全國中學(xué)生物理競賽課件11：天體運動種種

1、開普勒三定律開普勒三定律 面積定律面積定律 軌道定律軌道定律 周期定律周期定律萬有引力定律萬有引力定律2GMmFr 牛頓運動定律牛頓運動定律32akT 2222GMmvmmrrTr t3t4Bt2t1A行星行星太陽太陽ba機械能守恒機械能守恒赤道平面軌道赤道平面軌道極地軌道極地軌道其它軌道其它軌道角速度角速度周期周期速度速度加速度加速度與軌道半徑關(guān)系與軌道半徑關(guān)系軌道半徑軌道半徑R中心天體半徑中心天體半徑R00020GMagR2GMagR21aR0000GMvR gRGMvRgR1vR300022RRTgGM322RRTgGM 3TR0300gGMRR 3gGMRR 31R 20GMmFR 引

2、引F引引mF向向202FmRT 向向20202GMmGmRTR mF引引F向向202cosFmRT 向向地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力只是地心引力極小一部分地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力只是地心引力極小一部分天上衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動所需向心力由全部地心引力提供！天上衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動所需向心力由全部地心引力提供！22mMmRMR mMRMRm mMMRLMmmRLMm ,mMmMvvRR mMvMvm mMaMam 模型特征：模型特征：故有故有之二：之二：角速度相同，即角速度相同，即之三：之三：兩天體做圓周運動的向心力大小相等，兩天體做圓周運動的向心力大小相等，之四：之四：之一：兩天體做圓周運動的向心力

3、均為兩天體間的萬有引兩天體做圓周運動的向心力均為兩天體間的萬有引力，大小相等，即力，大小相等，即模型規(guī)律：模型規(guī)律：ORmmMRMvMvm兩顆相近的天體繞它們連線上的某兩顆相近的天體繞它們連線上的某點（質(zhì)心點（質(zhì)心）以共同的角速度做勻速）以共同的角速度做勻速圓周運動圓周運動 .222GMmMmLLTMm 由由 32LTG Mm 之五：之五：雙星系統(tǒng)動量守恒雙星系統(tǒng)動量守恒GM m2mR 22RT 4G 3 3R2R4 2 2RT23GT 地球公轉(zhuǎn)軌道平面地球公轉(zhuǎn)軌道平面日DXQCh對北半球而言對北半球而言, ,在冬季過近日點在冬季過近日點, ,夏季過遠(yuǎn)日點夏季過遠(yuǎn)日點t3t4Bt2t1A行星行

4、星太陽太陽ba1122abvt avt b abvavbab abvv 如圖所示為地球繞太陽運行示意圖，圖中橢圓表示地球公如圖所示為地球繞太陽運行示意圖，圖中橢圓表示地球公轉(zhuǎn)軌道，轉(zhuǎn)軌道，Ch、Q、X、D分別表示中國農(nóng)歷節(jié)氣中的春分、秋分、夏至、冬至?xí)r分別表示中國農(nóng)歷節(jié)氣中的春分、秋分、夏至、冬至?xí)r地球所在的位置試說明，一年之內(nèi)秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因地球所在的位置試說明，一年之內(nèi)秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因 地球公轉(zhuǎn)軌道平面地球公轉(zhuǎn)軌道平面日日DXQCh由面積定律由面積定律: :321224T R gR 同步軌道半徑設(shè)為同步軌道半徑設(shè)為R1同步衛(wèi)星軌道在影區(qū)的弧所對圓心角同步衛(wèi)星

5、軌道在影區(qū)的弧所對圓心角2，有有11sinRR 因衛(wèi)星在影區(qū)、不反射陽光而看不到的時間為因衛(wèi)星在影區(qū)、不反射陽光而看不到的時間為tT 112RTg 由由2R 某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落（太陽光直射赤道）在日落12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)地球自轉(zhuǎn)周期為周期為

6、T，不考慮大氣對光的折射，不考慮大氣對光的折射R132124sinRgTT 極地衛(wèi)星周期為極地衛(wèi)星周期為hTnT每晝夜衛(wèi)星經(jīng)日照下的赤道的次數(shù)為每晝夜衛(wèi)星經(jīng)日照下的赤道的次數(shù)為322hRhTR g 每次應(yīng)拍攝每次應(yīng)拍攝3224R hRlnTg 偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為它的運行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時間內(nèi)將地面上，要使衛(wèi)星在一天的時間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的全部情況全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道赤道各處在日照條件下的全部情況全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機至少應(yīng)拍攝地面上赤道

7、圓周的弧長是多少？上空時，衛(wèi)星上的攝像機至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為設(shè)地球半徑為R，地面重力加速度為，地面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為，地球自轉(zhuǎn)的周期為T.3201RhTTRh 故故222GMmmrTr 由由322210RhTRhT 知知022TT 321RhRh 衛(wèi)星下方地面處于衛(wèi)星下方地面處于東經(jīng)東經(jīng)3211180RhRh 0180移動衛(wèi)星經(jīng)半周期又通過赤道上空，此間地移動衛(wèi)星經(jīng)半周期又通過赤道上空，此間地球自轉(zhuǎn)了球自轉(zhuǎn)了角，有角，有 電視轉(zhuǎn)播用的電視轉(zhuǎn)播用的“地球同步衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星”的軌道高度為的軌道高度為h，轉(zhuǎn)動周期為轉(zhuǎn)動周期為T0；衛(wèi)星定位系統(tǒng)用的某；衛(wèi)星

8、定位系統(tǒng)用的某“移動衛(wèi)星移動衛(wèi)星”沿通過地球的南沿通過地球的南北兩極的圓形軌道運行，離地面高度為北兩極的圓形軌道運行，離地面高度為H，地球半徑為，地球半徑為R0 該移該移動衛(wèi)星連續(xù)兩次通過地球北極點上空的時間間隔是多少？動衛(wèi)星連續(xù)兩次通過地球北極點上空的時間間隔是多少？該移動該移動衛(wèi)星某時刻恰位于經(jīng)度為衛(wèi)星某時刻恰位于經(jīng)度為0度的赤道上空，那么它下一次通過赤道上度的赤道上空，那么它下一次通過赤道上空時，下方地面的經(jīng)度是多少？空時，下方地面的經(jīng)度是多少？ 要使一顆人造地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）能覆蓋要使一顆人造地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）能覆蓋赤道上東經(jīng)赤道上東經(jīng)75.0到東經(jīng)到東經(jīng)135.0之間的區(qū)

