數(shù)字信號處理IIR—DF設(shè)計方法

1、第第6 6章章 無限長單位脈沖響應(yīng)（無限長單位脈沖響應(yīng)（IIRIIR） 數(shù)字濾波器的設(shè)計方法數(shù)字濾波器的設(shè)計方法 6.1 基本概念基本概念 6.2 IIR濾波器設(shè)計的特點(diǎn)濾波器設(shè)計的特點(diǎn) 6.3 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 6.5 設(shè)計設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法濾波器的頻率變換法6.6 先利用模擬域頻帶變換法，再利用數(shù)字化法設(shè)計數(shù)字各型濾波器先利用模擬域頻帶變換法，再利用數(shù)字化法設(shè)計數(shù)字各型濾波器6.1 基本概念基本概念 一、一、 濾波器的分類濾波器的分類 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理

2、的重要基礎(chǔ)。在對信號的過濾、數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基礎(chǔ)。在對信號的過濾、檢測與參數(shù)的估計等處理中檢測與參數(shù)的估計等處理中, 數(shù)字濾波器是使用最廣泛的線性系數(shù)字濾波器是使用最廣泛的線性系統(tǒng)。統(tǒng)。 數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實(shí)現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。它數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實(shí)現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。它將輸入的數(shù)字序列通過特定運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。因此，將輸入的數(shù)字序列通過特定運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列。因此， 數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一臺完成特定運(yùn)算的數(shù)字計算機(jī)。數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一臺完成特定運(yùn)算的數(shù)字計算機(jī)。 由第1章已經(jīng)知道，一個輸入序列x(n)，通過一個單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時不變系統(tǒng)

3、后，其輸出響應(yīng)y(n)為 nmnxmhnhnxny)()()()()(將上式兩邊經(jīng)過傅里葉變換，可得 )()()(jjjeHeXeY式中，Y(ej)、X(ej)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜函數(shù)， H(ej)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。 b=1;a=1,-0.9; %y(n)-0.9y(n-1)=x(n)， 即即H(Z)=1/(1-0.9z)x=ones(1,10),zeros(1,40);y=filter (b, a, x);N=64;X=fft(x,N);Y=fft(y,N); 可以看出，輸入序列的頻譜可以看出，輸入序列的頻譜X(ej )經(jīng)過濾波后，變?yōu)榻?jīng)過濾波后，變?yōu)閄(ej)H(ej)。如果

4、。如果|H(ej)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按信號中的這些頻率分量在輸出信號中將被抑制掉。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點(diǎn)和處理信號的目的，適當(dāng)選擇照輸入信號頻譜的特點(diǎn)和處理信號的目的，適當(dāng)選擇H(ej)，使，使得濾波后的得濾波后的X(ej)H(ej)符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾符合人們的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。和模擬濾波器一樣，線性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通波原理。和模擬濾波器一樣，線性數(shù)字濾波器按照頻率響應(yīng)的通帶特性可劃分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想帶特性可劃

5、分為低通、高通、帶通和帶阻幾種形式。它們的理想模式如圖模式如圖6-1所示。（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)所示。（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)是以是以2為周期的。為周期的。) 圖 6-1 數(shù)字濾波器的理想幅頻特性 )(ejHo22)(ejHo22)(ejHo22)(ejHo22(a)(b)(c)(d )低通高通帶通帶阻 滿足奈奎斯特采樣定理時，信號的頻率特性只能限帶于滿足奈奎斯特采樣定理時，信號的頻率特性只能限帶于|的范圍。由圖的范圍。由圖6-1可知，理想低通濾波器選擇出輸入信號中可知，理想低通濾波器選擇出輸入信號中的低頻分量，而把輸入信號頻率在的低頻分量，而把輸入信號頻率在c范圍內(nèi)所有分量全部范圍內(nèi)所有分量全部

6、濾掉。相反地，理想高通濾波器使輸入信號中頻率在濾掉。相反地，理想高通濾波器使輸入信號中頻率在c范范圍內(nèi)的所有分量不失真地通過，而濾掉低于圍內(nèi)的所有分量不失真地通過，而濾掉低于c的低頻分量。帶的低頻分量。帶通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量。通濾波器只保留介于低頻和高頻之間的頻率分量。 二、二、 濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的技術(shù)指標(biāo) 理想濾波器是不能實(shí)現(xiàn)的，理想濾波器是不能實(shí)現(xiàn)的， 但在概念上極為重要。但在概念上極為重要。 一般來說，濾波器的性能要求往往以一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征允許誤差來表征。以低通濾波器為例，如圖。以低通濾波器

