生物統(tǒng)計學(xué) 第三講方差分析-2014

1、第三講第三講 方差分析方差分析 方差分析方差分析ANOVA (analysis of variance) 是由是由英國統(tǒng)計學(xué)家英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher于于1923年提出的。年提出的。 “ 方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開來的方法與技術(shù)把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開來的方法與技術(shù)”，方差，方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析。分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析。 又稱變異數(shù)分析，它又稱變異數(shù)分析，它適用于正態(tài)分布適用于正態(tài)分布（有時要求（有時要求方差齊性）的方差齊性）的計量資料計量資料。因為使用了

2、。因為使用了 F統(tǒng)計量及統(tǒng)計量及 F 分分布，故亦稱為布，故亦稱為F檢驗。檢驗。 方差分析應(yīng)用范圍很廣，在推斷統(tǒng)計方法中方差分析應(yīng)用范圍很廣，在推斷統(tǒng)計方法中常用來解決單因素或多因素中每個因素多個水平常用來解決單因素或多因素中每個因素多個水平（處理）均數(shù)間的比較（包括均數(shù)間的多重比較（處理）均數(shù)間的比較（包括均數(shù)間的多重比較，即兩兩比較）和多因素間交互作用的分析。，即兩兩比較）和多因素間交互作用的分析。 將將k個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進(jìn)

3、而獲得不同變異來源異來源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差的估計值總體方差估計值；通過計算這些總體方差的估計值的適當(dāng)比值，就能檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否的適當(dāng)比值，就能檢驗各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。相等。 幾個常用術(shù)語幾個常用術(shù)語: 1、試驗指標(biāo)試驗指標(biāo)(experimental index) 為衡量試驗結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低為衡量試驗結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低 ，在，在試驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標(biāo)。試驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標(biāo)。由于試驗?zāi)康牟煌捎谠囼災(zāi)康牟煌?，選擇的試驗指標(biāo)也不相同。在，選擇的試驗指標(biāo)也不相

4、同。在畜禽畜禽 、水產(chǎn)試驗中常用的試驗指標(biāo)有、水產(chǎn)試驗中常用的試驗指標(biāo)有 ：日增重：日增重 、產(chǎn)、產(chǎn)仔數(shù)仔數(shù) 、產(chǎn)奶量、產(chǎn)奶量 、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(biāo)體型指標(biāo)(如血糖含量、體高、體重如血糖含量、體高、體重)等。等。 2、試驗因素試驗因素(experimental factor) 試驗中所研究的影響試驗指標(biāo)的因素叫試驗因素。試驗中所研究的影響試驗指標(biāo)的因素叫試驗因素。如研究如何提高豬的日增重時，飼料的配方、豬的品如研究如何提高豬的日增重時，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對日增重有影響，均種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對日增重有影響，

5、均可作為試驗因素來考慮?？勺鳛樵囼炓蛩貋砜紤]。 當(dāng)試驗中考察的因素只有一個時，稱為當(dāng)試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試單因素試驗驗； 若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標(biāo)的若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標(biāo)的影響時，則稱為影響時，則稱為兩因素或多因素試驗兩因素或多因素試驗。試驗因素常用。試驗因素常用大寫字母大寫字母A、B、C、等表示。等表示。 3、因素水平因素水平(level of factor) 試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因因素水平素水平，簡稱，簡稱水平水平。 如比較如比較3個品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這個品種奶牛產(chǎn)奶量的高低

6、，這3個品種就個品種就是奶牛品種這個試驗因素的是奶牛品種這個試驗因素的3個水平；個水平； 研究某種飼料中研究某種飼料中4種不同能量水平對肥育豬瘦肉種不同能量水平對肥育豬瘦肉率的影響，這率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗因素的試驗因素的4個水平。個水平。 因素水平用代表該因素的字母加添角標(biāo)因素水平用代表該因素的字母加添角標(biāo)1，2， ， 來表示。如來表示。如 A1 、 A2 、 ， B1 、B2、，等。，等。 4、試驗處理試驗處理(treatment) 事先設(shè)計好的實(shí)施在試驗單位上的具體項目叫事先設(shè)計好的實(shí)施在試驗單位上的具體項目叫試試驗處理驗處理，

7、簡稱，簡稱處理處理。 在單因素試驗中，實(shí)施在試驗單位上的具體項目在單因素試驗中，實(shí)施在試驗單位上的具體項目就是試驗因素的某一水平。例如進(jìn)行飼料的比較試驗就是試驗因素的某一水平。例如進(jìn)行飼料的比較試驗時，實(shí)施在試驗單位時，實(shí)施在試驗單位(某種畜禽某種畜禽)上的具體項目就是喂上的具體項目就是喂飼某一種飼料。所以飼某一種飼料。所以進(jìn)行單因素試驗時，試驗因素的進(jìn)行單因素試驗時，試驗因素的一個水平就是一個處理一個水平就是一個處理。 在多因素試驗中，實(shí)施在試驗單位上的具體項目在多因素試驗中，實(shí)施在試驗單位上的具體項目是各因素的某一水平組合。例如進(jìn)行是各因素的某一水平組合。例如進(jìn)行3種飼料和種飼料和3個品個

