線性代數(shù)矩陣及其運(yùn)算

1、1華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系多媒體教學(xué)課件2教學(xué)基本要求1、提前預(yù)習(xí)，積極聽課；、提前預(yù)習(xí)，積極聽課； 2、認(rèn)真完成作業(yè)，計(jì)入平時(shí)成績；、認(rèn)真完成作業(yè)，計(jì)入平時(shí)成績； 3、隨機(jī)點(diǎn)名考勤，考勤結(jié)果計(jì)入平時(shí)成績；、隨機(jī)點(diǎn)名考勤，考勤結(jié)果計(jì)入平時(shí)成績；5、聯(lián)系電話：、聯(lián)系電話 e-mail： 4、總評(píng)成績、總評(píng)成績=平時(shí)（占平時(shí)（占30%）+期末（占期末（占70%） 3引引 言言 線性代數(shù)線性代數(shù)是以行列式、矩陣為工是以行列式、矩陣為工具，研究線性變量之間關(guān)系的一門數(shù)學(xué)分具，研究線性變量之間關(guān)系的一門數(shù)學(xué)分科，它包括求值、求解及性質(zhì)的討論?？?，它包括求值、求解及性質(zhì)的討論

2、。密切相關(guān)學(xué)科：運(yùn)籌學(xué)（線性規(guī)劃）密切相關(guān)學(xué)科：運(yùn)籌學(xué)（線性規(guī)劃）4第一章第一章 矩陣矩陣 第四章第四章 向量的內(nèi)積與二次型向量的內(nèi)積與二次型第六章第六章 Matlab Matlab 軟件的應(yīng)用軟件的應(yīng)用第二章第二章 向量與線性方程組向量與線性方程組第五章第五章 線性空間與線性變換線性空間與線性變換第三章第三章 矩陣的特征與特征向量矩陣的特征與特征向量 教教 學(xué)學(xué) 計(jì)計(jì) 劃劃 10學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 6學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 4學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 8學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 4學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 略略 5第一章 矩 陣1 矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算3 行列式行列式2 矩陣的初等變換與矩陣的初等變換與初等矩陣初等矩陣4 行列式和逆矩陣的應(yīng)用行列式和逆矩陣的

3、應(yīng)用矩陣及其運(yùn)算 第一節(jié)111212122212nnmmmnaaaaaaaaa引例一某企業(yè)生產(chǎn)某企業(yè)生產(chǎn)4種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值種產(chǎn)品，各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值（單位：萬元）如下表：（單位：萬元）如下表：ABCD18075757829870858439075909048870828080757578987085849075909088708280 數(shù)數(shù) 表表 抽象抽象 描述各種產(chǎn)品各季度的產(chǎn)值描述各種產(chǎn)品各季度的產(chǎn)值揭示產(chǎn)值隨季度的變化規(guī)律、揭示產(chǎn)值隨季度的變化規(guī)律、年產(chǎn)量等年產(chǎn)量等引例二某航空公司在某航空公司在A，B，C，D四城市四城市之間開辟了若干航線，右圖表示了之間開辟了若干航線，右圖表示

4、了四城市之間的航班圖，若從四城市之間的航班圖，若從A到到B有有航班，則用帶箭頭的線連接航班，則用帶箭頭的線連接A與與B： 終點(diǎn)始發(fā)ABC DA B C D0110101111010100 數(shù)數(shù) 表表 BA CD抽象抽象 反映四城市之間的交通連接情況反映四城市之間的交通連接情況 11112211211222221122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaaaa1.1.1 線性方程組與矩陣的概念線性方程組與矩陣的概念m m個(gè)方程，個(gè)方程，n n個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù)(1)線性方程組的一般形式為線性方程組的一般形式為

