高中數(shù)學(xué)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

1、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探學(xué)習(xí)完圓錐曲線的方程和性質(zhì)后，課本上有一則閱讀材料引起了同學(xué)們的興趣，在老師的指導(dǎo)下，我們不僅了解了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)這一常見(jiàn)現(xiàn)象，而且進(jìn)一步對(duì)它進(jìn)行了證明和探究，并對(duì)它在數(shù)學(xué)解題和生產(chǎn)科技等方面的應(yīng)用有了一定的認(rèn)識(shí)。課后我經(jīng)過(guò)反思與整理，寫成此文。一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)11橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見(jiàn)1.1)9橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來(lái)設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在F1處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對(duì)F2處的物體加熱.12雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線

2、反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見(jiàn)1.2)雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用13拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖1.3）拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱軸方向，控制照射方向衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對(duì),B圖1.1稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)

3、射的微弱電磁波訊號(hào)射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點(diǎn)，把對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見(jiàn)的太陽(yáng)能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽(yáng)光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首圖先1必.2須將這樣一個(gè)光學(xué)圖實(shí)1.3際問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行解釋論證。二、問(wèn)題轉(zhuǎn)化及證明21圓錐曲線的切線與法線的定義設(shè)直線l與曲線c交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l連續(xù)變動(dòng)時(shí)，P,Q兩點(diǎn)沿xvbtv1vrw著曲線漸漸靠近，一直到P,Q重合為一點(diǎn)M，此時(shí)直線l稱為曲線c在點(diǎn)MiwwIurur1-處的切線，過(guò)M與直

4、線l垂直的直線稱為曲線c在點(diǎn)M處的法線。此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明x2y2預(yù)備定理1若點(diǎn)p（xo,y。）是橢圓a2+半=1上任一點(diǎn)，則橢圓過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：XX+騎=1。a2b2y21x2x2證明：由b21a=y2二b2(ia)1°當(dāng)xH±a時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k一定存在，且k二y'IX二X02b2對(duì)式求導(dǎo)：2yy=石x0k二y'IX=X0-b2X0a2y0.切線方程為yy0-b2Xo(x-x)a2y00X2點(diǎn)P(X0,y0)在橢圓a+=1上，XXyy故a2+話=1代入得+br=1而當(dāng)X=

5、77;a時(shí)，y0=0切線方程為X=±a，也滿足式XXyy故百+肅=1是橢圓過(guò)點(diǎn)p(x0,人)的切線方程.預(yù)備定理2.若點(diǎn)P(x0,y0)是雙曲線02-音=1上任一點(diǎn)，則雙曲線過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：y2X2X21°當(dāng)XH±a時(shí)，過(guò)點(diǎn)p的切線斜率k一定存在，且k=y'1x=x0b2X0證明：由藥=a-1-y2=b2(a-1)X=X0a2y0對(duì)式求導(dǎo)：2yy'=竺x.k=y'|a20b2x切線方程為y-y0=-曲(x-x0)0a2y00x2y2點(diǎn)p(,y)在雙曲線a-b=1上，x2y2xxyy故a2-比=代入得7°T-b2-而當(dāng)x=

6、77;a時(shí)，y0二°切線方程為x=±a，也滿足式xxyy故亠-菩二1是雙曲線過(guò)點(diǎn)P(x,y)的切線方程.a2b200證明：由y2=2px預(yù)備定理3若點(diǎn)P(x°，y°)是拋物線y2二2px上任一點(diǎn)，則拋物線過(guò)該點(diǎn)的切線方程是y°y=p(x+x°)，對(duì)x求導(dǎo)得：2yy'二2pnk二y'I二x=xn當(dāng)y豐°時(shí)，切線方程為y-y=匕(x-x)0y00即yy-y2=px-px000y02=2px0ny0y=p(x+x0)而當(dāng)y=0,x=0時(shí)，切線方程為x=0也滿足式000故拋物線在該點(diǎn)的切線方程是y0y=p(x+x0)