9、域，則衛(wèi)星應(yīng)定位在哪個之間的區(qū)域，則衛(wèi)星應(yīng)定位在哪個經(jīng)度范圍內(nèi)的上空？地球半徑經(jīng)度范圍內(nèi)的上空？地球半徑R = 6.37106m地球表面處的重力地球表面處的重力加速度加速度g = 9. 80m/s2 3020022RRTgR g2200324T R gR 44.2 10kmkm 2210322436006410104 解答解答同步軌道半徑設(shè)為同步軌道半徑設(shè)為R R同步同步, ,其覆蓋經(jīng)度范圍的幾何關(guān)系如圖其覆蓋經(jīng)度范圍的幾何關(guān)系如圖: :RR同步同步 116.37coscos01428.RR 同同步步 7581156 156 751350 18054 恰能覆蓋東經(jīng)恰能覆蓋東經(jīng)75的衛(wèi)星定位的衛(wèi)

10、星定位:恰能覆蓋東經(jīng)恰能覆蓋東經(jīng)135的衛(wèi)星定位的衛(wèi)星定位:1358154 讀題讀題同步軌道半徑設(shè)為同步軌道半徑設(shè)為R0：2020GMRR 由由302GMR 得得衛(wèi)星在同步軌道的引力勢能為衛(wèi)星在同步軌道的引力勢能為0pGMmER 同同動能：動能：2200GMmvmRR 由由002kGMmGMmGMmERhRR 空空3218kGMmRhGME 空空02kGMmER 同同衛(wèi)星在空間站的引力勢能為衛(wèi)星在空間站的引力勢能為pGMmERh 空空由機械能守恒：由機械能守恒： 地球質(zhì)量為地球質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，自轉(zhuǎn)角速度為，萬有引力恒量，萬有引力恒量為為G，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處

11、勢能為，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為0，則質(zhì)量為，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為的物體離地心距離為r時，具有的萬有引力勢能可表示為可供航天員居住與進行科學(xué)實驗的空間航天時，具有的萬有引力勢能可表示為可供航天員居住與進行科學(xué)實驗的空間航天站離地面高度為站離地面高度為h，若在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為，若在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達的小衛(wèi)星，使其能到達地球同步軌道并能在軌道上正常運行，則該衛(wèi)星在離開空間站時必須具有多大的地球同步軌道并能在軌道上正常運行，則該衛(wèi)星在離開空間站時必須具有多大的動能？動能？ LMM(1)32222423222LMMLGGMNTLL 3312

12、MNL 根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是星體的質(zhì)量都是M,兩者間相距兩者間相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動試試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期；計算該雙星系統(tǒng)的運動周期；若實驗上觀測到運動周期為，且若實驗上觀測到運動周期為，且 ,為了為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在暗物質(zhì)作為解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在暗物質(zhì)作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗一種簡化的模型，我們假定在以這兩個星

13、體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀察結(jié)果確定該星系物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀察結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度間這種暗物質(zhì)的密度 1TTN:322LTGM 22222GMLMTL 由由F星F暗22GM mvmLL 黑黑(1)由(1)由353.6 10M 黑黑可可得得kgkg(2)(2) 天文學(xué)家根據(jù)觀察宣布了下列研究成果，銀河系天文學(xué)家根據(jù)觀察宣布了下列研究成果，銀河系中可能存在一個大中可能存在一個大“黑洞黑洞”，距黑洞，距黑洞60億千米的星體以億千米的星體以2000km/s的的速度繞其旋轉(zhuǎn)，接近速度繞其旋轉(zhuǎn)，接

14、近“黑洞黑洞”的所有物質(zhì)即使速度等于光速也被的所有物質(zhì)即使速度等于光速也被“黑洞黑洞”吸入，試計算吸入，試計算“黑洞黑洞”的質(zhì)量和最大半徑的質(zhì)量和最大半徑 2GMvcR黑黑逃逃max22GMRC 黑黑11351626.67 103.6 109 10 85.3 10 m m “大爆炸學(xué)說大爆炸學(xué)說”認(rèn)為：宇宙是很久以前發(fā)生的一認(rèn)為：宇宙是很久以前發(fā)生的一次大爆炸使聚集于某處的物質(zhì)分離開來而成的，直到現(xiàn)在，這大爆次大爆炸使聚集于某處的物質(zhì)分離開來而成的，直到現(xiàn)在，這大爆炸的炸的“碎片碎片”宇宙中的各星系仍在以不同的相對速率相互遠(yuǎn)宇宙中的各星系仍在以不同的相對速率相互遠(yuǎn)離觀察表明：離我們越遠(yuǎn)的星系遠(yuǎn)

15、離我們飛去的速度越大例如，離觀察表明：離我們越遠(yuǎn)的星系遠(yuǎn)離我們飛去的速度越大例如，牧夫座內(nèi)一星云離我們銀河系的距離為牧夫座內(nèi)一星云離我們銀河系的距離為2.74109Ly(Ly為為“光光年年”，而，而1 Ly=9.461015 m)，它正以，它正以3.93107 m/s的速率飛離銀河的速率飛離銀河系若大爆炸后形成的各星系分別是以不同的速率從大爆炸前物質(zhì)系若大爆炸后形成的各星系分別是以不同的速率從大爆炸前物質(zhì)的聚集處沿各個方向勻速飛離，則在下列兩種情況下求宇宙的年齡的聚集處沿各個方向勻速飛離，則在下列兩種情況下求宇宙的年齡T 假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個星云分別以速率假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座

16、的那個星云分別以速率V1和和V2沿相反方向飛離大爆炸前物質(zhì)的聚集處；沿相反方向飛離大爆炸前物質(zhì)的聚集處；假設(shè)大爆炸后銀河系與假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個星云分別以速率牧夫座的那個星云分別以速率V1和和V2沿夾角為沿夾角為的兩個方向飛離在大的兩個方向飛離在大爆炸前物質(zhì)的聚集處爆炸前物質(zhì)的聚集處 s s9157122.74 109.46 10(1)3.93 10sstvvv 相相a a8210 10 兩天體分離速度成角度時，兩天體分離速度成角度時，相對速度情況如圖所示相對速度情況如圖所示v1v2v相對相對s s91572.74 109.46 103.93 10stv 相相a a8210 10

