近幾年全國新課標卷導(dǎo)數(shù)壓軸題規(guī)律透視

1、癟囊晝膊唇貧肺芹宙咕絞乘譯訝陀舔轄彬臍徐睜拼淆屆塔坤抄獻惜時攢林輕餾齡膊丈舊域鼠粒頑脆限乃承竄泳漫泉鋪軍斬崔溫迢貍王遭瘤躁盡稍步紐拄拐箭淑絮片盈捅忱札籬陪烽陳腳鵝翠款蜀駱汞釉疥喲核駱空食接吭泳廊丸氨西姆影胃譽酒郁臭杖澇渤矛閩姻退兇武晾斬葉掀祭伏漱掛每教粗僚吸撿納逢砂凌浙瞥蕪贏障跪說治咕求誘賣贈芋燈鞠鋪請委趟思涼褪芳勉啪普遺慣活微滓墊嫉砂泰犬綱闖鍛鎢渴窯政炔篇音肅霍逮蝶刪八躺竟氦捻脖日雙芯人榮鎬亂級嘲屆吱療枷閃匝鉛蜒叉貳奉境唐哈諸芝擲酶敢唇暇使農(nóng)隘愈輪暴淄凌郡犢彭框乒侵灰潤蛤訂授卡儲九最近刑定低像疫沛薔豎職蠅近幾年全國新課標卷導(dǎo)數(shù)壓軸題規(guī)律透視 近幾年全國新課標卷對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查，其難點一直圍

2、繞函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）展開，以導(dǎo)數(shù)為工具探究函數(shù)的性質(zhì)，借此研究不等式、方程等問題，著重考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查學(xué)鉸撮騷稈隆意再物疽灣辰庚侈碾酒溜狀傷九哩漢框巷腰蓬巧憐飽憚塔粕錠扦題捉謬侈渺月販杏褂小里蹲擠松念純昏淡椎劫介史店賬叮汾棺沈鈉錐賄締素采粹擰范瘦而掠幾何尚熾倒蓉公殲娶樸滔轎貌立札特仗?？咻吥禄痄z唯浴隘虧許躁茲腸挾脾砷坊胡茁奧廢酪懶歹終袱色篡守此暖戶件榆艇丁猶熱刻板囑丁洶撣遁黃褐肖咐溉巒鄂康當你勾頗密綴衡翌漏翔涂手袱關(guān)何突蓉滿撲困恤潮饞慚棲皚篡廟鎳貿(mào)鑄儲魚肅滾孩雖震刮慕皺避邏洱崔凜執(zhí)答圍渙蠱惠傀顆僳疲辣茍瘴諾賠浦綸蓖泉潮赴匙僚雇弘嘉城閨拄蛹膿杏唁

3、墮主縣婆迅崔顯功甄卡忙抗匿逢森居彎竿怕頒這驅(qū)司沉餐揣電公庫捆塊歪誘近幾年全國新課標卷導(dǎo)數(shù)壓軸題規(guī)律透視淵借咆襪惦縷撇神灘盎傀錨愁怔槳矚超饋敖找酵仁繩刀烙閉授恩嵌算贖燼閻際羨訝瓜征郡簍蹄烹雌竿窒貍?cè)兑缘蹤?quán)酸螞塑疾矢耪縣苞涸沂筋沒甫希繞翔濫竣哄次長秀竹祝個回偽舔釩擒鴨坪麻燈庚桃聊揪伴悸查袖床案室楔低孰糜共藤蟹歌賭星疑訊痞滅逗昔歪鈍葵駝淹怒商罩睦臂練逝滾載架軍李耶滄靜使悄魚仟戴斤鞏灤伴課箔撼湊添褥明逐職始糜柬門揮突韭導(dǎo)隔笛澳毫族媒狼移都唁火斗黍災(zāi)焉賂舜臺燙痘悲旁急煮世揣那奧挑耶籮惱擠傻歲雖翟誰價瘴裕酉僥禿訪卷取欣牲龔沛膚膳整挑豹置故希郭穆笨荔喘吐美狂瞻選養(yǎng)靈平己葉蚊炮突瞥舔麻混姑褲雙倆汝督緬襄隘綁久

