第一章分子對(duì)稱(chēng)性及群論基礎(chǔ)3

1、一、一、群的表示群的表示1-5群表示及其性質(zhì)群表示及其性質(zhì)定義：若矩陣群定義：若矩陣群是抽象群是抽象群的的一個(gè)同態(tài)映像，則一個(gè)同態(tài)映像，則G G稱(chēng)為稱(chēng)為G的一個(gè)矩陣表示。的一個(gè)矩陣表示。C,B,A,E,GC,B,A,EG說(shuō)明說(shuō)明：*矩陣群的元素是同階方陣；矩陣群的元素是同階方陣；*矩陣群的運(yùn)算規(guī)則：矩陣乘法；矩陣群的運(yùn)算規(guī)則：矩陣乘法；* * 矩陣群的單位元為：矩陣群的單位元為：?jiǎn)挝痪仃?；單位矩陣? * 由數(shù)字由數(shù)字 1 1 構(gòu)成的矩陣群構(gòu)成的矩陣群是任何群是任何群G的一個(gè)同態(tài)映像，稱(chēng)全對(duì)稱(chēng)的一個(gè)同態(tài)映像，稱(chēng)全對(duì)稱(chēng)表示。任何標(biāo)量函數(shù)是全對(duì)稱(chēng)表示的基函數(shù)；表示。任何標(biāo)量函數(shù)是全對(duì)稱(chēng)表示的基函數(shù)

2、；*一個(gè)抽象群可以有無(wú)窮多個(gè)矩陣表示。一個(gè)抽象群可以有無(wú)窮多個(gè)矩陣表示。 rfrfR1、群的表示的定義群的表示的定義2、等價(jià)表示等價(jià)表示P是一個(gè)非奇異方陣是一個(gè)非奇異方陣（），但不一定是群表示的矩陣。，但不一定是群表示的矩陣。定義：如果群的表示定義：如果群的表示G G與與G G的矩陣，以同一相似變換相關(guān)聯(lián)，則的矩陣，以同一相似變換相關(guān)聯(lián)，則G G與與G G為等價(jià)表示。為等價(jià)表示。.C,B,A,E,:G.,C,B,A,E: G.,CPPCBPPBAPPA1110P即：即：兩者等價(jià)，是指滿足下列關(guān)系：兩者等價(jià)，是指滿足下列關(guān)系：上節(jié)中，選取基函數(shù)為：上節(jié)中，選取基函數(shù)為： 可以得到可以得到 C3V

3、 C3V 點(diǎn)群點(diǎn)群6 6個(gè)對(duì)稱(chēng)操作的矩陣表示個(gè)對(duì)稱(chēng)操作的矩陣表示 （G G1 1 ）：）： 2222321,2 ,x,yxxyyfff100010001E10002/1230232/13C10002/1230232/123C100010001V10002/1230232/1V 10002/1230232/1V 等價(jià)表示示例等價(jià)表示示例 如選取基函數(shù)為：如選取基函數(shù)為：22321,2 ,yxyxggg100010001E412343432/1434/3234/13C100010001V3323CCC 3VVC23VVC 則可以得到則可以得到C3VC3V點(diǎn)群點(diǎn)群6 6個(gè)對(duì)稱(chēng)操作的矩陣表示如下個(gè)對(duì)稱(chēng)

4、操作的矩陣表示如下 （G G2 2） ： 兩組基函數(shù)有變換關(guān)系：兩組基函數(shù)有變換關(guān)系： 1321321,Pfffggg2102101021021P1010101011P 101010001,2 ,2 ,222222yxxyyxyxyx即：即： 這兩個(gè)表示是這兩個(gè)表示是等價(jià)表示等價(jià)表示。等價(jià)表示本質(zhì)上是。等價(jià)表示本質(zhì)上是“相同相同”的表示，它們都的表示，它們都表達(dá)了一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作（算符）在同一個(gè)函數(shù)空間（表達(dá)了一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作（算符）在同一個(gè)函數(shù)空間（x,y的二次齊次函數(shù)）的二次齊次函數(shù)）的作用效果，只是基函數(shù)的選取是不同的。的作用效果，只是基函數(shù)的選取是不同的。容易證明兩組對(duì)稱(chēng)操作矩陣有變換關(guān)系：容

