電磁場及電磁波 第一章

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版1第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版2 概述概述場：物理量的空間分布。場：物理量的空間分布。 即：如果任一時刻、所在空間的每一點，某物理量即：如果任一時刻、所在空間的每一點，某物理量 都有一個確定的值，則稱：該空間存在該物理量的場。都有一個確定的值，則稱：該空間存在該物理量

2、的場。矢量分析：矢量分析：0000分析分析“場場”的數(shù)學(xué)工具。的數(shù)學(xué)工具。本章重點：本章重點：（概念、計算）（概念、計算） 1 1亥姆霍茲定理（即：場的性質(zhì)如何描述？）；亥姆霍茲定理（即：場的性質(zhì)如何描述？）； 2 2標(biāo)量場標(biāo)量場梯度。梯度。 3 3矢量場矢量場通量和散度、環(huán)量和旋度。通量和散度、環(huán)量和旋度。 4.4.球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系。球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版3本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的

3、正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版4一一. . 物理量分類：物理量分類：標(biāo)量、矢量標(biāo)量、矢量矢量大小（模）矢量大?。＃?線的長度線的長度AA 單位矢量單位矢量： 線的方向線的方向1

4、.標(biāo)量標(biāo)量：只用大小描述的物理量。如：只用大小描述的物理量。如：u、i、Q、WAAeA 代數(shù)表示代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)2. .矢量矢量：既有大小又有方向的物理量。如：既有大小又有方向的物理量。如：F F、E E、H H 用帶箭頭的字母或用帶箭頭的字母或黑體字母黑體字母表示。表示。 矢量的表示：幾何表示矢量的表示：幾何表示：用一條有方向的線段來表示。用一條有方向的線段來表示。 注意注意：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電

5、磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版5zzyyxxAeAeAeAcoscoscosAAAAAAzyx)coscoscos(zyxeeeAA矢量的坐標(biāo)表示：矢量的坐標(biāo)表示：coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版6 1、矢量加、減法：、矢量加、減法：)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA

6、幾何上：幾何上：平行四邊形法則平行四邊形法則, ,如圖。如圖。 符合交換律和結(jié)合律：符合交換律和結(jié)合律：二二. 矢量的運算矢量的運算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABCABBA交換律交換律第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版72 2、矢量乘法、矢量乘法 （1 1）標(biāo)量乘矢量：）標(biāo)量乘矢量： （2）矢量乘矢量：）矢量乘矢量：點點積（積（標(biāo)標(biāo)積）、叉積（矢積）、混合積積）

7、、叉積（矢積）、混合積zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A標(biāo)積符合交換律、結(jié)合律：標(biāo)積符合交換律、結(jié)合律：1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/A BAB點積定義：點積定義：0ABCA BA C（）例：例：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版8叉積定義：叉積定義： 右手規(guī)則右手規(guī)則 sinABeBAn)()()(xyyxzzxx

8、zyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為行列式形式：行列式形式：BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則叉積僅服從分配律。叉積僅服從分配律。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版9 混合運算：混合運算：CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分

9、配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版10 三維空間點的位置可通過三條相互三維空間點的位置可通過三條相互正交正交曲線的交點來確定。曲線的交點來確定。1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系 電磁理論中，電磁理論中，常用的正交坐標(biāo)系：常用的正交坐標(biāo)系： 直角直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系。 正交曲線坐標(biāo)系：正交曲線坐標(biāo)系：三條正交曲線組成的確定三維空間任意點

10、三條正交曲線組成的確定三維空間任意點 位置的體系；位置的體系； 三條正交曲線稱為三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版111. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddd

11、dd坐標(biāo)變量：坐標(biāo)變量：zyx,單位矢量單位矢量zyxeee, 點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd范圍：范圍：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版122. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系dddddddddd

12、dddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量：坐標(biāo)變量：zeee,單位矢量單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系0（半平面半平面）0（圓柱面圓柱面）0zz （平面平面）),(000zP范圍：范圍：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版13ddsinddd2relleSrrrdds