17、M1M2CR6060 地、月在相互間的萬有引力作用下，繞它們的連地、月在相互間的萬有引力作用下，繞它們的連線上的一點線上的一點C做等角速度的轉(zhuǎn)動太空城的首選位置在月球軌道上做等角速度的轉(zhuǎn)動太空城的首選位置在月球軌道上與月球及地球等距的地方，如圖所示這里，太空城在地、月引力與月球及地球等距的地方，如圖所示這里，太空城在地、月引力共同作用下，相對于地、月均處于平衡試證明，太空城在這里所共同作用下，相對于地、月均處于平衡試證明，太空城在這里所受地、月引力的合力作用線指向受地、月引力的合力作用線指向 地球地球月球月球太空城太空城C設(shè)地球質(zhì)量為設(shè)地球質(zhì)量為MM1 1，月球質(zhì)量為，月球質(zhì)量為MM2 2 ，

18、地球與月球間距離為地球與月球間距離為R R，如圖，如圖122212121222cos60tan3()sin60GMGMMMRRGMGMMMRR 2122tan32MRRMMR 設(shè)太空城所受合力作用線與地、月連設(shè)太空城所受合力作用線與地、月連線的中垂線夾角為線的中垂線夾角為 ，太空城所在位置和，太空城所在位置和C C點的連線與中垂線夾角為點的連線與中垂線夾角為 ，則，則F1F2F 12123()MMMM 估算空間太陽能電站一晝夜間由于被估算空間太陽能電站一晝夜間由于被地球遮擋而不能發(fā)電的最長時間取地球本影長為地地球遮擋而不能發(fā)電的最長時間取地球本影長為地球半徑的球半徑的216倍，同步軌道高度為地

19、球半徑的倍，同步軌道高度為地球半徑的5.5倍倍日日地地衛(wèi)星衛(wèi)星 影影 110000coscosRRnRRtT RR0nR0m mi in n1111coscos2166.52460t 61min 估算估算從地球表面向火星發(fā)射火星控測器設(shè)地球從地球表面向火星發(fā)射火星控測器設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑約為地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑約為地球軌道半徑軌道半徑R0的的1.5倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足進行：第一步，在地球表面用火箭對

20、探測器進行加速，使之獲得足夠動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運動的人造行夠動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運動的人造行星；第二步是在適當(dāng)時刻點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機，在星；第二步是在適當(dāng)時刻點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機，在短時間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度增加到適當(dāng)值，從而使短時間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度增加到適當(dāng)值，從而使得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半得探測器沿著一個與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲當(dāng)探測器脫離地球引力并沿個橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲當(dāng)探測器脫離地球引力并

21、沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運行后，在某年地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運行后，在某年3月月1日零時測得探測器與火星之日零時測得探測器與火星之間的角距離為間的角距離為60，如圖乙所示已知地球半徑為：，如圖乙所示已知地球半徑為：Rr=6.4106 m；地球公轉(zhuǎn)周期為：地球公轉(zhuǎn)周期為：Te=365天，（時間計算僅需精確到天，（時間計算僅需精確到日）日）求出火星的公轉(zhuǎn)周期和探測器沿半個橢圓軌道運動的時間；求出火星的公轉(zhuǎn)周期和探測器沿半個橢圓軌道運動的時間；通過計算說明在何年何月何日點燃探測器上火箭發(fā)動機方能使探通過計算說明在何年何月何日點燃探測器上火箭發(fā)動機方能使探測器恰好落在火星表面？測器恰好落在火星表面？ 331.51

22、.840; 1.251.400 解答解答飛船飛船太陽太陽地球地球火星火星地球地球探測器探測器o60甲甲乙乙由開三律由開三律:23323671.15eeeTRTTTR火火火火火火日日255t 日日233321.252511eeeeTRTTTRR 探探探探火火日日則探測器沿半橢圓運動時間為則探測器沿半橢圓運動時間為探測器沿半橢圓運動時間內(nèi)火星通過的角度為探測器沿半橢圓運動時間內(nèi)火星通過的角度為360255137671 則探測器開始進入橢圓軌道的位置應(yīng)與火星的角距離成則探測器開始進入橢圓軌道的位置應(yīng)與火星的角距離成43!36036017365671t 由由 38t 日日從從3月月1日探測器與火星的角

23、距離成日探測器與火星的角距離成60經(jīng)經(jīng)38天到天到4月月8日日時時成成 43讀題讀題v0bacde2012GMmEmvr0E 2dvGMr 0E bvGMr 0E 2evGMr 軌道與軌道與能量能量引力勢引力勢能能2012GMmEmvr 恒恒量量軌道與軌道與能量能量兩個天體相互作用過程中，如果其它星系離它們很遙遠(yuǎn)，對它們的作兩個天體相互作用過程中，如果其它星系離它們很遙遠(yuǎn)，對它們的作用可以忽略的話，這兩個天體的總動量守恒，兩個天體從相距很遠(yuǎn)到相互用可以忽略的話，這兩個天體的總動量守恒，兩個天體從相距很遠(yuǎn)到相互作用直到遠(yuǎn)離，它們的始末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用直到遠(yuǎn)離，它們的始

24、末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用的前后相對速度遵守作用的前后相對速度遵守“反射定律反射定律”，如果是一維方向上的，如果是一維方向上的“彈性碰彈性碰撞撞”，則相對速度等值反向若一個飛船向外噴氣或拋射物體，則系統(tǒng)的，則相對速度等值反向若一個飛船向外噴氣或拋射物體，則系統(tǒng)的動量守恒而機械能不守恒動量守恒而機械能不守恒 角動量角動量若作用在質(zhì)點上的力對某定點的力矩為零，則質(zhì)點對該定點的角動量保若作用在質(zhì)點上的力對某定點的力矩為零，則質(zhì)點對該定點的角動量保持不變，這就是質(zhì)點的角動量守恒定律物體在受有心力作用而繞著中心天持不變，這就是質(zhì)點的角動量守恒定律物體在受有心力作用而繞著中心天體運動，

