考研教學(xué)二考試重點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)

1、考研教學(xué)二教材下載電子教材我們講義共寫了八章，數(shù)學(xué)一的考生全部要學(xué)，而其它考生只需要其中的一部分。根據(jù)共同需要的內(nèi)容先講的原則，講課內(nèi)容與順序安排如下：第一章函數(shù)、極限、連續(xù)（全體）第二章一元函數(shù)微分學(xué)（全體）第三章一元函數(shù)積分學(xué)（全體）第六章多元函數(shù)微分學(xué)（全體）第七章§ 7.1二重積分（全體）第四章§ 4.1一階微分方程§ 4.3 微分方程的應(yīng)用（數(shù)學(xué)四考生結(jié)束）§ 4.2 高階微分方程（數(shù)學(xué)二考生結(jié)束）第八章 無窮級數(shù)（數(shù)學(xué)三考生結(jié)束）第五章向量代數(shù)與空間解析幾何第七章§ 7.2三重積分§ 7.3 曲線積分§ 7.4

2、曲面積分?jǐn)?shù)學(xué)一全部內(nèi)容結(jié)束第一章函數(shù)、極限、連續(xù)§ 1.1函數(shù)（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)的概念1.定義yf ( x) ， xI4隱函數(shù)F ( x, y)0確定 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系有 些 隱 函 數(shù) 能 化 為 顯 函 數(shù) ， 例 ： x2y21 ，y1x2和 y1 x 2 。另外有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。例：ex ysin(3x2 y)50二、基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像（內(nèi)容自己復(fù)習(xí)參考書，這里僅舉例說明其重要性）例 1：考察limarctan xx( x)( x)ya r c t axn的圖像x 為自變量， y 為因變量或稱為函數(shù)值 f : x y 為對應(yīng)關(guān)系自變量在定義域里

3、面取值的時候，所有的函數(shù)值的全體就稱為值域?？谠E（ 1）：函數(shù)概念五要素；對應(yīng)關(guān)系最核心。2.分段函數(shù)（考研中用得很多）x2, x1例 1：f ( x)3x1, x1x , x0例 2： x0x , xx 2, x0例 3： max( x, x2 , x3 )x,0x 1x3, x1口訣（ 2）：分段函數(shù)分段點(diǎn)；左右運(yùn)算要先行。3反函數(shù)例： y x2的反函數(shù)xy由于不單值，所以要看作xy 和 xy ，它們的圖像與 yx 2 一致。如果改變符號，寫成yx 和yx ，那么它們的圖像要變。1例 2：考察 lim e x2x 0因?yàn)?lim (12 )x 0x指數(shù)函數(shù) yex 的圖像1因此 lim e

4、 x20x 0三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)（ i）已知f ( x) ， g( x) ，求 f g(x)（ ii ）已知f g (x) ， g( x) ，求 f ( x)2.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算用一個表達(dá)式表示的函數(shù)原則上來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)四、考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù)1用極限表示的函數(shù)（ 1） ylimf n xn（ 2） ylimf t , xt x2用變上、下限積分表示的函數(shù)xdy（ 1） yF ( x)ft dt其中 f t連續(xù)，則f xadxx（ 2） yG( x)21 x ， 2x 可導(dǎo)， f t 連續(xù)，f t dt其中1 x則 dyf2

5、 x2 xf1 x1 xdx口訣（ 3）：變限積分是函數(shù)；出現(xiàn)之后先求導(dǎo)。五、函數(shù)的幾種性質(zhì)1有界性：（ i）定義：設(shè)函數(shù) yfx 在 X 內(nèi)有定義， 若存在正數(shù)M ，使 xX 都有f xM ，則稱 fx在 X 上是有界的。（ ii ）例： f ( x)1在（ 0， 1）內(nèi)無界，在（1/2， 1）內(nèi)有界x2奇偶性：X ，都有 fxfx，則稱 fx（ i ）定義：設(shè)區(qū)間 X 關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對x在 X 上是奇函數(shù)。若對 xX ，都有 fxfx，則稱 fx在 X 上是偶函數(shù)。（ ii ）圖像對稱性：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)圖象關(guān)于y 軸對稱。af ( x)dx0當(dāng)f為奇函數(shù)常用公式：aa2