13、indddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,單位矢量單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系0（半平面半平面）0（圓錐面圓錐面）0rr （球面球面）),(000rP范圍：范圍：思考：計算圓柱、球的表面積、體積？第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子

14、音像出版社 出版出版14ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSrdsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版154. 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓

15、柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系xeyeeeoz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系zeeree第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版16例:已知 , . 求:

16、? ? ?xyze2e3eA yz4eeB Ae A B AB第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版171.3 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度q 物理量若是標(biāo)量，稱為物理量若是標(biāo)量，稱為標(biāo)量場標(biāo)量場。 如如：溫度場、電位場、密度場等。：溫度場、電位場、密度場等。 物理量若是矢量，稱該場為物理量若是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 如如：流速場、重力場、電場、磁場等。：流速場、重力場、電場、磁場等。q 與時間無關(guān)的場，稱為與時間無關(guān)的場，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反

17、之為時變場時變場。、),(tzyxu),(tzyxF從數(shù)學(xué)上看，場是空間位置和時間的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場是空間位置和時間的函數(shù)：一、場的分類：標(biāo)量場、矢量場。一、場的分類：標(biāo)量場、矢量場。、),(zyxu),(zyxF第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版18二、場的幾何描述：場圖。 標(biāo)量場：等值面。 矢量場：矢量線。 場圖的意義：描述場量在空間的整體變化趨勢。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高

18、等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版19 標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值面等值面等值面: : 場場值值相同的點形成的面。相同的點形成的面。 如：等溫面、等高線如：等溫面、等高線Czyxu),(等值面方程等值面方程：C 取一不同的值，得到一系列等值面，形取一不同的值，得到一系列等值面，形成等值面族；成等值面族；充滿場所在的整個空間；充滿場所在的整個空間；互不相交?；ゲ幌嘟?。 等值面特點等值面特點：意義意義：幫助了解標(biāo)量場在空間中的分布幫助了解標(biāo)量場在空間中的分布情況。情況。A A點高點高300300B B點高點高300300A A點比點比B B點陡點

19、陡越密就越陡越密就越陡AB300400200100第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版20例1-1 求標(biāo)量場 ,通過點M(1, 0, 1)的 等值面方程。 解：點M 的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點的數(shù)量場值為 其等值面方程為: 即2()xyz2000()0 xyz2()zxy2()0 xyz第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版

20、社高等教育電子音像出版社 出版出版21 矢量場的矢量線矢量場的矢量線矢量線矢量線：用一些有向矢量線來形象表示用一些有向矢量線來形象表示矢量在空間的分布。矢量在空間的分布。 如靜電場的電力線等。如靜電場的電力線等。矢量線方程矢量線方程：矢量線上任意點的切線方向必定與該點的矢量線上任意點的切線方向必定與該點的矢量方向相同矢量方向相同矢量線特點矢量線特點：xyzdxdydzAAA第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版22ABA A點受到向下電場力點受到向下電場

21、力B B點受到向下電場力點受到向下電場力A A點比點比B B點受到的力大點受到的力大越密矢量越大越密矢量越大矢量線的作用：矢量線的作用：根據(jù)矢量線確定矢量場中各點矢量的方向；根據(jù)矢量線確定矢量場中各點矢量的方向；根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別出各處矢量的大小根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別出各處矢量的大小及變化趨勢。及變化趨勢。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版23例例1-2 求矢量場求矢量場 的矢量線方程的矢量線方程解：解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為

22、矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 222dxdydzxyx yy z2222dxdyxyx ydxdzxyy z 1222zc xxyc 從而有從而有 c1和和c2是積分常數(shù)。是積分常數(shù)。 222xyzAxy ex yezy e 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版24矢量線與矢徑的關(guān)系式：矢量線與矢徑的關(guān)系式：PA(r)drrO力線圖力線圖補充內(nèi)容：關(guān)于矢量線補充內(nèi)容：關(guān)于矢量線：0 rdA第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技