5、11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab 數(shù)數(shù) 表表 定義定義1.1 (P2)1.1 (P2)111212122212nnmmmnaaaaaaaaa由由m n個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)aij (i=1,2,m; j=1,2,n) 排成的排成的m行行n列的數(shù)表列的數(shù)表 第一行第一行 第二行第二行 第一列第一列 第二列第二列 A其中諸其中諸ija叫做矩陣的叫做矩陣的元素元素，矩陣可以簡記，矩陣可以簡記稱為稱為m行行n列矩陣列矩陣 ，簡稱為，簡稱為nm矩陣矩陣,)(nmijnmaAA)(ijaA 或通常用大寫的英文通常用大寫的英文字母字母A,B,表示，表示， naaa21行矩陣：行矩陣：只有

6、一行的矩陣只有一行的矩陣也稱為行向量也稱為行向量12naaa列矩陣：列矩陣：只有一列的矩陣只有一列的矩陣也稱為列向量也稱為列向量元素全是零的矩陣叫做元素全是零的矩陣叫做零矩陣零矩陣，簡記為，簡記為Om n 特例特例 行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣，稱為行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣，稱為。有有n行行n列的矩陣稱為列的矩陣稱為n階方陣階方陣或或n階矩陣階矩陣111212122212()nnn nnijn nnnnnaaaaaaAAAaaaa特例特例 13幾種特殊形式的方陣幾種特殊形式的方陣11121222000nnnnaaaaaa上三角形矩陣上三角形矩陣11212212000nnnnaaaaaa下三角形矩陣下三角形

7、矩陣三角形矩陣三角形矩陣 14000000數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣n00000021對(duì)角陣對(duì)角陣12(,)ndiag 100010001單位矩陣單位矩陣nII或幾種特殊形式的方陣幾種特殊形式的方陣diagonal 15行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣，稱為行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣，稱為同型矩陣同型矩陣。同型矩陣同型矩陣如：11010437A11110000B054123000C789123D只有矩陣只有矩陣 與矩陣與矩陣 同型同型AB16定義定義1.2（P4), 2 , 1;, 2 , 1(njmibaijij那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B()()ijijAaBb如果與是同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)位置上的元素

8、相等，即相等矩陣相等矩陣17258sin2 22.50.5 26908( 3)09100000 0000010010010 01001(1) (2) (3) 判斷下列各組矩陣是否相等判斷下列各組矩陣是否相等 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 設(shè)設(shè) ，已知，已知A=B， 12313,26568xxABzyz求求 的值的值 , ,x y z解解 由由A=B，可知，可知 2258xxyzz解得解得 1, 2, 2xyz 一、一、 矩陣的加減法矩陣的加減法定義1.3（P4),(),ijijbBaAnm（矩陣設(shè)有兩個(gè)那么矩陣那么矩陣A與矩陣與矩陣B的的和矩陣和矩陣記作記作A+B,規(guī)定為規(guī)定為mnmnmmmmnnnnba

9、babababababababaBA221122222221211112121111對(duì)應(yīng)位置上的元素相加對(duì)應(yīng)位置上的元素相加1.1.2 矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì)矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì)注意：只有同型矩陣才能相加注意：只有同型矩陣才能相加20矩陣的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律矩陣的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律 (P4)（i）A+B=B+A (交換律） （ii) (A+B)+C=A+(B+C) (結(jié)合律）(iii) A+O=O+A=A記設(shè)矩陣),(ijaA ),(ijaA-A稱為矩陣A的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣，顯然有A+(-A)=(-A)+A=O定義矩陣的減法定義矩陣的減法：A-B=A+(-B)對(duì)應(yīng)位置對(duì)應(yīng)位置上的元素上的元素相

10、減相減二、二、 矩陣的數(shù)乘運(yùn)算矩陣的數(shù)乘運(yùn)算定義1.4 (P5) ，規(guī)定為或的乘積記作與矩陣數(shù)AAAmnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211(1) ()() (2) ()(3) () (4) 1(5) ( 1) (6) 0AAAAAABABAAAAAO 矩陣的每一個(gè)元素矩陣的每一個(gè)元素都要乘以這個(gè)數(shù)都要乘以這個(gè)數(shù)運(yùn)算率運(yùn)算率 (P5) 22設(shè)兩個(gè)商店銷售三種電視機(jī)的設(shè)兩個(gè)商店銷售三種電視機(jī)的數(shù)量（百臺(tái)）由矩陣數(shù)量（百臺(tái)）由矩陣A表示表示691410812A長虹康佳創(chuàng)維百佳華潤三種電視機(jī)的零售單價(jià)三種電視機(jī)的零售單價(jià)（千元）由矩陣（千元）由矩陣B表示表示5 . 335 . 2B

