解析幾何專題含答案

1、1.【2017浙江,22】橢圓土92 y_41的離心率是2.B.C.D.-9【2017課標3,理10】已知橢圓C:x2 a2 y_ b71, （a>b>0）的左、右頂點分別為A, A,且以線段 AA為直徑的圓與直線bx ay 2ab0相切,則C的離心率為C.D.3.12016高考浙江理數】已知橢圓C:2J+y2=1(m>1)與雙曲線 C2： m2 x 2 ny2=1( n>0)的焦點重合，a, e2分別為C, C的離心率，則（）A.m>n 且e1e2>1B .m>n且e1e2<1C .m<n且 ee>1巳位<12 y b221(

2、a b 0)4.12016高考新課標3理數】已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C :三 a的左焦點，A,B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PFx軸.過點A的直線與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為（）2(C)-35.12015高考新課標1,理14】一個圓經過橢圓2 x1625 1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為BFC 90：,則該橢圓的離心率是.(a>b>0),四點 R(1,1 ), P2(0,1 ),P3 ( 1,旦),R (1,2當中恰有三點在橢圓C上.226.12016高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是

3、橢圓勺 與1(a>b>0) a b的右焦點，直線y b與橢圓交于B,C兩點，且2227.12017課標1,理20已知橢圓C: ' 4=1 a b(1)求C的方程;(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線BA與直線P2B的斜率的和為-1,證明：l過定點.8.12017課標II ,理】設。為坐標原點，動點2M在橢圓C:2y2 1上，過x軸的垂線，垂足為N,點P滿足求點P的軌跡方程;(2)設點Q在直線x 3上，且OP pQ 1。證明：過點P且垂直于OQ勺直線l的左焦點F。29.12017山東，理21】在平面直角坐標系xOy中，橢圓E:與 a心率為_2 ,焦距為.2

4、(I )求橢圓E的方程；221 a b 0b2的離(n)如圖，動直線：yk1x?交橢圓E于a,b兩點，C是橢圓E上一點，直線OC的斜率為k2,且k1k2彳M是線段OC延長線上一點，且| MC : AB 2:3 , 0M的半徑為MC , OS,OT是0M的兩條切線,切點分別為S,T.求 SOT的最大值，并求取2匕 1(a b b20)的左焦點為F ,右頂點為A,得最大值時直線的斜率.210.【2017天津，理19】設橢圓今 a 離心率為J .已知A是拋物線y2 2Px(p 0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線的距離為1 .2(I)求橢圓的方程和拋物線的方程;(II )設上兩點P, Q關于軸對稱，直線AP

5、與橢圓相交于點B(B異于點A),直 線BQ與軸相交于點D .若 APD的面積為J6 ,求直線AP的方程.2211.12017江蘇，17如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓e：勺 L 1(a b 0)的 a b左、右焦點分別為F1, F2,離心率為L兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E2上，且位于第一象限，過點Fi作直線PFi的垂線,過點F2作直線PF2的垂線.(1)求橢圓E的標準方程;E上，求點P的坐標.12.12016高考新課標1卷】(本小題滿分12分)設圓x2 y2 2x 15 0的圓心為A直線l過點B (1,0 )且與x軸不重合，1交圓A于G D兩點,過B作AC的平行線 交AD于點E(I)

6、證明EA| |EB為定值，并寫出點E的軌跡方程;(II )設點E的軌跡為曲線C,直線1交C于M N兩點，過B且與1垂直的直線與 圓A交于P, Q兩點，求四邊形MPN面積的取值范圍.13.12016高考山東理數】(本小題滿分14分)2平面直角坐標系xOy中，橢圓C: 口a4 1 a> b>0的離心率是,拋物線E:b22x因此直線的方程為y m 2y的焦點F是C的一個頂點.(I)求橢圓C的方程;(II )設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線與C交與不同的兩 點A, B,線段AB的中點為D,直線ODW過P且垂直于x軸的直線交于點 M(i )求證：點 M在定直線上;(ii )