7、為例，如圖6-2（稱誤差容限圖）（稱誤差容限圖）所示，所示， 頻率響應(yīng)有通帶、頻率響應(yīng)有通帶、 過渡帶及阻帶三個范圍（而不是理想過渡帶及阻帶三個范圍（而不是理想的陡截止的通帶、阻帶兩個范圍）。圖中的陡截止的通帶、阻帶兩個范圍）。圖中1為通帶的容限，為通帶的容限，2為為阻帶的容限。阻帶的容限。 圖圖 6-2 低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性的誤差容限圖低通濾波器頻率響應(yīng)幅度特性的誤差容限圖 1在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差1逼近于逼近于1，即，即 11|()| 1jH e在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于2而逼近于零，即而逼近于零，即 2| )(|jeHst|c

8、 式中，式中，c, st分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，它們都是分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，它們都是數(shù)字域頻率。幅度響應(yīng)在過渡帶（數(shù)字域頻率。幅度響應(yīng)在過渡帶（st-c）中從通帶平滑地下）中從通帶平滑地下降到阻帶，過渡帶的頻率響應(yīng)不作規(guī)定。降到阻帶，過渡帶的頻率響應(yīng)不作規(guī)定。 雖然給出了通帶的容限雖然給出了通帶的容限1及阻帶的容限及阻帶的容限2，但是，在具體技，但是，在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用術(shù)指標(biāo)中往往使用通帶允許的最大衰減通帶允許的最大衰減（波紋）（波紋）Ac和和阻帶應(yīng)達(dá)阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減到的最小衰減As描述，描述，Ac及及As的定義分別為：的定義分別為： 0102|()|20lg

9、20lg|()|20lg(1)|()|()|20lg20lg|()|20lg|()|ccststjjcjjjsjH eAH eH eH eAH eH e （6-3a） （6-3b） 式中，假定式中，假定|H(ej0)|=1(已被歸一化已被歸一化)。例如。例如|H(ej)|在在c處滿足處滿足|H(ejc)|=0.707，則，則Ac=3 dB；在；在st處滿足處滿足|H(ejst)|=0.001，則，則As=60 dB（參考圖（參考圖6-2）。）。(注：注：lg是是log10的規(guī)范符號表示。的規(guī)范符號表示。) 三、三、 FIR型濾波器和型濾波器和IIR型濾波器型濾波器 數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng)數(shù)字

10、濾波器按單位脈沖響應(yīng)h(n)的時域特性可分為無限長脈的時域特性可分為無限長脈沖響應(yīng)沖響應(yīng)IIR（Infinite Impulse Response）濾波器和有限長脈沖響）濾波器和有限長脈沖響應(yīng)應(yīng)FIR（Finite Impulse Response）濾波器。）濾波器。 IIR濾波器一般采用遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。其濾波器一般采用遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。其N階遞歸型數(shù)字濾階遞歸型數(shù)字濾波器的差分方程為波器的差分方程為 MkNkkkknyaknxbny01)()()(（6-4） 式（6-4）中的系數(shù)ak至少有一項(xiàng)不為零。 ak0 說明必須將延時的輸出序列反饋回來，也即遞歸系統(tǒng)必須有反饋環(huán)路。相應(yīng)的IIR濾波器

11、的系統(tǒng)函數(shù)為 NkkkMkkkzazbzH101)(（6-5） IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)在在Z平面上不僅有零點(diǎn)，而且有極點(diǎn)。平面上不僅有零點(diǎn)，而且有極點(diǎn)。 FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長的，即0nN-1， 該系統(tǒng)一般采用非遞歸型的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，但如果系統(tǒng)函數(shù)中出現(xiàn)零、 極點(diǎn)相消時, 也可以有遞歸型的結(jié)構(gòu)(如頻率采樣結(jié)構(gòu))。FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 10)()(NnnznhzH（6-6） 由式（6-6）可知，H(z)的極點(diǎn)只能在Z平面的原點(diǎn)。 四、四、 濾波器的設(shè)計步驟濾波器的設(shè)計步驟 按照實(shí)際任務(wù)要求，按照實(shí)際任務(wù)要求， 確定濾波器的性能指標(biāo)。確定濾波器的性能指標(biāo)

