：的求解： 可設(shè)齊次方程解的形式可設(shè)齊次方程解的形式(xngsh)(xngsh)為：為： stGety )(（3-3）02 stGekcsms)( 其特征方程為：其特征方程為： 022 smcs或：或： 代入（代入（3-23-2）可得：）可得： 02

42、 )(kcsms（3-4）stGsety )( steGsty2 )( （3-23-2）稱為）稱為(chn wi)(chn wi)（二階線性常系數(shù)）齊次方程；（二階線性常系數(shù)）齊次方程； 式中式中w2=k/m，w是體系振動的是體系振動的圓頻率圓頻率。根據(jù)阻尼系數(shù)根據(jù)阻尼系數(shù)c c 值的不同，解出的特征參數(shù)值的不同，解出的特征參數(shù)s s 值將具有不同的特性。值將具有不同的特性。 第51頁/共149頁第五十二頁，共150頁。If c=0： 特征方程：特征方程： 022 smcs0 kyycym （3-2）自由振動自由振動(zhndng)(zhndng)方程：方程： is （3-9）titieGeG

43、ty 21)( 引入引入Euler方程方程(fngchng)： 代入代入(3-2)得：得： titeti sincos （3-10）A和和B是由初始條件決定的常數(shù)。是由初始條件決定的常數(shù)。得無阻尼得無阻尼自由振動的自由振動的位移反應(yīng)：位移反應(yīng)： tBtAty cossin)( （3-12）第52頁/共149頁第五十三頁，共150頁。設(shè)設(shè)t=0時：時：00yy )(00yy )(tBtAty cossin)( 代入：代入：tBtAty sincos)( 0y0B0y A0yB 代入：代入： 0yA 單自由度無阻尼單自由度無阻尼(zn)體系運動方程的解：體系運動方程的解：tytyty cossin

44、)(00 （3-13）或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?sin()( tty（3-14）位移位移(wiy)(wiy)反應(yīng)：反應(yīng)： tBtAty cossin)( （3-12）0第53頁/共149頁第五十四頁，共150頁。tytyty cossin)(00 （3-13）bababacossinsincos)sin( 三角關(guān)系：三角關(guān)系：對比對比(dub)(3-13)： b w t; a q0y 0y 顯然顯然(xinrn)有：有： cos 0y sin 0y(3-13)成為成為(chngwi)：ttty cossinsincos)( 即：即：)sin()( tty（3-14）2020yy 00yy arctan

45、 第54頁/共149頁第五十五頁，共150頁。ty0 . .y0 RI y0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 y0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 .

46、 .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ttytyty cossin)(00 （3-13）)sin()( tty（3-14）物理意義：物理意義： 第55頁/共149頁第五十六頁，共150頁。tytyty cossin)(00 （3-13）)sin()( tty（3-14）物理物理(wl)(wl)意義：意義： 2 - -tcos( ) t-cos ty0sin ty0 . . y0. .y0 . .y0 RI t t ty0 . .y0 2 - -T= 2 T= 2 T= 2 第56頁/共149

47、頁第五十七頁，共150頁。運動完成一個完整循環(huán)所需時間稱為運動完成一個完整循環(huán)所需時間稱為(chn wi)自振周期，由于對自振周期，由于對應(yīng)每個角增量應(yīng)每個角增量 2p 便發(fā)生一個完整循環(huán)，自振周期就是：便發(fā)生一個完整循環(huán)，自振周期就是： ）秒秒；（弧弧度度rad/s / mk 單位時間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)稱為單位時間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)稱為自振頻率自振頻率： ）（秒；（秒； sec kmT 22 ）秒；秒；（次（次Hz/ 21 Tf T)sin()( tty1sect 運動的角速度稱為自振運動的角速度稱為自振圓頻率圓頻率：第57頁/共149頁第五十八頁，共150頁。簡支梁的自振頻率簡支梁的自振頻率(pnl)

48、mEIl01 yycym 已知已知：由第由第2 2章我們已經(jīng)章我們已經(jīng)(y jing)(y jing)推導(dǎo)出用柔度表示的簡支梁的運推導(dǎo)出用柔度表示的簡支梁的運動方程：動方程： （2-5）)(tFyycymE 1 令體系令體系(tx)的等效動荷載的等效動荷載FE(t)=0，則簡支梁的自由振動方程為，則簡支梁的自由振動方程為： 根據(jù)定義：等效動荷載為零的情況下產(chǎn)生的振動稱為根據(jù)定義：等效動荷載為零的情況下產(chǎn)生的振動稱為自由振動自由振動。 1 k，則可導(dǎo)出：，則可導(dǎo)出：mkmmgstm1mggPgstg第58頁/共149頁第五十九頁，共150頁。stgPgmggmmk 1簡支梁自振頻率簡支梁自振頻率