11、長虹康佳創(chuàng)維5 . 310385 . 2125 . 36395 . 214CAB5 . 335 . 26914108128389三、三、 矩陣的乘法矩陣的乘法則兩商場銷售電視機(jī)所得收益分別是多少？則兩商場銷售電視機(jī)所得收益分別是多少？ 定義定義1.5 (P5) 三、三、 矩陣的乘法矩陣的乘法1 1221lijijijilljikkjkca ba ba ba b(1,2,;1,2, ),im jn設(shè)矩陣設(shè)矩陣A=(aij)m l的的列數(shù)列數(shù)與矩陣與矩陣B=(bij)l n的的行數(shù)行數(shù)相等相等,則由元素則由元素構(gòu)成的構(gòu)成的m n矩陣矩陣C=(cij)m n稱為矩陣稱為矩陣A與矩陣與矩陣B的的乘積乘

12、積，記作記作C=AB（1 1） 兩矩陣相乘時(shí)，前矩陣（居左）每一行（如兩矩陣相乘時(shí)，前矩陣（居左）每一行（如第第i i行）的各元素與后矩陣（居右）每一列（如第行）的各元素與后矩陣（居右）每一列（如第j j列）中順次對(duì)應(yīng)的各元素相乘再相加，從而得到乘列）中順次對(duì)應(yīng)的各元素相乘再相加，從而得到乘積矩陣（第積矩陣（第i i行第行第j j列）的元素。列）的元素。 (2)(2)為保證規(guī)則（為保證規(guī)則（1 1），），左矩陣的列數(shù)應(yīng)與右矩陣左矩陣的列數(shù)應(yīng)與右矩陣的的行數(shù)相等的的行數(shù)相等，否則兩矩陣不能相乘。否則兩矩陣不能相乘。（3 3） 乘積矩陣的行數(shù)與左矩陣相同，乘積矩陣的列乘積矩陣的行數(shù)與左矩陣相同，乘

13、積矩陣的列數(shù)與右矩陣相同。數(shù)與右矩陣相同。1111lmmllmaaAaa1111nllnnlbbBbb行行i列列j25（1）設(shè)）設(shè)530421A4213B，求，求AB和和BA。（2）設(shè)）設(shè)，132A465B，求，求AB和和BA.求求AB、BA和和BC。 ，設(shè)21423A，6342B4824C，設(shè)設(shè)530421A4213B，求，求AB。AB4213530421()223142112034401425334513231941297矩陣與矩陣相乘不滿足交換律，矩陣與矩陣相乘不滿足交換律，AB有意義，有意義，但但BA不一定有意義不一定有意義解解 設(shè)設(shè)132A465BAB4651324161514363

14、53426252求求AB和和BA46512181581210BA13246514362532AB和和BA都意義，但不同型，故都意義，但不同型，故ABBA.解解 2142A6342B求求AB、BA和和BCAB1683216BA0000 (1) AB與與BA都有意義，且同型，但都有意義，且同型，但AB與與BA不相等不相等 (2) 兩個(gè)非零矩陣相乘可能是零矩陣兩個(gè)非零矩陣相乘可能是零矩陣 (3) BA=BC,但但AC,可見，矩陣乘法不滿足消去率可見，矩陣乘法不滿足消去率BC00004824C解解 ABBA , BA=BC 0230A9469B求AB和BAAB9469023012182712BA023