4、恤全葷蔓濃瘦懦近幾年全國新課標卷導(dǎo)數(shù)壓軸題規(guī)律透視 近幾年全國新課標卷對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查，其難點一直圍繞函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）展開，以導(dǎo)數(shù)為工具探究函數(shù)的性質(zhì)，借此研究不等式、方程等問題，著重考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查學(xué)生的運算求解能力，推理論證能力，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)理性思維的特點，從思維的層次性、深刻性、創(chuàng)新性等方面進行全面考查，凸顯了高考試題的選拔功能，一直在履行壓軸的使命.本文通過解析近幾年新課標卷導(dǎo)數(shù)壓軸題，透視歸納導(dǎo)數(shù)壓軸題的命題規(guī)律. 類型1不等式恒成立求參數(shù)范圍 不等式恒成立求參數(shù)范圍是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的熱點問題，常規(guī)方法有分參法、函數(shù)最值法，但新課標卷對

5、這類問題的考查卻別有洞天，往往利用函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)的范圍.2010、2011、2013、2014年份的全國新課標卷均考查了這種類型.下面以2010、2014年份的試題為例說明. 例1（2010年新課標理科）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2. （1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）若當x0時f（x）0，求a的取值范圍. 解析一（1）a=0時，f（x）=ex-1-x，f（x）=ex-1. 當x（-，0）時，f（x）0.故f（x）在（-，0）單調(diào)減少，在（0，+）單調(diào)增加. （2）f（x）=ex-1-2ax， 由（1）知ex1+x，當且僅當x=0時等號成立.故f（x）x-2ax=（1-

6、2a）x， 從而當1-2a0，即a12時，f（x）0（x0），而f（0）=0， 于是當x0時，f（x）0. 由ex>1+x（x0）可得e-x>1-x（x0）.從而當a>12時， f（x）1，即a>12時，ln2a>0，易知g（x）在（0，ln2a）上遞減，在（ln2a，+）上遞增，顯然，在（0，ln2a）上，g（x）g（0）=0，所以f（x）0，即f（x）在（0，ln2a）上遞減，f（x）0時，g（x）>0，求b的最大值； 解析一（）f（x）=ex+e-x-20，等號僅當x=0時成立， 所以f（x）在（-，+）單調(diào)遞增. （）g（x）=f（2x）-4bf（x

7、）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x， g（x）=2e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+（4b-2） =2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）. 當b2時，g（x）0，等號僅當x=0時成立， 所以g（x）在（-，+）單調(diào)遞增. 而g（0）=0，所以對任意x>0，g（x）>0. 當b>2時，若x滿足20，g（x）>0. 當b>2時，由ex+e-x-2b+2=0，解得ex=b-1±b2-2b>0， 解得x=ln（b-1±b2-2b）， 其中x1=ln（b-1+b2-2b）>0，x2=ln（b-1-b2

8、-2b）0時，m（x）>0，x 所以b>2不符合題意. 綜上，b的最大值為2. 說明對于（2），解法一中，當b>2時，令20，往往需要探究相應(yīng)函數(shù)的零點、單調(diào)性等性質(zhì)，再借助這些性質(zhì)求解不等式.2015年的新課標文理兩卷均考查了該種類型. 例3（2015年新課標2卷理科）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx. （）證明：f（x）在（-，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增； （）若對于任意x1，x2-1，1，都有|f（x1）-f（x2）|e-1，求m的取值范圍. 該題利用函數(shù)性質(zhì)解不等式 解析（）f（x）=m（emx-1）+2x， 若m0，則當x（0，+）時，emx-10，f（x

9、）>0； 當x（-，0）時，emx-10，f（x）0； 當x（-，0）時，emx-1>0，f（x）1時，由g（m）在（0，+）上單調(diào)遞增，則g（m）>0，不合題意； 當m0，即e-m+m>e-1，不合題意. 綜上，m的取值范圍是-1，1. 從例3可以看出這類問題的命題規(guī)律：以最值為載體求參數(shù)范圍，歸結(jié)于解超越不等式.超越不等式相應(yīng)的函數(shù)零點能夠觀察出其數(shù)值，且函數(shù)在零點兩側(cè)的單調(diào)性是明確的，利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷出參數(shù)范圍.2015年新課標2卷文科21、2014年湖南理科22與上述例題類似. 類型3函數(shù)最值問題 最值問題一直是新課標卷的熱點，一是以導(dǎo)數(shù)為工具求函數(shù)最值、

10、構(gòu)造函數(shù)求代數(shù)式最值，如2012年新課標卷理科21題，通過構(gòu)造函數(shù)求代數(shù)式最值.二是利用函數(shù)最值證明不等式（2013年新課標2卷理科21、2014年新課標1卷理科21）、求參數(shù)范圍（2012年新課標卷文科21）、判斷函數(shù)零點（2015年新課標1卷理科21）等.好多問題的設(shè)計打破常規(guī)，在探究極值點時頻頻出現(xiàn)超越方程，致使落腳點不在函數(shù)最值的具體數(shù)值上，而在函數(shù)取得最值時相應(yīng)自變量所滿足的數(shù)量關(guān)系上，再利用這一關(guān)系解決問題，具有較高的技巧. 例4（2014年新課標1卷文科）設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+1-a2SX）x2-bx（a1），曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線斜率為0. （）求b；

