22橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(第1、2課時(shí))

1、2.2 2.2 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程程肖 陳 軍 用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時(shí)，可得到兩條相交直線； 當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時(shí)，截線（平面與圓錐面的交線）是一個(gè)圓 當(dāng)改變截面與圓錐面的軸的相對位置時(shí)，觀察截線的變化情況，并思考： 用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？橢圓橢圓雙曲線雙曲線拋物線拋物線探究 ：橢圓有什么幾何特征？活動1：動手試一試數(shù)學(xué)史：MQF2PO1O2VF1古希臘數(shù)學(xué)家Dandelin在圓錐截面的兩側(cè)分別放置一球，使它們都與截面相切（切點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2），又分別與圓錐面的側(cè)面相切（兩球與側(cè)面的公共點(diǎn)分別構(gòu)成圓O1和圓O2）

2、過M點(diǎn)作圓錐面的一條母線分別交圓O1，圓O2與P，Q兩點(diǎn)，因?yàn)檫^球外一點(diǎn)作球的切線長相等，所以MF1 = MP，MF2 = MQ， MF1 + MF2 MP + MQ PQ定值定值 1、橢圓的定義、橢圓的定義：1F2FM 平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩兩個(gè)定點(diǎn)個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之的距離之和和等于等于常數(shù)常數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。cFF221為橢圓時(shí),022 ca2a2aMFMFMFMF2 21 1橢圓形成演示橢圓形成演示橢圓定義橢圓定義.gsp思考

3、：是否平面內(nèi)到兩定點(diǎn)之間的距離和為定長的點(diǎn)的軌跡就是橢圓？ 結(jié)論：（若 PF1PF2為定長） ）當(dāng)動點(diǎn)到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1PF2 F1F2時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是橢圓。 ）當(dāng)動點(diǎn)到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1PF2 F1F2時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一條線段F1F2 。 ）當(dāng)動點(diǎn)到定點(diǎn)F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1PF20)，M與與F1、F2的距離的和為的距離的和為2a12121 21 2如如圖圖，以以經(jīng)經(jīng)過過橢橢圓圓兩兩焦焦點(diǎn)點(diǎn)F ,FF ,F的的直直線線為為x x軸軸，線線段段FFFF的的垂垂直直平平分分線線為為y y軸軸，建建立立直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系xOy.x

4、Oy.12121212設(shè)設(shè)M(x,y)M(x,y)是是橢橢圓圓上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，橢橢圓圓的的焦焦距距為為2c(c0),2c(c0),那那么么焦焦點(diǎn)點(diǎn)F ,FF ,F 的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為(-c,0),(c,0).(-c,0),(c,0).又又設(shè)設(shè)MM與與F ,FF ,F 的的距距離離的的和和等等于于2a.2a.1212由由橢橢圓圓的的定定義義，橢橢圓圓就就是是集集合合P = M MF + MF = 2a .P = M MF + MF = 2a .22222222121222222222因因?yàn)闉?MF =(x+c) +y , MF =(x-c) +y ,MF =(x+c) +y , MF

5、 =(x-c) +y ,所所以以(x+c) +y + (x-c) +y =2a.(x+c) +y + (x-c) +y =2a.1F2FxyO),( yxM22222222222222將將這這個(gè)個(gè)方方程程兩兩邊邊平平方方，得得（x+c) +y =4a -4ax+c) +y =4a -4a（x-c) +y +x-c) +y + （x+c) +y ,x+c) +y ,22222222為為化化簡簡這這個(gè)個(gè)方方程程，將將左左邊邊的的一一個(gè)個(gè)根根式式移移到到右右邊邊，得得（x+c) +y =2a-x+c) +y =2a-（x-c) +y ,x-c) +y ,4 42 22 22 22 22 22 22

6、22 22 22 2上上邊邊兩兩式式再再平平方方，得得a a - -2 2a a c cx x+ +c c x x = =a a x x - -2 2a a c cx x+ +a a c c + +a a y y , ,2 22 22 2整整 理理 得得 a a- - c cx x = = a a( (x x - - c c) ) + + y y , ,2 22 22 22 22 22 22 22 2整整理理得得 ( (a a - -c c ) )x x + + a a y y = = a a ( (a a - -c c ) ), ,令22222222222222222222xyxy+=1.+

7、=1.aa -caa -c由由橢橢圓圓的的定定義義可可知知，2a 2c,2a 2c,即即a c,a c,所所以以a -c 0.a -c 0. b = a -c b = a -c0 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2叫做叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x 軸上。軸上。 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y 軸上，可得出橢圓軸上，可得出橢圓0 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。1 12 2yoFFMx2 22 22 2c cb ba a0 0c ca a0, 0,b ba a0 12222

