22橢圓及其標準方程(第1、2課時)

1、2.2 2.2 橢圓及其標準方橢圓及其標準方程程肖 陳 軍 用一個平面去截一個圓錐面，當平面經(jīng)過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線； 當平面與圓錐面的軸垂直時，截線（平面與圓錐面的交線）是一個圓 當改變截面與圓錐面的軸的相對位置時，觀察截線的變化情況，并思考： 用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？這些曲線具有哪些幾何特征？橢圓橢圓雙曲線雙曲線拋物線拋物線探究 ：橢圓有什么幾何特征？活動1：動手試一試數(shù)學(xué)史：MQF2PO1O2VF1古希臘數(shù)學(xué)家Dandelin在圓錐截面的兩側(cè)分別放置一球，使它們都與截面相切（切點分別為F1，F(xiàn)2），又分別與圓錐面的側(cè)面相切（兩球與側(cè)面的公共點分別構(gòu)成圓O1和圓O2）

2、過M點作圓錐面的一條母線分別交圓O1，圓O2與P，Q兩點，因為過球外一點作球的切線長相等，所以MF1 = MP，MF2 = MQ， MF1 + MF2 MP + MQ PQ定值定值 1、橢圓的定義、橢圓的定義：1F2FM 平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩兩個定點個定點F1、F2的距離之的距離之和和等于等于常數(shù)常數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做）的點的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個定點叫做橢圓的這兩個定點叫做橢圓的焦點焦點，兩焦點間的距離，兩焦點間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。cFF221為橢圓時,022 ca2a2aMFMFMFMF2 21 1橢圓形成演示橢圓形成演示橢圓定義橢圓定義.gsp思考

3、：是否平面內(nèi)到兩定點之間的距離和為定長的點的軌跡就是橢圓？ 結(jié)論：（若 PF1PF2為定長） ）當動點到定點F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1PF2 F1F2時，P點的軌跡是橢圓。 ）當動點到定點F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1PF2 F1F2時，P點的軌跡是一條線段F1F2 。 ）當動點到定點F1、F2距離PF1、PF2滿足PF1PF20)，M與與F1、F2的距離的和為的距離的和為2a12121 21 2如如圖圖，以以經(jīng)經(jīng)過過橢橢圓圓兩兩焦焦點點F ,FF ,F的的直直線線為為x x軸軸，線線段段FFFF的的垂垂直直平平分分線線為為y y軸軸，建建立立直直角角坐坐標標系系xOy.x

4、Oy.12121212設(shè)設(shè)M(x,y)M(x,y)是是橢橢圓圓上上任任意意一一點點，橢橢圓圓的的焦焦距距為為2c(c0),2c(c0),那那么么焦焦點點F ,FF ,F 的的坐坐標標分分別別為為(-c,0),(c,0).(-c,0),(c,0).又又設(shè)設(shè)MM與與F ,FF ,F 的的距距離離的的和和等等于于2a.2a.1212由由橢橢圓圓的的定定義義，橢橢圓圓就就是是集集合合P = M MF + MF = 2a .P = M MF + MF = 2a .22222222121222222222因因為為 MF =(x+c) +y , MF =(x-c) +y ,MF =(x+c) +y , MF

5、 =(x-c) +y ,所所以以(x+c) +y + (x-c) +y =2a.(x+c) +y + (x-c) +y =2a.1F2FxyO),( yxM22222222222222將將這這個個方方程程兩兩邊邊平平方方，得得（x+c) +y =4a -4ax+c) +y =4a -4a（x-c) +y +x-c) +y + （x+c) +y ,x+c) +y ,22222222為為化化簡簡這這個個方方程程，將將左左邊邊的的一一個個根根式式移移到到右右邊邊，得得（x+c) +y =2a-x+c) +y =2a-（x-c) +y ,x-c) +y ,4 42 22 22 22 22 22 22

6、22 22 22 2上上邊邊兩兩式式再再平平方方，得得a a - -2 2a a c cx x+ +c c x x = =a a x x - -2 2a a c cx x+ +a a c c + +a a y y , ,2 22 22 2整整 理理 得得 a a- - c cx x = = a a( (x x - - c c) ) + + y y , ,2 22 22 22 22 22 22 22 2整整理理得得 ( (a a - -c c ) )x x + + a a y y = = a a ( (a a - -c c ) ), ,令22222222222222222222xyxy+=1.+

7、=1.aa -caa -c由由橢橢圓圓的的定定義義可可知知，2a 2c,2a 2c,即即a c,a c,所所以以a -c 0.a -c 0. b = a -c b = a -c0 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2叫做叫做橢圓的標準方程，焦點在橢圓的標準方程，焦點在x 軸上。軸上。 焦點在焦點在y 軸上，可得出橢圓軸上，可得出橢圓0 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2它也是橢圓的標準方程。它也是橢圓的標準方程。1 12 2yoFFMx2 22 22 2c cb ba a0 0c ca a0, 0,b ba a0 12222

