等差數(shù)列、等比數(shù)列知識點梳理

1、等差數(shù)列和等比數(shù)列知識點梳理第一節(jié)：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì)1、等差數(shù)列的定義：對于一個數(shù)列，如果它的后一項減去前一項的差為一個定值，則稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，記：an an 1 d(d為公差)(n 2 , n N* )2、等差數(shù)列通項公式：an ai (n 1)d， ai為首項，d為公差推導(dǎo)過程：疊加法推廣公式：an am (n m)d變形推廣：danamn m3、等差中項(1) 如果a，A ,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項.即：A或 2A a b(2) 等差中項:數(shù)列an是等差數(shù)列2anan-1 an i(n 2)2 an 1 an an 24、等差數(shù)列的前n項和公式:Snn(a1

2、 an)2na1n(n 1)d2n2 佝丄 d )n An2 Bn2 2前N相和的推導(dǎo)：當(dāng)m n p q時，則有am an ap aq，特別地，當(dāng)m n 2p 時，則有am an 2ap。(注：a“ a? a“ 1 a3 an 2 ,)當(dāng)然擴充到3項、 4項都是可以的，但要保證等號兩邊項數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。5、等差數(shù)列的判定方法(1) 定義法：若an an 1 d或an 1 an d (常數(shù)n N )an是等差數(shù)列.(2) 等差中項：數(shù)列an是等差數(shù)列2an an-i an i(n 2)2an 1 an an 2(3)數(shù)列an是等差數(shù)列(A米Zr石«旦生主粉石Han kn b

3、(其中k, b是常數(shù))。Sn An2 Bn,(其中A、B是常數(shù))n6等差數(shù)列的證明方法疋義法或者等差中項發(fā)a是等差數(shù)萬Han是等差數(shù)列.7、等差數(shù)列相關(guān)技巧：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、 an及Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這 5個元素中的任意3個，便 可求出其余2個，即知3求2。(2)設(shè)項技巧：一般可設(shè)通項ana1 (n 1)d奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a2d, ad, a, ad, a 2d -(公差為d );偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，a3d,ad, ad,a 3d ,-(注意；公差為2d )8、等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)公差d 0時，等差數(shù)

4、列的通項公式an a1 (n 1)d dn a1 d是關(guān)于n的 一次函數(shù)，且斜率為公差d ;前n和Sn ndn2 (a1 d)n是關(guān)于n2 2 2的二次函數(shù)且常數(shù)項為0。(2)若公差d 0 ,則為遞增等差數(shù)列，若公差d 0,則為遞減等差數(shù)列，若公差d 0 ,貝U為常數(shù)列(3) 當(dāng)m n p q時,則有am an ap aq，特別地，當(dāng)m n 2p時，則有aman2ap。(注：aiana?a* 1a3an 2,)當(dāng)然擴充到 3 項、4 項都是可以的，但要保證等號兩邊項數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。(4) an、 bn為等差數(shù)列，則 an b， ian 2bn都為等差數(shù)列 【新數(shù)列可以化為一次函數(shù)的形

5、式】 若an是等差數(shù)列，則Sn,S2n SnS?n，也成等差數(shù)列推導(dǎo)過程：數(shù)列an為等差數(shù)列，每隔k(kN*)項取出一項(am ,am k,am2k,am3k,)彳乃為等差數(shù)列推導(dǎo)過程：(7) an、bn的前n和分別為An、Bn，則尹諏bnB2n 1(8)等差數(shù)列an中，若 Smn，Snm，則 Sm nm n(1)若 anm, am n，貝U am n 0(2)推導(dǎo):Sn An2 Bn 解出A和B就可以推導(dǎo)出(1)(2)式直接用推廣公式即可(9) 求Sn的最值法一：因等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的 最值，但要注意數(shù)列的特殊性n N*。法二：(1) “首正”的遞減等差

6、數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之 和a 0即當(dāng)a! o, d 0,由n可得Sn達到最大值時的n值.an 10(2) “首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和a 0即當(dāng)ai 0, d 0,由n可得Sn達到最小值時的n值.an 10或求an中正負分界項法三：直接利用二次函數(shù)的對稱性：由于等差數(shù)列前 n項和的圖像是過原點的 二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對稱軸最近的整數(shù)時， Sn取最大值(或最小值)若Sp = Sq則其對稱軸為n等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)1、等比數(shù)列的定義： q q 0 n 2 , q為公比an 12、通項公式：an aiqn 1 , ai為首項，q為公比推廣公式：

7、an amqn mn m anq 一am3、等比中項ab（1）如果a,代b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項即：A2或 A . ab注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個 （兩個等比中項互為相反數(shù)）（2）數(shù)列an是等比數(shù)列an2 an 1 an14、等比數(shù)列的前n項和Sn公式：(1)當(dāng) q1時，Snna1當(dāng)q1時，&na1 1 q aanq1 q1qa11 q 1a1nq qAA Bn A'BnA' ( A, B,A',B'為常數(shù))推導(dǎo)過程:(1)用定義：對任意的n,都有an 1 qan或亙口anq（q為常數(shù)，an 0）等比數(shù)列(2

8、)等比中項：2anan 1 an1 ( an 1 an 10)an為等比數(shù)列(3)通項公式：anA BnA B 0an為等比數(shù)列(4)前n項和公式：S.AASnA'Bn A'A,B,A',B'為常數(shù)an為等比數(shù)列5、等比數(shù)列的判定方法an為6 等比數(shù)列的證明方法a*依據(jù)定義：若 一-q q 0 n 2,且n N 或an 1 qanan為等比數(shù)列an 17、等比數(shù)列相關(guān)技巧：（1）等比數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：ai、q、n、 an及Sn，其中ai、q稱作為基本元素。只要已知這 5個元素中的任意3個，便 可求出其余2個，即知3求2。（2） 為減少

9、運算量，要注意設(shè)項的技巧，一般可設(shè)為通項：an aiqn1如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，弓f,a,aq,aq2（公比為q，中間項用a表示）； q q注意隱含條件公比q的正負8、等比數(shù)列的性質(zhì):當(dāng)q 1時等比數(shù)列通項公式 an aen 1a1qn A Bn A B 0是關(guān)于n的帶有系數(shù)的q類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q前n項和Shai 1 qn1 qnai aiq 色A A Bn A'Bn A，系數(shù)1 q 1 q 1 q和常數(shù)項是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q 對任何m,n N*,在等比數(shù)列an中，有a. amqn m,特別的，當(dāng)m=1時,便得到 等比數(shù)列的通項公式。因此，此公式比等比數(shù)列的

10、通項公式更具有一般性。若 m n s t(m, n,s,t N*),則 an am as at。特別的，當(dāng) m n 2k 時,得2an am ak 列an,bn為等比數(shù)列，則數(shù)列 ,k an,ank,k an bn -an (k 為非零 anbn常數(shù))均為等比數(shù)列。【可以化為an A Bn A B 0an為等比數(shù)列】 數(shù)列an為等比數(shù)列，每隔k(k N*)項取出一項(am,am k,am 2k,am 3k,)仍為等比數(shù)列 如果an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列l(wèi)og a an是等差數(shù)列 若an為等比數(shù)列，則數(shù)列Sn，S2n Sn，S3n En,，成等比數(shù)列(8)若an為等比數(shù)列，則數(shù)列 a1a2an, an1 an 2a2n, a2n 1a2n2a3n 成等比數(shù)列備注：和(7)本質(zhì)上是一樣的。(9)當(dāng)q 1時，當(dāng)0<q 1時,aia1ai