8、品種對豬日增重影響的兩因素試驗，整個試驗共有種對豬日增重影響的兩因素試驗，整個試驗共有33=9個水平組合，實(shí)施在試驗單位個水平組合，實(shí)施在試驗單位(試驗豬試驗豬)上的具上的具體項目就是某品種與某種飼料的結(jié)合。所以，體項目就是某品種與某種飼料的結(jié)合。所以，在多因在多因素試驗時，試驗因素的一個水平組合就是一個處理素試驗時，試驗因素的一個水平組合就是一個處理。 5、試驗單位試驗單位(experimental unit) 在試驗中能接受不同試驗處理的獨(dú)立的試驗載體在試驗中能接受不同試驗處理的獨(dú)立的試驗載體叫試驗單位。叫試驗單位。 在畜禽、水產(chǎn)試驗中，在畜禽、水產(chǎn)試驗中， 一只家禽、一只家禽、 一頭家畜

9、、一一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚，即一個動物；或幾只家禽、幾頭只小白鼠、一尾魚，即一個動物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動物都可作為試家畜、幾只小白鼠、幾尾魚，即一組動物都可作為試驗單位。驗單位。 試驗單位往往也是觀測數(shù)據(jù)的單位。試驗單位往往也是觀測數(shù)據(jù)的單位。 6、重復(fù)重復(fù)(repetition) 在試驗中，將在試驗中，將一個處理一個處理實(shí)施在兩個或兩個以上的實(shí)施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗單試驗單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。 例如，用某種飼料喂例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理

10、頭豬，就說這個處理(飼料飼料)有有4次重復(fù)。次重復(fù)。3.1 3.1 完全隨機(jī)設(shè)計的單因素方差分析完全隨機(jī)設(shè)計的單因素方差分析completely randomized designcompletely randomized design 完全隨機(jī)設(shè)計完全隨機(jī)設(shè)計：成組設(shè)計的擴(kuò)大：成組設(shè)計的擴(kuò)大 只能分析一個因素，故稱只能分析一個因素，故稱“單因素方差分析單因素方差分析” 變異和自由度的分解變異和自由度的分解 總變異總變異：各觀察值之間的變異，包括處理因素：各觀察值之間的變異，包括處理因素的作用和隨機(jī)誤差（個體差異）。的作用和隨機(jī)誤差（個體差異）。NXXXXSSkinjijkinjijijiji

11、i 1121122)()(總 完全隨機(jī)設(shè)計時，可以將總變異分解成組間完全隨機(jī)設(shè)計時，可以將總變異分解成組間變異和組內(nèi)變異兩部分。變異和組內(nèi)變異兩部分。 組間變異組間變異：處理組之間的變異，包括處理：處理組之間的變異，包括處理因素的作用和隨機(jī)變異。因素的作用和隨機(jī)變異。NXnXXXnSSkinjijkiinjijikiiii 11211221)()()(組間組間 組內(nèi)變異組內(nèi)變異：各處理組內(nèi)不同觀察值之間的變：各處理組內(nèi)不同觀察值之間的變異，反映隨機(jī)變異。異，反映隨機(jī)變異。 相應(yīng)地，自由度也分解成組間自由度和組內(nèi)相應(yīng)地，自由度也分解成組間自由度和組內(nèi)自由度：自由度：組組間間總總組組內(nèi)內(nèi)SSSSX

12、XSSkinjiiji 112)(11 kvkNvNv組間組間組內(nèi)組內(nèi)總總 顯然，顯然， 組間變異和組內(nèi)變異的大小都與自由度組間變異和組內(nèi)變異的大小都與自由度有關(guān)，為了可以比較，我們分別計算有關(guān)，為了可以比較，我們分別計算組間組間和組內(nèi)均方和組內(nèi)均方組內(nèi)組內(nèi)組間組間總總組內(nèi)組內(nèi)組間組間總總vvvSSSSSS 組內(nèi)組內(nèi)組內(nèi)組內(nèi)組內(nèi)組內(nèi)組間組間組間組間組間組間vSSMSvSSMS 方差分析：方差分析： 如果處理因素沒有作用，如果處理因素沒有作用，組間均方組間均方和和組內(nèi)均方組內(nèi)均方應(yīng)應(yīng)該相等。即使由于抽樣誤差的存在，兩者也不應(yīng)該相等。即使由于抽樣誤差的存在，兩者也不應(yīng)相差太大。建立統(tǒng)計量相差太大。

13、建立統(tǒng)計量F F 檢驗時，檢驗時，分布分布服從服從組內(nèi)組內(nèi)組間組間組內(nèi)組內(nèi)組間組間),(vvFFMSMSF 因素?zé)o作用。，差別無顯著性，處理，那么如果因素有作用；，差別有顯著性，處理，那么如果pvvFFpvvFF)2,1()2,1(例例3.1 三種配合飼料對肉雞增重效果的對比試驗，增重數(shù)值為三種配合飼料對肉雞增重效果的對比試驗，增重數(shù)值為（60天體重天體重-1000g ）如下表，試檢驗三種配合飼料的增重效）如下表，試檢驗三種配合飼料的增重效果間是否存在差異。果間是否存在差異。 該試驗統(tǒng)計設(shè)計是將受試肉雞該試驗統(tǒng)計設(shè)計是將受試肉雞30只隨機(jī)等分為三組，每組隨只隨機(jī)等分為三組，每組隨機(jī)分配一種飼料

