教學(xué)課件常微分3.1

1、 第三章第三章 一階微分方程的解的存在定理一階微分方程的解的存在定理為什么要研究解的存在唯一性及解的某些性質(zhì)1 1 1841年 Liouville 證明了，Riccati 方程)0)(, 0)( )()()(2xRxPxRyxQyxPdxdy一般沒有初等解法.因此人們懷疑一般初值問題00)(),(yxyyxfdxdy的解是否一定存在.3 3 能為找不出表達(dá)式的解提供一種近似計(jì)算的方法整個(gè)區(qū)間上存在嗎？5 5 關(guān)于解還有些什么有用的性質(zhì)？不唯一的解在實(shí)際問題中有用嗎？2 2 方程ydxdy2過點(diǎn)(0,0)的解雖存在，但不唯一.人們問：在什么條),(4 4 解的存在區(qū)間能適當(dāng)拓展嗎，甚至使它在件下

2、，上述初值問題的解是唯一的？嗎？需解決的問題?,)(),(1000的解是否存在初值問題yxyyxfdxdy?,)(),(2000是否唯一的解是存在若初值問題yxyyxfdxdy3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法Lipschitz 條件) 1 . 3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形區(qū)域函數(shù))2 . 3(,00byyaxx.上連續(xù):條件滿足關(guān)于Lipschitzy滿足使對(duì)所有即存在RyxyxL),(),(, 0212121),(),(yyLyxfyxf:),(Ryxf在矩形區(qū)域函數(shù).ip常數(shù)稱為schitizLL一 存在唯一性定理1 定理1 考慮初值問題) 1 .

3、3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形區(qū)域其中)2 . 3(,00byyaxx,上連續(xù):條件滿足并且對(duì)Lipschitzy,) 1 . 3(0上的解存在且唯一在區(qū)間則初值問題hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx這里(1) 初值問題(3.1)的解等價(jià)于積分方程)5 . 3(),(00dtytfyyxx的連續(xù)解.證明思路(2) 構(gòu)造(3.5)近似解函數(shù)列)(xn0100( )( ,( )xxxyfd 得右側(cè)的代入任取一連續(xù)函數(shù),)5 . 3(,)(),(000ybyxx得右側(cè)的代入否則將為解則若,)5 . 3()(,)(),()(1001yxxxx02

4、01( )( ,( )xxxyfd ,)5 . 3()(,)(),()(2112yxxxx右側(cè)的代入否則將為解則若010( )( ,( ),xnnxxyfd ,)(0byxn這里要求,)(),()(1為解則若xxxnnn)(xn列否則一直下去可得函數(shù)(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法).(,)()3(00 xhxhxxn上一致收斂于在函數(shù)序列這是為了010lim( )lim( ,( )xnnxnnxyfd 00lim( ,( )xnx nyfd 即00( )( , ( ),xxxyfd ).(,(,)(,(00 xxfhxhxxxfn致收斂于上一在只需函數(shù)列)()()(,()(,(xxLxxf

5、xxfnn由).(,)(00 xhxhxxn上一致收斂于在只需),()()()(110 xxxxnnkkk由于等價(jià)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂性上一致收在于是函數(shù)列,)(00hxhxxn,)()()(110nnnxxx.,00上一致收斂性在hxhx.,)5 . 3()()4(00且唯一上連續(xù)解定義于是積分方程hxhxx下面分五個(gè)命題來證明定理,為此先給出積分方程的解如果一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號(hào)且在定積分符號(hào)下含有未知函數(shù), 則稱這樣的關(guān)系式為積分方程.積分方程.,)(:0程就是一個(gè)簡(jiǎn)單的積分方如xxdttyey.)(,)(,()(),(,),(0000為該積分方程的解則稱上恒成立在區(qū)間使得上的連續(xù)函數(shù)

6、如果存在定義在區(qū)間對(duì)于積分方程xyIdtttfyxxyIdtytfyyxxxx命題1 初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程)5 . 3(),(00dxyxfyyxx證明:則的連續(xù)解為若,) 1 . 3()(xy,)()(,()(00yxxxfdxxd取定積分得到對(duì)第一式從xx0dxxxfxxxx0)(,()()(0即dxxxfyxxx0)(,()(0.)5 . 3()(的連續(xù)解為故xy) 1 . 3( ,)(),(00yxyyxfdxdy則有的連續(xù)解為若,)5 . 3()(xy反之dtttfyxxx0)(,()(0,),(上連續(xù)在由于Ryxf,)(,(連續(xù)從而ttf故對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得)(,()(

