2017年上海黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷解析版

1、2017年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷、填空題(本大題共有12題，才f分54分.其中第16題每題滿分54分，第712題每題滿分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1.若集合A=x|x-1|<2,xR,則AAZ=2.拋物線y2=2x的準線方程是4.已知sin(3.若復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位)，則z=5.以點(2,-1)為圓心，且與直線x+y=7相切的圓的方程是.6.若二項式1)”的展開式共有6項，則此展開式中含x4的項的系數(shù)是.7 .已知向量v)(x,yCR),b=(l?2),若x2+y2=1,則a-b|的最大值為.8 .已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，且當x0時，f(x)=

2、log2(x+1).若函數(shù)y=g(x)是y=f(x)的反函數(shù)，則g(-3)=.9 .在數(shù)列an中，若對一切nCN*者B有an=-3an+1,且亶衛(wèi)亙下回唱，則a1的值為一.10 .甲、乙兩人從6門課程中各選修3門.則甲、乙所選的課程中至多有1門相同的選法共有一.2211 .已知點O,A,B,F分別為橢圓c；、+yiS>b>0)的中心、左頂點、hb上頂點、右焦點，過點F作OB的平行線，它與橢圓C在第一象限部分交于點P,若屈1五詞，則實數(shù)人的值為f(K)=3KX.-22翼12.已知為常數(shù))，,且當xi,x21,4時，總有f(Xi)<g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是二、選擇題（本大

3、題共有4題，才f分20分.）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13 .若xCR,則'1”是朋寸的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件14 .關(guān)于直線l,m及平面%B,下列命題中正確的是（）A.若l/a,aPB=m則l/mB.若l/a,m/a,則l/mC.若l，a,mila,則l，mD.若l/%m1l,則m±a15 .在直角坐標平面內(nèi)，點A,B的坐標分別為（-1,0）,（1,0）,則滿足tan/PAB?ta吆PBA=m（m為非零常數(shù)）的點P的軌跡方程是（）2A.i（#

4、o）B.mCD.m皿16 .若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)廠-在區(qū)間I上是減函數(shù),則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間I上的“H函數(shù)”.對于命題：函數(shù)恒三匹是（0,1）上的“H函數(shù)”；函數(shù)式6=L/是（0,1）上的“曬數(shù)”.下列判斷正確的是（）A.和均為真命題B.為真命題，為假命題C.為假命題，為真命題D.和均為假命題三、解答題（本大題共有5題，才f分76分.）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17 .在三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為6的正三角形，PA1底面ABC且JTPB與底面ABC所成的角為（1）求三棱錐P-ABC的體積;(2)若M是BC的中點，求異面直線

5、PM與AB所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).18 .已知雙曲線C以Fi(-2,0)、F2(2,0)為焦點，且過點P(7,12).(1)求雙曲線C與其漸近線的方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點，且瓜1旗|(O為坐標原點).求直線l的方程.19 .現(xiàn)有半徑為R、圓心角(/AOB)為90°的扇形材料，要裁剪出一個五邊形工件OECDF如圖所示.其中E,F分別在OA,OB上，C,D在何|上，且OE=OFEC=FD/ECDWCDF=90.記/COD=2,五邊形OECDF勺面積為S.(1)試求S關(guān)于8的函數(shù)關(guān)系式；20 .已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：在

6、定義域內(nèi)存在實數(shù)t,使得f(t+2)=f(t)+f(2).(1)判斷f(x)=3x+2是否屬于集合M,并說明理由；(2)若=1目一金屬于集合M,求實數(shù)a的取值范圍；(3)若f(x)=2x+bx2,求證：對任意實數(shù)b,都有f(x)M.21 .已知數(shù)列an,bn滿足bn=an+Lan(n=1,2,3,).(1)若bn=10-n,求ai6-a5的值；(2)若除二(2%產(chǎn)-叼且a1=1,則數(shù)列a2n+1中第幾項最?。空堈f明理由；(3)若Cn=an+2an+1(n=1,2,3,)，求證：數(shù)列an為等差數(shù)列”的充分必要條件是數(shù)列Cn為等差數(shù)列且bnWbn+1(n=1,2,3,.2017年上海市黃浦區(qū)高考數(shù)