23、大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版25三三. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的對于距離的變化率：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的對于距離的變化率。0000()()|limlimMllu Mu Muulll 1.1.定義定義： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減?。环较驕p??； l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版

24、社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版262計算公式 直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)u=u(x, y, z)在M0(x0, y0, z0)處可微，則有 式中:當(dāng)l0時 0。 兩邊同除以 并取極限,得到方向?qū)?shù)計算公式： 其中:cos, cos, cos為l方向的 方向余弦。 可見：方向?qū)?shù)值與點M0及l(fā)方向都有關(guān)系。0()()uuuuu Mu Mxyzlxyz l0coscoscosPuuuulxyz222cosxxyzAAAAxxyyzzAA eA eA ezoyxAxAyAzA第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編

25、寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版27梯度公式梯度公式：zueueueuz1圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 ureurerueursin11球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zueyuexueuzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 四四. 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度（ 或或 ）graduu 意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場在某點的最大變化率及其所在的方向。場在某點的最大變化率及其所在的方向。1.1.定義定義： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luel第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教

26、育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版28 方向?qū)?shù)的最大值及其方向： 令： 方向單位矢量 矢量 （梯度公式） （給定點處，為常矢量） 則方向?qū)?shù)公式可表示為： 可見: 與 方向相同時,即 ，則方向?qū)?shù)取最大值，即l0coscoscosxyzleeexyzuuuGeeexyz0coscoscosPuuuulxyz0G l0cos( ,)GG l0lG00( ,)0G lmaxuGl2 2、梯度公式、梯度公式第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版

27、社高等教育電子音像出版社 出版出版29. .梯度是矢量。梯度是矢量。. .方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0. .梯度垂直于過該點的等值面（或切平面）梯度垂直于過該點的等值面（或切平面）00PuG ll第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版30 解解 (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得

28、P點的梯度為點的梯度為PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量描述了空間標(biāo)量場。試求：場。試求： (1) 在點在點 P(1,1,1) 處的梯度，該梯度的單位矢量？處的梯度，該梯度的單位矢量？ (2) 求求 沿該單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點沿該單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點 P(1,1,1) 處的處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。其單位矢量其單位矢量 ：222(1,1,1)2

29、2221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy ooo60cos45cos60coszyxleeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版31 (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el 方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為對于給定的對于給定的P P 點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleee

30、eyexeel212 yx而該點的梯度值為而該點的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點處標(biāo)量函數(shù)點處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成立。PPPl 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版32例1.3.1 已知證明： 電磁場中，源點坐標(biāo)（x,y,z）、場點（x,y,z）.RR。2221.()()()xyzRxxyyzzRRRRRe

31、eexyzR因()()(),xyzRe xxeyye zz31./?2. (1/)/?3.( )( )?RR RRR Rf Rf R 證明：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版33一.矢量場的場圖：矢量線。 (1)矢量線的性質(zhì)：線上各點處的切線方向為該點處 矢量方向。 例：電力線、磁力線、流速場中的流線等。 根據(jù)矢量線的疏密情況，可判斷出該矢量的整體變化趨勢。（場線不會相交）+- -1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 第第1 1章章 矢量分析

32、矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版34(2)矢量線方程： 設(shè)：P點為矢量 的矢量線上任一點，其位為 。則P處的切線為： ;根據(jù)矢量線定義， 必有 直角坐標(biāo)系中： 矢量線微分方程： 圖1.4 矢量線 解該微分方程組，可得矢量線方程，從而描出矢量線。( )A rrdrdl0drAdlxyzrxeyezexxyyzzAe Ae Ae A xyzdxdydzAAAPA(r)drrO第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出

33、版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版35例1.4.1 設(shè)點電荷q位于坐標(biāo)原點，則周圍空間的場強為 。求：場強E的矢量線方程？解： 34qErr331212()44()xyzxyzqqErxeyezerrdxdydzAAAdxdzdydzxzyzxc zyc zcc根據(jù)得：解得：、 ：任意常數(shù)第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版36二二. 矢量場的通量矢量場的通量 問題問題：如何定量描述矢量場的大??？如何定量描述