7、xxfdxxd且00000)(,()(ydxxxfyxxx.) 1 . 3()(的連續(xù)解為即xy構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列)(xn00)(yx 00100( )( ,( )xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n)7 . 3(問題:這樣構(gòu)造的函數(shù)列是否行得通, 即上述的積分 是否有意義?.)(,)(000的常數(shù)值往往取方便但實(shí)際上為可任取一般來說連續(xù)函數(shù)yxx注命題2有定義、連續(xù)且滿足和對(duì)于所有)(,00 xhxxxnn)8 . 3(,)(0byxn證明:(用數(shù)學(xué)歸納法)時(shí)1ndyfyxxx),()(0010且上有定義、連續(xù)在顯然,)(001hxxx01)(yxdyfxx0),(0d

8、yfxx),(000 xxMMhb),min(Mbah ),(),(yxfMaxMRyx,2時(shí)成立當(dāng)設(shè)命題kn 上連續(xù)且在即,)(00hxxxkbyxk0)(時(shí)當(dāng)1 kndfyxkxxk)(,()(001,),(上連續(xù)性知在由Ryxf上連續(xù)在,)(,(00hxxxxfk上有定義連續(xù)且在從而,)(001hxxxk01)(yxkdfkxx)(,(0dfxxk0)(,(0 xxMMhb,12時(shí)成立當(dāng)即命題 kn,2都成立對(duì)所有從而命題n命題3.,)(00上一致收斂在函數(shù)序列hxxxn.,),()(lim00hxxxxxnn記證明:考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))9 . 3(,)()()(00110hxxxxxxnn

9、n它的前n項(xiàng)部分和為),()()()()(110 xxxxxSnnkkkn.)9 . 3()(一致收斂性等價(jià)一致收斂性與級(jí)數(shù)于是xn對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì))()(01xxdfxx0)(,(00 xxM)()(12xxdffxx0)(,()(,(01dLxx0)()(01dxMLxx0)(020)(2xxML,條件得到的其中第二個(gè)不等式是由Lipschitz條件由Lipschitz有不等式設(shè)對(duì)于正整數(shù) , n)()(1xxnn,)(!01nnxxnML條件有由時(shí)則當(dāng)Lipschitzhxxx,00)()(1xxnndffxxnn0)(,()(,(1dLxxnn0)()(1dxnMLxxn

10、n0)(!0,)()!1(10nnxxnML于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)所有正整數(shù)n,有)()(1xxnn,)(!01nnxxnML)11. 3(,00hxxx,00時(shí)從而當(dāng)hxxx)()(1xxnnnnxxnML)(!01,!11收斂由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)nnnhnML.,)9 . 3(,00上一致收斂在級(jí)數(shù)判別法知由hxxsWeierstras.,)(00上一致收斂在因而函數(shù)序列hxxxn,!1nnhnML現(xiàn)設(shè)),()(limxxnn,00hxxx,)(00得的連續(xù)性和一致收斂性在則由hxxxn且上連續(xù)在,)(00hxxxbyx0)(命題4.,)5 . 3()(00上連續(xù)解定義于是積分方程hxxx證明:

11、條件有由Lipschitz)(,()(,(xxfxxfn)()(xxLn,)(00的一致收斂性得在以及hxxxn),(xfn函數(shù)列),(,(,00 xxfhxx上一致收斂于函數(shù)在)(,()(xxfxfnn得兩邊取極限因此對(duì),)7 . 3()(limxnn001lim( ,( )xnxnyfd 001lim( ,( )xnx nyfd 即)(x00( , ( )xxyfd .,)5 . 3()(00上連續(xù)解定義于是積分方程故hxxx命題5.,),()(,)5 . 3()(0000hxxxxxhxxx則一個(gè)連續(xù)解上的定義于是積分方程設(shè)證明:, )()()(xxxg設(shè),)(00上非負(fù)連續(xù)函數(shù)是定義于

12、則hxxxg00( )( , ( )xxxyfd 00( )( ,( )xxxyfd 由條件得的及Lipschitzyxf),()()()(xxxg00( ,( )( , ( )xxxxfdfd 0( ( ,( )( , ( )xxffd 0( ,( )( , ( )xxffd 0( )( )xxLd 0( )xxLgd0( )( ( ,( )( , ( )xxg xffd 0( )( ),xxu xLgd令,)(00上連續(xù)可微函數(shù)是定義于則hxxxu于是且),()(),()(0 , 0)(0 xLgxuxuxgxu),()(xLuxu, 0)()(LxexLuxu, 0)()(00LxLxe

13、xuexu積分得到對(duì)最后一個(gè)不等式從xx0, 0)()(LxexLuxu, 0)()(xuxg故., 0)(00hxxxxg即綜合命題15得到存在唯一性定理的證明.)()(0 xuxg一 存在唯一性定理1 定理1 考慮初值問題) 1 . 3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形區(qū)域其中)2 . 3(,00byyaxx,上連續(xù):條件滿足并且對(duì)Lipschitzy常成立使對(duì)所有即存在RyxyxL),(),(, 0212121),(),(yyLyxfyxf,) 1 . 3(0上的解存在且唯一在區(qū)間則初值問題hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx這里命題1 初