49、(pnl)(pnl)的這些表達式說明：的這些表達式說明： d為在質(zhì)量自由度方向加單位為在質(zhì)量自由度方向加單位(dnwi)力所引起的位移！力所引起的位移！ st st表示由于重力表示由于重力(zhgl)mg(zhgl)mg引起的靜力位移！引起的靜力位移！對單自由度體系，自振頻率可以用剛度對單自由度體系，自振頻率可以用剛度k、柔度、柔度 或靜撓度或靜撓度 stst按上式計算；按上式計算；簡支梁的自振頻率簡支梁的自振頻率 是結(jié)構(gòu)剛度是結(jié)構(gòu)剛度k 和質(zhì)量和質(zhì)量m 決定的固有特性；決定的固有特性；結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 隨剛度隨剛度k 增大而增大；隨質(zhì)量增大而增大；隨質(zhì)量m 增大而減小；增大而減小

50、；結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 隨靜撓度隨靜撓度 stst增大而減小。增大而減小。第59頁/共149頁第六十頁，共150頁。比較比較(bjio)圖示三種單自由度梁的圓頻率。圖示三種單自由度梁的圓頻率。mEIl/2l/2mEIl/2l/2mEIl/2l/2梁的自振頻率梁的自振頻率(pnl)(pnl)為：為： m1 解解 按各梁的單位按各梁的單位(dnwi)(dnwi)彎矩圖，彎矩圖，求梁的求梁的d d：4Pl325Pl163Pl8Pl8Pl8PlEIl4831 EIl768732 EIl19233 三種情況的頻率：三種情況的頻率：3148mlEI 317768mlEI 31192mlEI 三種情

51、況的頻率比三種情況的頻率比：25111321:.: 第60頁/共149頁第六十一頁，共150頁。 特征方程：特征方程： 022 smcs0 kyycym （3-2）自由自由(zyu)(zyu)振動方程：振動方程： 則：則： 0 c2222 mcmcs隨著根號中值的符號的不同，這個表達式可以描述隨著根號中值的符號的不同，這個表達式可以描述臨界阻尼、低阻尼臨界阻尼、低阻尼和和超阻尼超阻尼三種體系的運動型式。三種體系的運動型式。本課程只講本課程只講臨界阻尼臨界阻尼和和低阻尼低阻尼兩種情況。兩種情況。第61頁/共149頁第六十二頁，共150頁。 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs mcc2 這

52、時，對應(yīng)這時，對應(yīng)(duyng)的的s 值為值為 ： 0 kyycym （3-2）自由自由(zyu)(zyu)振動方程：振動方程： 臨界阻尼自由振動方程的解為：臨界阻尼自由振動方程的解為： mcssc221/（3-15）tetGGty )()(21（3-16）第62頁/共149頁第六十三頁，共150頁。y0( ) ty( )+etytyt1+00.ty0.由初始條件由初始條件： 0000yyyy)()(得到得到(d do)(d do)臨界阻尼體系反應(yīng)的最臨界阻尼體系反應(yīng)的最終形式：終形式： 臨界阻尼位移臨界阻尼位移(wiy)(wiy)解解： tetytyty )()(001臨界阻尼體系反應(yīng)不是

53、簡諧振動，體系的位移反應(yīng)從開始時臨界阻尼體系反應(yīng)不是簡諧振動，體系的位移反應(yīng)從開始時的，依照指數(shù)規(guī)律衰減，回復(fù)的，依照指數(shù)規(guī)律衰減，回復(fù)(huf)(huf)到零點。到零點。 teGtGty 211)()( 臨界阻尼臨界阻尼的物理意義的物理意義是：是：在自由振動反應(yīng)在自由振動反應(yīng)中不出現(xiàn)震蕩所需要中不出現(xiàn)震蕩所需要的最小阻尼值的最小阻尼值。 速度速度 00201yyGyGtetGGty )()(21（3-16）第63頁/共149頁第六十四頁，共150頁。 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs0 kyycym （3-2）自由振動自由振動(zhndng)(zhndng)方程：方程： 如果體系的

54、阻尼比臨界阻尼小，則顯然如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然(xinrn)有有c/2mw ，這時，這時，特征方程根式中的值必然為負值，則特征方程根式中的值必然為負值，則s 值成為：值成為： 2222 mcimcs 引入符號引入符號： mcccc2 22)(is其中其中 表示體系阻尼與臨界阻尼的比值，稱為表示體系阻尼與臨界阻尼的比值，稱為阻尼比阻尼比，則：，則： mc221i第64頁/共149頁第六十五頁，共150頁。成為成為(chngwi)： dis tittitddeGeGty 21)(0 kyycym 低阻尼自由振動方程：低阻尼自由振動方程： 的解為的解為： titeti sincos 引入