12、。 用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)去逼近這一性能要求。去逼近這一性能要求。根據(jù)不同要求可以用根據(jù)不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可系統(tǒng)函數(shù)，也可以用以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近。系統(tǒng)函數(shù)去逼近。 實(shí)現(xiàn)所設(shè)計的實(shí)現(xiàn)所設(shè)計的H(z)。包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)（如第包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)（如第5章中的各章中的各種基本結(jié)構(gòu)），選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、種基本結(jié)構(gòu)），選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。截尾）等。 6.

13、2 IIR濾波器設(shè)計的特點(diǎn)濾波器設(shè)計的特點(diǎn) IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)又可以用極、零點(diǎn)表示如下：濾波器的系統(tǒng)函數(shù)又可以用極、零點(diǎn)表示如下： NkkMkkNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)( 一般滿足一般滿足MN，這類系統(tǒng)稱為，這類系統(tǒng)稱為N階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計就是確定各系數(shù)ak, bk或零極點(diǎn)或零極點(diǎn)ck，dk和和A，以使濾波器滿足給定的性能要求。通常有以下兩種，以使濾波器滿足給定的性能要求。通常有以下兩種方法：方法： 1）利用模擬濾波器的理論來設(shè)計數(shù)字濾波器）利用模擬濾波器的理論來設(shè)計數(shù)字濾波器 首

14、先，設(shè)計一個合適的模擬濾波器；然后，變換成滿足預(yù)首先，設(shè)計一個合適的模擬濾波器；然后，變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因?yàn)槟M濾波器已經(jīng)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因?yàn)槟M濾波器已經(jīng)具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式，并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式，并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化了，設(shè)計起來既方便又準(zhǔn)確。了，設(shè)計起來既方便又準(zhǔn)確。 2） 最優(yōu)化設(shè)計法最優(yōu)化設(shè)計法 最優(yōu)化設(shè)計法一般分兩步來進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計法一般分兩步來進(jìn)行: 第一步要選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)則。例如，選擇最小均方誤差準(zhǔn)第一步要選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)則。例如，選擇最小均方誤差準(zhǔn)則。它是指在一組離散的頻率則。它是指在一

15、組離散的頻率i(i=1, 2, , M)上，所設(shè)計出上，所設(shè)計出的實(shí)際頻率響應(yīng)幅度的實(shí)際頻率響應(yīng)幅度|H(ej)|與所要求的理想頻率響應(yīng)幅度與所要求的理想頻率響應(yīng)幅度|Hd(ej)|的均方誤差的均方誤差最小。最小。 MijdjiieHeH12|)(| )(|此外還可以有其他許多種誤差最小的準(zhǔn)則，如最大誤差最小準(zhǔn)則等。此外還可以有其他許多種誤差最小的準(zhǔn)則，如最大誤差最小準(zhǔn)則等。 第二步，求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)第二步，求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)ak, bk。一般是通過不斷改變?yōu)V波器系數(shù)一般是通過不斷改變?yōu)V波器系數(shù)ak、bk，分別計算，分別計算; 最后，找最后，找到使到使為最

16、小時的一組系數(shù)為最小時的一組系數(shù)ak, bk，從而完成設(shè)計。這種設(shè)計需，從而完成設(shè)計。這種設(shè)計需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故離不開計算機(jī)。所以最優(yōu)化方法又要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故離不開計算機(jī)。所以最優(yōu)化方法又稱為計算機(jī)輔助設(shè)計法。稱為計算機(jī)輔助設(shè)計法。 本章著重討論第一種方法。利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾本章著重討論第一種方法。利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，就是波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計數(shù)字濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結(jié)底是一個因此，它歸根結(jié)底是一個由由S平面映射到平面映射到Z平平面的變換面的變換，這個變換通常是復(fù)