14、值問題(3.1)等價(jià)于積分方程)5 . 3(),(00dtytfyyxx構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列)(xn00)(yx 00100( )( ,( )xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n命題2連續(xù)且滿足和對(duì)于所有)(,00 xhxxxnn)8 . 3(,)(0byxn命題3.,)(00上一致收斂在函數(shù)序列hxxxn命題4.,)5 . 3()(00上連續(xù)解定義于是積分方程hxxx.,),()(lim00hxxxxxnn記命題5.,),()(,)5 . 3()(0000hxxxxxhxxx則一個(gè)連續(xù)解上的定義于是積分方程設(shè)2 存在唯一性定理的說明.,),() 1 (件容易判斷的兩個(gè)充分

15、條下面給出在實(shí)際應(yīng)用中一般比較困難條件滿足驗(yàn)證它是否關(guān)于根據(jù)定義去上有定義的函數(shù)對(duì)于給定在LipschitzyyxfR.),(,),(),(10條件滿足上關(guān)于在則有界存在且的偏導(dǎo)數(shù)上關(guān)于在如果LipschitzyRyxfyxfyRyxfy.),(,),(),(20條件滿足上關(guān)于在則連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)上關(guān)于在如果LipschitzyRyxfyxfyRyxfy),(),(21yxfyxf21212)(,(yyyyyxfy21yyL的幾何意義定理中,min)2(Mbah ,),(MyxfR中有在矩形,) 1 . 3(之間與的解曲線的斜率必介于故初值問題MM,),(00的直線和分別作斜率為過點(diǎn)MMyx;)(

16、),)(00中有定義在解所示如圖時(shí)當(dāng)axxaxxyaabM.)(,;)(),)(0000內(nèi)在證解才能保時(shí)只有當(dāng)使得無意義外去矩形它有可能在區(qū)間內(nèi)跑到中有定義在不能保證解所示如圖時(shí)而當(dāng)RxyMbxxMbxRaxxaxxybabM.0hxx范圍為故要求解的存在即為線性方程時(shí)當(dāng)方程,) 1 . 3() 3()()(xQyxpdxdy.,)(,1,)(),(000且連續(xù)有定義在所確定的解且任一初值的條件能滿足定理上連續(xù)時(shí)在則當(dāng)xyxyxQxP3 一階隱方程解存在唯一性定理定理2考慮一階隱方程)5 . 3(, 0),(yyxF的某鄰域中滿足如果在點(diǎn)),(000yyx,),(),(10連續(xù)且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

17、對(duì)所有變?cè)獃yxyyxF, 0),(20000yyxF, 0),(30000yyyxF則方程(3.5)存在唯一解)(),(0為足夠小的正數(shù)hhxxxyy滿足初始條件)8 . 3(,)(;)(00000yxyyxy三 近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,這里00)(yx 00100( )( ,( )xnnxxyfdxxxh ), 2 , 1(n內(nèi)誤差估計(jì)為在和真正解次近似解對(duì)方程的第,)()(00hxhxxyxnn)19. 3(,)!1()()(1nnnhnMLxx注:上式可用數(shù)學(xué)歸納法證明)()(0 xxdfxx0)(,(0 xxMMh,!)(!)()(1011nnn

18、nnhnMLxxnMLxx設(shè)則)()(xxndffxxn0)(,()(,(1dLxxn0)()(1dxnMLxxnn0)(!010)()!1(nnxxnML.)!1(1nnhnML)(,xn數(shù)選取適當(dāng)?shù)闹鸩奖平梢愿鶕?jù)誤差要求在進(jìn)行近似計(jì)算時(shí)這樣例1 討論初值問題0)0(,22yyxdxdy解的存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超. 11, 11:,05. 0yxR其中的近似解的表達(dá)式過解, 2),(),(yxfMaxMRyx這里2121, 1minh所以由于yyf2L 2由(3.19)1)!1()()(nnnhnMLxx1)()!1(1nLhnLM)!1(1n05. 005. 0)!1(1n作出如下的近似表達(dá)式因此我們可以因而可取, 3n, 0)(0 xxdxxxx02021)()(33xxdxxxx02122)()(xdxxx062963373xxxdxxxx02223)()(xdxxxxx01410623969189295953520792633151173xxxx.05. 021,21,)(3解誤差不會(huì)超過上與真正在區(qū)間就是所求的近似解x例2 求初值問題0)0(,12yydxdy解的存在唯一區(qū)間.解,ba對(duì)任意均在矩形區(qū)域函數(shù)),(yxf,| ),(byaxyxR計(jì)算有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且對(duì)內(nèi)連續(xù),y),(),(yxfMaxMRyx;12b1,min2bbah,都可