7、直線與y軸交于點G,記4PFG的面積為S, APDM的面積為S2,求S的 25最大值及取得最大值時點P的坐標.S . 9 .【答案】(I) x2 4y2 1； (n) (i)見解析；(ii ) 三的最大值為了，此時點PS24的坐標為(二二)2 4【解析】試題分析：(I )根據橢圓的離心率和焦點求方程;(n) (i )由點P的坐標和斜率設出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進而判斷點M在定直線上；(ii )分別列出SS2面積的表達式，根據二次函數求最值和此時點P的坐標.試題解析:2(n ) (i )設 P(m, )(m20),由x2 2y可得y/所以直線白斜率為m,2m(x m),即 y mx 2 m

8、設 A(xi，y) B(X2，y2)，D(Xo, y°),聯(lián)立方程 y mX 2x2 4y2 1得(4m2 1)x2 4m3x m4 1 0,3由 0,得0 m .2 V5 且 x1 x2 m,4m2 1因此xoxx22m34m2 122將其代入y mx 得y0絲22(4m1)因為區(qū) 工，所以直線OD方程為yx0 4m1 x.4m1聯(lián)立方程y 4mx，得點M的縱坐標為yM-4x m一， 1即點M在TE直線y -上. 42 m mx 一 22(ii )由(i )知直線方程為y2令x 0得ym,所以G(0,),222 m m 又P(m,21,)，F(xiàn)(0，2)，D(2m34m2 1,2(4

9、m2 1)1_1, 2 八所以 S1 - | GF | m - m(m 1),22c 1m(2m1)S2- | PM | |m x0 |» 2 八，28(4m1)22S2所以皇 2(4m 21)(m2 1), (2m2 1)22Si （2t 1）（t 1）11c令 t 2m2 1 則2- 丁 - 2,S2t2t2 t當1 1,即t 2時，且取得最大值9,此時m 避，滿足 0,t 2S242 '所以點p的坐標為（立,1）,因此色的最大值為9,止匕時點p的坐標為（蟲）. 2 4'642 4考點：1.橢圓、拋物線的標準方程及其幾何性質；2.直線與圓錐曲線的位置關系；3.二次

10、函數的圖象和性質.14.12015江蘇高考，18（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標系 xOy中，已知橢圓x41 a b 0的離心率為叵, a b2且右焦點F到左準線l的距離為3.（1）求橢圓的標準方程；（2）過F的直線與橢圓交于 A, B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB 于點P, C,若PG=2AB,求直線AB的方程. 2【答案】（1） x- y2 1y x 1或y x 1. 2【解析】試題分析（1）求橢圓標準方程，只需列兩個獨立條件即可：一是離心率為,2二是右焦點F到左準線l的距離為3,解方程組即得（2）因為直線AB過F,所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關鍵就是根據

11、PC=2AEH出關于斜率的等量關系，這有一定運算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩 點坐標，利用兩點間距離公式求出 AB長，再根據中點坐標公式求出 C點坐標，利PC長，利用 PC=2AEB»用兩直線交點求出P點坐標，再根據兩點間距離公式求出出直線AB斜率，寫出直線AB方程.(2)x軸時,亞，又C 3,不合題意.與軸不垂直時，設直線X1,y1 ,X2,y2 ,的方程代入橢圓方程，得22221 2k2 x2 4k2x 2 k20,X1,22k2 、2 1 k21 2k2_ 22k2k，C的坐標為k，k，222x2x1y2Vi 1 k x2x12 2,2 1 k221 2

12、k2若k 0,則線段的垂直平分線為y軸,與左準線平行,不合題意.從而k 0,故直線kC的方程為y /法21 2k2x2k 1 2k2則點的坐標為 2,5k2 2T1k從而C2 3k2 1.1 k22k 1 2k2因為C 22 3k2 1 .1 k24,2 1 kk 1 2k221 2k2此時直線方程為y x 1或y x 1【考點定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關系15.12016高考天津理數】(本小題滿分14分)22設橢圓七1(a V3 )的右焦點為F,右頂點為A ,已知也，其中。為原點，為橢圓的離心率.|OF| |OA| |FA|(I )求橢圓的方程;(n)設過點A的直線與橢圓交于點 B (

13、B不在x軸上)，垂直于的直線與交于點M ,與y軸交于點H ,若BF HF ,且 MOA MAO ,求直線的斜率的取值范圍2y3J 6J 6)(，R 不【解析】試題分析：(I)求橢圓標準方程，只需確定量，由3c a(a c),再利用b2 3可解得c24 (n)先化簡條件:MOAMAO|MA|MO|即M再OA中垂線上,XM1再利用直線與橢圓位置關系，聯(lián)立方程組求B;利用兩直線方程組求H,最后根據BF HF ,列等量關系解出直線斜率.取值范圍試題解析：(1)解：設F (c,0)1|OA|3c*|1 3c ,可得a a(a c)又 a2 c2b2 3 ,所以c21 ,因止匕a2所以橢圓的方程為(2)(