15、0946912182712AB =BA如果同階方陣如果同階方陣A和和B滿足滿足AB=BA,則稱則稱A與與B可交換可交換解解 矩陣的乘法雖不滿足交換律、消去率，矩陣的乘法雖不滿足交換律、消去率，但滿足下列運(yùn)算率（但滿足下列運(yùn)算率（P6）：）：()()()()(BABAAB()CABAACBACABCBA)()() , mm nm nm nnm nI AAAIA()()AB CA BC記記111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1nxXx1mbbb則線性方程組則線性方程組(1)可通過矩陣的乘法表示成矩陣形式可通過矩陣的乘法表示成矩陣形式 11112211211222221122.n

16、nnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb(1)AXb系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 未知數(shù)列矩陣未知數(shù)列矩陣 常數(shù)列矩陣常數(shù)列矩陣 矩陣矩陣A表示兩車間生產(chǎn)三種表示兩車間生產(chǎn)三種產(chǎn)品的數(shù)量產(chǎn)品的數(shù)量166101289A矩陣矩陣B表示三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品表示三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品消耗兩種原料的數(shù)量消耗兩種原料的數(shù)量4365 . 15 . 42B車間一車間一車間二車間二面包面包蛋糕蛋糕餅干餅干面包面包蛋糕蛋糕餅干餅干糖糖面面粉粉CAB(1626 1.5 10 3 164.56 6104 395 . 1821249685 . 412)則如何用矩陣表示兩車間需要消耗的原材料的數(shù)量？則如何

17、用矩陣表示兩車間需要消耗的原材料的數(shù)量？ 7114863138方陣的冪方陣的冪設(shè)設(shè)A是是n階方陣，階方陣，k為正整數(shù)，則為正整數(shù)，則kA表示表示k個(gè)個(gè)A連乘連乘, 如如顯然，只有方陣的冪才有意義顯然，只有方陣的冪才有意義AAAA 3lklkAAAkllkAA)(kkkBAAB)(四、轉(zhuǎn)置矩陣四、轉(zhuǎn)置矩陣 (Transpose)行、列對(duì)調(diào)行、列對(duì)調(diào)113021A101231TAAATT)(TTTBABA)(TTAA)(TTTABAB)(運(yùn)運(yùn) 算算 律律1221()TTTTnnA AAAA A可推廣到可推廣到有限多個(gè)有限多個(gè)的情形的情形定義定義1.6 (P6) 把矩陣把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到

18、一個(gè)的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣新矩陣,叫做的叫做的A轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣，記作，記作 或或TAA對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣如果如果方陣方陣A滿足滿足,AAT就稱就稱A為為對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣111100000574702423例例如如方陣方陣A為為對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣矩陣矩陣A中關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱位中關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱位置上的每一對(duì)元素都相等置上的每一對(duì)元素都相等jiijaa 定義定義1.7 (P10)設(shè)設(shè)A A為為n n階方陣階方陣, ,AB=BA=AB=BA=I I就稱為就稱為A可逆矩陣可逆矩陣，如果如果存在存在n n階方陣階方陣B B，使得，使得并稱并稱B為為A的逆矩陣的逆矩陣（簡稱（簡稱A的逆的逆),記作

19、記作1 AB定理定理1.1如果如果A是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的證明證明設(shè)設(shè)B和和C都是都是A的逆矩陣，的逆矩陣，則則AB=BA=I I, AC=CA=I I B =BI I =B(AC) =(BA)C =I IC =C1.1.4 逆矩陣逆矩陣性質(zhì)性質(zhì) 1.1 如果矩陣如果矩陣A可逆，則可逆，則AB=I I等價(jià)于等價(jià)于BA=I I。證明證明 (1) 1()()A A BA1()AAB A11A IAA AI()BAI BAABIBAI相似可證相似可證 BAIABI111(1)0, ()AAA若 可逆，則112 ()()TTAAA（ ）若 可逆，則性質(zhì)性質(zhì)1.2