7、.定理1.橢圓上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)P處的法線平分圖2.1)橢圓C的方程為乂+22=1，F(xiàn),F分別是其左、右焦點(diǎn)，l是過(guò)a2b212橢圓上一點(diǎn)P(x,y)的切線l'為垂直于l且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的法線，交x軸于D00設(shè)ZFPD=a,ZFPD=P，21求證：a=卩圖2.1線，證法一：在C:乂+22=1上，a2b2P(x,y)gC，00則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為：注+尋=1a2b2l'是通過(guò)點(diǎn)P且與切線i垂直的法則1':(o)x_(-)=xy(_)b2a200b2a2法線1'與x軸交于D(c)2x,0)a0丨FD1=x+c,lFD1=c_x1a202a20 |F

8、D|i=o|FD|a2_cx20又由焦半徑公式得：IPF1=a+ex,1PF1=a_ex1020 |FD|PF|i=iIFDIIPFI22 PD是ZFPF的平分線12 a=Ba+a，=90。=卩+卩，故可得a=poa，=B，證法二由證法一得切線1的斜率k=y'I=如，而PF的斜率k=丄,Fx=x0a2y11x+c200的斜率k=-22x_c01到PF所成的角a'滿足1yb2x0+0k_kx+ca2ya2y2+b2x2+b2cxtana=i=0=o001+kkb2xy(a2_b2)xy+a2cy11_-0000(x+c)a2y00P(x,y)在橢圓C:匚+蘭=1上00a2b2b2

9、tana=一cy0同理，PF到1所成的角0'滿足tanB=匕=竺21+kkcy20 tana'=tan0'而a；卩'e(0,£) a'=0'證法三：如圖，作點(diǎn)F，使點(diǎn)F與F關(guān)于切線l對(duì)稱，連結(jié)F,F交橢圓C于33213點(diǎn)P'下面只需證明點(diǎn)P與P'重合即可方面，點(diǎn)p是切線l與橢圓C的唯一交點(diǎn)，則IPFI+IPFI二2a，是l上的點(diǎn)12到兩焦點(diǎn)距離之和的最小值（這是因?yàn)閘上的其它點(diǎn)均在橢圓外）另一方面，在直線l上任取另一點(diǎn)p''丁IP'FI+IP'FI=IP'FI+IP'FI=

10、IFFI<IP''FI+IP''FI12131312即P'也是直線AB上到兩焦點(diǎn)的距離這和最小的唯一點(diǎn)，從而P與P'重合即a=卩而得證定理2雙曲線上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分（圖2.2）；已知：如圖，雙曲線c的方程為乂-21=1,f,F分別是其左、右焦點(diǎn)，l是a2b21200求證：a=0證明：C:蘭-蘭=1a2b212圖2.2過(guò)雙曲線C上的一點(diǎn)p（x,y）的切線，交x軸于點(diǎn)D,設(shè)ZFPD二a,ZFPD=0兩焦點(diǎn)為F(-c,0),F(c,0)(c2=a2+b2)12P(x,y)在雙曲線上00則過(guò)點(diǎn)p的切線翠-尋=1a

11、2b2切線l與x軸交于D（巴,0）。x0由雙曲線的焦半徑公式得ccIPFI=I-x+aI,IPFI=I-x-aI1a02a0雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為f(c,0),F'(-c,0)故|DF|=|±|£x+a1,1DF1=1II-x-al,|PFH1xa02xa0|PF|002I-x+aIa0Ix-aIa0IDFI1IDFI211故a=Boa'=B'切線l為ZFPF'之角分線。定理3拋物線上一個(gè)點(diǎn)P的焦半徑與過(guò)點(diǎn)P且平行于軸的直線的夾角被拋物線C的方程為為y2=4cx，拋物線在點(diǎn)P處法線平分(圖2.3)。直線/是過(guò)拋物線上一點(diǎn)P(x,y)的切線，00