14、配方，形成試驗方案，故稱之為完全隨機(jī)設(shè)計，機(jī)分配一種飼料配方，形成試驗方案，故稱之為完全隨機(jī)設(shè)計，也稱該試驗是單因素也稱該試驗是單因素飼料配方、三個水平處理飼料配方、三個水平處理A1A2A3、等、等重復(fù)重復(fù)每個飼料重復(fù)飼喂每個飼料重復(fù)飼喂10只肉雞的試驗。完全隨機(jī)設(shè)計中，各只肉雞的試驗。完全隨機(jī)設(shè)計中，各組也可以采用不等分的方式，但從統(tǒng)計設(shè)計角度要求，應(yīng)盡可能組也可以采用不等分的方式，但從統(tǒng)計設(shè)計角度要求，應(yīng)盡可能采用各組等分的設(shè)計為好。采用各組等分的設(shè)計為好。 A1(魚粉為主魚粉為主) 73 58 71 37 66 26 53 49 65 51 54. 9A2(槐葉、苜蓿粉加魚粉槐葉、苜蓿粉

15、加魚粉) 16 58 38 42 20 45 44 61 34 49 40. 7A3(槐葉、苜蓿粉加藥劑槐葉、苜蓿粉加藥劑) 84 69 106 78 75 90 79 94 111 92 87. 81x2x3x 對該資料做單因素方差分析的前提是：各組數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，對該資料做單因素方差分析的前提是：各組數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，且各組數(shù)據(jù)的方差具有齊性（總體且各組數(shù)據(jù)的方差具有齊性（總體21=22=2k）。）。 首先做正態(tài)性檢驗和方差齊性檢驗（具體方法從略，本例直接由首先做正態(tài)性檢驗和方差齊性檢驗（具體方法從略，本例直接由SPSS統(tǒng)計軟件給出結(jié)果）：統(tǒng)計軟件給出結(jié)果）： 三組經(jīng)單樣本三組經(jīng)單樣

16、本K-S檢驗，檢驗， P 值分別為：值分別為：P=0.979,P=0.993, P=0.987，P 值均大于值均大于0.05，即均符合正態(tài)分布。，即均符合正態(tài)分布。 方差齊性檢驗，采用方差齊性檢驗，采用Levenes Test 法，統(tǒng)計量法，統(tǒng)計量 F= 0.034, P=0.967 P 0.05，三組方差具有齊性。，三組方差具有齊性。 再做方差分析：再做方差分析： 檢驗假設(shè)為檢驗假設(shè)為 H0：1=2=k。 本例本例H：1=2=3 即三種飼料配方增重效果相同。即三種飼料配方增重效果相同。 檢驗原理是，檢驗原理是，從分析數(shù)據(jù)的變異原因入手，找出引起數(shù)據(jù)變異的主從分析數(shù)據(jù)的變異原因入手，找出引起數(shù)

17、據(jù)變異的主要原因，進(jìn)而做出是否拒絕假設(shè)要原因，進(jìn)而做出是否拒絕假設(shè)H H0 0的結(jié)論的結(jié)論。引起數(shù)據(jù)變異的原因是：。引起數(shù)據(jù)變異的原因是： 1. 1. 肯定有客觀存在的隨機(jī)誤差的影響；肯定有客觀存在的隨機(jī)誤差的影響；2. 2. 可能由飼料配方的不同引可能由飼料配方的不同引起。起。如果主要原因是后者，則拒絕如果主要原因是后者，則拒絕H H0 0；如果主要原因是前者，則不能拒如果主要原因是前者，則不能拒絕絕H H0 0。 具體方法：具體方法： 分別計算代表不同變異原因分別計算代表不同變異原因的平方和、自由度、的平方和、自由度、方差（亦稱樣本均方差（亦稱樣本均方）方）及及F統(tǒng)計量統(tǒng)計量，公式如下表：

18、，公式如下表：變異原因變異原因 平方和平方和SS 自由度自由度df 均方均方MS F統(tǒng)計量統(tǒng)計量 總的總的 SST= (xij- )2/ (N-1) N-1 組間組間 SS組間組間=ni(xi- )2/(k-1) k-1 MS組間組間=SS組間組間/(k-1) F=MS組間組間/MS誤差誤差 組內(nèi)組內(nèi) SS誤差誤差= (xij- )/ (N-k) N-k MS誤差誤差=SS誤差誤差/(N-k) =SST-SS組間組間（誤差）（誤差）ix其中，其中，ni為第為第 I 個樣本的容量，個樣本的容量，N 為樣本數(shù)據(jù)總個數(shù)，為樣本數(shù)據(jù)總個數(shù)，k 為比較的組數(shù)，為比較的組數(shù)， 為第為第 I 個樣本均數(shù)，個

19、樣本均數(shù)， 為為 N 個數(shù)據(jù)的均數(shù)。個數(shù)據(jù)的均數(shù)。 F F 統(tǒng)計量統(tǒng)計量的意義是，代表組間（不同飼料配方間）變異的方差，與的意義是，代表組間（不同飼料配方間）變異的方差，與代表客觀存在的組內(nèi)（隨機(jī)誤差）變異的方差的比值。比值越大，就越代表客觀存在的組內(nèi)（隨機(jī)誤差）變異的方差的比值。比值越大，就越有理由拒絕有理由拒絕H H0 0。xxxix_本例計算結(jié)果如表：本例計算結(jié)果如表： 界值界值F0. 05,（2,27）=3. 35，F(xiàn)0. 01,（2,27）=5. 49，因，因FF0. 01,（2,27）,P 0. 01（SPSS軟件給出軟件給出P0. 001），即三種飼料配方增重效果間存在差異（不）