7、學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，才f分54分.其中第16題每題滿分54分，第712題每題滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1 .若集合A=x|x-1|<2,xR,則AAZ=0,1,2.【考點】交集及其運算.【分析】化簡集合A,根據(jù)交集的定義寫出AnZ即可.【解答】解：集合A=x|x-1|<2,xR=x|-2<x-1<2,xR=x|-1<x<3,xR,則AnZ=0,1,2.故答案為0,1,2.2 .拋物線y2=2x的準線方程是一二q【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】先根據(jù)拋物線方程求得p,進而根據(jù)拋物線的性質(zhì)，求

8、得答案.【解答】解：拋物線y2=2x,p=1,準線方程是x=故答案為：-3.若復(fù)數(shù)z滿足工_而（i為虛數(shù)單位），則z=1+2i.【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.解：由得z=1+2i.故答案為：1+2i.4.已知sin(/(-,0),貝Utana=-2【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系.【分析】由aC7U2,0)sin(,利用誘導(dǎo)公式可求得cos%從而可求得sinaWtand=cos%sin故答案為：-2n.5 .以點(2,-1)為圓心，且與直線x+y=7相切的圓的方程是(x-2)2+(y+1)2=18.【考點】圓的切線方程.

9、【分析】由點到直線的距離求出半徑，從而得到圓的方程.【解答】解：將直線x+y=7化為x+y-7=0,|9-1*7II圓的半徑r=-3H,所以圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=18.故答案為(x-2)2+(y+1)2=18.6 .若二項式J?)”的展開式共有6項，則此展開式中含x4的項的系數(shù)是10.【考點】二項式定理的應(yīng)用.【分析】根據(jù)題意求得n=5,再在二項展開式的通項公式中，令x的幕指數(shù)等于第6頁(共21頁)4,求得r的值，可得展開式中含x4的項的系數(shù).【解答】解：二二項式(/一士了的展開式共有6項，故n=5,則此展開式的通項公式為Tr+i=!?(-1)r?x103r,令10-3r=4,

10、.r=2,中含x4的項的系數(shù)園二10,故答案為：10.7 .已知向量層(處v)|(x,yCR),2)|,若x2+y2=1,則直至J的最大值為樂+1.【考點】向量的模.【分析】利用|%-1人|而|+r即可得出.【解答】解：設(shè)O(0,0),P(1,2).|廣I|=1)。巾2)2<11QF|+r=/+22|+1=7+1.Ir-b|的最大值為M目+1.故答案為：日5+1.8 .已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，且當x0時，f(x)=log2(x+1).若函數(shù)y=g(x)是y=f(x)的反函數(shù)，則g(-3)=-7.【考點】反函數(shù).【分析】根據(jù)反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，可知反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，即可

11、求解.【解答】解：二.反函數(shù)與原函數(shù)具有相同的奇偶性.g(-3)=-g(3),反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，log2(x+1)=3,解得：x=7,即g(3)=7,故得g(-3)=-7.故答案為:7.9.在數(shù)列an中，若對一切nCN*者B有an=-3an+i,且JI2（%+3+”+-*+白澳+工,則ai的值為-12.【考點】數(shù)列的極限.【分析】由題意可得數(shù)列an為公比為-冏的等比數(shù)列，運用數(shù)列極限的運算，解方程即可得到所求.【解答】解：在數(shù)歹Ian中，若對一切nN*者B有an=3an+i,可得數(shù)列an為公比為-昌的等比數(shù)列，國衛(wèi)區(qū)三用!，可得ai=-12.故答案為：-12.10 .甲、乙兩人從6

12、門課程中各選修3門.則甲、乙所選的課程中至多有1門相同的選法共有200.【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題.【分析】根據(jù)題意，甲、乙所選的課程中至多有1門相同，具包含兩種情況：甲乙所選的課程全不相同，甲乙所選的課程有1門相同；分別計算每種情況下的選法數(shù)目，相加可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論：甲乙所選的課程全不相同，有C63XC33=20種情況，甲乙所選的課程有1門相同，有。以052*02=180種情況，則甲、乙所選的課程中至多有1門相同的選法共有180+20=200種情況；故答案為：200.2211 .已知點O,A,B,F分別為橢圓*三+*l(d>b>o)的中心、左頂