6、f (x)dx當(dāng)f為偶函數(shù)0口訣（ 4）：奇偶函數(shù)常遇到；對稱性質(zhì)不可忘。3單調(diào)性：fx在 X 上有定義，若對任意x1X ， x2X ， x1（ i ）定義：設(shè)x2 都有 fx1fx2fx1f x2則稱fx 在 X 上是單調(diào)增加的單調(diào)減少的；若對任意 x1X，X，x2 都有 fx1fx2fx1fx2，x2x1則稱 fx 在 X 上是單調(diào)不減 單調(diào)不增 （注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴(yán)格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。）（ ii ）判別方法：在（a， b）內(nèi)，若 f (x)0 ，則 f (x) 單調(diào)增加；若f(x)0 ，則單調(diào)減少?？谠E（ 5）：單調(diào)增加與減少；先算導(dǎo)數(shù)正與負(fù)。4周期性

7、：（ i）定義：設(shè)f x 在 X 上有定義，如果存在常數(shù)T0 ，使得任意xX ， xTX ，都有 fxTfx ，則稱 fx是周期函數(shù)，稱T 為 fx 的周期。由此可見，周期函數(shù)有無窮多個周期，一般我們把其中最小正周期稱為周期。（ ii ）例：f ( x)sinx(0) 周期為 T2； f ( x) sin xcos x 周期為 12是 4和 6的最小公倍數(shù)；f (x)sinxsin 2x 不是周期函數(shù)，因?yàn)?32 和沒有最小公倍數(shù)。（乙）典型例題一、定義域與值域例 1設(shè) fx 的定義域?yàn)閍, aa0 求 fx21 的定義域解：要求ax21a ，則 1ax2x 21a ，當(dāng) a1時， 1 a0

8、，x21 a ，則 x1 a當(dāng) 0a 1時， 1 a0 ，1 a x1 a也即 1 a x1a 或 1 a x1 a3x3 , x2例 2求 yfx5x,2x2 的值域，并求它的反函數(shù)。1x2 2 , x2解： x2 ， y 38 11 ， x3 3y ，2 x 2 ， 3 y5 x 7 ， x 5y ，x 2 ， y 1x 2 21， x 21 y ，所以 yfx 的值域?yàn)?13,711,21 y , y 1反函數(shù) x5y,3 y7.3 3y , y11二、求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式例 1設(shè) f xx，求 f ff xf n x1 x2n 重復(fù)合解： f 2 xf f xfxx1x 2x2 ，1

9、f 2 x1 x 21 x21 2 x若 f kxx，1kx2則 f k1xf kxx1x2x1 f k2 x1 kx 21 kx21 k 1 x2根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對正整數(shù)n ， f n xx1 nx2例 2已知 fexxe x ，且 f10 ，求 fx解：令 ext ， xln t ，因此 fexftln t，xtf xf 1x ln t12t12xdtln1ln1t22f 10 ，fx1ln 2x2三、有關(guān)四種性質(zhì)例1設(shè)Fxfx ，則下列結(jié)論正確的是（ ）（ A ）若 f x 為奇函數(shù)，則 F x 為偶函數(shù)（ B ）若 f x 為偶函數(shù)，則 F x 為奇函數(shù)（ C）若 f x 為周期函