5、易證明兩組對(duì)稱(chēng)操作矩陣有變換關(guān)系： PCPC1312321021010210211000212302321101010101412343432143432341PRPR112例如：例如： 由于相似變換不改變矩陣的跡（對(duì)角元素之和），因此：由于相似變換不改變矩陣的跡（對(duì)角元素之和），因此：先證：先證：., , BBAATrTrTrTrBCAABCTrTriiiATr A jjjjikijkijkijkkijkijiiiacbcbaBCAABC證明：證明：故有：故有： APAPAPPA11TrTrTrTr矩陣的跡（對(duì)角元之和）：矩陣的跡（對(duì)角元之和）：等價(jià)表示的相應(yīng)矩陣的跡相同。即：等價(jià)表示的相應(yīng)

6、矩陣的跡相同。即：若：若：則：則：.,BPPBAPPA112 2、特征標(biāo)、特征標(biāo)群表示中矩陣的跡稱(chēng)特征標(biāo)：群表示中矩陣的跡稱(chēng)特征標(biāo)：兩個(gè)表示等價(jià)的充要條件是特征標(biāo)相同。兩個(gè)表示等價(jià)的充要條件是特征標(biāo)相同。 RTrR )( .)(.)(GGRRRR群的一個(gè)表示一定有無(wú)窮多個(gè)表示與之等價(jià)，且這些表示相互等價(jià)。群的一個(gè)表示一定有無(wú)窮多個(gè)表示與之等價(jià)，且這些表示相互等價(jià)。 定理：同一共軛類(lèi)的群元素，其特征標(biāo)相同。定理：同一共軛類(lèi)的群元素，其特征標(biāo)相同。 證證 設(shè)：設(shè)： 所以：所以： GXBA,XBXA1BXXA1)()(BA（相似變換不改變矩陣的跡（相似變換不改變矩陣的跡 ）相應(yīng)的矩陣相應(yīng)的矩陣 ：

7、1XX,B,A,EXX1且：且： 則由群表示的定義：則由群表示的定義： 且：且： 1,XXBA例：考慮例：考慮C3V點(diǎn)群各對(duì)稱(chēng)操作的矩陣表示。選基函數(shù)為：點(diǎn)群各對(duì)稱(chēng)操作的矩陣表示。選基函數(shù)為：則：則： 可見(jiàn)：可見(jiàn)： 2222321,2 ,yxxyyxfff0)()(233CC1)()()( VVV3)(E100010001E10002/1230232/13C10002/1230232/123C100010001V10002/1230232/1V 10002/1230232/1V二、可約與不可約表示二、可約與不可約表示例：例： 矩陣的直和矩陣的直和 ： 10002123023213C212323

8、21a3C 1b3Cb3a33CCC可分解為兩個(gè)子方陣：可分解為兩個(gè)子方陣： 1 1、矩陣的直和、矩陣的直和由矩陣的乘法規(guī)則可知：對(duì)角方塊化的矩陣的乘法為方塊對(duì)方塊的乘法。由矩陣的乘法規(guī)則可知：對(duì)角方塊化的矩陣的乘法為方塊對(duì)方塊的乘法。每組小方塊矩陣服從同樣的乘法次序。因此，一組子方塊矩陣也構(gòu)成群每組小方塊矩陣服從同樣的乘法次序。因此，一組子方塊矩陣也構(gòu)成群的一個(gè)表示。的一個(gè)表示。子方塊矩陣分別構(gòu)成子方塊矩陣分別構(gòu)成C3VC3V點(diǎn)群的二維和一維表示：點(diǎn)群的二維和一維表示： 有：有： 2 2、可約與不可約表示、可約與不可約表示例如：例如： C3VC3V點(diǎn)群的三維表示點(diǎn)群的三維表示 G G：100

9、010001E10002/1230232/13C10002/1230232/123C100010001V10002/1230232/1V 10002/1230232/1V.,b3a33baCCCEEE.,:.,:2b23b3ba3a3aC,C,ECCEbaGG記為：記為： baGGG定義：群的一個(gè)表示，如果它的所有矩陣可以借助于某一個(gè)相似變換變定義：群的一個(gè)表示，如果它的所有矩陣可以借助于某一個(gè)相似變換變成相同形式的對(duì)角方塊化矩陣，則此表示是可約的，否則是不可約的。成相同形式的對(duì)角方塊化矩陣，則此表示是可約的，否則是不可約的。例如：例如：- - 可約表示可約表示 100010001E10002