13、點、a2b2上頂點、右焦點，過點F作OB的平行線，它與橢圓C在第一象限部分交于點P,若AB二kOF,則實數(shù)入的值為破【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系.【分析】由題意畫出圖形，求出咫、而的坐標，代入述:=%及，結(jié)合隱含條件求得實數(shù)人的值.【解答】解：如圖,A(a,0),B(0,b),F(c,0),則P(c,即b=c,a2=b2+c2=2b2,十五.則人寸地.且當xi,X21,4時，總故答案為：遏.,<asx.12 .已知f&)二_弓G為常數(shù))，乙£1.有f(X1)<g(X2),則實數(shù)a的取值范圍是'拉一爭【考點】函數(shù)包成立問題.【分析】依題息可知，當Xi,X2C

14、1,4時，f(Xl)max&g(X2)min,利用對勾函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求g(X2)min=g(1)=3；再對f(x)=2aX2+2x中的二次項系數(shù)a分a=0、a>0、a<0三類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得f(x)在區(qū)間1,4上的最大值，解f(x)max<3即可求得實數(shù)a的取值范圍.【解答】解：依題意知，當xi,x21,4時，f(xi)max<g(x2)min,由對勾'函數(shù)單調(diào)性知，2k2+1=2xH=2(x+2|)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增,二g(x2)min=g(1)=3；=2a*+2x,當a=0時，f(x)=2x在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增，f(x)max=

15、f(4)=803不成立，故aw0；.f(x)=2ax2+2x為二次函數(shù)，其對稱軸方程為：x=-4，-a當a>0時，f(x)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增，f(x)max=f(4)=8<3不成立，故a>0不成立;當a<0時,1°若-囿&1,即aw-囪時，f(x)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞減,f(x)max=f(1)=2a+2&3恒成立,即a0-1時滿足題意;2。若1<-*<4,即-*|<a<-自時，f(x)max=f(-圭)=-身03,解得:和二稱3°若一*X即-那a<0時，f(x)在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增，f(x)max

16、=f(4)=32a+8<3,解得aW-陶？(-j|j,0),故不成立,綜合1。2。3。知，實數(shù)a的取值范圍是：.故答案為：(，力二、選擇題（本大題共有4題，才f分20分.）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13 .若xCR,則'1"是4<1卜勺（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.【解答】解：由x>1,一定能得到得到用<1,但當冏<1時，不能推出x>

17、1（如x=-1時）,故x>1是生1的充分不必要條件，故選：A.14 .關(guān)于直線l,m及平面%B,下列命題中正確的是（）A,若l/%MB=m則l/mB.若l/a,m/a,則l/mC.若l,a,mila,則lmD.若l/%m1l,則m±a【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.【分析】在A中，l與m平行或異面；在B中，l與m相交、平行或異面；在C中，由線面垂直的性質(zhì)定理得l，m；在D中，m與a相交、平行或m?a.【解答】解：由直線l,m及平面&機知：在A中，若l/a,aCB=m則l與m平行或異面，故A錯誤；在B中，若l/a,m/a,則l與m相

18、交、平行或異面，故B錯誤；在C中，若l，a,m/a,則由線面垂直的性質(zhì)定理得l，m,故C正確；在D中，若l/a,m±l,則m與a相交、平行或m?a,故D錯誤.故選：C.15 .在直角坐標平面內(nèi)，點A,B的坐標分別為（-1,0）,（1,0）,則滿足tan/PAB?ta叱PBA=m（m為非零常數(shù)）的點P的軌跡方程是（）【分析】【解答】化簡可得設(shè)P（x,y）,則由題意，（mw0）,化簡可得結(jié)論.x+11一1解：設(shè)P（x,y）,則由題意，r）二（mw0）,2J+J1容KQ），故選C.rt.,.z，一、一r一一、一I一、一f（K），一、一r116 .若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)

19、尸：一在區(qū)間I上是減函數(shù),則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間I上的“H函數(shù)”.對于命題：函數(shù)叵三匹區(qū)是（0,1）上的“H函數(shù)”；函數(shù)二不下是（0,1）上的“曬數(shù)”.下列判斷正確的是（）A.和均為真命題B.為真命題，為假命題C.為假命題，為真命題D.和均為假命題【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.【分析】對函數(shù)再尸碎日，G（x）=一"，五號二在（0,1）上的單調(diào)性進行判斷，得命題是真命題.對函數(shù)式上告,H(x)#1,，一一一在（。，1）上單調(diào)性進行判斷，得命題是假命題.【解答】解：對于命題：令t=RN函數(shù)F，=什2«=-t2+2t,t=I引在（0,1）上是增函數(shù)，函數(shù)y=-t2+2t在（0,1

