數(shù)值分析課程教學(xué)大綱

1、數(shù)值分析課程教學(xué)大綱適用專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)總學(xué)時(shí)72學(xué)分4一、編寫說明（一）本課程的性質(zhì)、地位和作用隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，在科學(xué)、技術(shù)、工程、生產(chǎn)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和人文等領(lǐng)域中抽象出來(lái)的許多數(shù)學(xué)問題可以應(yīng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算、求解，本課程詳細(xì)、系統(tǒng)地介紹了計(jì)算機(jī)中常用的數(shù)值計(jì)算方法及有關(guān)理論。通過學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握數(shù)值分析的基本知識(shí)，學(xué)會(huì)使用數(shù)值分析方法解決實(shí)際問題的技能技巧，并為后繼應(yīng)用型課程奠定基礎(chǔ)。本課程是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門重要的專業(yè)課程。（二）本大綱制定的依據(jù)數(shù)值分析是一門內(nèi)容豐富，研究方法深刻，有自身體系的課程，既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性的特

2、點(diǎn)，是一門與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程。因此學(xué)習(xí)本課程時(shí)，要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論。（三）大綱內(nèi)容選編原則與要求1 .要學(xué)好計(jì)算方法課程必須掌握高數(shù)、線性代數(shù)和算法語(yǔ)言的基本內(nèi)容，還需能熟練應(yīng)用計(jì)算機(jī)。任課教師在講授每章之前，可用少量時(shí)間把涉及到的學(xué)過的內(nèi)容復(fù)習(xí)一下。2 .為掌握好本課內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)做一定數(shù)量的理論分析與計(jì)算練習(xí)。3 .各章的上機(jī)時(shí)間可調(diào)整，也可講完幾章后再上機(jī)，任課教師可靈活掌握。（四）實(shí)踐環(huán)節(jié)1 .實(shí)踐環(huán)節(jié)主要分為習(xí)題課、上機(jī)、問題討論、課后輔導(dǎo)和課后作業(yè)幾部分。其中習(xí)題課12學(xué)

3、時(shí)，上機(jī)16學(xué)時(shí)，問題討論可在輔導(dǎo)課或課后完成，課后輔導(dǎo)每周2學(xué)時(shí)（不占總學(xué)時(shí)）。2 .上機(jī)主要內(nèi)容與要求：插值法、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、常微分方程初值問題的數(shù)值解法、方程求根、2學(xué)時(shí)。解線性方程組的直接方法、解線性方程組的迭代法、矩陣的特征值與特征向量計(jì)算。要求把以上章節(jié)學(xué)過的主要算法編程，上機(jī)求解問題，其中每章（五）教學(xué)時(shí)數(shù)分配表章節(jié)序號(hào)、教學(xué)學(xué)時(shí)環(huán)名稱課堂講授討論實(shí)驗(yàn)其它課程設(shè)計(jì)小計(jì)一緒論22一插值法722111三函數(shù)逼近與計(jì)算62210四數(shù)值積分與數(shù)值微分722111五常微分方程數(shù)值解法62210六方程求根426七解線性方程組的直接方法62210八解線性方程組的迭代法3216九

4、矩陣的特征值與特征向量計(jì)算3216總計(jì)44161272（六）考核方法與要求1 .平時(shí)成績(jī)：包括作業(yè)、出勤、課堂提問、討論情況及期中成績(jī)。2 .試卷成績(jī)：期末成績(jī)。3 .實(shí)驗(yàn)成績(jī)：上機(jī)情況。4 .綜合考核成績(jī)：平時(shí)成績(jī)*20%+實(shí)驗(yàn)成績(jī)*10%+期末成績(jī)*70%（七）教材與主要參考書使用教材：數(shù)值分析第三版，李慶揚(yáng)等，清華大學(xué)出版社，1986;主要參考書：1.數(shù)值計(jì)算方法，林成森，科學(xué)出版社，1998;2 .數(shù)值分析，楊大地等，重慶大學(xué)出版社，1998;3 .數(shù)值分析第二版，孫志忠等，東南大學(xué)出版社，2002;4 .數(shù)值分析，王德明等，哈爾濱出版社，2001。二、教學(xué)內(nèi)容綱要第一章緒論一、教學(xué)基