8、babyax1 12 2yoFFMxy xoF2F1M0 12222babxay定定 義義圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c之間之間的關(guān)系的關(guān)系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法： 一定定焦點(diǎn)位置；二設(shè)設(shè)橢圓方程；三求求a、b的值.例例1橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4，0）（4，0），橢圓上一點(diǎn)），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于到兩焦點(diǎn)距離之和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 1 12 2yoFFMx.解：解： 橢圓的

9、焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ) 0( 12222babyax192522yx求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）首先要）首先要判斷判斷類型，類型，（2）用）用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求ba,橢圓的定義橢圓的定義a2=b2+c2例例2 2. .已已知知橢橢圓圓的的兩兩個(gè)個(gè)焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且經(jīng)經(jīng)過過點(diǎn)點(diǎn)（， - -），求求它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程. .2 22 22 22 22

10、 22 2解解 : :因因?yàn)闉闄E橢圓圓的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上，所所以以設(shè)設(shè)它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程為為x xy y+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 22 2由由橢橢圓圓的的定定義義知知5 53 35 53 32 2a a = =+ + 2 2+ + - -+ +- -2 2+ + - -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因?yàn)闉閏 c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = = 6 6. .2

11、2222222因因此此，所所求求橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程為為xyxy+=1.+=1.1061061 111 11變變式式引引申申：求求焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上，且且經(jīng)經(jīng)過過點(diǎn)點(diǎn)A(,)A(,)、B(0,-)B(0,-)的的3 323 32橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程. . 2 22 22 22 22 22 2y yx x解解 ： 設(shè)設(shè) 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 方方 程程 為為+ += = 1 1 , ,a ab b1 11 11 1將將 A A ( (, ,) ), , B B ( (0 0 , , - -) )代代 入入 得得 ：3 33 32 22 22 21 11 13 33

12、 3+ += = 1 12 22 2a ab b, ,2 21 1- -2 2= = 1 12 2a a1 12 2a a= =, ,4 4解解 得得 ：1 12 2b b= =. .5 5y yx x故故 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 標(biāo)標(biāo) 準(zhǔn)準(zhǔn) 方方 程程 為為+ += = 1 1 . .1 11 14 45 5？思考一個(gè)問題思考一個(gè)問題:把把“焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上軸上”這句話去掉，怎么辦？這句話去掉，怎么辦？ 定義法：如果所給幾何條件正好符合某一特定的曲線（圓，橢圓等）的定義，則可直接利用定義寫出動點(diǎn)的軌跡方程. 待定系數(shù)法：所求曲線方程的類型已知，則可以設(shè)出所求曲線的方程，然后根據(jù)條件求

13、出系數(shù).用待定系數(shù)法求橢圓方程時(shí)，要“先定型，再定量”. 求曲線方程的方法：2222xyxy例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnm,nm,n滿滿足足什什么么條條件件，并并指指出出焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo). .2222xyxy解解：若若+=1+=1表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnmn0,mn0,且且c =m-n,c =m-n,所所以以，焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為( m-n,0),(- m-n,0).( m-n,0),(- m-n,0).2 22 2變變式式引引申申: :若若焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上；如如果果不不指指明明在在哪

14、哪個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上；若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示橢橢圓圓，mm, ,n n應(yīng)應(yīng)滿滿足足什什么么條條件件. .2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示橢橢圓圓, ,則則m0,n0m0,n0且且mmn,n,當(dāng)當(dāng)mn0mn0，表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓；當(dāng)當(dāng)nm0nm0，表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓. .2222xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnnm0,nm0,且且c =n-m,c =n-m,所所以以，焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(0, n-m

15、),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m).2222xyxy(2)(2)若若+=1+=1表表示示橢橢圓圓, ,則則m0,n0m0,n0且且mmn.n.mnmn2222分分析析：點(diǎn)點(diǎn)P P在在圓圓x +y =4x +y =4上上運(yùn)運(yùn)動動, ,點(diǎn)點(diǎn)P P的的運(yùn)運(yùn)動動引引起起點(diǎn)點(diǎn)MM的的運(yùn)運(yùn)動動. .我我們們可可以以由由MM為為線線段段PDPD的的中中點(diǎn)點(diǎn)得得到到點(diǎn)點(diǎn)MM與與點(diǎn)點(diǎn)P P坐坐標(biāo)標(biāo)之之間間的的關(guān)關(guān)系系式式, ,并并由由點(diǎn)點(diǎn)P P的的坐坐標(biāo)標(biāo)滿滿足足圓圓的的方方程程得得到到點(diǎn)點(diǎn)MM的的坐坐標(biāo)標(biāo)所所滿滿足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圓圓x x + +