20、，即三種飼料配方增重效果間存在差異（不都相同）。都相同）。 變異原因變異原因 SS df MS F 總總 的的 17243. 467 29 飼料間飼料間 11674. 867 2 5837. 433 28. 303 誤誤 差差 5568. 600 27 206. 244 二、均數(shù)間的兩兩比較二、均數(shù)間的兩兩比較 當(dāng)方差分析當(dāng)方差分析F 檢驗不能拒絕檢驗不能拒絕H0時，一般情況下分析結(jié)束；當(dāng)方差分時，一般情況下分析結(jié)束；當(dāng)方差分析析 F 檢驗拒絕檢驗拒絕 H0 時，通常都進(jìn)一步做均數(shù)間的兩兩比較（亦稱多重比時，通常都進(jìn)一步做均數(shù)間的兩兩比較（亦稱多重比較）。兩兩比較方法有許多種，下面介紹常用的三

21、種方法。較）。兩兩比較方法有許多種，下面介紹常用的三種方法。 （一）（一）LSD法（最小顯著差數(shù)法法（最小顯著差數(shù)法 least significant difference ） 計算計算 及其標(biāo)準(zhǔn)誤差及其標(biāo)準(zhǔn)誤差Sij = MS誤差誤差（1/ni+1/nj）其中，其中，ni , nj 為為 的樣本容量，的樣本容量，1 i j k。 可以證明當(dāng)可以證明當(dāng) 來自同一總體（即來自同一總體（即i=j）時，）時， t =（ ）/ Sij t（df誤差誤差）分布）分布與與 t 檢驗相仿，可做出結(jié)論。檢驗相仿，可做出結(jié)論。jixx jixx,jixx,jixx 上例上例3. 1經(jīng)經(jīng)LSD法做均數(shù)間的兩兩比

22、較，由法做均數(shù)間的兩兩比較，由 SPSS 軟件給出檢驗結(jié)軟件給出檢驗結(jié)果為：果為： 1與與 2有差別，有差別， P=0. 036 1與與 3有差別，有差別， P0. 001 2與與 3有差別，有差別， P 0. 05； 3與與 1有差別，有差別，P = 0. 000 0.05，三組方差具有齊性。，三組方差具有齊性。 方差分析，方差分析，F(xiàn) = 28.303，P 0.001，即三種飼料配方增重效，即三種飼料配方增重效果不都相同。果不都相同。 兩兩比較兩兩比較 SNK 法，每兩組間均存在差異，法，每兩組間均存在差異，P 0.05。 有關(guān)可信區(qū)間從略。有關(guān)可信區(qū)間從略。 上述關(guān)于完全隨機(jī)設(shè)計單因素方

23、差分析的基本原理及方法，上述關(guān)于完全隨機(jī)設(shè)計單因素方差分析的基本原理及方法，可推廣至其它方差分析方法，除有特殊區(qū)別之處外，不再贅述?？赏茝V至其它方差分析方法，除有特殊區(qū)別之處外，不再贅述。 該試驗統(tǒng)計設(shè)計是該試驗統(tǒng)計設(shè)計是配對試驗設(shè)計配對試驗設(shè)計的推的推廣，選定三個區(qū)組，要求每個區(qū)組內(nèi)，土廣，選定三個區(qū)組，要求每個區(qū)組內(nèi)，土壤條件盡可能一致，并分成壤條件盡可能一致，并分成 8 塊，隨機(jī)分塊，隨機(jī)分配種植配種植 8 個品種的小麥，使得在每個區(qū)組個品種的小麥，使得在每個區(qū)組上，上，8 個品種間均具有良好的可比性。而個品種間均具有良好的可比性。而區(qū)組的數(shù)目即為每個品種重復(fù)試驗的次數(shù)，區(qū)組的數(shù)目即為每

24、個品種重復(fù)試驗的次數(shù)，本例重復(fù)數(shù)為本例重復(fù)數(shù)為3。3. 2 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計方差分析隨機(jī)區(qū)組設(shè)計方差分析 randomized block design 例例3. 2 8個小麥品種對比試驗，在個小麥品種對比試驗，在3個地塊上進(jìn)行，記錄規(guī)定面?zhèn)€地塊上進(jìn)行，記錄規(guī)定面積產(chǎn)量（積產(chǎn)量（kg）數(shù)據(jù)如下表，試檢驗）數(shù)據(jù)如下表，試檢驗8個品種產(chǎn)量間有無差異。個品種產(chǎn)量間有無差異。A1 10. 9 11. 3 12. 2A2 10. 8 12. 3 14. 0A3 11. 1 12. 5 10. 5A4 9. 1 10. 7 11. 1A5 11. 8 13. 9 14. 8A6 10. 1 10. 6 11.