5、本要求1 .掌握誤差的基本概念與數(shù)值運(yùn)算中誤差分析的原則和方法。2 ,了解誤差的來(lái)源。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)數(shù)值分析的對(duì)象與特點(diǎn)要點(diǎn)：了解數(shù)值分析的對(duì)象與特點(diǎn)。第二節(jié)誤差基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)：誤差來(lái)源，誤差度量。第三節(jié)誤差分析要點(diǎn)：初等運(yùn)算的誤差估計(jì)，誤差分析的原則和方法。第二章插值法一、教學(xué)基本要求1,掌握多項(xiàng)式插值公式的存在唯一性條件及其余項(xiàng)表達(dá)式的推導(dǎo)。2,熟練掌握拉格朗日插值多項(xiàng)式及其基函數(shù)的性質(zhì)。3,牛頓插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，掌握差商的計(jì)算過程及有關(guān)性質(zhì)。4 .掌握構(gòu)造埃爾米特插值多項(xiàng)式的基函數(shù)法。5 ,了解逐次線性插值與分段低次插值。6,理解三次樣條函數(shù)及三次樣條插值函數(shù)的定義及其構(gòu)造方法。二

6、、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)引言要點(diǎn)：插值的基本概念。第二節(jié)拉格朗日插值要點(diǎn)：插值多項(xiàng)式的唯一性，。拉格朗日插值公式，插值余項(xiàng)。第三節(jié)逐次線性插值法要點(diǎn)：逐次線性插值。第四節(jié)均差與牛頓插值公式要點(diǎn)：均差，牛頓插值公式。第五節(jié)埃爾米特插值要點(diǎn)：埃爾米特插值第六節(jié)分段低次插值要點(diǎn)：分段線性插值，分段埃爾米特插值。第七節(jié)三次樣條插值要點(diǎn)：三次樣條函數(shù)，三轉(zhuǎn)角方程，三彎矩方程。第三章函數(shù)逼近與計(jì)算一、教學(xué)基本要求1 .理解最佳一致逼近與最佳平方逼近的概念。2 .會(huì)用切比雪夫定理構(gòu)造最佳逼近函數(shù)。3 .能正確應(yīng)用法方程組，獲得最佳平方逼近函數(shù)。4 .掌握曲線擬合的最小二乘方法，并能用該方法解決一些實(shí)際問題，如曲線擬

7、合，解矛盾方程等。5 .熟知正交多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì)，能用正交多項(xiàng)式獲得最佳平方逼近多項(xiàng)式及最佳一致逼近多項(xiàng)式。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)引言與預(yù)備知識(shí)要點(diǎn)：最佳一致逼近與最佳平方逼近的概念。第二節(jié)最佳一致逼近多項(xiàng)式要點(diǎn)：最佳一致逼近多項(xiàng)式的定義，切比雪夫定理，最佳一次逼近多項(xiàng)式。第三節(jié)最佳平方逼近要點(diǎn)：內(nèi)積空間，最佳平方逼近多項(xiàng)式。第四節(jié)正交多項(xiàng)式要點(diǎn)：。勒讓德多項(xiàng)式，切比雪夫多項(xiàng)式。第五節(jié)函數(shù)按正交多項(xiàng)式展開要點(diǎn)：函數(shù)按正交多項(xiàng)式展開。第六節(jié)曲線擬合的最小二乘方法要點(diǎn)：一般的最小二乘逼近，用正交函數(shù)作最小二乘擬合。第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分一、教學(xué)基本要求1. 掌握數(shù)值積分的基本思想，各類求積公式的構(gòu)造

8、方法。2. 理解代數(shù)精度的概念及插值型求積公式的概念。3. 掌握牛頓柯特斯公式，了解其與高斯公式的異同。4. 會(huì)利用外推原理提高計(jì)算精度。5. 會(huì)利用待定系數(shù)法、正交多項(xiàng)式構(gòu)造高斯公式。6. 會(huì)利用插值法構(gòu)造數(shù)值微分公式。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)引言要點(diǎn)：數(shù)值積分的基本思想，代數(shù)精度、插值型求積公式的概念。第二節(jié)牛頓柯特斯公式要點(diǎn)：柯特斯系數(shù)，偶階求積公式的代數(shù)精度，幾種低階求積公式的余項(xiàng)，復(fù)化求積法及其收斂性。第三節(jié)龍貝格算法要點(diǎn)：梯形法的遞推化，龍貝格公式，。龍貝格算法。第四節(jié)高斯公式要點(diǎn)：高斯點(diǎn)，高斯一勒讓德多項(xiàng)式，高斯一切比雪夫多項(xiàng)式。第五節(jié)數(shù)值微分要點(diǎn)：中點(diǎn)方法，插值法型的求導(dǎo)公式。第五章