12、交x軸于D，ZDPF=a,ZPDF=y，反射線PQ與/所成角記為B，求證：a=B證明：如圖，拋物線C的方程為C:y2=4cx，在該拋物線上，00則過(guò)點(diǎn)P的切線為yy=p(x+x)00切線l與x軸交于D(-x,0)0焦點(diǎn)為F(c,0),B=y(同位角)TIPFI=(x-c)2+y2=Ix+cI,IDFI=Ix+cI¥0000'IPFI=IDFIa=Ba=y通過(guò)以上問(wèn)題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)證明的。那么它在解題和生產(chǎn)生活中有何應(yīng)用呢？三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用31解決入射與反射問(wèn)例1.設(shè)拋物線C:y2二x,光線從點(diǎn)A(5,2)射出，平行C的對(duì)稱軸，射

13、在c上的P點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反射后，又射到c上的Q點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為Q點(diǎn)的坐標(biāo)為解：如圖，直線ap平行于對(duì)稱軸且A(5,2),則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,2)反射線PQ過(guò)點(diǎn)F(,0)4設(shè)Q(t2,t)，則宀=呂=512-4-1544圖3.解得：t一例2.已知橢圓方程為蘭+22=1,若有光束自焦點(diǎn)2516點(diǎn)為B,C，如3.1.2所示，則ABC的周長(zhǎng)A(3,0)射出,經(jīng)二次反射回到A點(diǎn),設(shè)二次反射圖3.2解：橢圓方程為§+2=1中，c2=25-16=9A(3,0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)自A(3,0)射出的光線AB反射后，反射光線AC定過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)a，(-3,故ABC的周長(zhǎng)為AB+BA'+A'C

14、+CA二4a二4x5二20例3雙曲線y-?=1，又AeC，已知A4,圖3.1.32方),F(4,0)，若由F射至A的光線被雙曲線c反射，反射光通過(guò)P(8,k),則k解：入射線FA反射后得到的光線AP的反向延長(zhǎng)線定過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)F'(-4,0)土二遼nk二3邁12832解決一類“距離之和”的最值問(wèn)題張奠宙教授說(shuō)“在一般情況下,光線在傳播過(guò)程中,總是選擇最近的路線從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)”層面上的結(jié)論,但卻為我們研究一類“距離之和”取值范圍問(wèn)題時(shí)指明了思考的方向,從而解決了一個(gè)從“想不到”到“想得到”的關(guān)鍵問(wèn)題。如果再輔以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明,這種“經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)”

15、依然是很有價(jià)值的、不可替代的?！蔽易x了他的文章,深受啟發(fā),并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見(jiàn)到而又覺(jué)得復(fù)雜的一類最值問(wèn)題。例4.已知橢圓C：§+于=1圖3.2.2圖3.2.1P是C上的動(dòng)點(diǎn)，求IMF'+IMQI的取值范圍。,片、F2為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(2,1),一）分析猜想：（1）經(jīng)計(jì)算，Q（2,2）點(diǎn)在橢圓內(nèi)，由于橢圓是封閉圖形，因此|MF1|+|MQ|應(yīng)該有一個(gè)封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。（2）同樣根據(jù)光線的“最近傳播法則，”結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從F1射出被橢圓反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的光線所經(jīng)過(guò)的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（

16、如圖3.21，光線從片-P1tQ）,二是被下半橢圓反射（如圖322，光線從F1tP2tF2tQ）,究竟哪種情況距離之和更小呢？顯然根據(jù)橢圓定義，圖321中的|片片|+衛(wèi)|<23（2玄為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)），而圖3.2.2中的尸2片|+尸2|>23，可見(jiàn)圖3.21所示的情況距離之和更小。但是,最大值又是多少呢？圖3.2.2所示的光線又有什么特點(diǎn)呢？將圖321和圖3.2.2中的光線反射路線合并圖3.23，由于|P2Q|+|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值4a（a為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)），而IPgl+IPfl由前面知最小，由此猜測(cè)|P2Q|+|P2F1|可能就是最大值。（二）證明|片片|+尸2