17、變函數(shù)的映射變換，這個映射變，這個變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求：換必須滿足以下兩條基本要求： （1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，也即的頻率響應(yīng)，也即S平面虛平面虛軸軸j必須映射到必須映射到Z平面的單位圓平面的單位圓z=ej上。上。 （2） 因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)，也即，也即S平面平面的左半平面的左半平面Res0必須映射到必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部平面單位圓的內(nèi)部|z|1。 下面分別討論由模擬濾波器設(shè)計下面分別討論由模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的兩種常用數(shù)字濾波

18、器的兩種常用的變換方法：沖擊響應(yīng)不變法和雙線性變換法。的變換方法：沖擊響應(yīng)不變法和雙線性變換法。FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器的設(shè)計方法與的設(shè)計方法與IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法明顯不同，這將在下一章數(shù)字濾波器設(shè)計方法明顯不同，這將在下一章中介紹。中介紹。 6.3 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器一、一、 變換原理變換原理 利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。 沖激響應(yīng)不變法是從濾波器的沖激響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣

19、，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足 h(n)=ha(nT) 式中, T是采樣周期。 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用第1章采樣序列的Z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關(guān)系，得 112( )()sTasaz ekkH zHsjkHsjkTTT則可看出，沖激響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個從s到z的變換z=esT正是第1章中從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。 圖6-3 沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 j3/ T/ T3/ T/ Too11jImzRezZ平面S平面二、二、 混疊失真混疊失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器

20、的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為 TkjHTeHkaj21)(這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如第1章采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即 0)(jHa2|sT 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即 TjHTeHaj1)(|但是，任何一個實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的， 變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖6-4所示。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處

21、衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。失真就越小。這時，采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。 圖6-4 沖激響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 32)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2 對某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs增加，即令采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。 三、三、 模擬濾波器的數(shù)字化方法模擬濾波器的數(shù)字化方法 由于沖激響應(yīng)不變法要由模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應(yīng)ha(

22、t)，然后采樣后得到h(n)=ha(nT)，再取Z變換得H(z)，過程較復(fù)雜。下面我們討論如何由沖激響應(yīng)不變法如何由沖激響應(yīng)不變法的變換原理將的變換原理將Ha(s)直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)。 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因?yàn)橹挥羞@樣才相當(dāng)于一個因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)），因此可將 NkkkassAsH1)(其相應(yīng)的沖激響應(yīng)ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即 NktskaatueAsHLthk11)()()(式中, u(t)是單位階躍函數(shù)。 在沖激響應(yīng)不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)等于對ha(

23、t)的采樣，即 NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()(11011011( )( )()()1kkkNNs Ts TnnnkknnkknNks TkH zh n zA ezAezAez 對h(n)求Z變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 將Ha(s)和H(z)加以比較，可以看出： （1）S平面的每一個單極點(diǎn)s=sk變換到Z平面上z=eskT處的單極點(diǎn)。 （2） Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)是相同的，都是Ak。 NkkkassAsH1)( （3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)sk位于S平面的左半平面，即Resk0， 則變換后的數(shù)字濾波器的全部極點(diǎn)

24、在單位圓內(nèi)，即|eskT|=eReskT1， 因此數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的。 （4）雖然沖激響應(yīng)不變法能保證S平面極點(diǎn)與Z平面極點(diǎn)有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但是并不等于整個S平面與Z平面有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)位置就與模擬濾波器零點(diǎn)位置沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，而是隨Ha(s)的極點(diǎn)sk以及系數(shù)Ak兩者而變化。 數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)幅度還與采樣間隔T成反比： TjHTeHaj1)(| 如果采樣頻率很高，即T很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單的修正，令 h(n)=Tha(nT) 則有: NkTskzeTAzHk111)(

25、TjHkTjTjHeHakaj2)(11( )1kNks TkAH zezTjHTeHaj1)(例例6-1 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 3111342)(2sssssHa試?yán)脹_激響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解解 ： 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(設(shè)T=1，則有 21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH 模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(j)以及數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)分別為: 2201831. 04177. 013181. 0)(432)(jjjjaeee

26、eHjjH）（把|Ha(j)|和|H(ej)|畫在圖上。由該圖可看出，由于Ha(j)不是充分限帶的，所以H(ej)產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻譜混疊失真。 圖6-5 例題中的幅頻特性 / T2/ T2)j (aH)(ejHoo四、 優(yōu)缺點(diǎn) 從以上討論可以看出，沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率和數(shù)字頻率之間呈線性關(guān)系=T。 因而，一個線性相位的模擬濾波器通過沖激響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。 沖激響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以， 沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬

27、濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。如果要對高通和帶阻濾波器采用沖激響應(yīng)不變法， 就必須先對高通高通和帶阻濾波器和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。 6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 一、一、 變換原理變換原理 沖激響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/

28、T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖6-6所示。 圖圖6-6 雙線性變換的映射關(guān)系雙線性變換的映射關(guān)系 o 11Z平 面jImzRez/ Tj11/ TS1平 面S平 面joo第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數(shù)字化Tsez1)2tan(1T111111111111111222222222,tan2,00tan211jTjTsTsTsTjTjTsTsTsT

29、TTTTTTsjjeeeeeeeeee 寬度為，從采用如下變換關(guān)系：這樣滿足：，又11111111111,11111tan()2211,1s Ts Ts Ts TzeszszzsszzsTsTecsc thcezcszesczzcs 此時，則可得到 平面平面的單值映射關(guān)系：或?qū)嶋H中，為了使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字化濾波器的任一頻率有對應(yīng)的關(guān)系，要引入常數(shù)c） 代入可得：這時這時S 平面與平面與Z平面之間為單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。平面之間為單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。1111111tan()22tan()222TTTTcccT 當(dāng)較小時有由于11)tan()tan(

30、)22()2ccccccccbDFTAFTcccctgAFDF （利用的某一特定頻率（例截止頻率與的某一特定頻率嚴(yán)格相對應(yīng)。即：看出：此方法優(yōu)點(diǎn)：是在特定和特定處，頻率響應(yīng)是嚴(yán)格相等的，它可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率的位置。三、三、 逼近的情況逼近的情況 雙線性變換符合上節(jié)中提出的映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。 （1）首先, 把z=ej代入式 ，可得 1tan12jjescjcje 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。 1111zscz（2） 其次，將s=+j代入式 ，得 cjzcj 因此 2222|czccszcs 由此看出，當(dāng)0時， |z|0時，|z|1。也就是說， S平面的左半平面映射到Z平面的

31、單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。 因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 四、四、 優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn) 雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個j軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周， 即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系下式所示，重寫如下： tan2c 上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖6-7所示。 圖6-7 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 o2tan2T 由圖6-7看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近

32、于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時，增長得越來越慢，最后當(dāng)時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象， 從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 但是雙線性變換的這個特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常

33、數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖 6-8 所示。 圖 6-8 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j(argaH 對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變， 這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 圖 6-9 雙線性變換時頻率的預(yù)畸變 )j(aH)(ejHooo43211234 （1

34、） 如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的數(shù)字域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻帶截止頻率）1、2、3、4及采樣頻率(1/T)，則直接利用式 tan2c 計算出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4，經(jīng)雙線性變換后就映射到數(shù)字濾波器H(z)的原轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4。 如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻帶截止頻率）f1、f2、f3、f4和采樣頻率(1/T)，則需要進(jìn)行頻率預(yù)畸變。 首先，利用下式計算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）、2、3 和4。 再利用式 tan2c 2fT對頻率預(yù)畸變，得到預(yù)畸變后的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、

35、 3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率、2、3和4, 經(jīng)雙線性變換后映射到數(shù)字濾波器H(z)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、 3、4，并且能保證數(shù)字域頻率1、2、3、4與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率f1、f、f、f4成線性關(guān)系。（2） 按1、2、3和4等指標(biāo)設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。 （3）將 代入Ha(s)，得H(z)為 1111zscz1111111( )( )|1aazs czzH zHsHcz其頻率響應(yīng)為 tan2()()|tan2jaacH eHjHjc上述這些步驟比用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計濾波器要簡便得多。 需要特別強(qiáng)調(diào)的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應(yīng)用變換得到的數(shù)字濾波器

