二項(xiàng)式定理中展開式系數(shù)的六種常見類型

1、二項(xiàng)式定理中展開式系數(shù)的六種常見類型求展開式中的系數(shù)是高考?？碱}型之一,本文以高考題為例，對(duì)二項(xiàng)式定理試題中求展開式系數(shù)的問(wèn)題加以歸類與解析，供讀者參考。一、(a+b)n(ngN*)型例1.(x-J2y)io的展開式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)是()(A)840(B)840(C)210(D)210解析：在通項(xiàng)公式Tr+1二，2y)rX10-r中令r=4,即得(x-桓y)i0的展開式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)為C4(-廟2)4=840,故選A。10例2.(x-L)8展開式中x5的系數(shù)為。x1g_33解析:通項(xiàng)公式T=Crx8-r(-)r=(-1)rCrx-2r，由題意得8-r=5,沖8駅82則r=2，故所求x5的

2、系數(shù)為(-1)2C2=28。8評(píng)注:常用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中某特定項(xiàng)的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定r的值。二、(a+b)n土(c+d)m(n,mgN*)型21例3.(x-2)4+(x+i)8的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)等于.xx解析；(x-2)4的通項(xiàng)公式為T=Cr(-2)r(x-)4-r=Cr(-2)rx12-4r,令xr+14x412-4r=0,則r=-,這時(shí)得(x-2)4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-C-2-=-32,x411(x+-)8的通項(xiàng)公式為T=Ck()kx8-k=Ckx8-2k，令8-2k=0，則k=4，這時(shí)得xk+18x8(x+1)8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C4=70,故(x-2)4

3、+(x+1)8的展開式中常數(shù)項(xiàng)x8xx等于-2+70=-8。例4.在(1-x)5-(1-x)6的展開式中，含x-的項(xiàng)的系數(shù)是()(A)-5(B)5(C)-10(D)10解析：(1-X)5中X3的系數(shù)-C3二-10,-(1-X)6中X3的系數(shù)為5-C3-(1)3二20，故(1-x)5-(1-x)6的展開式中X3的系數(shù)為10,故選D。6評(píng)注：求型如(a+b)n土(c+d)m(n,meN*)的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別展開兩個(gè)二項(xiàng)式，由多項(xiàng)式加減法求得所求項(xiàng)的系數(shù)。三、(a+b)n(c+d)m(n,meN*)型例5(X2+1)(X-2)7的展開式中X3項(xiàng)的系數(shù)是。解析：(X-2)7的展開式中X、X

4、3的系數(shù)分別為C1(-2)6和C3(-2)4，故77(X2+1)(X-2)7的展開式中X3項(xiàng)的系數(shù)為C1(-2)6+C3(-2)4=1008。77例6(X-1)(X+1)8的展開式中X5的系數(shù)是()(A)-14(B)14(C)-28(D)28略解：(X+1)8的展開式中X4、X5的系數(shù)分別為C4和C5，故(X-1)(X+1)8展88開式中X5的系數(shù)為C4-C5二14,故選B。88評(píng)注：求型如(a+b)n(c+d)m(n,meN*)的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別展開兩個(gè)二項(xiàng)式，由多項(xiàng)式乘法求得所求項(xiàng)的系數(shù)。四、(a+b+c)n(neN*)型例7(X+1+2)5的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為,2x解法

5、一：X1(2+)+通項(xiàng)公式T=Ck2：(工+i)5-k,k+152X3/5(2+1)5-k2X=CrX5-2k+-k,令5-k的通項(xiàng)公式為T二CrX-rX5-kr2-k-rr+15-k5-2r-k=0，貝Uk+2r=5，可得k=1,r=2或k=3,r=1或k=5,r=0。當(dāng)k二1,r二2時(shí)，得展開式中項(xiàng)為c£2；2-2二竽;當(dāng)k二3,r二1時(shí)，得展開式中項(xiàng)為C3O2J2-2-1=20J2；52當(dāng)k二5,r二0時(shí)，得展開式中項(xiàng)為C54/2=4邁。5綜上，匸+1+邁)5的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為旦2+202+4邁=亙2。2x22x1x2+2邁x+2、x+J2)2】(x+J2)io解法一：