20、）上是增函數(shù)，在（0,1）上是增函數(shù)；G(x)=T在（0,1）上是減函數(shù),對于命題，函數(shù)函數(shù)FG）=-k+砧是（0,1）上的“H函數(shù):故命題是真命題.h（）是（0,1）上的增函數(shù)，H（x）=J是（0,1）上的增函數(shù)，故命題是假命題;故選：B.三、解答題（本大題共有5題，才f分76分.）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.在三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為6的正三角形，PAa底面ABC且，、一叩PB與底面ABC所成的角為.（1）求三棱錐P-ABC的體積；（2）若M是BC的中點，求異面直線PM與AB所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【考點】棱柱、棱錐、棱臺

21、的體積；異面直線及其所成的角.【分析】（1）在RtAPAB中計算PA,再代入棱錐的體積公式計算；（2）取棱AC的中點N,連接MN,NP,分別求出PMN的三邊長，利用余弦定理計算cos/PMN即可.【解答】解：（1）;PAL平面ABC/PBA為PB與平面ABC所成的角，即/PB加；，PAL平面ABCPAIAB,又AB=6,.晅西，;凈*4年毗咽號高/,2行1夫(2)取棱AC的中點N,連接MN,NP,-.M,N分別是棱BC,AC的中點，.MN/BA,；/PMN為異面直線PM與AB所成的角.PAL平面ABC所以PALAM,PALAN,又1口工二一:ANC=3,BM=i-BC=3,;AM=yA&

22、;2-叼+3Z1，巨=#&24AM三屈I，所以cdsZPMN=P2+MNa-PK23V392MpN26故異面直線PM與AB所成的角為W392618.已知雙曲線C以Fi(-2,0)、F2(2,0)為焦點，且過點P(7,12).(1)求雙曲線C與其漸近線的方程；(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點，且飯1畫(O為坐標原點).求直線l的方程.【考點】直線與雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的標準方程.【分析】(1)設(shè)出雙曲線C方程，利用已知條件求出c,a,解得b,即可求出雙曲線方程與漸近線的方程；(2)設(shè)直線l的方程為y=x+t,將其代入方程二1,通過>0,求出t的范圍，設(shè)A(xi

23、,y1)，B(X2,y2),利用韋達定理，通過X1X2+y1y2=0,求解t即可得到直線方程.22【解答】解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為-91缶>0,b>0),半焦距為c,”b?貝1c=2,二|FFJ-PF/I二J12?一+排I=2，a=1,所以b2=c2-a2=3,I1故雙曲線C的方程為/-2_：.3雙曲線C的漸近線方程為|y=±v5H.2(2)設(shè)直線l的方程為y=x+t,將其代入方程3可得2x2-2tx-t2-3=0(*)=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0,若設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),2則x1,x2是方程(*)的兩個根，所以冥+,廣1,町工廣

24、-t,又由0A_L_5iL可知x1x2+y1y2=0,即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0,可得2盯產(chǎn)Hz)+t故-(t2+3)+t2+t2=0,解得底±71、所以直線l方程為叵主近.19.現(xiàn)有半徑為R、圓心角(/AOB)為90°的扇形材料，要裁剪出一個五邊形工件OECDF如圖所示.其中E,F分別在OA,OB上，C,D在國上，且OE=OFEC=FD/ECDWCDF=90.記/COD=2,五邊形OECDF勺面積為S.(1)試求S關(guān)于8的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值.【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.【分析】(1)設(shè)M是CD中點，連OM,推出/COM=/DOM=/cO!>

25、;9,MD=RsinO,利用CE8DFO,轉(zhuǎn)化求解/DFO,在DFO中，利用正弦定理DFDOsinZDOF"sinZOFO,求解S=Scod+Sodf+Soce=Scod+2SOdf的解析式即可.(2)利用S的解析式，通過三角函數(shù)的最值求解即可.【解答】解：(1)設(shè)M是CD中點，連OM,由OC=OD可知OMLCD,/COM=/DOM=,yZC0D=9,MD=Rsin9,又OE=OFEC=FDOC=OD可彳#CE8DFO,故/EOCNDOF,可知/A0M=/B0疥2/AOEd又DF,CD,OMXCD,所以MO/DF,故/DFO在DFO中，有DFDO，一-=7TTZ-sinZDOFsin