36、H(z)也是低通濾波器； 若Ha(s)為高通濾波器，應(yīng)用 變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是高通濾波器; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，當(dāng)強(qiáng)調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時，采用沖激響應(yīng)不變法較好; 而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。 1111zscz1111zscz五、模擬濾波器的數(shù)字化方法五、模擬濾波器的數(shù)字化方法 雙線性變換法比起沖激響應(yīng)不變法來，在設(shè)計和運(yùn)算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，所以可以直接將式 代入到模擬系統(tǒng)傳遞函數(shù)， 得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)， 即 1111111( )( )1zas czzH zHsH c

37、z頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到 tan2()()tan2jacH eHjHjc1111zscz 若階數(shù)較高，這時將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡單的工作。為簡化設(shè)計，一方面， 可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相加）或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、 二階的），然后再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。也就是說，分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數(shù)上進(jìn)行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。另一方面，可用表格的方法來完成雙線性變換

38、設(shè)計可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計，即預(yù)先求出雙線性變換法中離散系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)與模擬系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系式，并列成表格，便可利用表格進(jìn)行設(shè)計了。 1111zzCS 例例 6-2 設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。 )/(11)(cassH 解解 數(shù)字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應(yīng)的巴特沃思模擬濾波器的 3 dB截止頻率是c，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )828. 0/(11)/(11)(sTssHca將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有 11111124159.

39、0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。 ,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs 例例6-3 用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為T=250 s），其3dB截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解: 首先，確定數(shù)字域截止頻率c=2fcT=0.5。 第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式，確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率 TTTc

40、c225 . 0tan22tan2第三步，將c代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzHzzTsa 應(yīng)該注意，這里所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數(shù)字濾波器所要模仿的截止頻率fc=1 kHz的實(shí)際濾波器，它只是一個“樣本”函數(shù)，是由低通模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換中的一個中間變換階段。 圖6-10給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率

41、的非線性變換， 使截止區(qū)的衰減越來越快。圖圖 6-10 用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響 1.00.500.5)(ejH01.02.0f / kHz設(shè)模擬系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式為 2001220120( )NkNkkNaNNkNkkA sAAsA sA sHsBB sB sB sB s1111( )( )|azs CzH zHs得 NNNNNkkkNkkkzbzbzbzazazaazbzazH221122110001)(表表 6-1 雙線性變換法中雙線性變換法中a(s)的系數(shù)與的系數(shù)與H(z)的系數(shù)之間的關(guān)系的系數(shù)之間的

42、關(guān)系 6.5 設(shè)計設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法濾波器的頻率變換法 圖 6-11模擬頻率變換兩種等效的設(shè)計方法(a) 先模擬頻率變換， 再數(shù)字化; (b) 將(a)的兩步合成一步設(shè)計 模 擬 原 型模 擬 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻數(shù) 字 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻模 擬 域頻 率 變 換數(shù) 字 化(a)模 擬 原 型數(shù) 字 低 通 、 高 通帶 通 、 帶 阻頻 率 變 換(b) 對于第一種方案，重點(diǎn)是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為截止頻率不同的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，這里我們不作詳細(xì)推導(dǎo)，僅在表6-2列出一些模擬到模擬的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系。一般直接用

43、歸一化原型轉(zhuǎn)換，取c=1, 可使設(shè)計過程簡化。 然后再通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法數(shù)字化為所需類型的數(shù)字濾波器。表表6-2 截止頻率為截止頻率為c的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性模擬濾波器的轉(zhuǎn)換公式的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性模擬濾波器的轉(zhuǎn)換公式 第二種方法實(shí)際上是把第一種方法中的兩步合成一步來實(shí)現(xiàn)，即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式濾波器的公式與用雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式用雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式合并，就可直接從模擬低通原型直接從模擬低通原型通過一定的頻率變換關(guān)系， 一步完成一步完成各種類型

44、數(shù)字濾波器的設(shè)計各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計，因而簡捷便利，得到普遍采用。 此外，對于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應(yīng)不變法不能直接對于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應(yīng)不變法不能直接采用采用，或者只能在加了保護(hù)濾波器以后使用，因此，沖激響應(yīng)不變法使用直接頻率變換要有許多特殊考慮，我們在下面只考在下面只考慮雙線性變換，實(shí)際使用中多數(shù)情況也正是這樣慮雙線性變換，實(shí)際使用中多數(shù)情況也正是這樣。 圖圖 6-12 模擬歸一化模擬歸一化低通原型低通原型模擬低通、高通、模擬低通、高通、帶通、帶阻帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻帶通、帶阻頻帶變換數(shù)字化先模擬頻率變換，再數(shù)字化雙線性變換法或沖激不變