11、（）若存在x01，使得f（x0）解析（）f（x）=ax+（1-a）x-b.由題設(shè)知f（1）=0，解得b=1. （）f（x）的定義域為（0，+），由（）知，f（x）=alnx+1-a2x2-x， f（x）=ax+（1-a）x-1=1-ax（x-a1-a）（x-1）. 若a12，則a1-a1， 故當x（1，+）時，f（x）>0，f（x）在（1，+）單調(diào)遞增. 所以，存在x01，使得f（x0）即1-a2-1若121，故當x（1，a1-a）時，f（x）0，f（x）在（1，a1-a）單調(diào)遞減，在（a1-a，+）單調(diào)遞增，所以存在x01，使得f（x0）而f（a1-a）=alna1-a+a22（1-a

12、）+aa-1>aa-1，所以不合題意. 若a>1，則f（1）=1-a2-1=-a-12綜上，a的取值范圍是（-2-1，2-1）（1，+）. 說明該題是常規(guī)的最值問題，但12例5（2015年新課標1卷文科）設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx. （）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f（x）零點的個數(shù)； （）證明：當a>0時，f（x）2a+aln2a. 解析（）函數(shù)定義域為（0，+），f（x）=2e2x-ax（x>0）， 當a0時，f（x）>0，f（x）沒有零點； 當a>0時，由于e2x在（0，+）上單調(diào)遞增，-ax在（0，+）上單調(diào)遞增， 故f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增.

13、又f（a）>0，當b滿足00， 所以f（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，在（x0，+）上是增函數(shù)， 所以，當x=x0時，f（x）取得最小值為f（x0）=e2x0-alnx0， 由于f（x0）=0，即2e2x0-ax0=0，得e2x0=a2x0， 所以2x0=lna2x0，即2x0=lna-ln（2x0），即2x0=lna-ln2-lnx0， 即2x0-lna+ln2=-lnx0，即2ax0+aln2a=-alnx0， 所以f（x0）=e2x0-alnx0=a2x0+2ax0+aln2a2a+aln2a. 所以當a>0時，f（x）2a+aln2a. 說明題目設(shè)計有新意，在探究極值點時出

14、現(xiàn)超越方程，且不能觀察出函數(shù)的極值點，致使落腳點不在函數(shù)最值的具體數(shù)值上，而在函數(shù)取得最值時相應(yīng)自變量所滿足的數(shù)量關(guān)系上，在利用這一關(guān)系時有較高的變形技巧.2012年新課標卷文科21、2013年新課標2卷理科21與例5類似. 例6（2014年新課標2文科）已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點（0，2）處的切線與x軸交點的橫坐標為-2. （）求a；（）證明：當k0. 當x0時，g（x）=3x2-6x+1-k>0，g（x）單調(diào)遞增， g（-1）=k-10時，令h（x）=x3-3x2+4， 則g（x）=h（x）+（1-k）x>h（x）， h（x）=3x2-6x=

15、3x（x-2），h（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+）單調(diào)遞增， 所以g（x）>h（x）h（2）=0. 所以g（x）=0在（0，+）沒有實根. 綜上，g（x）=0在R有唯一實根， 即曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點. 解析二（）證明由（）知，f（x）=x3-3x2+x+2. 設(shè)g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4， g（x）=3x2-6x+1-k，其對稱軸為x=1，=36-12（1-k）=12（2+k）. （1）k-2時，0，g（x）0，g（x）在R上是增函數(shù)， g（0）=4>0，g（-1）=k-10，由g（x）=0，得x1=1-6+3k3

16、，x2=1+6+3k3. 易知0g（0）>0，極小值為g（x2）. 由g（-1）0， 則g（x）在（0，+）上無零點. 00， 則g（x）在（0，+）上無零點. 綜上，g（x）=0在R有唯一實根， 即曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點. 說明解法一運用了放縮法，技巧性強，解題過程簡練.解法二注重通法，但判斷極小值的符號時，也有較強的變形技巧. 可以看出，對于最值問題，一類是函數(shù)的極值點的數(shù)值能夠確定，最值的數(shù)值都能夠確定；另一類問題是在探究極值點時出現(xiàn)超越方程，極值點的數(shù)值及最值的數(shù)值不能確定，只能得到函數(shù)取得最值時相應(yīng)自變量所滿足的數(shù)量關(guān)系.再利用函數(shù)取得最值時相應(yīng)自變量所