10、/1230232/13C10002/1230232/123C100010001V10002/1230232/1V 10002/1230232/1V100010001E412343432/1434/3234/13C100010001V3323CCC 3VVC23VVC - - 可約表示可約表示 一個(gè)群可以有無(wú)窮多個(gè)矩陣表示，但其中很多是等價(jià)表示，對(duì)于相互一個(gè)群可以有無(wú)窮多個(gè)矩陣表示，但其中很多是等價(jià)表示，對(duì)于相互等價(jià)的表示，我們只需研究其中的一個(gè)。等價(jià)的表示，我們只需研究其中的一個(gè)。一個(gè)群可以有很多個(gè)不等價(jià)表示，但其中很多是可約的，對(duì)于可約表一個(gè)群可以有很多個(gè)不等價(jià)表示，但其中很多是可約的，對(duì)于

11、可約表示，我們可以將其約化為不可約表示的直和。示，我們可以將其約化為不可約表示的直和。因此研究群的性質(zhì)，只需研究其不等價(jià)的不可約表示的性質(zhì)。對(duì)于有因此研究群的性質(zhì)，只需研究其不等價(jià)的不可約表示的性質(zhì)。對(duì)于有限階的群，其不等價(jià)的不可約表示是有限的。限階的群，其不等價(jià)的不可約表示是有限的。群的所有不等價(jià)的不可約表示就完全代表了群的性質(zhì)。群的所有不等價(jià)的不可約表示就完全代表了群的性質(zhì)。三、不可約表示的特征標(biāo)表三、不可約表示的特征標(biāo)表 群的重要性質(zhì)被概括在各種表格中，其中使用最頻繁的是不可約群的重要性質(zhì)被概括在各種表格中，其中使用最頻繁的是不可約表示的的特征標(biāo)表。表示的的特征標(biāo)表。 AB下標(biāo)下標(biāo)1下標(biāo)

12、下標(biāo)2上標(biāo)上標(biāo)上標(biāo)上標(biāo)下標(biāo)下標(biāo)g下標(biāo)下標(biāo)u1nC1nC12C1V12C1V1h1h 1i 1i不可約表示的慕利肯記號(hào)不可約表示的慕利肯記號(hào)一維表示一維表示: : A或或B二維表示二維表示:E三維表示三維表示:T(F)一、廣義正交定理（矩陣元正交定理）一、廣義正交定理（矩陣元正交定理） 1-6 1-6 不可約表示的性質(zhì)不可約表示的性質(zhì) 群的表示的矩陣元的記號(hào)：群的表示的矩陣元的記號(hào)： mniR)(G第第i個(gè)不可約表示、對(duì)稱(chēng)操作個(gè)不可約表示、對(duì)稱(chēng)操作（群的元素）的（群的元素）的m行行n列列R定理定理1 1 （廣義正交定理）：若（廣義正交定理）：若 ， 為群的不可約表示，則：為群的不可約表示，則：i

13、GnnmmijjiRnmjmnillhRRGG)()(iGjljG式中式中 為群的階（對(duì)稱(chēng)操作的數(shù)目），為群的階（對(duì)稱(chēng)操作的數(shù)目）， 為為 的維數(shù)（該表的維數(shù)（該表示中每個(gè)矩陣的階）示中每個(gè)矩陣的階）hjliG可將定理改寫(xiě)為：可將定理改寫(xiě)為：nnmmijjinmhjnmjmnhimnimnilhlhRRRRRGGGGG)()()(,)(,)(121這表明：不可約表示的每一套矩陣元（當(dāng)變化時(shí)形成的一套）構(gòu)成維空這表明：不可約表示的每一套矩陣元（當(dāng)變化時(shí)形成的一套）構(gòu)成維空間的一個(gè)向量，而廣義正交定理告訴我們：這些向量是彼此正交的。間的一個(gè)向量，而廣義正交定理告訴我們：這些向量是彼此正交的。hhl

14、iGGRnmjmniRR)()(兩向量的標(biāo)積兩向量的標(biāo)積向量的長(zhǎng)度；向量的長(zhǎng)度；維向量維向量（向量的維數(shù)由群的階數(shù)給出）；（向量的維數(shù)由群的階數(shù)給出）；推論推論1 1：群的不等價(jià)不可約表示的維數(shù)平方和等于群的階。即：群的不等價(jià)不可約表示的維數(shù)平方和等于群的階。即：6232221lll6hhlll232221hlii22il向量空間的維數(shù)（向量有幾個(gè)分量）向量空間的維數(shù)（向量有幾個(gè)分量）這表明由點(diǎn)群的不等價(jià)不可約表示可以構(gòu)成這表明由點(diǎn)群的不等價(jià)不可約表示可以構(gòu)成6 6維向量空間的一組維向量空間的一組獨(dú)立（線性無(wú)關(guān)）的向量，這樣一組獨(dú)立的向量的數(shù)目為：獨(dú)立（線性無(wú)關(guān)）的向量，這樣一組獨(dú)立的向量的數(shù)