45、法一、一、 模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器 首先，把數(shù)字濾波器的性能要求轉(zhuǎn)換為與之相應(yīng)的作為“樣本”的模擬濾波器的性能要求，根據(jù)此性能要求設(shè)計模擬濾波器， 這可以用查表的辦法， 也可以用解析的方法。然后，通過雙線性變換法，將此“樣本”模擬低通濾波器數(shù)字化為所需的數(shù)字濾波器H(z)。二、二、 模擬低通濾波器變換成數(shù)字高通濾波器模擬低通濾波器變換成數(shù)字高通濾波器 sscc式中，c為模擬低通濾波器的截止頻率，c為實(shí)際高通濾波器的截止頻率。 2、模擬高通到數(shù)字高通的變換、模擬高通到數(shù)字高通的變換根據(jù)雙線性變換原理，模擬高通與數(shù)字高通之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為

46、1111zscz1、由模擬低通原型到模擬高通的變換、由模擬低通原型到模擬高通的變換由表6-2可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為 把上兩個變換式結(jié)合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字高通濾波器的表達(dá)式，也就是直接聯(lián)系s與z之間的變換公式 1111111111111cccczzsCzczzcz 式中， 。由此得到數(shù)字高通系統(tǒng)函數(shù)為 1/ccCc 11111( )( )|azs CzH zHs式中，Ha(s)為模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。 可以看出，數(shù)字高通濾波器和模擬低通濾波器的極點(diǎn)數(shù)目（或階次）是相同的。 根據(jù)雙線性變換，模擬高通頻率與數(shù)字高通頻率之間的關(guān)系仍為 tan2c tan2c

47、cc 則 1/ ,ccCc 1tan2ccC 又因：則：圖6-13 從模擬低通變換到數(shù)字高通時頻率間關(guān)系的曲線 應(yīng)當(dāng)明確一點(diǎn)，所謂高通數(shù)字濾波器，并不是高到都通過， 由于數(shù)字域存在折疊頻率=，對于實(shí)數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器， 由到2的部分只是由到0的鏡像部分。因此，有效數(shù)字域僅只是從=0 到=，高通也僅指這一端的高端，即到=為止的部分。 o1cot2C 圖 6-14 模擬低通變換到數(shù)字高通 ooo)j(aH)(ejH2112 例例 設(shè)計一個巴特沃思高通數(shù)字濾波器，其通帶截止頻率（-3dB點(diǎn)處）為fc=3kHz，阻帶上限截止頻率fst=2kHz，通帶衰減不大于3 dB， 阻帶衰減不小于 14dB，采樣

48、頻率fs=10kHz。 解解 （1） 求對應(yīng)的各數(shù)字域頻率:4 . 010101032226 . 010101032223333sstststscccffTfffTf （2）求常數(shù)C。采用歸一化（c=1）原型低通濾波器作為變換的低通原型，則低通到高通的變換中所需的C為92381376. 126 . 0tan12tanccC （3）求低通原型st。設(shè)st為滿足數(shù)字高通濾波器的歸一化原型模擬低通濾波器的阻帶上限截止頻率，可按=Ccot(/2)的預(yù)畸變換關(guān)系來求，得 2427894. 19381376. 192381376. 12cotststC （4）求階次N。按阻帶衰減求原型歸一化模擬低通濾波器

49、的階次N，由巴特沃思低通濾波器頻率響應(yīng)的公式|Ha(jst)|取對數(shù)， 即 141lg10)(lg202NcststajH式中c=1。解得 4931490. 28955554. 09356382. 1)2427894. 1lg(2) 110lg(4 . 1N取N=3。 （5） 求歸一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。取N=3，查表(課本P266，表64)可得Ha(s)為 1221)(23ssssHa32323223231232332123312111212313313121112123133111122122122322312332231)331 (1221)1 ()1)(1 (2)1 ()1 (2)1 ()1 ()1 ()1)(1 (2)1 ()1 (2)1 ()1 ()()(11zCCCCCCzCCCCCCzCCCCCCzzzCCCzzzCzzCzCzzzzCzzCz