25、或幾個天體互相繞其系統(tǒng)質(zhì)心運動時，由于有心力必過力心，對力體運動，或幾個天體互相繞其系統(tǒng)質(zhì)心運動時，由于有心力必過力心，對力心的力矩為零，故系統(tǒng)的角動量守恒即心的力矩為零，故系統(tǒng)的角動量守恒即 sinmvr 恒恒量量示例示例模型與模型與方法方法A1A2AnA3r1rnMm 物體只在引力作用下繞中心天體運行，其機械能守物體只在引力作用下繞中心天體運行，其機械能守恒引力是保守力，引力場是勢場，在平方反比力場恒引力是保守力，引力場是勢場，在平方反比力場中，質(zhì)點的引力勢能取決于其在有心力場中的位置中，質(zhì)點的引力勢能取決于其在有心力場中的位置在中心引力場中，在中心引力場中，m從從A A1 1移至無窮遠(yuǎn)處

26、，引力移至無窮遠(yuǎn)處，引力做負(fù)功為：做負(fù)功為： 121limniiniiGMmWrrr 12231111111limnnnGMmrrrrrr 111limniiniiirrGMmr r 1111limnniiiGMmrr 111nGMmrr 以無窮遠(yuǎn)處為零引力勢以無窮遠(yuǎn)處為零引力勢能位置，能位置，物體在距中心物體在距中心天體天體r遠(yuǎn)處的引力勢能為遠(yuǎn)處的引力勢能為pEGMmr 返回返回OpmOr矢量矢量r稱位置矢量，或稱矢徑稱位置矢量，或稱矢徑繞定點圓運動質(zhì)點的（線）動量為繞定點圓運動質(zhì)點的（線）動量為方向總是與矢徑方向總是與矢徑r r垂直垂直pvm 定義定義: : 質(zhì)點動量大小質(zhì)點動量大小mv與

27、矢徑大小與矢徑大小r的乘積為質(zhì)點對的乘積為質(zhì)點對定點（圓心）定點（圓心）O的角動量：的角動量：L=pr 當(dāng)當(dāng)p與與r方向不垂直而成角度方向不垂直而成角度： prA角動量大小角動量大小sinLpr 等于動量大小與等于動量大小與O點到動量矢點到動量矢量量p的垂直距離的乘積的垂直距離的乘積 ;方向方向遵守右手定則遵守右手定則,矢量定義式為矢量定義式為Lrp 返回返回r2r1mO 2 1 1S 2S M12122212,S mS mFGFGrr 兩面元質(zhì)量各為兩面元質(zhì)量各為1124MSSr 2224MSSr r兩面元對殼內(nèi)質(zhì)點兩面元對殼內(nèi)質(zhì)點m的引力各為的引力各為由幾何關(guān)系由幾何關(guān)系: :2111co

28、sSr 2222cosSr 12FF 整個球殼對球殼內(nèi)物整個球殼對球殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力為零質(zhì)的萬有引力為零! 對于一個質(zhì)量均勻半徑為對于一個質(zhì)量均勻半徑為R的實心球，在距球心的實心球，在距球心r（R）處質(zhì)點只受半徑為處質(zhì)點只受半徑為r的球內(nèi)質(zhì)量的球內(nèi)質(zhì)量的萬有引力，而的萬有引力，而r以外球殼（即以外球殼（即R為外徑為外徑r為內(nèi)徑的球殼）則對為內(nèi)徑的球殼）則對質(zhì)點無引力的作用質(zhì)點無引力的作用 rMRm距球心距球心r處所置質(zhì)點受到引力大小處所置質(zhì)點受到引力大小 332rM mRFGr 3MmGrR 距球心距球心r處所置質(zhì)點的引力勢能處所置質(zhì)點的引力勢能 32pMm RrGMmGRrERR 由由 2

29、2332pMmGrRRE 返回返回理想化方法理想化方法軌道極限模型軌道極限模型矢量法與微元法矢量法與微元法 試推導(dǎo)地球上的第三宇宙速度試推導(dǎo)地球上的第三宇宙速度v3 地球質(zhì)量地球質(zhì)量M 太陽質(zhì)量太陽質(zhì)量MS 地球半徑地球半徑R 日地距離日地距離r 物體質(zhì)量物體質(zhì)量m第一宇宙速度v1： (地球環(huán)繞速度地球環(huán)繞速度) 這是以日為參照物之速度，而地球?qū)μ柕墓D(zhuǎn)速度這是以日為參照物之速度，而地球?qū)μ柕墓D(zhuǎn)速度= =29.8 km/s；則以地球為參照物，這個速度為；則以地球為參照物，這個速度為212vGMmmRR 由由17.9 km/sGMvR 第二宇宙速度v2： (地球逃逸速度地球逃逸速度)由能量

30、守恒由能量守恒2212GMmmvR 211.2 km/s2GMvR 第三宇宙速度v3： (太陽逃逸速度太陽逃逸速度)原處于太陽系中地球軌道位置的物體離原處于太陽系中地球軌道位置的物體離開太陽系所需開太陽系所需“逃逸速度逃逸速度” 242.21km/ssGMvr 2vv 地地日日 由能量守恒：由能量守恒： 22321122GMmmvm vvR 地地日日 23216.5km/s2GMvvvR 地地日日2圓RstT RRbv0vp012vt R RbstT 橢12Pvt b 0pvv 要發(fā)射一臺探測太陽的探測器，使其與地球具有相同的繞日運要發(fā)射一臺探測太陽的探測器，使其與地球具有相同的繞日運動周期，

31、以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測資料由地球發(fā)射這樣一臺動周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測資料由地球發(fā)射這樣一臺探測器，應(yīng)使其具有多大的繞日速度？探測器，應(yīng)使其具有多大的繞日速度？ 取發(fā)射時的一小段時間取發(fā)射時的一小段時間t0002bRbRVTRg 火箭矢徑的火箭矢徑的“面積速度面積速度”為為: :火箭飛行期間矢徑掃過的面積火箭飛行期間矢徑掃過的面積: :00222bRbRS 則則 02RStVg 34.1 10 s sv1 火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，返回火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，返回時落回離發(fā)射場不遠(yuǎn)處空氣阻力不計，試估算火箭飛行的時間，時落回離發(fā)