16、y y = =4 4上上任任取取一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)P P，過過點(diǎn)點(diǎn)P P作作x x軸軸的的垂垂線線P PD D，D D為為垂垂足足. .當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)P P在在圓圓上上運(yùn)運(yùn)動動時(shí)時(shí)，線線段段P PD D的的中中點(diǎn)點(diǎn)M M的的軌軌跡跡是是什什么么? ?為為什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22 2解解 : : 設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為( (x x, ,y y) ), ,點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為( (x x , ,y y ) ), ,則則y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)( (x x , ,y

17、y ) )在在圓圓x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡是是一一個(gè)個(gè)橢橢圓圓. . 代入法：或中間變量法，利用所求曲線上的動點(diǎn)與某一已知曲線上的動點(diǎn)的關(guān)系，把所求動點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知動點(diǎn)滿足的曲線的方程，由此即可求得動點(diǎn)坐標(biāo)x,y之間的坐標(biāo)。 求曲線方程的方法：.2222變變式式引引申申：已已知知圓圓x +y = 9,x +y = 9,從

18、從這這個(gè)個(gè)圓圓上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)P P向向x x軸軸作作垂垂線線PPPP ，點(diǎn)點(diǎn)M M在在PPPP 上上, ,并并且且PM = 2MP ,PM = 2MP , 求求點(diǎn)點(diǎn)M M的的軌軌跡跡00000 000000000000 000002222000022222 22 2解解：設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)MM的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(x,y),(x,y),點(diǎn)點(diǎn)P P的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(x ,y )(x ,y )，則則點(diǎn)點(diǎn)P P 的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(x ,0).(x ,0).由由PM=2MPPM=2MP得得：(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)，即即x-x =2(x -x)x

19、-x =2(x -x), ,y-y =2(-y)y-y =2(-y)即即x = x,y =3y.x = x,y =3y.P(x ,y )P(x ,y )在在圓圓x +y =9x +y =9上上, ,代代入入得得x +9y =9x +9y =9，x x即即+y =1,+y =1,點(diǎn)點(diǎn)MM的的軌軌跡跡是是一一個(gè)個(gè)橢橢圓圓. .9 9211222132661251632xyFFFFMMFMFMxyPP+=+=+=22121.已知橢圓方程為，則這個(gè)橢圓的焦距為（ ）23 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 52. 、 是定點(diǎn)，且，動點(diǎn) 滿足， 則點(diǎn) 的軌跡是（ ） (A)橢圓 (B)直線 (C

20、)圓 (D)線段3.已知橢圓上一點(diǎn) 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離 為，則 到另一焦點(diǎn)的距離為（ ） (A) (B)37 (C)5 (D)變式題組一變式題組一2149xkyykxymmxyFF+=2222212 1.如果方程+=1表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓， 那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ） (A)（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1） 2.橢圓+=1的焦距是2，則實(shí)數(shù) 的值是（ ）4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 3.已知 、是橢圓的251 FABABFD2兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于 、 兩點(diǎn)，則的 周長為（ ） (A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28變式題

21、組二變式題組二1、方程、方程10332222yxyx表示表示_。2、方程、方程表示表示_。6332222yxyx10332222yxyx3、方程、方程表示表示_。4、方程、方程的解是的解是_。10434322xx2 22 21 12 2x xy y1 1. .如如果果橢橢圓圓+ += =1 1上上一一點(diǎn)點(diǎn)P P到到焦焦點(diǎn)點(diǎn)F F的的距距離離等等于于6 6，那那么么點(diǎn)點(diǎn)P P到到1 10 00 03 36 6另另一一焦焦點(diǎn)點(diǎn)F F的的距距離離是是（）. .2 22 2x xy y2 2. .橢橢圓圓+ += =1 1的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)是是( () ). .mm- -2 2mm+ +5 5A A. .( ( 7 7, ,0 0) )B B. .( (0 0, , 7 7) )C C. .( (7 7, ,0 0) )D D. .( (0 0, ,7 7) )2 22 22 22 22 22 22 22 25 53 33 3. .兩兩個(gè)個(gè)焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是( (- -2 2, ,0 0) ), ,( (2 2, ,0 0) ), ,且且