14、n)解:設直線的斜率為k(k 0),則直線的方程為k(x 2).設 B(XB,yB),2 x 由方程組7y2y3 k(x1 ,消去y,整理得2)(4k2 3)x2 16k2x16k2 12 0.g,由題意得xB8k 62,從而yB4k 312k214k2 3由(I )知,F(1.0)，設 H(0,yH),有 FH (1,yH), BF2,9 4k 12k(一2一,一21).由 BF HF,4k 3 4k 3得 BF HF0,所以_2_9 4k12kyH 04k2 3 4k2 3'解得yH2且必.因此直線MH的方程為 12k- 29 4k212k，-19-妮加了 q設Mg” y<)

15、,由方程組，*=-3"+下消去丁，解得青三蔑:;.在中, y=k(x-2)2(謂十9£MOAiZMAO«|AMMO 3即(2-2)，+尺菖只*，化簡得知之1，即 n之八 解12(7+1)*£_與或44.44所以，直線的斜率的取值范圍為 (,4噂).考點：橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程 2216.12015高考山東，理20】平面直角坐標系xoy中，已知橢圓cS 121ab 0 a b、.3,八一，一一，一，的離心率為 ,左、右焦點分別是Fi,F2,以Fl為圓心以3為半徑的圓與以F2為 2圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓 C上.(I )求橢圓C的方程

16、；22(II)設橢圓E: J 4 1, P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y kx m交 4a2 4b2橢圓E于A,B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.(i )求(0Q的值；|OP(ii )求 ABQ面積的最大值.2_【答案】(I ) y2 1 ； (II ) ( i )2 ; (ii ) 6'/3 . 4【解析】試題分析：(I)根據橢圓的定義與幾何性質列方程組確定a,b的值，從而得到橢圓的方程；(II ) (i )設POQOP,由題意知QXo,y0 ,然后利用這兩點分別在兩 上橢圓 上確定 的值；（ii ）設A xi,yi ,B X2,y2 ,利用方程組y2 X16kx m2y ,4結合

17、韋達定理求出弦長|AB ,選將OAB的面積表示成關于k,m的表達| |X2X22.16k2 41 4k2m1 4k222m心匚 人 m2 ,然后，令2 t ,1 4k21 4k2利用元二次方程根的判別式確定的范圍,從而求出OAB的面積的最大值，并結合（i ）的結果求出為B，Q面積的最大值.試題解析：（I ）由題意知2a4,2,ab2可得b 1 ,2所以橢圓C的標準方程為 4（II ）由（I ）知橢圓E的方程為2 X161,(i)設 Pxo,yo ,OQOPXo,V。2因為包4y21,2又一Xo-162Xo2y。所以2,即OQ |OP所以X1X2416k2 4 m21 4k2因為直線ykx m與

18、軸交點的坐標為 0,m所以OAB的面積S 1m2、16k2 4X2X21 4k2m4k2kX m代入橢圓C的方程可得1 4k2 x2 8kmX 4m2 4 0。，可得m21 4k2由可知。t 1因止匕S 2 4tt2J t2 4t ,故 S273當且僅當t 1,即m2 1 4k2時取得最大值2M由（i ）知，ABQ面積為3S ,所以ABQ面積的最大值為6於.E考點定位】1,桶掰的拆準方程與幾何性質$ %亶線與BHH立同關系綜合問題3 3酬的最值問題.t名師點】本題考查了橢圜的彼芝拆準方程與幾何性質以及自線與牖圜的位置關系，意在考查學生理W 力、分析判斷能力以及綜合于用所學知識第決i硒肋和較強的

19、運算求解熊力，在富到三醋柩的面枳茁廉 達式后，靛者利用換元的方法：觀察出其中的心蹴背景成了完全解決問題的關鈍.17.12015高考陜西，理20（本小題滿分12分）已知橢圓2 y b21(a b 0)的半焦距為，原點到經過兩點c,0 ,0,b的直線的距離為1c .2（I）求橢圓的離心率；（II ）如圖， 是圓：x 22 y 1 2 5的一條直徑，若橢圓 經過， 兩 點，求橢圓的方程.【答案】（I ）理；（II ） 1 .2123【解析】試題分析：（I）先寫過點c,0 , 0,b的直線方程，再計算原點到該直線的距離, 進而可得橢圓 的離心率；（II ）先由（I ）知橢圓 的方程，設 的方程，聯(lián)立y

