對坐標(biāo)曲線積分2

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 二重積分的計算法 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4) 4) 取極限取極限. .定積分定積分 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1) 1) 大化小大化小. . （分割）（分割）2) 2) 常代變常代變. . （直代曲）（直代曲）3) 3) 近似和近似和. .niiAA1niiixf1)(01lim()( ) dnbiiaiAfxf xx 定義定積分定義定積分xabyO1xix1ixiiA微積分學(xué)的微積分學(xué)

2、的基本思想基本思想目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xzyoD),(yxfz i),(ii3)“近似和近似和”1)“大化小大化小” 分割分割“底底”2)“常代變常代變” 平代曲平代曲二重積分二重積分 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積4)“取極限取極限”01lim(,)( , )dnkkkDkff x y 曲頂柱體曲頂柱體的底面的底面曲頂柱體的頂面曲頂柱體的頂面的方程的方程目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 01lim(,)( , )dnkkkDkVff x y zxyabDO),(yxfz 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義: :( , )0,( , )dDf x yf x yV 曲頂柱體體積曲頂柱體體積

3、曲頂柱體曲頂柱體的底面的底面曲頂柱體的頂面曲頂柱體的頂面的方程的方程定義定義目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于x 軸的軸的截面面積截面面積為為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的的體積元素體積元素為為xxAVd)(d因此所求因此所求立體體積立體體積為為xxAVbad)(xabxxxd( )A x上連續(xù)上連續(xù),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果積分區(qū)域為如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分X型

4、型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型區(qū)域的特點：型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與軸的直線與 區(qū)域邊界相交不多于兩個交點區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積為為底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法, ,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy得得yyxfxxxbad),(d)()(21xbad DyxfVd),(yyxfxxd),()(

5、)(21baxxAd )(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與軸的直線與 區(qū)域邊界相交不多于兩個交點區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyOxyDO說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y - 型區(qū)域型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必

6、要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy 1例例 1 1 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 121221d y例例2. 計算計算,dDyxI其中其中D 是直線是直線 y1, x2, 及及y yx x 所圍的閉區(qū)

7、域所圍的閉區(qū)域. . 解法解法1. 將D看作X - 型區(qū)域, 則:DI21dxyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計算計算,dDyx其中其中D 是拋物線是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845

8、Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線及直線則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由拋拋物物線線2xy 和和2yx 所所圍圍平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域.解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 計算計算,ddsinDyxxx其中其中D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.OxyDxxy 解解

9、: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R 的直交圓柱面所圍的體積的直交圓柱面所圍的體積.解解: 設(shè)兩個直圓柱方程為,222Ryx利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222Rz

10、xDxyzRRO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )d dDf x yxy )(2xyxoyDbax)(1xy21( )( )( , )dxxf x yy dbax 二重積分化為二次積分的方法二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為X型型區(qū)域區(qū)域被積函數(shù)不變，被積函數(shù)不變，分解區(qū)域分解區(qū)域?qū)積分，上下限積分，上下限是關(guān)于是關(guān)于x的函數(shù)的函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , )d dDf x yxy xoyD)(1yx)(2yxdcy21( )( )( , )dyyf x yx ddcy 為計算方便為計算方便, ,可選擇積分序可選擇積分序. .

11、二重積分化為二次積分的方法二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為Y型型區(qū)域區(qū)域被積函數(shù)不變，被積函數(shù)不變，分解區(qū)域分解區(qū)域?qū)積分，上下限積分，上下限是關(guān)于是關(guān)于y的函數(shù)的函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 822 yx2D22yxo21D221xy 2:D282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy例例7. 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分解解:逆向思維：逆向思維：先求二重積分的區(qū)域先求二重積分

12、的區(qū)域D，然后作圖，由圖，然后作圖，由圖形確定二次積分形確定二次積分。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 復(fù)習(xí)極坐標(biāo)系：復(fù)習(xí)極坐標(biāo)系：O( (極點極點) )x( (極軸極軸) )極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系的概念：的概念：極點、極軸、極點、極軸、單位長度單位長度角度的正方向、角度的正方向、(逆時針方向逆時針方向)M ( , ) (極坐標(biāo)極坐標(biāo))極角極角極徑極徑|OM|= a( (單位長度單位長度) )二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分 =a（a為常數(shù)）為常數(shù)） 表示什么圖形？表示什么圖形？ =b（b為常數(shù)）表示什么圖形？為常數(shù)）表示什么圖形？ =a（a為常數(shù)）為常數(shù)） 表示同心圓；表示同心

13、圓； =b（b為常數(shù)）表示射線。為常數(shù)）表示射線。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下, 用同心圓用同心圓 =常數(shù)常數(shù)及射線及射線 =常數(shù)常數(shù)分劃區(qū)域分劃區(qū)域D 為為則除包含邊界點的小區(qū)則除包含邊界點的小區(qū)域外域外,小區(qū)域的面積小區(qū)域的面積(1,2, )kkn AoDk k kk kk k 2211()22kkkkkk 01( , )dlim(,)nkkkDkf x yf 兩個扇形面積之差兩個扇形面積之差目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2211()22kkkkkk 1(2)2kkkk ()2kkkkk ,kkk 二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分AoDk

14、k kk kk k 212() 2kkkk .kkkk 即即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 01lim(cos,sin)niikkiikkf 二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分 cos,sin.kkkkkk 對應(yīng)有直角坐標(biāo)對應(yīng)有直角坐標(biāo) 為為在在k (,),kk內(nèi)取點內(nèi)取點(,)kk01( , )dlim(,)nkkkDkf x yf (cos ,sin ).Dfd d .kkkk 一點的極坐標(biāo)和一點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)的關(guān)系被積函數(shù)被積函數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d( , )dDf x yxy Do1( ) 2( ) 21( )( )(cos ,sin

15、) df (cos ,sindd)Df d 被積函數(shù)被積函數(shù)( , )dDf x y 確定極坐標(biāo)系中確定極坐標(biāo)系中的變化范圍的變化范圍二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分將二重積分化為二次積分：將二重積分化為二次積分：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( ) oD特別特別, 對對0( ):02D (cos ,sindd)Df ( )0(cos ,sind)f 20d 二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分將二重積分化為二次積分將二重積分化為二次積分：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點軸

16、相切于原點,試試答答: ;0) 1 ( ) Doyx( ) Doyx問問 的變化范圍是什么的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 yx122 yx解解cossinxy Ddxdyyxf),(2110sincos(cos ,sin ).dfd 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 計算計算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下0:,02aD 原式原式D20dae 20122ae 2(1)ae 2e dd 20d 故故2xe的原函數(shù)不是的原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)

17、,故本題故本題無法無法用直角坐標(biāo)計算。用直角坐標(biāo)計算。注：注：由于由于湊微分法湊微分法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注:利用上題可得一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式2de02xx事實上, 222Rddeyxyxyxyxdede2220de42xxxayxxadelim2222故式成立 .)e1 (lim2aa222Rddeyxyx又目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)

18、sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域為dd