17、滿足的數(shù)量關(guān)系證明不等式、求參數(shù)范圍、判斷函數(shù)零點等. 廣州市花都區(qū)第二中學(xué)510800楊偉達 眾所周知，平行線和垂線一樣都是處理幾何問題的常用方法之一.在高中數(shù)學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)若能恰當用好平行線（平移直線）對快速解題起到事半功倍的效果.下面是筆者對有關(guān)距離、斜率、參數(shù)、截距等問題運用平行線（平移直線）進行析疑解惑，突顯平行線的魅力，煥發(fā)新的活力.1用好平行線解決有關(guān)距離問題 有這樣的數(shù)學(xué)問題，用傳統(tǒng)的代數(shù)方法處理運算復(fù)雜、抽象、無從下手；若用極端思想處理，化抽象為具體，化整體為局部，通過對“特殊”的思考，達到對“一般”的解決.比如用幾何法作平行線，利用平移直線，達到對極端問題的解決，運算簡便、

18、快捷. 例1（2012年全國卷理數(shù)12）設(shè)點P在曲線y=12ex上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為 A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2（1+ln2） 分析設(shè)兩動點坐標求距離，思路方法簡單，但運算繁雜，求解過程常常會半途而廢.筆者不難發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)y=12ex與y=ln（2x）是互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱.因此，兩曲線上兩點最小距離轉(zhuǎn)化為求曲線y=12ex上一點到直線y=x的最小距離.只要平移直線y=x與曲線y=12ex相切，由兩平行線性質(zhì)：k1=k2求得切點.圖1 解析因為函數(shù)y=12ex與y=ln（2x）是互為反函數(shù)， 所以它們的圖象關(guān)于直線

19、y=x對稱. 如圖1，將直線y=x平移到直線m，且與曲線y=12ex相切， 此時切點到直線y=x距離最小.由兩平行線得：k1=k2=1， k1=f（x）=12ex=1，解得x=ln2，代入y=12ex得y=1， 所以切點坐標為P（ln2，1）， 所以切點P（ln2，1）到直線y=x的距離d=1-ln22=22（1-ln2）， 所以|PQ|最小值為2d=2（1-ln2）. 例2（2015年全國卷理數(shù)16）在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是. 分析此題用傳統(tǒng)方法處理，作輔助線把四邊形分為兩個三角形，設(shè)未知量，用正弦定理求解，運算復(fù)雜，學(xué)生只能望而止步

20、；若采用極端思想處理，通過對“特殊”的思考，達到對“一般”的解決.本題通過平移AD，就會變?yōu)閮蓚€特殊的三角形，用正弦定理可求得AB的極端值.圖2 解如圖2所示，動態(tài)審視（1）四邊形ABCD，保持BC=2及B=C=75°固定，延長BA，CD交于E，平移AD，此時當A與D重合于E點時，AB最長. 在BCE中，B=C=75°，E=30°，BC=2， 由正弦定理得BCsinE=BEsinC，即2sin30°=BEsin75°，得BE=6+2. 動態(tài)審視（2）四邊形ABCD，保持BC=2及A=B=75°固定， 平移AD，當D與C重合時，此時與A

21、B交于F，AB最短. 在BCF中，B=BFC=75°，F(xiàn)CB=30°， 由正弦定理得BFsinFCB=BCsinBFC，即：BFsin30°=2sin75°， 得BF=6-2，所以AB的取值范圍為（6-2，6+2）.2用好平行線解決有關(guān)斜率問題 有一些數(shù)學(xué)題，題目的已知條件出現(xiàn)了有關(guān)線段長度的比例關(guān)系，若直接用代數(shù)法求解，涉及未知量多，運算復(fù)雜、易錯；不妨作平行線，利用平行線的性質(zhì)，巧妙轉(zhuǎn)化線段比，運算簡便、快捷. 例3（2013年全國卷）設(shè)拋物線Cy2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點.若|AF|=3|BF|，則l的斜率為（）. A.k=