20、 k x 2 1. 一，x2 4y2 4b2消去y '可信X1 X2和X1X2的值，進而可得，再利用I I而可得b2的值，進而可得橢圓的方程.試題解析：（I）過點c,0 , 0,b的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點到直線的距離d區(qū)，b2 c2 a由d_1c,得a _2b_270=,解得離心率-：3. -2a 2(II)解法一：由(I)知，橢圓 的方程為xq4y2二4b2.依題意，圓心 2,1是線段 的中點，且|AB匚T10.易知， 不與軸垂直，設其直線方程為y=k(x + 2)+ 1，代入(1)得8k(2k|l)_ 4(2k1l)2-4b2設 A(Xi,yi),B(X2,y2),

21、貝11 X +x2=-；/4涇 二-；一.1十4k1十4k由 X1+X2 =-4,得 _8k(2kJ)_4,解得 k_1. 1 + 4k22從而 xX2 二82b2.于是 | AB | ,1 一 | x1 x2 | X x1 x2 2 4x1x2. 10(b2 2).由 |AB|二田0,得 j10(b22)二屈,解得 b2 二3. 22故橢圓的方程為上+工二1.123解法二：由(I)知，橢圓 的方程為x44y2二4b2.因止匕直線方程為y二1(x + 2)+1,代入(2)得x2+4x + 8-2b2 = 0.所以 x1 + x2 = -4 , X1X2 二 8 - 2b2.于是 | AB |

22、, 1 1 1X1X2I；、. x1 x2 2 4x1x2 10(b2 2).由 |AB |二田0 ,得 j10(b22)二廂，解得 b2 二 3 .22故橢圓的方程為人+二二1.123考點：1、直線方程；2、點到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關系；7、直線與圓錐曲線的位置.218.12016高考浙江理數】(本題滿分15分)如圖，設橢圓 三y2 1 (a>1).a（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用 a、k表示）；（II ）若任意以點 A （0,1 ）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I

23、）a22kL 5ytv；（ii）o e 也.1 a2k22【解析】2試題分析：（I）先聯(lián)立y kx 1和勺y2 1,可得, X2,再利用弦長公式可得 a直線y kx 1被橢圓截得的線段長；（II ）先假設圓與橢圓的公共點有4個，再利用對稱性及已知條件可得任意以點0,1為圓心的圓與橢圓至多有個公共點時，a的取值范圍，進而可得橢圓離心率的取值范圍.x10 , x22a2ky kx 1，由x22 得2 y 1 a試題解析：（I）設直線y kx 1被橢圓截得的線段為因此N|x1 人 小 IV（II ）假設圓與橢圓的公共點有 4個，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同 的點，Q,滿足記直線 ，Q的斜率

24、分別為k1 , k2，且k1 , k2 0 , k1 k2 .由（I ）知，2a2 |k11 Ji k122a2 網 Ji k；2272， Q2272，1 a k11 a k2故因此4 1 4 1 1 a2 a2 2 ,k1k2因為式關于k1, k2的方程有解的充要條件是1 a2 a2 21,所以 a 無.因此，任意以點0,1為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為 1 a 2,由e c Ya二得，所求離心率的取值范圍為 0 e且. a a2考點：1、弦長；2、圓與橢圓的位置關系；3、橢圓的離心率.19.12015高考新課標2,理20（本題滿分12分） 已知橢圓C:9x2 y2 m2（m 0

25、）,直線不過原點O且不平行于坐標軸，與C有兩個交點A , B ,線段AB的中點為M .（I ）證明：直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值；（n）若過點（m,m）,延長線段OM與C交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊 3形若能，求此時的斜率，若不能，說明理由.【答案】（I）詳見解析；（n）能，4 "或4 V7.x1 x2kb22 k2 9【解析】(I)設直線 l：y kx b (k 0,b 0), AM»)，B(x2,y2), M(Xm"m).將 y kx b 代入 9x2 y2 m2得(k2 9)x2 2kbx b2 m2 0 ,故 xMYm kxM b.于是直線