34、矢量場的大??？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ndddSSFSF eS通量定義：通量定義：nddSe S其中：其中：面元矢量面元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSnddF e S 穿過面元穿過面元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢量由閉合曲面內(nèi)指是閉合的，則規(guī)定曲面法矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是向外，矢量場對閉合曲面的通量是),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量SSSeFSFddn第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教

35、育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版370通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線凈的矢量線穿出穿出0有凈的矢有凈的矢量線量線進入進入0進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線面的矢量線相等相等矢量場通過閉合曲面通量的矢量場通過閉合曲面通量的3 3種可能結(jié)果種可能結(jié)果通量物理意義：反映了區(qū)域內(nèi)場源的總體情況。通量物理意義：反映了區(qū)域內(nèi)場源的總體情況。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版38三三. 散度散度 1.散度定義：散度定義：稱為矢量場

36、的稱為矢量場的散度散度。FVSzyxFzyxFSVd),(lim),(0物理意義：物理意義：表示點表示點P處處單位體積內(nèi)散發(fā)的通量（通量的體密度），單位體積內(nèi)散發(fā)的通量（通量的體密度），反映該點處通量反映該點處通量源的強度源的強度。（正通量源、負通量源）（正通量源、負通量源）第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版39圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zFyFxFFzyx直角坐標(biāo)

37、系直角坐標(biāo)系2.2.散度公式散度公式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版40 散度公式的推導(dǎo)散度公式的推導(dǎo) （直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系） 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF

38、 xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出由此可知，穿出前、后前、后兩側(cè)面的凈兩側(cè)面的凈通量值為通量值為 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點的微體積點的微體積 V 為直角六面體，如圖。為直角六面體，如圖。根據(jù)根據(jù)泰勒定理泰勒定理，有：，有：oxy在直角坐標(biāo)系中計算在直角坐標(biāo)系中計算zzxyPF第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版41根據(jù)散度定義，得：根據(jù)散度定義，得： 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點同理，分析穿出另

39、兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為zFyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版423. 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 散度定理是閉合面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在散度定理是閉合面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。電磁理論中有著

40、廣泛的應(yīng)用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版43 散度定理的證明nn 1n 1V dVddnVnSS其中：AA AS ASnn(VdnnS 過程：將區(qū)域V分成n份（），則A) ASnn 1n 1VdnnSV對于區(qū)域 ，則 （）A AS第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版44 例例 球面S上任意點的位置矢量為

41、r=xex+yey+zez。求： VSrdVdSr解：解： 根據(jù)散度定理知 3zzyyxxr所以 3343433RRdVrdVdSrVVS?Sr dS第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版451.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度 矢量場的矢量場的2種源：通量源、旋渦源。種源：通量源、旋渦源。 有的矢量場由有的矢量場由通量源通量源激發(fā)。如：電場激發(fā)。如：電場 旋渦源所激發(fā)的矢量場特點：旋渦源所激發(fā)的矢量場特點：力線是閉合的力線是閉合的，場沿，場沿閉

42、合路徑閉合路徑的積分不為的積分不為0；對于任何閉合曲面的；對于任何閉合曲面的通量為通量為0。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版46 如：磁場沿任意閉合曲線的積分，與通過閉合曲線所圍曲面如：磁場沿任意閉合曲線的積分，與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即的電流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時磁感應(yīng)線要么同

43、時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版47. .無旋場無旋場，又稱為，又稱為保守場保守場：ClzyxFd),(一一. .環(huán)流的定義環(huán)流的定義 矢量對閉合曲線矢量對閉合曲線C 的線積分。的線積分。. .有旋場有旋場： 。如：電流是磁場的旋渦源。如：電流是磁場的旋渦源。0 0環(huán)量的意義：環(huán)量的意義：反映閉合曲線內(nèi)反映閉合曲線內(nèi)旋渦源的總體情況旋渦源的總體情況。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與