25、 8A7 10. 0 11. 5 14. 1A8 9. 3 10. 4 12. 4區(qū)區(qū) 組組品品 種種 B1 B2 B3 這是一個單因素這是一個單因素8水平（水平（k=8）、重復(fù)數(shù)為）、重復(fù)數(shù)為3（n=3）的隨機(jī)化完全區(qū)組）的隨機(jī)化完全區(qū)組設(shè)計，簡稱隨機(jī)區(qū)組設(shè)計。設(shè)計，簡稱隨機(jī)區(qū)組設(shè)計。（SPSS操作中將區(qū)組也看成一個固定因素，因此選擇操作中將區(qū)組也看成一個固定因素，因此選擇雙因素主效應(yīng)分析雙因素主效應(yīng)分析） 又如三種藥物對小鼠體重增加值（又如三種藥物對小鼠體重增加值（g）影響的對比試驗中，選）影響的對比試驗中，選5窩窩小鼠，每窩選同性別、同體重小鼠各小鼠，每窩選同性別、同體重小鼠各 3 只，

26、并隨機(jī)分配接受三種藥物只，并隨機(jī)分配接受三種藥物的處理，形成試驗方案，如下表。這是一個單因素的處理，形成試驗方案，如下表。這是一個單因素3水平（水平（k=3）、重）、重復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)為5（n=5）的隨機(jī)區(qū)組設(shè)計。）的隨機(jī)區(qū)組設(shè)計。 與完全隨機(jī)設(shè)計相比，區(qū)組設(shè)計更與完全隨機(jī)設(shè)計相比，區(qū)組設(shè)計更精細(xì)，一般試驗誤差將因扣除區(qū)組間的精細(xì)，一般試驗誤差將因扣除區(qū)組間的變異而減小，檢驗出可能存在的不同水變異而減小，檢驗出可能存在的不同水平處理間的差異的靈敏度提高了。平處理間的差異的靈敏度提高了。 對隨機(jī)區(qū)組設(shè)計資料的方差分析，對隨機(jī)區(qū)組設(shè)計資料的方差分析，1 27 32 1602 41 47 963 25 3

27、6 1154 52 65 1355 14 39 76區(qū)區(qū) 組組藥藥 物物 A B C包括后面介紹的其它方差分析方法，也有關(guān)于正態(tài)性、方差齊性的前包括后面介紹的其它方差分析方法，也有關(guān)于正態(tài)性、方差齊性的前前提要求，但實(shí)際分析時，一般不做這兩方面的檢驗。前提要求，但實(shí)際分析時，一般不做這兩方面的檢驗。 方差分析：假設(shè)方差分析：假設(shè)H0：1=2=k。 本例本例3.2 H：1=2=8 即即 8 個品種小麥的產(chǎn)量相同。個品種小麥的產(chǎn)量相同。 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計資料的變異原因比完全隨機(jī)設(shè)計多了一個，具體隨機(jī)區(qū)組設(shè)計資料的變異原因比完全隨機(jī)設(shè)計多了一個，具體計算公式如下表：計算公式如下表： 其中，其中，k 為水

28、平處理數(shù)，為水平處理數(shù)，n 為區(qū)組數(shù)，為區(qū)組數(shù)，N=kn。 當(dāng)當(dāng)H0為真時，為真時，F(xiàn)F（df處理處理，df誤差誤差）分布）分布變異原因變異原因 SS df MS F 總的總的 SST=(xij x ) 2/(N-1) N-1 處理間處理間 SS處理處理=n (xi -x)2 / (k-1) k -1 MS處理處理=SS處理處理/(k-1) F=MS處理處理 / MS誤差誤差 區(qū)組間區(qū)組間 SS區(qū)組區(qū)組=k（xj-x）2 / (n-1) n-1 誤誤 差差 SS誤差誤差=SST-SS處理處理-SS區(qū)組區(qū)組 (k-1)(n-1) MS誤差誤差=SS誤差誤差/(k-1)(n-1) SPSS 軟件給

29、出軟件給出P=0. 009,各品種產(chǎn)量總體均值不都相同。各品種產(chǎn)量總體均值不都相同。 兩兩比較采用兩兩比較采用SNK法，結(jié)果為：法，結(jié)果為： 品種品種5分別與品種分別與品種4 、 6 、 8之間存在差異，之間存在差異，P0. 05；其余；其余各品種間差異均無顯著意義（即不能說明它們的總體均值間存在差異）。各品種間差異均無顯著意義（即不能說明它們的總體均值間存在差異）。 采用采用LSD法，結(jié)果為：法，結(jié)果為： 15, P=0.011; 24, P=0.01; 26, P=0.046; 28 , P=0.032; 35, P=0.009; 45, P0.001; 47, P=0.042; 56,

30、P=0. 002; 57, P=0.035; 58, P=0.001; 其余各品種間差異無顯著意義（不能說它們的總體均值間存在差異）。其余各品種間差異無顯著意義（不能說它們的總體均值間存在差異）。 本例計算結(jié)果如表：本例計算結(jié)果如表：變異原因變異原因 SS df MS F 總總 的的 52. 400 23 品種間品種間 22. 227 7 3. 175 4. 337 區(qū)組間區(qū)組間 19. 922 2 誤誤 差差 10. 251 14 0. 732 統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為： 經(jīng)方差分析，不同品種小麥間比較經(jīng)方差分析，不同品種小麥間比較F=4. 337，P=0.009,