26、OM的斜率koM .9 ,即koM k 9 .所以直k 9Xmk線OM的斜率與的斜率的乘積為定值.（II）四邊形OAPB能為平行四邊形.因為直線過點（m,m）,所以不過原點且與C有兩個交點的充要條件是k 0, k 3. 39由（I ）得OM的方程為y 2 X .設點P的橫坐標為XP .由y kX， 得k2229x y m ,1 2 212 k mkmXp-z,即 Xp P 9k2 3 81 P 3.-k2 9.將點e，m）的坐標代入直線的方程得b 中,因此xm 嗎 3）.四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段 AB與線段OP互相平 3（k9）分，即Xp m” 3）.解得 4萬 心 4用.因為k

27、i 0,ki 3, i 1 ,所以當的斜 3（k2 9）12率為4 萬或4 77時，四邊形OAPB為平行四邊形.【考點定位】1、弦的中點問題；2、直線和橢圓的位置關系.【名師點睛】（I）題中涉及弦的中點坐標問題，故可以采取“點差法”或“韋達定理”兩種方法求解：設端點 A,B的坐標，代入橢圓方程并作差，出現(xiàn)弦 AB的中點和直線的斜率；設直線的方程同時和橢圓方程聯(lián)立， 利用韋達定理求弦 AB的中 點，并尋找兩條直線斜率關系；（n）根據（I ）中結論，設直線 OM方程并與橢圓 方程聯(lián)立，求得M坐標，利用xp 2xm以及直線過點（m,m）列方程求的值.Xm .于是/k3;k 9頂點，余率為k（k 0）

28、的直線交E于A,M兩點，點N在E上，MA NA .(I)當 t 4,| AM | |AN | 時，求 AMN 的面積;（II）當2 AM AN時，求k的取值范圍.144_【答案】（I） -；（n）3/2,2.【解析】試題分析N I）先來自線 川的方程，再求點/魄I坐醞最后求。皿的面積M 設初（巧尸），, 將直線處的方程與桶舫程組成方程郁 消去用k表示再，從而表示翩里用上表示I必1； 再由2|皿| 二 |妙|求匕22試題解析：（I）設M x1,y1 ,則由題意知yi 0,當t 4時，E的方程為土 1,43A 2,0 .由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線 AM的方程為y x 2.

29、22c1212將x y 2代入人 E1得7y212y 0.解得y 0或y上，所以y .4377因此AMN的面積2 1學衛(wèi).2 7749(II )由題意 t 3 , k 0 , A a,0 ._22_將直線AM的方程y0.6. t 2 k23 tk26kt 1 k23k2 tk(x 4)代入乙 L 1得 3 tk2 x2 2/ttk2x t2k2 3t t 3, 廣t2k2 til 3 tk2 皿n 22由 x1vt 2得 x1 2，故 AMx1 Vt v1 k3 tk-3 tk1由題設，直線AN的方程為y - x 7T ,故同理可得ANk192krr Q由 2 AM AN 得2 ，即 k 2

30、t 3k 2k 13 tk2 3k2 t當k V2時上式不成立,因此t3k 2kl. 13等價于 k3 3k2 k2 k3 2k3 2k 2 k2 1k3 2""0,k 2k 2 0k 2 03即-0.由此倚，或 鼻 ，斛倚V2 kk3 2k3 2 0k3 2 02.因此k的取值范圍是3/2,2 .考點：橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系21.12015高考四川，理20如圖，橢圓22廠E:與+%1(a b 0)的離心率是必，a b2過點P (0,1 )的動直線與橢圓相交于A, B兩點，當直線平行與x軸時，直線被橢圓E截得的線段長為2夜.(1)求橢圓E的方程；(2)在平面直角坐

31、標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q使得 留 啰恒 |QB| |PB|成立若存在，求出點 Q的坐標；若不存在，請說明理由22【答案】(1)亍存在，Q點的坐標為Q(0,2).【解析】(1)由已知，點(72,1)在橢圓e上.因此,_2 2 a2 a1 b2 b2 2 21,解得a2,b.2.所以橢圓的方程為 所以，若存在不同于點 P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標只可能為Q(0,2).F面證明：對任意的直線，均有|QA| |PA|QB| |PB|當直線的斜率不存在時，由上可知，結論成立當直線的斜率存在時，可設直線的方程為y kx 1, A B的坐標分別為(xi, yi),(x2, 丫2).222