32、射場不遠(yuǎn)處空氣阻力不計，試估算火箭飛行的時間，地球半徑取地球半徑取R0=6400 km 豎直上拋運動中，以豎直上拋運動中，以T表示到達最高點所用時間，以表示到達最高點所用時間，以H表示最高點離地球表面的距離，表示最高點離地球表面的距離，R表示地球半徑，表示地球半徑，M表示地球質(zhì)量，表示地球質(zhì)量，G為萬有引力恒量，不計空氣阻力，從考慮萬有引力是為萬有引力恒量，不計空氣阻力，從考慮萬有引力是“平方反比平方反比力力”出發(fā)，確定時間出發(fā)，確定時間T的數(shù)學(xué)表達式的數(shù)學(xué)表達式 從考慮萬有引力出發(fā)，物體在從考慮萬有引力出發(fā)，物體在平方反比力作用下所做的平方反比力作用下所做的“豎豎直上拋運動直上拋運動”，其軌

33、跡應(yīng)是以，其軌跡應(yīng)是以地心為焦點的一個狹長的橢圓地心為焦點的一個狹長的橢圓上的一部分，該橢圓的長軸可上的一部分，該橢圓的長軸可取作取作R R+ +H H，該橢圓是許多繞地，該橢圓是許多繞地衛(wèi)星可能的開普勒軌道中的一衛(wèi)星可能的開普勒軌道中的一個，如圖示個，如圖示: :地心地心v1R RH H設(shè)在這樣的軌道上運動的設(shè)在這樣的軌道上運動的物體的運行周期為物體的運行周期為T, b RHVT 物體的物體的“面積速度面積速度”為為:續(xù)解續(xù)解物體的物體的“面積速度面積速度”為為:3202THRTR 物體運動的周期與物體運動的周期與“貼地貼地”衛(wèi)星周衛(wèi)星周期關(guān)系由開三律：期關(guān)系由開三律： 2RHTRHGM 物

34、體飛行期間矢徑掃過的面積物體飛行期間矢徑掃過的面積:SSS yx,2RHx 由橢圓方程由橢圓方程222212xybRH ,0b2 RHxbRH 122SxR 2 RHbRRH 2GbHVMR 讀題讀題讀圖讀圖2222RHSRHRHSbb 其中其中1cosRHRH 211cos222R HR HR HSRHR H 1cos2R HR HR HSbb RHR HR H 1cos2RHRHSbb RHRH 1cos2RHRHbb RHRHTV 1cos22RHRHRHRHGMRHT 設(shè)想宇宙中有一由質(zhì)量分別為設(shè)想宇宙中有一由質(zhì)量分別為m1、m2mN的星體的星體1、2N構(gòu)構(gòu)成的孤立星團，各星體空間位置

35、間距離均為成的孤立星團，各星體空間位置間距離均為a，系統(tǒng)總質(zhì)量為，系統(tǒng)總質(zhì)量為M由于萬有引力的由于萬有引力的作用，作用，個星體將同時由靜止開始運動試問經(jīng)過多長時間各星體將會相遇？個星體將同時由靜止開始運動試問經(jīng)過多長時間各星體將會相遇？ 設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O星體星體1與與i位矢如圖位矢如圖r1ri星體星體1與與i的萬有引力大小為的萬有引力大小為112iiGmmFa a 1113iiiGm ma F Fr rr r同理同理 1221213Gmma F Fr rr r 1331313Gmma F Fr rr r 1113NNNGmma F Fr rr r 11 12 21213N NNG m

36、mmmm mma 1 1F Fr rr rr rr r系統(tǒng)的角動量守恒系統(tǒng)的角動量守恒0 M 113Gm Ma 1 1FrFr設(shè)矢量設(shè)矢量r1大小大小r1=ka, 3121Gmk MFr 1 1 質(zhì)點質(zhì)點1在這個平方反比力作用下，在以在這個平方反比力作用下，在以O(shè)為一個焦點，以為一個焦點，以ka/2為長半軸而短半軸逼近為長半軸而短半軸逼近于零的于零的“橢圓軌道橢圓軌道”運動運動 1 3322kaTtG k M 38aGM i質(zhì)心質(zhì)心 遠(yuǎn)點在木星軌道而繞日運行的彗星稱為木星彗星，它的形成可遠(yuǎn)點在木星軌道而繞日運行的彗星稱為木星彗星，它的形成可看成是從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體經(jīng)木星吸引偏轉(zhuǎn)而成為太陽

37、的彗星，求其近日看成是從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體經(jīng)木星吸引偏轉(zhuǎn)而成為太陽的彗星，求其近日點（已知木星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為點（已知木星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為R） 理想化模型：理想化模型：從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體在木星軌道經(jīng)與木從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體在木星軌道經(jīng)與木星發(fā)生星發(fā)生“彈性碰撞彈性碰撞”改變運動方向進入繞日軌道，如圖改變運動方向進入繞日軌道，如圖木星軌道木星軌道太陽太陽v0vVv1202M MvGMRR 日日由由得木星得木星“碰撞碰撞”前速度為前速度為0MvGR 日日由機械能守恒，從無限遠(yuǎn)處被由機械能守恒，從無限遠(yuǎn)處被太陽吸引到木星軌道附近時速太陽吸引到木星軌道附近時速度度v滿足滿足 2102M

38、mmvGR 日日022MvGRv 日日與木星與木星 “ “完全彈性碰撞完全彈性碰撞” ” 過程速度矢量關(guān)系如圖：過程速度矢量關(guān)系如圖： 續(xù)解續(xù)解rv0vV接近接近V分離分離V“完全彈性碰撞完全彈性碰撞”接近速接近速度與分離速度大小相等！度與分離速度大小相等！ 2200023VVvvv分分離離接接近近0VVv分分離離而而 031Vv 天體進入太陽彗星軌道，設(shè)其繞日軌道近日點距太陽天體進入太陽彗星軌道，設(shè)其繞日軌道近日點距太陽r，過近日，過近日點時速度為點時速度為v1 1讀圖讀圖由機械能守恒有由機械能守恒有 2211122M mM mmVGmvGRr 日日日日由角動量守恒有由角動量守恒有 1mVR