26、ZDFD'可得TTRsin一°)DF二-：二R(cos0-sin9)所以S=&cod+Sodf+SOce=Scod+2SOdFTcos口Rmin白.=R%in28R'in"gKH<寸)(2).一二：匚:一-I-二二一二Z上,c71當2白+0二百時，sin(29+(1)取最大值1.T-2E(。3),所以s的最大值為:警LrL又20 .已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：在定義域內(nèi)存在實數(shù)t,使得f(t+2)=f(t)+f(2).(1)判斷f(x)=3x+2是否屬于集合M,并說明理由；(2)若也工)二1目-十一屬于集合M,求實數(shù)a的取值范

27、圍；(3)若f(x)=2一二1且磺有實解,即(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有實解，(工+2)+2工+2七若a=6時，若aw6時，利用判斷式求解即可.(3)當f(x)=2x+bx2時，方程f(x+2)=f(x)+f(2)?3X2x+4bx-4=0,令g=3x2x+4bx-4,則g(x)在R上的圖象是連續(xù)的，當b>0時，當b<0時，判斷函數(shù)是否有零點，證明對任意實數(shù)b,都有f(x)CM.【解答】解：(1)當f(x)=3x+2時,方程f(t+2)=f(t)+f(2)?3t+8=3t+10此方程無解，所以不存在實數(shù)t,使得f(t+2)=f(t)+f(2),故f(x)=3x+2不屬

28、于集合M.a(2)由f(K)二18一577屬于集合M,可得方程ig，號有實解？a(x+2)2+2=6(x2+2)有實解？(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有實解，若a=6時，上述方程有實解；若aw6時，有=16a2-24(a-6)(a-2)>0,解得P2一口34應(yīng)12+6才丸故所求a的取值范圍是口2-5'在12和萬.(3)當f(x)=2x+bx2時，方程f(x+2)=f(x)+f(2)?2x+2+b(x+2)2=2x+bx2+4+4b+bx2,求證：對任意實數(shù)b,都有f(x)CM.【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.【分析】(1)利用f(x)=3x+2,通過f(t+2)=f(t)+f

29、(2)推出方程無解，說明f(x)=3x+2不屬于集合M.(2)由=屬于集合M,推出K+2?3x2x+4bx-4=0,令g(x)=3X2x+4bx-4,則g(x)在R上的圖象是連續(xù)的，當b>0時，g(0)=-K0,g(1)=2+4b>0,故g(x)在(0,1)內(nèi)至少有一個零點；當b<0時，g(0)=-K0,穌XX故g(x)在吊，。)內(nèi)至少有一個零點；故對任意的實數(shù)b,g(x)在R上都有零點，即方程f(x+2)=f(x)+f(2)總有解，所以對任意實數(shù)b,都有f(x)CM.21 .已知數(shù)歹!Jan,bn#兩足bn=an+ian(n=1,2,3,).(1)若bn=10-n,求a16

30、-a5的值；(2)若h二丁產(chǎn)-戎)|且a1=1,則數(shù)列a2n+1中第幾項最??？請說明理由；(3)若Cn=an+2an+1(n=1,2,3,)，求證：數(shù)列an為等差數(shù)列”的充分必要條件是數(shù)列Cn為等差數(shù)列且bnWbn+1(n=1,2,3,.【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)列遞推式.【分析】(1)判斷bn是等差數(shù)列.然后化簡a16-a5=(a6-a5)+(a5-a14)+(a4-a3)+(a6-a5)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求和即可.(2)利用a2n+3-a2n+1=22n+1-2312n,判斷a2n+3<a2n+1,求出n<7.5,a2n+3>a2n+1求出n>7.5,帶帶數(shù)列a2n+1中a17最小，即第8項最小.法二：化簡bn=l-1)”(2"+2"-刃=(一十2羽(一，求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+b2n=看I一那十(2'""十2劉“)，利用基本不等式求出最小值得到數(shù)列a2n+1中的第8項最小.(3)若數(shù)歹氣an為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,說明數(shù)列Cn為等差數(shù)列.由bn=an+