32、上1 -。.聯(lián)立 42，得(2k1)x 4kx 2y kx 1其判別式16 k2 8(2k2 1) 0,所以，x1 x24k2,取22k2 1222k2 1因此 1 1 x_2 2k .x x2 g易知，點B關于y軸對稱的點的坐標為B( x2,y2).又 kQA 2 k -,kQB 五二 k k L x1x1x2xx1所以kQA kQB ,即Q, A,B三點共線.所以LQAJ 1QA1國四|QB| |QB | |x2 | |PB故存在與P不同的定點Q(0,2),使得 31 3 恒成立.|QB| |PB|22.【2016年高考北京理數】(本小題14分)已知橢圓 C:匕 1 (a b 0)的離心率

33、為 旦,A(a,0) , B(0,b) , O(0,0) , OAB a2 b22的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設P的橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N.求證：AN BM為定值.2【答案】(1);y2 1；詳見解析.【解析】試題分析：(1)根據離心率為 立，即c 叵,OAB的面積為1,即1ab 1,橢 2 a 22圓中a2 b2 c2列方程求解；(2)根據已知條件分別求出AN|, |BM |的值，求其乘積為定值. 2所以橢圓C的方程為y2 1.4(2)由(I)知， A(2,0), B(0,1),設 P(x0, y(J ，則 x0 4y0 4.當x00時，直線

34、PA的方程為y表(x 2).己.從而M 1、m1 1懸直線PB的方程為y "y0-x 1.x。令 y 0,得 xn-x°-.從而 AN 2 xn 2 -x°-y0 1y0 1所 以 AN BM 2 -x°I 1 -2y°-y0 1x0 222x04 y0 4x0y04xO 8 yO 4x0y0xo2 yo24%y0 4x0 8y0 8x0 y0 x02 y02當 x0 0 時，y 1 , BM 2, AN 2,所以AN BM 4.綜上，AN BM為定值.考點：1.橢圓方程及其性質；2.直線與橢圓的位置關系23.【2016年高考四川理數】(本小題

35、滿分13分)22已知橢圓E：三、1(a b 0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三 22a b個頂點，直線l：y x 3與橢圓E有且只有一個公共點 T.(I)求橢圓E的方程及點T的坐標；(n)設O是坐標原點，直線l '平行于OT與橢圓E交于不同的兩點 A B,且與直線l交于點P.證明：存在常數 ，使得|PT2 PA | PB ,并求 的值.22【答案】(I) ' 2 1,點T坐標為(2,1)；( n)-.635【解析】試題分析：(I)由橢圓兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點可得a J2c,從而可得a 伍，橢圓的標準方程中可減少一個參數，再利用直線和橢圓只有一

36、個公共點，聯(lián)立方程，方程有兩個相等實根，解出 b的值，從而得到橢1圓的標準萬程；(n)首先設出直線1'萬程為y -x m ,由兩直線萬程求出點 P坐, ，一2 -標，得|PT| ,同時設交點A(x,y)B(X2,y2),把1'方程與橢圓方程聯(lián)立后消去 y得x的二次方程，利用根與系數關系，得X1 X2,XX2,再計算PA PB ,比較可得 值.試題解析：(I)由已知，a2工幺12b2 b2,得 3x2 12x (18 2b2) 0. (Ty x 3,方程的判別式為二24(b2 3),由=0,得b2=3,此方程的解為x=2 , a2 (2c)2,即a 岳，所以a 揚，則橢圓E的方2

37、程為余2 y b2由方程組2所以橢圓E的方程為62匕1.3點T坐標為（2,1 ）.22x y由方程組631y 2x1,可得 3x2 4mx (4m2 12) 0 . m,方程的判別式為= 16(9 2m2),由>0,解得3223.22由得Xi. 24m4m 12X2= 一，x1X233所以PAs 2m 、2 2m 、2(2%)(1Yi)332522m3同理PB2m3 x2所以PAPB(2 23m x1)(22mT x2)10 2 m .9故存在常數5，使得|PTPA PB .考點：橢圓的標準方程及其幾何性質24.12015高考重慶，理21】如題（21）圖,2 y b21 a b 0的左、