17、|是最小值。如圖3.2.2，連接QF2，延長(zhǎng)交橢圓于P2，在橢圓上另取一點(diǎn)p，由222橢圓定義知：|P2Q|-|QF2|+|PF1|=|pF1|+|pF2|（*）,因?yàn)閨pF2|2|Q|-|QF2|，代入（*）式得|P2Q|-|QF2|+|P；F1|2|pF1|+|Q|-|QF2|所以,|P2Q|+|P2F1|P；F1|+|p，Q|。猜想得證。''（三）計(jì)算：綜上所述，只需求出|FQ1=J(4-2)2+42=210可得最小值為2a-1fjQ1=10-2J1017最大值為2a+1F2Q1=10+2麗例5已知雙曲線C:x2-蘭=1,片、為分別是其左右焦點(diǎn)點(diǎn)Q（4,?）,32M是C上

18、的動(dòng)點(diǎn)，求|MF2|+|MQ|的取值范分析猜想：經(jīng)計(jì)算，Q點(diǎn)在雙曲線右支開口內(nèi)部。由于雙曲線是不封閉曲線，顯然|MF2|+|MQ|可以無(wú)限大，故要求|MF2|+|MQ|的取值范鍵是求出|MF2|+|MQI的最小值。根據(jù)光線的“最近傳播”特點(diǎn)，我們猜想：從F1射出經(jīng)雙曲線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的光線所經(jīng)過(guò)的路程往往是最短的，再結(jié)合雙曲線的光學(xué)性質(zhì)（從一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓周反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)），可作出從F1射出被雙曲線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的光線：連接F1Q，與雙曲線的交點(diǎn)即為使得|MF2|+|MQ|最小的點(diǎn)，設(shè)為P點(diǎn)，光線從F2-PtQ。（見(jiàn)2）（二）證明：如圖2:按猜想作出點(diǎn)P，由于

19、所求點(diǎn)P顯然不在雙曲線的左支上（此時(shí)顯然距離之和不會(huì)最小），故在右支上另取一點(diǎn)p，由雙Fi|-|P反|，即|PFp'曲線定義知：|PF1卜|PF2|=為|PF1|+|PQ|p<Q|+|pF；兩邊同加|PF+F2I=|PFi|+|PF,得：所以|PF1|+|PQ|+|PF2|-52OF-2-4圖3.2.5P'5P'Q|+|P'Fi|+|PF2|=|P'Q|+|PFi|+|p，F(xiàn)?|，故IPQI+IPF?#|p，Q|+|p，F(xiàn)2|，猜想得證。(三)計(jì)算：由題意知9邙-2,0),Q(4，mlPQI+IPF1=1FQI-1FPI+IPFI2112=IFQI

20、(IFPI-1PFI)112=IFQI2A1=11T例6已知拋物線C:y2二4X,F是其焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(2,1),M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求|MF|+|MQ|的取值范OO分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒(méi)有最大值，此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)（從焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射光線與對(duì)稱軸平行，反之也成立），結(jié)合光線的“最近傳播”特點(diǎn)，我們猜想：過(guò)Q與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線的交點(diǎn)可能就是使距離之和最小的點(diǎn)，設(shè)為P點(diǎn)（見(jiàn)圖3.2.6）可由拋物線的定義證明猜想是正確的。且|PF|+|PQ底333圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問(wèn)題時(shí)起簡(jiǎn)捷作用。光線反射總是滿足反射定律（入射角等于反射角），光線被曲線反射也不例外，此時(shí)的法線就是過(guò)反射點(diǎn)的曲線的切線的垂線。可見(jiàn)，曲