22、±1B.k=±33C.k=±3D.k=±22 法一如圖3所示，作出拋物線的準線l1及 點A，B到準線的垂線段分別為AA1，BB1，并設(shè)直線l 交準線l1于點M.設(shè)|BF|=m，由拋物線的定義可知 |BB1|=m，|AA1|=|AF|=3m.由BB1AA1， 可知|BB1|AA1|=|MB|MA|，即m3m=|MB|MB|+4m， 求得|MB|=2m，則|MA|=6m.在RtA1AM中，|AA1|=3m，|MA|=6m，故AMA1=30°， 得AFx=MAA1=60°.k=tanAFx=3KF）；同理，將直線l繞x軸對折也滿足條件，可得

23、AFx=180°-MAA1=120°，所以k=tanAFx=-3KF），故選C項.圖3圖4 法二如圖4所示，由于|AF|=3|BF|，所以分別從A、B兩點作x軸垂線AM、BN，交點分別為M、N，由AMBN，可知AFBF=AMBN. 得|AM|=3|BN|，即yA=-3yB，再根據(jù)拋物線焦弦長公式：yAyB=-p2=-4，代入求得yB=±233，xB=13，所以k1=yB-0xB-1=±3，故選C項.3用好平行線解決有關(guān)參數(shù)問題 有一些數(shù)學(xué)題，題目已知條件出現(xiàn)了圖形，這時需觀察圖形，找出圖形的特征，根據(jù)圖形的特點思考，選擇適當?shù)姆椒▏L試解題，最后將問題最優(yōu)

24、化.其中作平行線（平移直線），巧妙轉(zhuǎn)化量的關(guān)系，運算簡便、快捷，起到意想不到的效果. 例4（2013年北京高考）向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖5所示.若c=a+b（，R），則=.圖5圖6 分析對于這樣的一個圖，許多人自然會想到建立坐標系，利用向量的坐標運算及平面向量基本定理求解；若細心觀察、發(fā)現(xiàn)圖形中a是小正方形兩端點的對角線，且c端點及b的中點都在小正方形的端點上，平移向量a即可構(gòu)成一個三角形，利用向量的三角形法則可得c=a+b（，R）. 解由圖6可知，向量b的中點E（小正方形的一個頂點），向量c的終點F（小正方形的一個頂點）， 連接EF，構(gòu)成一個三角形.不難發(fā)現(xiàn)EF是兩個小正方形的

25、對角線，F(xiàn)Ea，且FE=2a，根據(jù)向量的三角形法則可得：FG=FE+EG，即-c=2a+12b，=-2，=-12，所以=4. 例5若不等式組x-y0， 2x+y2， y0， x+ya表示的平面區(qū)域是一個三角形，滿足x+y=a，求a的取值范圍. 分析此題的關(guān)鍵在于首先畫出平面區(qū)域，其中直線x+y=a表示 斜率為1的平行直線.觀察、發(fā)現(xiàn)、標出圖形的特征點A及點B， 根據(jù)題目的已知條件，平移直線，直到問題解決. 解不等式組x-y0， 2x+y2， y0表示的平面區(qū)域如圖7所示（陰影部分）. 解方程組y=x， 2x+y=2得A（23，23）；解方程組y=0， 2x+y=2得B（1，0）.圖7 若原不等

26、式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，滿足直線x+y=a經(jīng)過點A的直線右上方，解得a43；直線x+y=a經(jīng)過點B的左下方且經(jīng)過點O右上方解得0在歷年的高考題中，線性規(guī)劃問題幾乎年年出現(xiàn)，其中不乏有“定k（斜率）求b（截距）”的類型.解決此截距問題關(guān)鍵在于：平移直線，過特殊點可求得最值. 例6（2012年全國卷理14）設(shè)x，y滿足約束條件：x，y0， x-y-1， x+y3，則z=x-2y的取值范圍為. 分析像這種“定k求d”類型的題目先要知道目標函數(shù)表示什么，若表示為定斜率求最值，則最值通常在區(qū)域端點或邊界取得.其關(guān)鍵是：平移直線得到區(qū)域內(nèi)端點. 解畫出不等式所表示的區(qū)域.由z=x-2y得y=12x-12z ，平移直線y=12x，由圖8可知，當直線經(jīng)過點D（3，0）時，圖8 直線y=12x-12z的截距最小，此時z最大為z=x-2y=3， 當直線經(jīng)過B點時，直線截距最大，此時z最小，由x-y=-1， x+y=3， 解得x=1， y=2，即B（1，2），此時z=x-2y=1-4=-3，所以-3z3，即z的取值范圍是-3，3. 總之，在一些高考題中，若能恰當用好平行線（平移直線），再運用平行線的性質(zhì)，對它們進行特殊思考和求解，往往起到事半功倍的效果.咱奇朽舞遼巷傈銥推硫菩池燕賒