10、數(shù)，則 F x 為周期函數(shù)（ D ）若 f x 為單調(diào)函數(shù)，則 F x 為單調(diào)函數(shù)解：（ B ）的反例f ( x)3x 2； F (x)x31 ；（ C）的反例f (x)cos x 1;F ( x)sin xx ； (D) 的反例 (,) 內(nèi) f ( x)2x ； F ( x)x 2（ A ）的證明：F ( x)F (0)xF (x)F (0)xF ( x)F(0)xf (t )dtf (t )dtf (t )dt000作變量替換utx則 F (x)F (0)u)d (u)f (0f 為奇函數(shù)，f ( u)f (u)于是 F(x)xf (u)duF ( x)F (0)0F ( x) 為偶函數(shù)例

11、2求I15exe x ln xx21 dxx x1解： f1xexe x 是奇函數(shù)，f1xe xexf1xf2 xln xx21是奇函數(shù)，f 2xlnxx21ln x 21x2xx21ln 1ln xx21f 2x因此 x exe xln xx21是奇函數(shù)于是 Ix6 dx 0 2 x 6dx211107例 3設(shè) fx ，g x 是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且 fx g x f x g x 0 ，則當(dāng) ax b 時，下列結(jié)論成立的是（ ）（ A ） f x g bf b g x（ B ） f x g af a g x（ C） f x g xf b g b（ D ） f x g xf a g a解：（

12、 A ）等價 f ( x)f (b)，只需f ( x)單調(diào)減少；g ( x)g(b)g( x)（ B ）等價 f ( x)f ( a)，只需f ( x)單調(diào)增加；g( x) g (a)g ( x)（ C）只需（ D ）只需f ( x)g (x) f ( x)g( x)單調(diào)減少單調(diào)增加現(xiàn)在f ( x)f( x) g (x)f ( x) g ( x)0，所以 f (x) 單調(diào)減少，故（A ）成立。g (x)g 2 (x)g( x)四、函數(shù)方程例 1設(shè) fx在 0,f00g xfxx 2ex ，求 f x上可導(dǎo)，反函數(shù)為，且g t dt。0解 ： 兩 邊 對 x求 導(dǎo) 得 gfxfx2xexx 2e

13、x， 于 是 xf xx 2x ex ， 故f xx 2 ex ，f xx 1 exC ，由 f 00，得 C1，則 f xx 1 ex1?？谠E（ 6）：正反函數(shù)連續(xù)用；最后只留原變量。例 2設(shè) fx滿足 sinfx1 sinf1 xx ，求 f x33解：令 gxsin fx ，則g x1 g1 xx ，3311x1g1x1x3 g3323232，12 g12 x13g 13x14 x ，333331g1x1g1x1x ，3n 13n 13n3n32 n 1g x11x 111各式相加，得3n g3n x99 n 1g x，lim1g1x01nnn33lim 1111999n118n19因此

14、 g x9 x ，于是892k 19f x ar c s i n x 2k 或arcsin x （ k 為整數(shù)）88口訣（ 7）：一步不行接力棒；最終處理見分曉。思考題設(shè) ba 均為常數(shù)，求方程sin xb lnxbxb 21sinx a lnxax a 210 的一個解。解：令 f (t )sint ln tt 21，則原方程相當(dāng)于f ( xb)f ( xa) ，而 nist 和 ln tt 21 都是奇函數(shù)， 故 f (t )為偶函數(shù)，于是只要( xb)( xa) ，x1 (ba)2§ 1.2極限（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、極限的概念與基本性質(zhì)1極限的概念lim xnA（ 1）數(shù)列的極限n

15、（ 2）函數(shù)的極限limfxA ； limfxA ； limf xAxxxlim f xA ； limfxA ； limfxAx x0xx0xx02極限的基本性質(zhì)定理 1（極限的唯一性）設(shè)limfxA ， limf xB，則 AB定理 2（極限的不等式性質(zhì)）設(shè)limfxA ， lim g xB若 x 變化一定以后，總有f xg x，則 AB反之， AB ，則 x 變化一定以后，有f xg x （注：當(dāng) g x0 ， B0 情形也稱為極限的保號性）定理 3（極限的局部有界性）設(shè)limfxA則當(dāng) x 變化一定以后，f x是有界的。定理 4設(shè) limfxA ， lim g xB則（ 1） limfx