39、mv r 1RvVr 312rR yxO 如圖所示，地球沿半徑為如圖所示，地球沿半徑為R0的圓軌道繞太陽運動，彗星繞太陽的圓軌道繞太陽運動，彗星繞太陽沿拋物線軌道運動已知此拋物線與地球圓軌道一直徑的兩端相交，不計地球與沿拋物線軌道運動已知此拋物線與地球圓軌道一直徑的兩端相交，不計地球與彗星之間的引力，試求彗星在地球軌道內(nèi)的運行時間彗星之間的引力，試求彗星在地球軌道內(nèi)的運行時間 0,0R 00,R準(zhǔn)線準(zhǔn)線00,2R v0vOxyy=R0ABCC0S續(xù)解續(xù)解0CABC太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0S0S解題方向解題方向比較兩天體比較兩天體矢徑掃過的矢徑掃過的面積，

40、比較面積，比較兩天體兩天體“面面積速度積速度”，可得兩天體可得兩天體運行時間關(guān)運行時間關(guān)系！系！彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關(guān)系式彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關(guān)系式20102/2MmmvGR由由02GMvR 而地球繞日運行有關(guān)系式而地球繞日運行有關(guān)系式 2000200MmvGmRR 由由00GMvR 02v 設(shè)彗星以速率設(shè)彗星以速率v通過其軌道頂點通過其軌道頂點C歷時歷時t（ t 0）讀圖讀圖0122RSvt 地球以速率地球以速率v0通過其軌道頂點通過其軌道頂點C0歷時歷時t 0（ t0 0）000012SvtR00 042R vR vSt 00 002SR vt 兩者的兩者的“面

41、積面積速度速度”相同！相同！2000222323RSRR20012SR 00043StttS 于于是是有有23 a a 一衛(wèi)星在半徑為一衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道上運動，旋轉(zhuǎn)周期為，如果給衛(wèi)的圓形軌道上運動，旋轉(zhuǎn)周期為，如果給衛(wèi)星一個附加的徑向速度星一個附加的徑向速度un或一個附加的切向速度或一個附加的切向速度ut，衛(wèi)星都將沿一個橢圓軌道運，衛(wèi)星都將沿一個橢圓軌道運動動 確定在上述二種情況中衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期確定在上述二種情況中衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期 所附加的徑向速度所附加的徑向速度un和切向速和切向速度度ut必須滿足什么關(guān)系，才能使兩種情況下，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)周期相等？必須滿足什么關(guān)系，才能使兩種情況下，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)

42、周期相等？衛(wèi)星在半徑衛(wèi)星在半徑r軌道圓運動速度為軌道圓運動速度為中心天體質(zhì)量為中心天體質(zhì)量為M、“遠(yuǎn)遠(yuǎn)(近近)地點地點”速度為速度為V、矢徑為、矢徑為rn（t）2 rGMvTr 衛(wèi)星附加速度衛(wèi)星附加速度u為徑向時為徑向時讀圖讀圖機械能守恒機械能守恒 222111122nvuVGMrr角動量守恒角動量守恒nv rV rnvrrvu 2nvvarvuvu222nvrvau 對同一環(huán)繞中心，兩軌道周期滿足對同一環(huán)繞中心，兩軌道周期滿足3222nTvTvu 322222244nrTru TT 衛(wèi)星附加速度衛(wèi)星附加速度u為切向時為切向時 211111222tvuVGMrar nv rV r2222tav

43、rvvuu 3222222444tTrrruTu T 要使要使Tn=T，根據(jù)開普勒第三定律，必有，根據(jù)開普勒第三定律，必有an=at，即有，即有 22222nttvuvvuu 224nttruuuT 小試小試原軌道原軌道原軌道原軌道vur變軌道變軌道rnV2an續(xù)解續(xù)解vu變軌道變軌道2atVrt衛(wèi)星附加速度衛(wèi)星附加速度u為徑向時為徑向時衛(wèi)星附加速度衛(wèi)星附加速度u為切向時為切向時 設(shè)有兩個地球人造衛(wèi)星設(shè)有兩個地球人造衛(wèi)星M和和N沿同一橢圓沿同一橢圓軌道運動，地球中心在這橢圓的一個焦點軌道運動，地球中心在這橢圓的一個焦點F上，又設(shè)上，又設(shè)M和和N相距不遠(yuǎn)，因此可將橢圓弧看作直線已知相距不遠(yuǎn)，因此

44、可將橢圓弧看作直線已知MN的中點的中點經(jīng)近地點時經(jīng)近地點時MN=a，近地點到地心的距離為，近地點到地心的距離為r，遠(yuǎn)地點到地，遠(yuǎn)地點到地心的距離為心的距離為R，求，求M、N的中點經(jīng)遠(yuǎn)地點時兩顆衛(wèi)星間的的中點經(jīng)遠(yuǎn)地點時兩顆衛(wèi)星間的距離距離 設(shè)在遠(yuǎn)地點時兩衛(wèi)星距離設(shè)在遠(yuǎn)地點時兩衛(wèi)星距離lFNMMNrR在同一軌道上，衛(wèi)星面積速度相同在同一軌道上，衛(wèi)星面積速度相同ala rl R lraR 空間兩質(zhì)點的質(zhì)量分別為空間兩質(zhì)點的質(zhì)量分別為m1和和m2，彼此以萬有引，彼此以萬有引力相互作用開始時兩質(zhì)點靜止，相距力相互作用開始時兩質(zhì)點靜止，相距r0，在引力作用下彼此接近并，在引力作用下彼此接近并相碰，試求兩質(zhì)

45、點從開始運動到相碰所經(jīng)歷的時間相碰，試求兩質(zhì)點從開始運動到相碰所經(jīng)歷的時間 r1r2r0m1m2質(zhì)心質(zhì)心O O設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O 質(zhì)點質(zhì)點1與與2位矢如圖位矢如圖質(zhì)點質(zhì)點1與與2的萬有引力大小為的萬有引力大小為122120GmmFr F Fr rr r12212130Gm mr r rr rr r11 12 212130Gmmmmmr r r112130Gmmmr 令矢量令矢量r1大小大小r1=kr0, 3112011211221322011GmmmkrGmmmkGmmmkFrrrk等效于中心質(zhì)量等效于中心質(zhì)量k3 (m1+m2 )，兩質(zhì)點，兩質(zhì)點各在以中心為焦點、到中心距離為各在以中