38、右焦點分別為F3F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點，且PQPF1（1）若|PFi 2 72, PF2 2 72,求橢圓的標準方程（2）若PF1PQ,求橢圓的離心率e.2_【答案】（D/丫馬；*向【解析】 試題解析：(1)本題中已知橢圓上的一點到兩焦點的距離，因此由橢圓定義可得長軸長，即參數的值，而由 PQ PFi,應用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；(2)要求橢圓的離心率，就是要找到關于a,b,c的一個等式，題中涉及到焦點距離，因此我們仍然應用橢圓定義，設PF1 m ,則PF2 2a m , QF2 PQ PF2 m (2a m) 2m 2a,于是有 QFi 2a QF2 4a 2m

39、 ,這樣在Rt PQFi中求得m 2(2 回a ,在Rt PF1F2中可建立關于a,c的等式，從而求得離心率.(1)由橢圓的定義，2a PFi |+|PF2|= 2+72 + 2-桓 = 4,故 a=2.設橢圓的半焦距為C,由已知PF1 PF2,因此2c 彳F1F2I = jPF |2 +|PFd2 =：2+ 5 2+ 2- 2 2 = 2、3,即 c=,、3.從而 b 二；a2_c2=12故所求橢圓的標準方程為 -+y2=1.4由橢圓的定義，| PR | +| PF2 |二 2a,| QF1 | + |QF21二 2a ,從而由 | PR |= | PQ |= | PF2 | + | QF?

40、 | ,有 |QF1|Z4a-2|PF|又由 PF1 PF2, |PF1 | 二 |PQ|知 |QF 匕 V2|PF1|,因此 2+V2 |PE|=4a于是 2+ 2 a+ .a2 -2b2 二4a.2解得 e 1 14-r= 1 戀 V3.: 222解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，|PF1|+|PF2|二2a,|QF1| + |QF2F2a,從而由|P| = |PQ| = |PF2| + |QF2|,有 |QF1 | 二 4a - 2|P|又由 PF1 PF2, |PF1 | 二 |PQ| 知 |QF fI|P)|,因此 4a-2| PF：J2|PF|,|PF |=2(2-石)a,從而

41、|PF，| =2a-| PF |二2a _(2-V2)a =2(V2_1)a由 PE PF2,知 |PE|2 +|PF2二|PF2|2二(2c)2 二 4c2,因此.,直線和橢圓相交問題，考【考點定位】考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質 查運算求解能力.2225.12015高考安徽，理20】設橢圓E的方程為 與121ab 0 ,點 仍坐標原 a b點，點A的坐標為 a,0，點B的坐標為0,b，點M£線段ABk,滿足|BM| 2 MA ,直線OMHJ斜率為-1.(I)求E的離心率e；(II )設點C的坐標為0, b , N為線段AC的中點，點N關于直線AB的對稱點的縱坐標為7,求 2E

42、 的方程.【答案】(I)通；(II ) U亡1.5459【解析】(I)由題設條件知，點M的坐標為(2ab),又m 無，從而上 走， 3 3102a 10進而得a V5b, cb2 2b,故e m底.a 5(II )由題設條件和(I)的計算結果可得，直線AB的方程為x、.5b坐標為與；b),設點N關于直線A對稱點S的坐標為由,，則線段NS的中點T的坐標為(*b , b1).又點T在直線AB上，且kNS kAB1,4244從而有5. x1b 42；5b 721h 7 b _44bx11b 2,5b、52 x452 y91.1解得b 3 ,所以a 3J5 ,故橢圓E的方程為1.橢圓的離心率;2.【考

43、點定位】橢圓的標準方程；3.點點關于直線對稱的應用.2226.12015高考福建，理18】已知橢圓E: x2+與=i(a>b>0)過點(0,72),且離心 a b率為二. 2(I)求橢圓E的方程；(II)設直線x=my-1, (m ER)交橢圓E于A, B兩點，判斷點G(-9,0)與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由.422【答案】(I ) +-1 ; ( n) G (- 9,0)在以AB為直徑的圓外.424a=2 解得飛二雙 , c-42 一【解析】解法一：(I)由已知得22所以橢圓E的方程為二十二二1.42,22二(m +1)(y1+y2) -4yly2二(m |AB|2 5 2 ,、 25 5m23(m2+1), 25 17m2+2、c 故 |GH|2my°+(m2+1)y1y2+一二一22L)0 21