31、 即即 8 個個品種小麥的規(guī)定面積產(chǎn)量不都相同。品種小麥的規(guī)定面積產(chǎn)量不都相同。 兩兩比較兩兩比較SNK法，品種法，品種5分別與品種分別與品種4 、 6 、 8之間存在之間存在差異，差異， P 均小于均小于0. 05；其余各品種間差異均無顯著意義，；其余各品種間差異均無顯著意義，P 均大于均大于0. 05。 這是一個這是一個雙因素試驗雙因素試驗，溫度因素，溫度因素有有3個水平，地區(qū)因素有個水平，地區(qū)因素有7個水平，在個水平，在雙因素試驗中，水平組合為處理，這雙因素試驗中，水平組合為處理，這里共里共 37=21 個不同處理，因每個處個不同處理，因每個處理只有一個試驗數(shù)據(jù)，故稱之為處理理只有一個試

32、驗數(shù)據(jù)，故稱之為處理無重復(fù)的設(shè)計。方差分析原理、方法無重復(fù)的設(shè)計。方差分析原理、方法與上節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計完全相同，只是與上節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計完全相同，只是上節(jié)中的區(qū)組在這里換成了另一個試上節(jié)中的區(qū)組在這里換成了另一個試驗因素。驗因素。3. 3 兩因素處理無重復(fù)設(shè)計方差分析兩因素處理無重復(fù)設(shè)計方差分析 例例3. 3 來自來自7個不同地區(qū)的戰(zhàn)士各個不同地區(qū)的戰(zhàn)士各1人，分別在人，分別在3種不同的氣溫下，種不同的氣溫下，以相同速度做相等距離的行軍后，測定其生理緊張指數(shù)，數(shù)據(jù)如下表。以相同速度做相等距離的行軍后，測定其生理緊張指數(shù)，數(shù)據(jù)如下表。試檢驗：試檢驗：1. 不同溫度下生理緊張指數(shù)有無差異；不同溫度下

33、生理緊張指數(shù)有無差異；2. 不同地區(qū)戰(zhàn)士間生不同地區(qū)戰(zhàn)士間生理緊張指數(shù)有無差異。理緊張指數(shù)有無差異。1 2. 83 3. 16 3. 402 1. 57 2. 11 2. 46 3 1. 98 2. 30 2. 994 2. 26 2. 41 3. 125 2. 05 2. 03 2. 846 1. 85 2. 52 2. 537 1. 33 1. 96 2. 38 溫溫 度度27. 0 29. 5 31. 2地地 區(qū)區(qū)（SPSS操作：選擇操作：選擇雙固定因素主效應(yīng)分析雙固定因素主效應(yīng)分析） 統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為： 不同溫度下生理緊張指數(shù)總體均值不都相同，不同溫度

34、下生理緊張指數(shù)總體均值不都相同，F(xiàn)= 41.262, P 0. 001； 不同地區(qū)戰(zhàn)士間生理緊張指數(shù)總體均值不都相同不同地區(qū)戰(zhàn)士間生理緊張指數(shù)總體均值不都相同, F =16.384, P 0.001。 兩兩比較采用兩兩比較采用LSD法：法：溫度間比較：溫度間比較： 12,P=0.002; 13, P0.001; 23, P0. 001。地區(qū)間比較：地區(qū)間比較： 1分別與分別與2 7均有差異，均有均有差異，均有P0.01；23，P=0.02; 24, P=0.002; 37, P=0.003; 47,P0.001; 57, P=0.012; 67, P=0.013。有關(guān)可信區(qū)間從略。有關(guān)可信區(qū)間

35、從略。 檢驗假設(shè)有兩個：檢驗假設(shè)有兩個：1. H0：1=2=3 即不同溫度下生理緊張指數(shù)即不同溫度下生理緊張指數(shù)相同；相同；2. H0：1=2=7即不同地區(qū)戰(zhàn)士間生理緊張指數(shù)相同。即不同地區(qū)戰(zhàn)士間生理緊張指數(shù)相同。 方差分析結(jié)果如下表：方差分析結(jié)果如下表：變異原因變異原因 SS df MS F 總總 的的 5. 733 20 溫度間溫度間 2. 453 2 1. 227 41. 262 地區(qū)間地區(qū)間 2. 922 6 0. 487 16. 384 誤誤 差差 0. 357 12 0. 02973 用用n階拉丁方安排試驗，最多可安排三個因素階拉丁方安排試驗，最多可安排三個因素行因素、行因素、列因

36、素、字母因素，每個因素均為列因素、字母因素，每個因素均為n個水平。也可安排一個因個水平。也可安排一個因素和兩個區(qū)組，或安排兩個因素和一個區(qū)組。素和兩個區(qū)組，或安排兩個因素和一個區(qū)組。3. 4 拉丁方設(shè)計方差分析拉丁方設(shè)計方差分析 latin square design 一、一、n 階拉丁方階拉丁方 n 階拉丁方是由階拉丁方是由n個不同的拉丁字母排列成個不同的拉丁字母排列成n行行n列的方塊，每列的方塊，每個字母在每行每列中都出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次。個字母在每行每列中都出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次。 例如：例如： 5 階拉丁方階拉丁方A B C D EB C D E AC D E A BD E A B CE A B