55、引入Euler方程方程： 21 d引入符號引入符號(fho)： 其中其中wd 稱為稱為(chn wi)有阻尼振動有阻尼振動頻率。頻率。21 is則則 )(tititddeGeGe 21)cossin()(tBtAetyddt （3-18）則則 第65頁/共149頁第六十六頁，共150頁。 tytyyetydddtcossin)(000利用利用(lyng)初始條件：初始條件：00yy )(00yy )(得到低阻尼體系動力反應(yīng)的最終得到低阻尼體系動力反應(yīng)的最終(zu zhn)(zu zhn)形式：形式： )cossin()(tBtAetyddt （3-18）)sincos()cossin()(tB

56、tAetBtAetyddddtddt 0yB Ayyd 00dyyA 00第66頁/共149頁第六十七頁，共150頁。寫成矢量寫成矢量(shling)表達式：表達式：)sin()(d tetyt運動的振幅（矢量的模）和初相位運動的振幅（矢量的模）和初相位(xingwi)分別為：分別為： 20020 d yyy 000yyydarctan（3-20） tytyyetydddtcossin)(000低阻尼體系低阻尼體系(tx)(tx)動力反應(yīng)：動力反應(yīng)： 第67頁/共149頁第六十八頁，共150頁。y0RIty0.x(t)et2DT =Dt)sin()(d tetyt物理物理(wl)(wl)意義：

57、意義： 低阻尼體系的自由振動具有不變的圓頻率低阻尼體系的自由振動具有不變的圓頻率wd ，并圍繞中心位置振蕩，而其振幅則隨時間呈指數(shù)，并圍繞中心位置振蕩，而其振幅則隨時間呈指數(shù)e-xwt 衰減。如果反應(yīng)的時間足夠衰減。如果反應(yīng)的時間足夠(zgu)長，最終會衰減到零。長，最終會衰減到零。 第68頁/共149頁第六十九頁，共150頁。)sin()(d tetyt體系的阻尼比可以通過測試體系體系的阻尼比可以通過測試體系運動運動(yndng)的衰減規(guī)律得到：的衰減規(guī)律得到：阻尼體系動力阻尼體系動力(dngl)反反應(yīng)：應(yīng)：體系從任一時刻經(jīng)幾個周期后的體系從任一時刻經(jīng)幾個周期后的振幅比為：振幅比為：( ()

58、 )d nTnnTtttteeeeyykknkk2取對數(shù)后取對數(shù)后：dln nyynkktt2 nkkttyyn ln21d ty(t)ettkt +nTk0kte d/ 2T)(nTtke第69頁/共149頁第七十頁，共150頁。（3-21）nkkttyyn ln21阻尼比：阻尼比：體系阻尼體系阻尼(zn)的測試：的測試：2 2）計算）計算(j sun)(j sun)阻尼比：阻尼比：確定確定(qudng)結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。nkkttyy nkkttyyn ln21kmmc 22ty(t)et2DT=ytk+nytktkt +nTk0 e(t +nT)ketk1）

59、實測體系經(jīng)過個周期后的位移幅值比：）實測體系經(jīng)過個周期后的位移幅值比：3 3）計算阻尼系數(shù)：）計算阻尼系數(shù)：第70頁/共149頁第七十一頁，共150頁。已知：已知：26mN 105 . 4 EI 柱子無重柱子無重, h=3m, 剛性橫梁剛性橫梁(hn lin)m=5000kg 初位移初位移25mm 解解 確定確定: ytk=yt0=25mm, yt5=7.12mm,計算阻尼比計算阻尼比:5ln21ttyynk 04. 012. 725ln521 計算阻尼系數(shù)：計算阻尼系數(shù)：kmmc 22kg/s 7 .113130 . 3105 . 424500004. 0236 m 1EIEIEI 25mm

60、h3122hEIk 第71頁/共149頁第七十二頁，共150頁。鋼筋混凝土和砌體鋼筋混凝土和砌體(q t)(q t)結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)：x=0.020.05;x=0.020.05;鋼結(jié)構(gòu)：鋼結(jié)構(gòu)：x=0.0020.02;x=0.0020.02;拱壩：拱壩：x=0.030.05;x=0.030.05;重力壩：重力壩：x=0.050.1;x=0.050.1;土壩、堆石壩：土壩、堆石壩： x=0.10.2 x=0.10.2常用常用(chn yn)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的阻尼比的阻尼比 第72頁/共149頁第七十三頁，共150頁。表表3-0 阻尼比的建議阻尼比的建議(jiny)值值EUROCODE 1（EN1991-2）