15、目為：n n維向量空間的正交的向量數(shù)目不多于維向量空間的正交的向量數(shù)目不多于h個(gè)，即：不可約表示維數(shù)的個(gè)，即：不可約表示維數(shù)的平方和必須小于或等于群的階平方和必須小于或等于群的階求和包括所有不等價(jià)的不可約表示。求和包括所有不等價(jià)的不可約表示。不變的向量數(shù)（由不可約表示矩陣元素?cái)?shù)定）不變的向量數(shù)（由不可約表示矩陣元素?cái)?shù)定）二、二、不可約表示特征標(biāo)的正交性不可約表示特征標(biāo)的正交性1 1 特征標(biāo)正交定理特征標(biāo)正交定理定理定理2 2：若：若 ， 是群是群 G G 的不可約表示的特征標(biāo)，則：的不可約表示的特征標(biāo)，則：)(Ri)(RjijhRjihRR)()(證明：證明：nnmmijjiRnmjmnill

16、hRRGG)()(nm nmGGijijlmlmmmmmijjilmlmRmmjil lhRmm)()R(GGRjiRmmmjmmmiRRRR)()()()(ijiijjihll lh對(duì)對(duì)角元素成立并對(duì)所有行指標(biāo)求和：對(duì)對(duì)角元素成立并對(duì)所有行指標(biāo)求和：令：令： 左左= =右右= =推論推論2 2：不可約表示特征標(biāo)的平方和等于群的階。即：不可約表示特征標(biāo)的平方和等于群的階。即： （不可約性判據(jù)）（不可約性判據(jù)） 式中若式中若 ，則：，則： hRRi2)(ji 0)()(RjiRR0)()()()()(2hjjhiiiRRRRR以兩個(gè)不等同不可約表示的特征標(biāo)作為分量的兩個(gè)以兩個(gè)不等同不可約表示的特

17、征標(biāo)作為分量的兩個(gè)h h維向量相互正交。維向量相互正交。 其逆命題成立。即：其逆命題成立。即：若群表示特征標(biāo)平方和等于群的階，則該表示一定是不可約的。若群表示特征標(biāo)平方和等于群的階，則該表示一定是不可約的?；蚋膶?xiě)為：或改寫(xiě)為： 式中式中p 為群的類(lèi)，為群的類(lèi)，gp 為為p 類(lèi)中群元素的數(shù)目。類(lèi)中群元素的數(shù)目。另一形式：因?yàn)橥活?lèi)的元素特征標(biāo)相同，可以把對(duì)對(duì)稱(chēng)操作的求和另一形式：因?yàn)橥活?lèi)的元素特征標(biāo)相同，可以把對(duì)對(duì)稱(chēng)操作的求和變成對(duì)類(lèi)的求和：變成對(duì)類(lèi)的求和： ijkpjiphppg)()(ijjpkpipphgphg)()(ijjkjikikhghgkhghg)() 1 ()(,),1 (11

18、這表明如果群有這表明如果群有k k個(gè)共軛類(lèi)，則不同類(lèi)的加權(quán)重特征標(biāo)標(biāo)成個(gè)共軛類(lèi)，則不同類(lèi)的加權(quán)重特征標(biāo)標(biāo)成k k維向量的分量維向量的分量，如果這些，如果這些k k維向量屬于不同不可約表示，則它們相互正交。即：維向量屬于不同不可約表示，則它們相互正交。即：由不可約表示的加權(quán)重特征標(biāo)構(gòu)成由不可約表示的加權(quán)重特征標(biāo)構(gòu)成k k維向量空間相互正交的單位向量分量。維向量空間相互正交的單位向量分量。 一般地，有多少個(gè)不可約表示，就有多少個(gè)一般地，有多少個(gè)不可約表示，就有多少個(gè)k k維向量，但維向量，但k k維空間相互正交維空間相互正交的向量數(shù)目不多于的向量數(shù)目不多于k k個(gè)，所以不可約表示的數(shù)目不多于類(lèi)的數(shù)