6、(+2)5=()5=，對(duì)于一2x2x(2x)5(2x)5項(xiàng)式(x+巨)10中，T=Crxi0-r(邁)r，要得到常數(shù)項(xiàng)需10-r=5，即r=5。所r+110以，常數(shù)項(xiàng)為弓泮63邁2解法三：(送+1+<2)5是5個(gè)三項(xiàng)式©+1+邁)相乘。常數(shù)項(xiàng)的產(chǎn)生有三2x2x種情況：在5個(gè)相乘的三項(xiàng)式(x+1+J2)中，從其中一個(gè)取-，從另外4個(gè)三2x2項(xiàng)式中選一個(gè)取1,從剩余的3個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得xC1丄-C1-C3-&2)3二20Q；從其中兩個(gè)取-，從另外3個(gè)三項(xiàng)式中選兩個(gè)取1，52432x從剩余的1個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得C2-(1)2C2邁=15<2；從5個(gè)

7、相5232乘的三項(xiàng)式(-+1+*'2)中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得C5(邁)5=4邁。2x5綜上，(x+1+<2)5的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為2x20邁+旦2+4邁=亞。22評(píng)注：解法一、解法二的共同特點(diǎn)是：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來(lái)解決。解法三是利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方法來(lái)解決問(wèn)題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開式中的某特定項(xiàng)。五、(a+b)m+(a+b)m+i+(a+b)n(m,ngN*,1<m<n)型例8在(1+x)+(1+x)2+(1+x)6的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是。用數(shù)字作答)解析：由題意得x2項(xiàng)的系數(shù)為C2+C2+C2+C2+C2

8、二35。23456例9在(1x)5+(1x)6+(1x)7+(1x)8的展開式中，含X3的項(xiàng)的系數(shù)是()(A)74(B)121(C)74(D)121解析：(1x)5(1x)6(1x)7(1X)8二(Ix)5l(IX)4_(-x)5-(-x)91-(1-x)x(1x)5中x4的系數(shù)為C4_5,(1x)9中x4的系數(shù)為一C4_126,126+5二一59121,故選D。評(píng)注：例8的解法是先求出各展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)，然后再相加；例9則從整體出發(fā)，把原式看作首相為(1x)5,公比為(1x)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和,用等比數(shù)列求和公式減少項(xiàng)數(shù)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例8和例9的解答方法是求(a+b)m+(a+b)m+

9、1+(a+b)n(m,neN*,1<m<n)的展開式中某特定項(xiàng)系數(shù)的兩種常規(guī)方法。六、求展開式中若干項(xiàng)系數(shù)的和或差例10.若(12x)2004_a+ax+ax2+.+ax2004(xeR),0122004則(a+a)+(a+a)+(a+a)dF(a+a)。(用數(shù)字作答)01020302004解析：在(12x)2004_a+ax+ax2+.+ax2004中，令x_0，貝Ua_1,01220040令x_1，貝廿a+a+a+a+a_(1)2004_101232004'故.(a+a)+(a+a)+(a+a)+(a+a)01020302004=2003a+a+a+a+a+a_2004

10、。001232004例11(2x+J3)4_a+ax+ax2+ax3+ax4，貝U(a+a+a)2(a+a)20123402413的值為()(A)1(B)1(C)0(D)2解析：在(2x+*3)4_a+ax+ax2+ax3+ax4中,01234令x_1，可得a+a+a+a+a_(2+13)4，01234'令x_1，可得aa+aa+a_(23)401234'4/5以，(a+a+a)2(a+a)2=(a+a+a+a+a)(a+a+aaa)024130241302413=(a+a+a+a+a)(aa+aa+a)=(2+、：3)4(2-、：3)4=1,'故0123401234選A。評(píng)注