20、（3）如果）如果A為可逆矩陣，則為可逆矩陣，則A-1也可逆，且也可逆，且11()AA性質(zhì)性質(zhì)1.3如果如果A和和B為同階可逆矩陣，則為同階可逆矩陣，則AB可逆，且可逆，且111)(ABAB證明證明)(11ABAB11)(ABBA1AIA1AAI故由推論故由推論1便知便知AB可逆，且可逆，且111)( ABAB11111221()nnA AAAA A可推廣可推廣到有限到有限個(gè)情形個(gè)情形39逆矩陣的性質(zhì)（逆矩陣的性質(zhì)（P10-P11） 1、逆矩陣是唯一存在的。、逆矩陣是唯一存在的。 2、AB=I BA=I 6、若、若A可逆，則可逆，則A-1也可逆，且也可逆，且 . 11()AA3、若、若A可逆，數(shù)

21、可逆，數(shù) ，則，則 0111()AA4、若、若A、B為同階可逆矩陣，則為同階可逆矩陣，則 111()ABB A5、若、若A可逆，則可逆，則 11()()TTAA（此性質(zhì)可將定義簡化）（此性質(zhì)可將定義簡化） 401.1.3 分塊矩陣及其運(yùn)算分塊矩陣及其運(yùn)算 用用穿過矩陣穿過矩陣的橫線和豎線將矩陣的橫線和豎線將矩陣A分割成若干個(gè)分割成若干個(gè)子塊，以這些子塊，以這些子塊為元素子塊為元素的矩陣的矩陣A稱為分塊矩陣。稱為分塊矩陣。例如例如1112131415212223242531323334354142434445aaaaaaaaaaAaaaaaaaaaa則則A可記作可記作111213212223AA

22、AAAAA稱稱A為以子塊為以子塊A11、A12、A13、A21、A22、A23為元素的為元素的分分塊矩陣塊矩陣。411003010100100001A如：如： 分塊矩陣分塊矩陣3IBOC1003010100100001A22IDOI421003010100100001A如：如： 分塊矩陣分塊矩陣1231003010100100001A1234列分塊列分塊 行分塊行分塊 431、矩陣的分塊運(yùn)算分兩步完成，首先，視子塊為元、矩陣的分塊運(yùn)算分兩步完成，首先，視子塊為元素，按矩陣的運(yùn)算法則作第一步運(yùn)算，然后，在子塊素，按矩陣的運(yùn)算法則作第一步運(yùn)算，然后，在子塊的運(yùn)算中，再進(jìn)行實(shí)質(zhì)上的矩陣運(yùn)算。的運(yùn)算中

23、，再進(jìn)行實(shí)質(zhì)上的矩陣運(yùn)算。2、在對(duì)矩陣進(jìn)行分塊時(shí)，必須遵守相應(yīng)運(yùn)算的前在對(duì)矩陣進(jìn)行分塊時(shí)，必須遵守相應(yīng)運(yùn)算的前提條件提條件。 如：相加減的矩陣，需采取完全相同的分塊方如：相加減的矩陣，需采取完全相同的分塊方法；相乘時(shí)，左矩陣的列塊數(shù)必須等于右矩陣的行法；相乘時(shí)，左矩陣的列塊數(shù)必須等于右矩陣的行塊數(shù)，同時(shí)還須保證子塊運(yùn)算時(shí)的左子塊的列數(shù)必塊數(shù)，同時(shí)還須保證子塊運(yùn)算時(shí)的左子塊的列數(shù)必須等于右子塊的行數(shù)。須等于右子塊的行數(shù)。分塊矩陣的運(yùn)算：分塊矩陣的運(yùn)算：44u分塊矩陣的加減運(yùn)算分塊矩陣的加減運(yùn)算設(shè)設(shè)A、B同型同型，且采用，且采用完全相同的分塊方法完全相同的分塊方法，得，得111212122212ssrrrsAAAAAAAAAA，111212122212ssrrrsBBBBBBBBBB則則111112121121212222221122sSsSrrrrrsrsABABABABABABABABABAB注意：注意：A i j與與B i j同型同型45u 分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置 設(shè)將設(shè)將A分塊得分塊得111212122212ssrrrsAAAAAAAAAAR則則11121