利用仿射變換解決與橢圓有關(guān)的高考試題

1、利用仿射變換解決與橢圓有關(guān)的高考試題文談及利用仿射變換可以解決一些初等幾何的問題，可以使問 題變得更加簡潔、透徹，對筆者啟發(fā)很大，筆者通過自己的教學(xué)實(shí)踐 感覺到利用仿射變換，可以將橢圓的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題， 從而 可以借助圓當(dāng)中的一些性質(zhì)解決問題，使問題的解決過程大大簡化， 在利用仿射變換解決相關(guān)問題時，主要利用以下幾個性質(zhì)：性質(zhì)1變換后共線三點(diǎn)單比不變（即變換后三點(diǎn)的兩個線段的 比值和變換前的比值一樣）；性質(zhì)2變換后保持同素性和接合性（即變換前直線與曲線若相切，變換后仍相切）；廠/一性質(zhì)3變換前后對應(yīng)圖形的面積比不一二 1亦 又現(xiàn)以一些高考試題為例加以說明。例1 （2008年全國卷II第

2、22題）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2,0）, B（0,1說它的兩個頂點(diǎn)，直線y=kx（k0）W AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交 于E、F兩點(diǎn)若ED=6DF,求k的值；求四邊形AEBF面積的最大值。分析：此例按照常規(guī)解法較為繁雜，但利用仿射變換將橢圓變換為單位圓，點(diǎn)A、B、D、EF分別變換為點(diǎn)A、B、D、E、F,線段EF恰為圓的直徑，根據(jù)性質(zhì)1, D分線段EF的比與D分線段EF 的比相同，利用圓當(dāng)中的相交弦定理求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，再反求出 D點(diǎn)坐標(biāo)，從而很容易求出 k值；利用性質(zhì)3,可以求得四邊形AEBF與四邊形AEBF的面積關(guān)系，由于四邊形 AEBF積的最大值較易 求出，這樣也就很容易求得四邊形 AE

3、BF面積的最大值。2解：依題設(shè)得橢圓的方程為L .y2 =14作仿射變換，令x=：, y=y,則得仿射坐標(biāo)系xOy,在此坐標(biāo)系 中，上述橢圓變換為圓x2+y幺=1,點(diǎn)A、B、D、E、F分別變換為點(diǎn)A、B、D、E、F,且 EF為圓的直徑，EF=2, A(1,0), B，0,1)根據(jù)性質(zhì) 1 ED=6DF.,.玩=6聲.EDDF=Z77EDDF=AD DBAD+DB=AB=V2/AD=殍d&=弩或 A，D =等 j4D舊=472% 匕/J /I - - a6=4dB或詬=9而341步由定比分點(diǎn)公式可得：D除7)或D除“.D點(diǎn)坐標(biāo)為(8 9)或(6,4)*=3或 k=27 77 783設(shè)四邊形AEB

4、F的面積為S,四邊形AEBF的面積為S, EF與 A B的夾角為 0 ,貝 U S = 1eF,AB sine = 72sin 0 顯(當(dāng) 0 =多寸取“二”號， 此時 F (, )22 由于橢圓的面積為兀ab=2兀，圓的面積為兀產(chǎn)=兀根據(jù)性質(zhì)3有苴= ,故S=2S2 二 二.-.S 2拒 當(dāng)且僅當(dāng)F坐標(biāo)為(*),即k.時取一號說明：由上述證明過程可知，當(dāng) D為AB中點(diǎn)是時四邊形AEBF 的面積取到最大值，根據(jù)性質(zhì)1,當(dāng)D為AB中點(diǎn)時四邊形AEBF的面積取到最大值。此結(jié)論如果利用常規(guī)解法是較難獲得的， 但利用仿射變換卻較易獲得。例2 （2007年寧夏、海南高考理科第19題）在平面直角坐標(biāo)系2x