46、心為焦點、到中心距離為長軸的退化為直線的扁橢圓上向中長軸的退化為直線的扁橢圓上向中心運動，經(jīng)半周期相遇，故心運動，經(jīng)半周期相遇，故 3031222krTtGkmm 301222rG mm 一質(zhì)點受一與距離一質(zhì)點受一與距離3/2次反比引力作用而在一直線次反比引力作用而在一直線上運動試證此質(zhì)點自無窮遠(yuǎn)處到達距力心上運動試證此質(zhì)點自無窮遠(yuǎn)處到達距力心a處時的速率與從處時的速率與從a處由處由靜止出發(fā)，到達靜止出發(fā)，到達a/4處時的速率相同處時的速率相同 導(dǎo)出此力場中的勢能公式：導(dǎo)出此力場中的勢能公式： BAri-ri+1rAMrB在引力作用下質(zhì)點從在引力作用下質(zhì)點從A A點點向力心移到向力心移到B B

47、點點 引力做元功為：引力做元功為： 32iikFr 132iiiikWrrr 由從由從A A移至移至B B，引力做功為：，引力做功為： 1312limnABiiniikWrrr 111112212212111111112222211111limlimlimiiiiinnninnniiiiiiiiirrrrrrkkkrrrrrr 111111112222222223243111111111limnABnkrrrrrrrr 11BAkrr 由機械能守恒，由機械能守恒，質(zhì)點從無窮遠(yuǎn)處到達距力心質(zhì)點從無窮遠(yuǎn)處到達距力心a處時處時2111122kkmvvam aa處由靜止出發(fā)，到達處由靜止出發(fā)，到達/4

48、處時處時 22221122kkmvvaam a12vv pkEr 有一個質(zhì)量大而體積小的星球，一個物體離這個有一個質(zhì)量大而體積小的星球，一個物體離這個星球的距離為星球的距離為r，物體從靜止出發(fā)自由落向此星球，求物體落到這個，物體從靜止出發(fā)自由落向此星球，求物體落到這個星球上經(jīng)歷多少時間？（已知星球的質(zhì)量為星球上經(jīng)歷多少時間？（已知星球的質(zhì)量為M） 將此星球視作質(zhì)點，落向此星球的物體的軌將此星球視作質(zhì)點，落向此星球的物體的軌道視作退化為直線的橢圓，其半長軸為道視作退化為直線的橢圓，其半長軸為2ra 若周期為若周期為T，則自由下落到星球歷時，則自由下落到星球歷時2Tt 設(shè)想同一環(huán)繞系統(tǒng)另有一物體在

49、半徑為設(shè)想同一環(huán)繞系統(tǒng)另有一物體在半徑為r的圓軌道運動，其周期的圓軌道運動，其周期圓軌道圓軌道星球星球32rTGM 根據(jù)開普勒第三定律根據(jù)開普勒第三定律 3182rTTGM 322rtGM 根據(jù)某種假設(shè)，星球是由星際物質(zhì)（宇宙塵埃）根據(jù)某種假設(shè)，星球是由星際物質(zhì)（宇宙塵埃）在萬有引力的作用下經(jīng)壓縮而成的試估算由密度在萬有引力的作用下經(jīng)壓縮而成的試估算由密度=210-20g/cm3的宇宙塵埃組成的巨大的云團到生成一顆星球需要多長時間？的宇宙塵埃組成的巨大的云團到生成一顆星球需要多長時間？ 取理想化模型：認(rèn)為塵埃組成的巨大取理想化模型：認(rèn)為塵埃組成的巨大云團是密度均勻分布的質(zhì)點，每個質(zhì)點自云團是密

50、度均勻分布的質(zhì)點，每個質(zhì)點自由落向云團中心，最后密集成一顆星球，由落向云團中心，最后密集成一顆星球，星球形成所需時間即是最外層塵埃落至中星球形成所需時間即是最外層塵埃落至中心的時間即心的時間即 332232rtGMG 11173s32 6.67 102.0 10 131.5 10 s 48 萬萬年年 如行星突然在其軌道上某處停止運動（假如行星突然在其軌道上某處停止運動（假定軌道為圓形）則將被吸引而至太陽，試求其所需時間，定軌道為圓形）則將被吸引而至太陽，試求其所需時間，設(shè)太陽的高斯常數(shù)（設(shè)太陽的高斯常數(shù)（GM）為）為k，行星質(zhì)量為，行星質(zhì)量為m 設(shè)行星原在力設(shè)行星原在力 2kmFr 作用下繞日

51、做半徑為作用下繞日做半徑為r勻速圓周運動，則有勻速圓周運動，則有 222krTr 32Trk 從距日為從距日為r處突然停止而被吸引向太陽的行星，其軌處突然停止而被吸引向太陽的行星，其軌道可視作退化為直線的橢圓，出發(fā)于遠(yuǎn)日點，經(jīng)半個道可視作退化為直線的橢圓，出發(fā)于遠(yuǎn)日點，經(jīng)半個周期周期(T/2)到近日點，其半長軸為到近日點，其半長軸為2ra 根據(jù)開普勒第三定律根據(jù)開普勒第三定律 18TT 32rk 2Tt 322rk 某彗星的軌道為拋物線，其近日點距離為地球軌某彗星的軌道為拋物線，其近日點距離為地球軌道（假定為圓軌道）半徑的道（假定為圓軌道）半徑的1/n，求此彗星運行時，在地球軌道內(nèi)停，求此彗星

52、運行時，在地球軌道內(nèi)停留的時間留的時間 解題方向解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面面積速度積速度”，可得兩天體運行時間關(guān)系！，可得兩天體運行時間關(guān)系！太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0讀圖讀圖地球繞日運行有關(guān)系式地球繞日運行有關(guān)系式 2000200MmvGmRR 00GMvR 彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關(guān)系式彗星軌跡為拋物線，由機械能守恒，有關(guān)系式20102/MmmvGRn02GMnvR 02nv 設(shè)彗星、地球各以速率設(shè)彗星、地球各以速率v和和v0通過其軌道頂點歷時各通過其軌道頂點歷時各t（ t 0）和）和

53、t 0（ t0 0）012RSvtn 000012SvtR00 022R vR vStnn 00 002SR vt 兩者的兩者的“面積面積速度速度”之比為之比為2n續(xù)解續(xù)解0Syx , xy O 00,R00,Rn v002yRn v21Rn0CACB返回返回S021,xnRn 2004RnyxnR續(xù)解續(xù)解22002 41211 41232nnnnSRRnnnnn000002StSttSSn ttt 2021223nnRn慧星從慧星從A到到B時間由時間由 20000RStT 002SttSn 2000220012232nnSnRTn SR 地球矢徑掃過面積地球矢徑掃過面積 22213a ann