9、常微分方程數(shù)值解法一、教學(xué)基本要求1 .了解常微分方程數(shù)值解法的研究?jī)?nèi)容，掌握構(gòu)成方法的基本思想及其各方法的異同點(diǎn)。2 .掌握尤拉法、改進(jìn)的尤拉法、隱式尤拉法和梯形方法的基本公式和構(gòu)造。3 .掌握龍格-庫(kù)塔方法的基本思想，會(huì)進(jìn)行二階龍格-庫(kù)塔方法的推導(dǎo)，能用四階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔公式求解微分方程。4 .會(huì)求單步法的局部截?cái)嗾`差及方法的階。5 .了解單步法的收斂性與穩(wěn)定性。6 .了解線性多步法構(gòu)造方法。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)尤拉方法要點(diǎn)：尤拉公式，后退的尤拉公式，梯形公式，改進(jìn)的尤拉公式。第二節(jié)龍格-庫(kù)塔方法要點(diǎn)：。泰勒級(jí)數(shù)法，龍格-庫(kù)塔方法的基本思想，二階龍格-庫(kù)塔方法，四階經(jīng)典龍格-庫(kù)塔公式。第三節(jié)

10、單步法的收斂性和穩(wěn)定性要點(diǎn)：?jiǎn)尾椒ǖ氖諗啃耘c穩(wěn)定性。第四節(jié)線性多步法要點(diǎn)：基于數(shù)值積分的構(gòu)造方法，基于泰勒展開的構(gòu)造方法。第六章方程求根一、教學(xué)基本要求1 .掌握用迭代法求方程近似根的基本思想；理解迭代過程的全局、局部收斂性定理并會(huì)判斷迭代過程的收斂階。2 .二分法是求方程實(shí)根的一種大范圍收斂的方法。若給定近似解的誤差和二分區(qū)間，能預(yù)估二分次數(shù)。3 .理解牛頓迭代公式是如何推導(dǎo)的，會(huì)用牛頓法求方程的近似根。4 .了解弦截法與拋物線法。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)根的搜索法要點(diǎn)：逐步搜索法，二分法。第二節(jié)迭代法要點(diǎn)：迭代過程的收斂性，迭代公式的加工。第三節(jié)牛頓法要點(diǎn)：牛頓公式，牛頓法的局部收斂性，牛頓法應(yīng)

11、用舉例。第四節(jié)弦截法與拋物線法要點(diǎn)：弦截法，拋物線法。第七章解線性方程組的直接方法一、教學(xué)基本要求1 .對(duì)每一個(gè)方法，應(yīng)弄清楚它的基本思想，適用范圍，計(jì)算公式以及對(duì)于誤差的估計(jì)。2 .掌握高斯消去法及高斯列主元消去法，能用這兩種方法求解方程組及計(jì)算矩陣的行列式。3 .掌握杜利特爾分解法的唯一可分的充分條件，分解形式，計(jì)算次序和算法的穩(wěn)定性。4 .掌握對(duì)稱正定矩陣的三角分解的分解形式，計(jì)算次序和算法的穩(wěn)定性。5 .會(huì)應(yīng)用改進(jìn)的平方根法與追趕法。6 .掌握向量、矩陣范數(shù)和矩陣的條件數(shù)的定義，了解它們的性質(zhì)，能利用條件數(shù)判別方程組是否病態(tài)以及對(duì)方程組的直接方法的誤差進(jìn)行估計(jì)。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)高斯消

12、去法要點(diǎn)：高斯消去法，矩陣的三角分解，計(jì)算量。第二節(jié)高斯主元素消去法要點(diǎn)：高斯完全主元消去法，高斯列主元消去法，高斯-若當(dāng)消去法。第三節(jié)高斯消去法的變形要點(diǎn)：杜利特爾分解，平方根法，改進(jìn)的平方根法，追趕法。第四節(jié)向量和矩陣的范數(shù)要點(diǎn)：向量范數(shù)，矩陣范數(shù)。第五節(jié)誤差分析要點(diǎn)：方程組的性態(tài)，條件數(shù)。第八章解線性方程組的迭代法一、教學(xué)基本要求1 .掌握雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法的計(jì)算分量形式、矩陣形式和它們的迭代矩陣表示式。2 .會(huì)應(yīng)用超松弛迭代法解線性方程組。3 .理解迭代法收斂的充要條件，會(huì)用迭代陣的譜半徑判明迭代法的收斂性。4 .能用迭代陣的范數(shù)判別迭代法的收斂性。5 .會(huì)根據(jù)方程組系數(shù)矩陣的嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)性，判明雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代對(duì)任意初始向量的收斂性。6 .掌握方程組的系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定陣時(shí)，高斯-塞德爾迭代法及松弛因子滿足必要條件的超松弛迭代法對(duì)任意初始向量均收斂的結(jié)論。二、教學(xué)內(nèi)容第一節(jié)迭代法的一般形式要點(diǎn)：迭代法的一般形式第二節(jié)幾種常用的迭代法要點(diǎn)：雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法，超松弛迭代法。第三節(jié)迭代法的收斂條件要點(diǎn)：迭代法的收斂條件，從系數(shù)矩陣判斷的收斂條件第九章矩陣的特征值與特征向量計(jì)算一、教學(xué)基本要求1 .掌握哥法與反哥法。2