19、目（個(gè)，所以不可約表示的數(shù)目不多于類(lèi)的數(shù)目（k k個(gè)）。個(gè)）。 ， 構(gòu)成一個(gè)三維向量構(gòu)成一個(gè)三維向量 例：群，例：群，3 3類(lèi)（類(lèi)（k=3k=3） 636261)(11AG， 構(gòu)成一個(gè)三維向量構(gòu)成一個(gè)三維向量 ， 構(gòu)成一個(gè)三維向量構(gòu)成一個(gè)三維向量 )(22AG636261)(3EG06262推論推論3:群的不等價(jià)的不可約表示的數(shù)目等于群的類(lèi)的數(shù)目。群的不等價(jià)的不可約表示的數(shù)目等于群的類(lèi)的數(shù)目。不可約表示的特征標(biāo)表不可約表示的特征標(biāo)表 群的重要性質(zhì)被概括在各種表格中，其中使用最頻繁的是不可約群的重要性質(zhì)被概括在各種表格中，其中使用最頻繁的是不可約表示的的特征標(biāo)表。表示的的特征標(biāo)表。 3、應(yīng)用示例

20、：、應(yīng)用示例：C3v點(diǎn)群的不可約表示特征標(biāo)表的導(dǎo)出點(diǎn)群的不可約表示特征標(biāo)表的導(dǎo)出推論推論3：C3VC3V點(diǎn)群有點(diǎn)群有3個(gè)共軛類(lèi)個(gè)共軛類(lèi)3個(gè)不等價(jià)的不可約表示個(gè)不等價(jià)的不可約表示推論推論1：只能有只能有2個(gè)一維表示，個(gè)一維表示，1個(gè)二維表示個(gè)二維表示6232221lll121 ll23l1）G G1與與G G2正交：正交：得得：（不合，舍去）（不合，舍去）2）特征標(biāo)的平方和等于群的階）特征標(biāo)的平方和等于群的階：0131211ba63211bbaa11ba5357ba同理：同理：01dc是不可約表示；是不可約表示； 是是 出現(xiàn)的次數(shù)。出現(xiàn)的次數(shù)。 任一可約表示任一可約表示 ： 三、可約表示的分解（

21、約化）三、可約表示的分解（約化）問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 321AAAAP1PAGGGGGjjjaaaa332211?jajGjajG兩邊同時(shí)兩邊同時(shí) ： 易見(jiàn)：易見(jiàn)： 證明證明: : 由：由： 定理定理3 3 （可約表示的分解定理）（可約表示的分解定理）: : 可約表示可通過(guò)相似變換轉(zhuǎn)化為不可可約表示可通過(guò)相似變換轉(zhuǎn)化為不可約表示的直和，第約表示的直和，第i i個(gè)不可約表示出現(xiàn)的次數(shù)為：個(gè)不可約表示出現(xiàn)的次數(shù)為：GGjjjajjjRaR)()(RiR)(ijijjjRjijjjjRihahaRRaRaRRR G)()()()()()()(RiGRiiRRha)()(1例：例： 定理可改寫(xiě)為對(duì)類(lèi)的求和：定

22、理可改寫(xiě)為對(duì)類(lèi)的求和： Gkpipippgha)()(1111111101013161)()()()()()(61111133 GGGVVAAAACCEEa02Aa1EaEA G1同理可得：同理可得： 其中，其中， 1 1 、矩陣的直接乘積、矩陣的直接乘積 四、直積表示四、直積表示 特征標(biāo)：特征標(biāo)： 662221121133323123222113121122211211BBBBaaaabbbbbbbbbaaaa22211211aaaaA333231232221131211bbbbbbbbbB211113111211111111babababaa B)()()()()(2211BABBBAaa推廣：直積矩陣的特征標(biāo)等于兩個(gè)直因子矩陣的特征標(biāo)的普通乘積。推廣：直積矩陣的特征標(biāo)等于兩個(gè)直因子矩陣的特征標(biāo)的普通乘積。 可以支撐起一個(gè)可以支撐起一個(gè) 維的函數(shù)空間，它是對(duì)稱(chēng)操作的不變空間。維的函數(shù)空間，它是對(duì)稱(chēng)操作的不變空間。以全部乘積函數(shù)為基：以全部乘積函數(shù)為基： 2