37、 C D3 階拉丁方階拉丁方 A B C B C A C A B 該試驗的統(tǒng)計設(shè)計是，首先由三因素的等水平數(shù)該試驗的統(tǒng)計設(shè)計是，首先由三因素的等水平數(shù)n=5，選擇一個，選擇一個5 階拉丁方，比如上面給出的拉丁方；然后將行隨機(jī)調(diào)整后對應(yīng)階拉丁方，比如上面給出的拉丁方；然后將行隨機(jī)調(diào)整后對應(yīng)15品種；品種；再將列隨機(jī)調(diào)整后對應(yīng)再將列隨機(jī)調(diào)整后對應(yīng) 階段；最后將階段；最后將5種飼料隨機(jī)對應(yīng)種飼料隨機(jī)對應(yīng)A、B、C、D、E 5 個字母。形成試驗方案，如表所示。試驗結(jié)果產(chǎn)乳量記錄在相個字母。形成試驗方案，如表所示。試驗結(jié)果產(chǎn)乳量記錄在相應(yīng)位置上，以備做方差分析。應(yīng)位置上，以備做方差分析。 二、拉丁方設(shè)計

38、與方差分析二、拉丁方設(shè)計與方差分析 例例3. 4 用用5頭不同品種奶牛，在頭不同品種奶牛，在5個不同的階段，分別飼喂個不同的階段，分別飼喂5種不同飼種不同飼料，記錄產(chǎn)乳量（料，記錄產(chǎn)乳量（kg）如下表。試檢驗：）如下表。試檢驗：1. 不同品種、不同品種、2. 不同階段、不同階段、3. 不不同飼料間產(chǎn)乳量有無差異。同飼料間產(chǎn)乳量有無差異。1 E 300 A 320 B 390 C 390 D 3802 D 420 C 390 E 280 B 370 A 2703 B 350 E 360 D 400 A 260 C 4004 A 280 D 400 C 390 E 280 B 3705 C 400

39、 B 380 A 350 D 430 E 320品種品種階階 段段 注：注：A、B、C、D、E代表代表5種飼料種飼料（SPSS操作：選擇操作：選擇三個固定因素主效應(yīng)分析三個固定因素主效應(yīng)分析） 方差分析：假設(shè)方差分析：假設(shè)H0:1=5,分別表示對總體平均產(chǎn)乳量而言：分別表示對總體平均產(chǎn)乳量而言： 1. 5 種飼料間效果無差異；種飼料間效果無差異；2. 5 個階段間無差異；個階段間無差異；3. 5 個品種間無個品種間無差異。差異。 方差分析公式及計算結(jié)果如下表：方差分析公式及計算結(jié)果如下表： 變異原因變異原因 SS df MS=SS/df F 總總 的的 SST=( )2 n-1=24 - -

40、=63224 飼料間飼料間 SS飼料飼料=5( )2 n-1=4 12626. 000 MS飼料飼料/ MS誤差誤差=20. 608 =50504 品種間品種間 SS品種品種=5( )2 n-1=4 806. 000 MS品種品種/ MS誤差誤差= 1. 316 =3224 階段間階段間 SS階段階段=5( )2 n-1=4 536. 000 MS階段階段/ MS誤差誤差= 0. 875 =2144 誤誤 差差 SS誤差誤差=SST-SS飼料飼料-SS品種品種-SS階段階段 612. 667 - =7352 n-3n+2=12 xxijxxixxjxxm 統(tǒng)計分析結(jié)果的報告格式為：統(tǒng)計分析結(jié)果

41、的報告格式為： 不同飼料組總體平均產(chǎn)乳量不都相同，不同飼料組總體平均產(chǎn)乳量不都相同，F(xiàn)=20.608,P0.05，不同階段間，不同階段間F=0.875、P0.05，差，差異均無顯著意義（不能說明相應(yīng)各總體平均產(chǎn)乳量間有差異）。異均無顯著意義（不能說明相應(yīng)各總體平均產(chǎn)乳量間有差異）。 兩兩比較，對不同飼料用兩兩比較，對不同飼料用LSD法，結(jié)果為：法，結(jié)果為：AB、AC、AD，P0.001；BE ，P=0.002；CE ，P0.001；DE ，P0. 05。因水平數(shù)為。因水平數(shù)為2，不需做兩兩比較。，不需做兩兩比較。 本例不考慮交互作用，所選擇的試驗方案及試驗結(jié)果如下表。試分本例不考慮交互作用，所

42、選擇的試驗方案及試驗結(jié)果如下表。試分別檢驗別檢驗5種維生素喂與不喂間，肉雞增重是否有差異。種維生素喂與不喂間，肉雞增重是否有差異。試驗號試驗號 A B C D 5 6 E 增重增重(g) 1 1 1 1 1 1 1 1 162 2 1 1 1 2 2 2 2 172 3 1 2 2 1 1 2 2 168 4 1 2 2 2 2 1 1 190 5 2 1 2 1 2 1 2 178 6 2 1 2 2 1 2 1 215 7 2 2 1 1 2 2 1 162 8 2 2 1 2 1 1 2 182注：注：A、B、C、D、E中中1：不喂；：不喂；2. 喂喂 方差分析：假設(shè)方差分析：假設(shè)H0：

43、1=2分別分別表示對總體平均增重而言，每個維生表示對總體平均增重而言，每個維生素喂與不喂均無差異。素喂與不喂均無差異。 方差分析結(jié)果如下表（由方差分析結(jié)果如下表（由SPSS軟軟件計算，公式略）：件計算，公式略）：變異原因變異原因 SS df MS F P 總總 的的 2173. 875 7 A 間間 253. 125 1 253. 125 6. 231 0. 130 B 間間 78. 125 1 78. 125 1. 923 0. 300 C 間間 666. 125 1 666. 125 16. 397 0. 056 D 間間 990. 125 1 990. 125 24. 372 0. 03