5、Oy中，經(jīng)過點(diǎn)（0,我）且斜率為k的直線l與橢圓,+y2=i有兩個不同 的交點(diǎn)P和Q求k的取值范圍；設(shè)橢圓與x軸的正半軸，y軸的正半軸的交點(diǎn)分別為是 A、B, 是否存常數(shù)k,使得向量 加+瓦與AB共線？如果存在，求k值；如果 不存在，請說明理由。分析：利用仿射變換將橢圓變換為單位圓后，即可利用圓心到直 線的距離與半徑的關(guān)系 來刻畫直線與圓的位置關(guān)系，從而間接地刻畫 了直線與橢圓的位置關(guān)系，這樣的處理方式使計算量大大降低。 而在第問當(dāng)中，若5PA=OM,根據(jù)向量加法的幾何意義則 OM與PQ 互相平分，利用仿射變換將橢圓變換為單位圓后，OM變換為OM,PQ變換為PQ,根據(jù)性質(zhì)1, OM與PQ也互相

6、平分，又由于OM 過圓心，那么就可以利用圓中的 垂徑定理判斷出OM與PQ垂直， 這將有助于問題的簡化。解：作仿射變換，令x=W，y=y,則得仿射坐標(biāo)系xOy,在 此坐標(biāo)系中，上述橢圓變換為圓x2+y2=1,直線I： y=kx+正變換為直 線 ly - b0有過a b點(diǎn)A(2,0)、B(0,1勺直線有且只有一個公共點(diǎn) T,1且橢圓的離心率e哼Wg三異圖3求橢圓的方程；設(shè)Fi、F2分別為橢圓的焦點(diǎn)，M為線段AF2的中點(diǎn)，求證：/ATM= / AFiT分析：本題第問從結(jié)論分析只需證4 MATstAF,這需借助于 對應(yīng)邊成比例，由于線段 AM與AFi的長度均較易求出，因此求出線 段AT的長度就尤其重要

7、，在橢圓中線段AT的長度較難求出，但利用 仿射變換將橢圓變換為單位圓，AB變?yōu)閳A的切線AB,切點(diǎn)T變?yōu)? 借助圓的切線與過切點(diǎn)的半徑垂直 這一性質(zhì)，求出線段 AT與線段AB的比值將不是難事，根據(jù)性質(zhì)1,此比值即線段AT與線段AB的 比值，從而可以較為輕松地求出線段 AT的長度。解：作仿射變換，令x7, y氣，則得仿射坐標(biāo)系xOy在此坐標(biāo)系中，上述橢圓變換為圓x2+y幺=1直線AB: x+y=1變換為直線 AB，: ax+by =1根據(jù)性質(zhì)2,直線AB與圓相切 口 -1 =1.(|)2 b2e=a2=2 b2=1 2橢圓的方程為.a2+4b2=422y2 =12可求得c=2如進(jìn)行仿射變換，點(diǎn)T變

8、換為點(diǎn)T,可得A的坐標(biāo)為（”萬,0）, B的坐標(biāo)為（0,收）,所以|OA|=|O B,由于直線AB與圓O相切于點(diǎn)所以O(shè)TAB,因此T為線段AB的中點(diǎn)，卞M據(jù)性質(zhì)1, T也必為線段AB的中點(diǎn).|AB|=痣 /. |AT|=告 又.|AM|= 1(|OA|-|OF 2|)=1-|AF1|=|OA|+|OF i|=2+6.|am|af i|=(1-)(2+)=212-(?)2=4=()2=|AT|2又MAT= /TAF.MATsATAF1說明：本題第問標(biāo)準(zhǔn)答案給出的證法是先求出 T點(diǎn)坐標(biāo)，再利用T點(diǎn)坐標(biāo)去計算/ ATM與/AET的正切值，其中還使用了兩角差的正切公式，運(yùn)算量很大，但如本法，由仿射變換很容易就發(fā)現(xiàn)T 是線段AB的中點(diǎn)，從而很容易地計算出了線段 AT的長度，為