54、 nnt 讀圖讀圖 如圖，從地球發(fā)射火箭到火星去進行探測，發(fā)射后火箭繞如圖，從地球發(fā)射火箭到火星去進行探測，發(fā)射后火箭繞太陽橢圓軌道運行為了節(jié)省能源，火箭離開地球的速度方向與地球繞太陽公轉(zhuǎn)太陽橢圓軌道運行為了節(jié)省能源，火箭離開地球的速度方向與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度方向一致，并且選擇適當(dāng)?shù)陌l(fā)射時機，使火箭橢圓軌道的遠(yuǎn)日點為火星，的速度方向一致，并且選擇適當(dāng)?shù)陌l(fā)射時機，使火箭橢圓軌道的遠(yuǎn)日點為火星，軌道近日點為地球假定地球和火星均繞太陽做圓周運動，圓軌道半徑分別為軌道近日點為地球假定地球和火星均繞太陽做圓周運動，圓軌道半徑分別為r與與R，忽略其它行星對火箭的作用，求火箭應(yīng)以多大的對地速度離開地球？火

55、箭到，忽略其它行星對火箭的作用，求火箭應(yīng)以多大的對地速度離開地球？火箭到達火星要用多長時間？達火星要用多長時間？ 日日地球軌道地球軌道火星軌道火星軌道Rr設(shè)太陽、火箭質(zhì)量依次為設(shè)太陽、火箭質(zhì)量依次為M、mv1v2由機械能守恒有由機械能守恒有 22121122MmMmmvGmvGrR 由角動量守恒有由角動量守恒有 12rvRv 12GMrvRr R 1vvv地地對日速度對日速度! 火箭離地速度應(yīng)為火箭離地速度應(yīng)為GMvr 地地21GMRrRr 到達火星的時間是到達火星的時間是火箭運動半個周期火箭運動半個周期T 302RrTTr 3122Rrrt 假設(shè)地球是一個均勻球體，現(xiàn)在地球的東半球北緯假設(shè)地

56、球是一個均勻球體，現(xiàn)在地球的東半球北緯30的的a處開一個穿過地軸的直線隧道直通西半球北緯處開一個穿過地軸的直線隧道直通西半球北緯30的的b處，如圖所示已知地球的處，如圖所示已知地球的半徑是半徑是6370 km，地面的重力加速度，地面的重力加速度g=9.8 m/s2，第一宇宙速度，第一宇宙速度v1=7.9 km/s，假設(shè)，假設(shè)隧道光滑現(xiàn)將一個物體以隧道光滑現(xiàn)將一個物體以v=v1/3的初速度從的初速度從a處拋入隧道，問物體從處拋入隧道，問物體從b處出來后能處出來后能飛離地面的最大高度是多少？飛離地面的最大高度是多少？ ab30解題方向解題方向 考慮對稱性，物體從考慮對稱性，物體從b處飛出的速度大小

57、為處飛出的速度大小為v1/3，此后在地心引力作用下沿一橢圓軌道的遠(yuǎn)地橢圓弧運動；此后在地心引力作用下沿一橢圓軌道的遠(yuǎn)地橢圓弧運動；由守恒定律求最大高度由守恒定律求最大高度.由機械能守恒有由機械能守恒有 22111232vGMmGMmmmVRRh h13vV由角動量守恒有由角動量守恒有 R 1sin303vRV Rh R+h21GMvR 注注意意到到285h kmkm 有一航天器（不帶動力裝置）自遠(yuǎn)方以速度有一航天器（不帶動力裝置）自遠(yuǎn)方以速度v0射射向某一行星，計劃在行星上著陸，如圖示如以向某一行星，計劃在行星上著陸，如圖示如以b表示表示v0與行星的垂與行星的垂直距離（稱為瞄準(zhǔn)距離），求直距離

58、（稱為瞄準(zhǔn)距離），求b最大值為多少時，航天器可以在行星最大值為多少時，航天器可以在行星上著陸已知航天器質(zhì)量為上著陸已知航天器質(zhì)量為m，行星的質(zhì)量為，行星的質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R mORbV由機械能守恒有由機械能守恒有 2201122GMmmvmVR 由角動量守恒有由角動量守恒有 00Vmv bmVrbrv 0VRv 0max221GMRv Rb rbV202GMvRV v0XAO 如圖，一質(zhì)量為如圖，一質(zhì)量為m12 t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉(zhuǎn)，其高度轉(zhuǎn)，其高度h100 km為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動機在為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動機在X點

59、做一次短時點做一次短時間發(fā)動從噴口噴出的熱氣流相對飛船的速度為間發(fā)動從噴口噴出的熱氣流相對飛船的速度為u10 km/s月球半徑月球半徑R1700 km，月球表面上自由落體的重力加速度為，月球表面上自由落體的重力加速度為g月月=1.7 m/s2飛船可用兩種不同方式到飛船可用兩種不同方式到達月球：達月球：到達月球上的到達月球上的A點，該點正好與點，該點正好與X點相對；點相對；在在X點給一指向月球中心點給一指向月球中心的動量后，與月球表面相切于的動量后，與月球表面相切于B點試計算上述兩種情況下所需的燃料量點試計算上述兩種情況下所需的燃料量 按此方式，飛船橢圓軌道按此方式，飛船橢圓軌道X為遠(yuǎn)月點，為遠(yuǎn)

60、月點，A為近月點，為近月點，XA為長軸，月心為焦點為長軸，月心為焦點，vX0vu由牛頓草圖可知，由牛頓草圖可知，飛船在飛船在X點是向運動方向噴氣減速而成點是向運動方向噴氣減速而成設(shè)飛船做圓運動時速率為設(shè)飛船做圓運動時速率為v0 20R gvRh 月月vA由機械能守恒有由機械能守恒有 221122XAGM mmGM mmmm vmm vR hR XAmm vRhmm v R 由角動量守恒有由角動量守恒有 2GMR g 月月月月而而 322Xg RRvhRh 月月飛船噴氣過程動量守恒飛船噴氣過程動量守恒: 0XXmvmm vm u v 代入題給數(shù)據(jù)得代入題給數(shù)據(jù)得: : 0Xvvmmu XAXAB