16、g xAB（ 2） limfxg xAB（ 3） limfxg xA Bf xAB0（ 4） limBg x（ 5） lim f xg xA BA0二、無窮小1lim fx0，則稱f x為無窮?。ㄗⅲ?無窮小與x的變化過程有關(guān)，lim10，當(dāng) x時無窮小定義：若xx為無窮小，而xx0或其它時，1 不是無窮小）x2無窮大定義：任給M0 ，當(dāng) x 變化一定以后，總有 f xM ，則稱 fx 為無窮大，記以lim f x。3無窮小與無窮大的關(guān)系：在x 的同一個變化過程中，若 f x 為無窮大，則1為無窮小，f x1x若 f x 為無窮小，且fx01為無窮大。，則f x4無窮小與極限的關(guān)系：lim f

17、 xAfxAx ，其中 limx05兩個無窮小的比較設(shè) lim f x0， lim g x0 ，且 limf xlg x（ 1） l0 ，稱 fx是比 g x 高階的無窮小，記以f x o g x稱 g x 是比 f x 低階的無窮小（ 2） l 0 ，稱 f x 與 g x 是同階無窮小。（ 3） l1，稱 fx 與g x 是等階無窮小，記以f x g x6常見的等價無窮小，當(dāng)x0 時sin x x ，tan x x ，arcsin x x ，arctan x x ，1 cos x 1 x 2，x， x，1xa1 ax。2e1 x lim 1 x7無窮小的重要性質(zhì)有界變量乘無窮小仍是無窮小。

18、口訣（ 8）：極限為零無窮??；乘有界仍無窮小。三、求極限的方法1利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則2兩個準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1：單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在（ 1）若 xn1xn （ n 為正整數(shù)）又xnm （ n 為正整數(shù)），則 lim xnA 存在，且 Amn（ 2）若 xn1xn （ n 為正整數(shù)）又xnM （ n 為正整數(shù)），則 lim xnA存在，且 AMn準(zhǔn)則 2：夾逼定理設(shè) g xfxh x 。若 lim g xA ， lim h xA ，則 lim f xA3兩個重要公式公式 1： lim sin x1x0xnu111公式 2： lim1e ； lim1e； lim 1v venunuv04

19、用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換5用泰勒公式（比用等價無窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二）當(dāng) x0 時， ex1 xx2x no x nx 22!n!x 3ex1 x23o( x3 )例：求 lim32用 ex1xxxo x 3（最后一項比x3 高階無窮小）原式lim631 ，x0x2! 3!x 0x6這樣比用洛比達(dá)法則簡單sin xxx3x 51 nx 2n1o x2 n13!5!2n1 !cos x1x 2x 41nx2 no x2n2!4!2n !ln 1 xxx 2x31 n 1 x no xn23nx3x5n1x2n1o x 2n1arctan xx11352n1 x a1 axa a

20、1 x 2a a 1a n 1 xno x n2!n!6洛必達(dá)法則專門來處理七種比較困難的極限：0 ； 0 *； 1； 00；00第一層次：直接用洛比達(dá)法則可處理0 和兩種0法則 1：（0 型）設(shè)（ 1） lim f x0 ， lim g x00（ 2） x 變化過程中，fx ， g x 皆存在（ 3） limfxA （或）gxfxA （或）則 limg x（注：如果 lim fx不存在且不是無窮大量情形，則不能得出limf x不存在且不是無窮大量情形）g xg x法則 2：（型）設(shè)（ 1） limf x， lim g x（ 2） x 變化過程中，fx， gx皆存在（ 3） limfxA （或）xg則 lim fxA （或）g x1cos x例： limx2x 0cos x 1 x2方法一：等價無窮小替換12方法二：洛比達(dá)法則分子分母求導(dǎo)得sin x ，然后可以用公