44、9 E 間間 105. 125 1 105. 125 2. 588 0. 249 誤誤 差差 81. 125 2 40. 625 （SPSS操作：選擇操作：選擇5固定因素主效應(yīng)分析固定因素主效應(yīng)分析） 正交設(shè)計的優(yōu)點(diǎn)是：正交設(shè)計的優(yōu)點(diǎn)是： 1. 與析因設(shè)計相比，在多因素、多水平條件下，可大大減少試與析因設(shè)計相比，在多因素、多水平條件下，可大大減少試驗處理數(shù)（試驗樣品數(shù)）。例如上例中驗處理數(shù)（試驗樣品數(shù)）。例如上例中5因素各因素各2水平全部組合即處水平全部組合即處理有理有2=32個，正交設(shè)計只做了其中有代表性的個，正交設(shè)計只做了其中有代表性的 8個部分試驗。個部分試驗。 2. m個處理中各水平搭

45、配具有均衡性，這種均衡性保證了個處理中各水平搭配具有均衡性，這種均衡性保證了m個個部分處理試驗對全部處理試驗有較好的代表性。部分處理試驗對全部處理試驗有較好的代表性。 當(dāng)方差分析中試驗指標(biāo)變量當(dāng)方差分析中試驗指標(biāo)變量y受到某個指標(biāo)受到某個指標(biāo)x的影響，而的影響，而 x 的影的影響在方差分析統(tǒng)計設(shè)計中又難以控制時，可將對應(yīng)試驗指標(biāo)響在方差分析統(tǒng)計設(shè)計中又難以控制時，可將對應(yīng)試驗指標(biāo) y 的的 x值與值與 y 相對應(yīng)同時記錄下來，相對應(yīng)同時記錄下來，x 稱為協(xié)變量。對帶有協(xié)變量的方差稱為協(xié)變量。對帶有協(xié)變量的方差分析資料，通過協(xié)方差分析，可以扣除掉協(xié)變量分析資料，通過協(xié)方差分析，可以扣除掉協(xié)變量

46、x 對對 y 的影響，即的影響，即把對應(yīng)不同把對應(yīng)不同 x 值的各試驗指標(biāo)變量值的各試驗指標(biāo)變量 y 的值，統(tǒng)一校正到假定的值，統(tǒng)一校正到假定 x 值相值相同的各同的各 y 值，然后再做相應(yīng)的方差分析、兩兩比較，并計算各水平、值，然后再做相應(yīng)的方差分析、兩兩比較，并計算各水平、處理下的校正的均值處理下的校正的均值 等統(tǒng)計量，以對試驗結(jié)果的真實(shí)效應(yīng)做出等統(tǒng)計量，以對試驗結(jié)果的真實(shí)效應(yīng)做出客觀的評價?？陀^的評價。 因協(xié)方差分析的原理、公式和計算都很復(fù)雜，故從略，并直接因協(xié)方差分析的原理、公式和計算都很復(fù)雜，故從略，并直接給出給出 SPSS 統(tǒng)計軟件計算的結(jié)果。統(tǒng)計軟件計算的結(jié)果。3. 7 協(xié)方差分

47、析協(xié)方差分析cy 一、完全隨機(jī)設(shè)計單因素協(xié)方差分析一、完全隨機(jī)設(shè)計單因素協(xié)方差分析 例例3. 7 4 種飼料種飼料 A1、A2、A3、A4 各喂各喂10頭豬，受試豬的始頭豬，受試豬的始重重 x 及日增重及日增重 y 如下表。考慮到始重的不同對增重的影響會干擾如下表?？紤]到始重的不同對增重的影響會干擾對不同飼料增重效果的比較研究，故把始重做為協(xié)變量，對不同對不同飼料增重效果的比較研究，故把始重做為協(xié)變量，對不同飼料增重效果間的比較做協(xié)方差分析。飼料增重效果間的比較做協(xié)方差分析。36 0.89 28 0.64 28 0.55 32 0.5230 0.80 27 0.81 33 0.62 27 0.

48、5826 0.74 27 0.73 26 0.58 25 0.6423 0.80 24 0.67 22 0.58 23 0.6226 0.85 25 0.77 23 0.66 27 0.5430 0.68 23 0.67 20 0.55 28 0.5420 0.73 20 0.64 22 0.60 20 0.5519 0.68 18 0.65 23 0.71 24 0.4420 0.80 17 0.59 18 0.55 19 0.5116 0.58 20 0.57 17 0.48 17 0.51 A1 A2 A3 A4 x y x y x y x y 協(xié)方差分析結(jié)果如下表（由協(xié)方差分析結(jié)果如下表（由SPSS軟件計算，公式略）：軟件計算，公式略）： 結(jié)論：扣除始重影響后，結(jié)論：扣除始重影響后，4個飼料組間平均日增重不都相同，個飼料組間平均日增重不都相同， F=19. 990，P=0. 000。 校正平均日增重兩兩校正平均日增重兩兩比較（比較（LSD法）結(jié)果為：法）結(jié)果為： A1A2間有差異，間有差異，P=0. 025；