44、電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版48 意義：意義：描述區(qū)域內(nèi)各點處旋渦源的情況。描述區(qū)域內(nèi)各點處旋渦源的情況。SCMFn二二. 旋度旋度（ ） F 1.環(huán)流面密度定義環(huán)流面密度定義CSlFSFd1limrot0n稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處沿方向處沿方向 的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。n特點特點：其值與點：其值與點M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。n 過點過點M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，其邊界曲線記為，其邊界曲線記為C，曲面的法，曲面的法線方向線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)與曲線的繞

45、向成右手螺旋法則。當(dāng) S0 時，極限時，極限n第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版49 大?。簽榇笮。簽镸 點的環(huán)流面密度最大值；點的環(huán)流面密度最大值； 方向：環(huán)量密度方向：環(huán)量密度取取最大值時面積元的法線方向。最大值時面積元的法線方向。物理意義物理意義：描述了該點處：描述了該點處旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。性質(zhì)性質(zhì)： 2.旋度旋度maxnnrotFeFFeFnnrot定義定義：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大

46、學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版50yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx旋度計算公式：旋度計算公式：（推導(dǎo)忽略）（推導(dǎo)忽略）zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系zyxzyxFFFzyxeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版51旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：旋度

47、的散度恒為旋度的散度恒為0 0梯度的旋度恒為梯度的旋度恒為0 0FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版52SCSFlFdd三三. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是線積分與面積分之間的定理是線積分與面積分之間的變換關(guān)系式，在電磁理論中有廣泛應(yīng)用。變換關(guān)系式，在電磁理論中有廣泛應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消011dlim()

48、d() d() d()iilSiccciiSiA dlnSSA dlA dlA dlAdS 將面S（邊界為c）分成無窮多份AASAS第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版53例 在坐標(biāo)原點處放置一點電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場強度為 求：自由空間任意點(r0)電場強度的旋度E ？解: 33()44xyzqqErxeyezerr3333333033440 xyzxyzeeeqExyzxyzrrrqzyxzeeyrzrzrx ryxex ryr 第第1 1章

49、章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版541. 矢量場的源矢量場的源 不同性質(zhì)的源，它們產(chǎn)生的場具有不同的性質(zhì)。不同性質(zhì)的源，它們產(chǎn)生的場具有不同的性質(zhì)。散度源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度；場在該點的散度；

50、 旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版552. 矢量場按源的分類矢量場按

51、源的分類（1）無旋場：）無旋場： 旋度處處為旋度處處為0的場。的場。 是散度源的激發(fā)的矢量場，如：靜電場是散度源的激發(fā)的矢量場，如：靜電場0F無旋場無旋場可用梯度表示：可用梯度表示：例如：靜電場例如：靜電場0EEuF()0Fu 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版56標(biāo)量場由梯度完全確定：0dClF 對于無旋場對于無旋場F，有，有 該結(jié)論等價于：線積分該結(jié)論等價于：線積分 結(jié)果與路徑無關(guān)，只取決于起結(jié)果與路徑無關(guān)，只取決于起點點P和終點和終點Q。 QP

52、F dl( )( )( )QQPPQQPPQPF dlu dludldulu Pu Qu Pu dlCCQ 常數(shù) ：由參考點 的位置決定。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版57（2）無散場）無散場 散度處處為散度處處為0 0的矢量場的矢量場。顯然顯然：0dSSF0 F無散場可用另一個矢量場的旋度表示：無散場可用另一個矢量場的旋度表示：如：恒定磁場如：恒定磁場AB0BAF0)(AF第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)

53、電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版58（3）無旋、無散場無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F （4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分( )( )( )( )( )lCF rF rFru rA r 無旋場部分無旋場部分無散場部分無散場部分()0u Fu 02 u0F 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版590,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)編寫編寫高等教育出版社高等教育出版社 & 高等教育電子音像出版社高等教育電子音像出版社 出版出版601.7 拉普拉斯運算、格林定理拉普拉斯運算、格林定理 一一. 拉普拉斯運算拉普拉斯運算1.1.標(biāo)量拉普拉斯運算標(biāo)量拉普拉斯運算2u定義定義：2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標(biāo)系直