8、babyax1 12 2yoFFMxy xoF2F1M0 12222babxay定定 義義圖圖 形形方方 程程焦焦 點點F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c之間之間的關(guān)系的關(guān)系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)橢圓的標準方程橢圓的標準方程求法： 一定定焦點位置；二設(shè)設(shè)橢圓方程；三求求a、b的值.例例1橢圓的兩個焦點的坐標分別是（橢圓的兩個焦點的坐標分別是（4，0）（4，0），橢圓上一點），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10，求橢圓的標準方程。求橢圓的標準方程。 1 12 2yoFFMx.解：解： 橢圓的

9、焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上設(shè)它的標準方程為設(shè)它的標準方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為 ) 0( 12222babyax192522yx求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程（1）首先要）首先要判斷判斷類型，類型，（2）用）用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求ba,橢圓的定義橢圓的定義a2=b2+c2例例2 2. .已已知知橢橢圓圓的的兩兩個個焦焦點點坐坐標標分分別別為為（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且經(jīng)經(jīng)過過點點（， - -），求求它它的的標標準準方方程程. .2 22 22 22 22

10、 22 2解解 : :因因為為橢橢圓圓的的焦焦點點在在x x軸軸上上，所所以以設(shè)設(shè)它它的的標標準準方方程程為為x xy y+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 22 2由由橢橢圓圓的的定定義義知知5 53 35 53 32 2a a = =+ + 2 2+ + - -+ +- -2 2+ + - -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因為為c c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = = 6 6. .2

11、2222222因因此此，所所求求橢橢圓圓的的標標準準方方程程為為xyxy+=1.+=1.1061061 111 11變變式式引引申申：求求焦焦點點在在y y軸軸上上，且且經(jīng)經(jīng)過過點點A(,)A(,)、B(0,-)B(0,-)的的3 323 32橢橢圓圓的的標標準準方方程程. . 2 22 22 22 22 22 2y yx x解解 ： 設(shè)設(shè) 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 方方 程程 為為+ += = 1 1 , ,a ab b1 11 11 1將將 A A ( (, ,) ), , B B ( (0 0 , , - -) )代代 入入 得得 ：3 33 32 22 22 21 11 13 33

12、 3+ += = 1 12 22 2a ab b, ,2 21 1- -2 2= = 1 12 2a a1 12 2a a= =, ,4 4解解 得得 ：1 12 2b b= =. .5 5y yx x故故 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 標標 準準 方方 程程 為為+ += = 1 1 . .1 11 14 45 5？思考一個問題思考一個問題:把把“焦點在焦點在y軸上軸上”這句話去掉，怎么辦？這句話去掉，怎么辦？ 定義法：如果所給幾何條件正好符合某一特定的曲線（圓，橢圓等）的定義，則可直接利用定義寫出動點的軌跡方程. 待定系數(shù)法：所求曲線方程的類型已知，則可以設(shè)出所求曲線的方程，然后根據(jù)條件求

13、出系數(shù).用待定系數(shù)法求橢圓方程時，要“先定型，再定量”. 求曲線方程的方法：2222xyxy例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦點點在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnm,nm,n滿滿足足什什么么條條件件，并并指指出出焦焦點點坐坐標標. .2222xyxy解解：若若+=1+=1表表示示焦焦點點在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnmn0,mn0,且且c =m-n,c =m-n,所所以以，焦焦點點坐坐標標為為( m-n,0),(- m-n,0).( m-n,0),(- m-n,0).2 22 2變變式式引引申申: :若若焦焦點點在在y y軸軸上上；如如果果不不指指明明在在哪

14、哪個個坐坐標標軸軸上上；若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示橢橢圓圓，mm, ,n n應(yīng)應(yīng)滿滿足足什什么么條條件件. .2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示橢橢圓圓, ,則則m0,n0m0,n0且且mmn,n,當當mn0mn0，表表示示焦焦點點在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓；當當nm0nm0，表表示示焦焦點點在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓. .2222xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦點點在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnnm0,nm0,且且c =n-m,c =n-m,所所以以，焦焦點點坐坐標標為為(0, n-m

15、),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m).2222xyxy(2)(2)若若+=1+=1表表示示橢橢圓圓, ,則則m0,n0m0,n0且且mmn.n.mnmn2222分分析析：點點P P在在圓圓x +y =4x +y =4上上運運動動, ,點點P P的的運運動動引引起起點點MM的的運運動動. .我我們們可可以以由由MM為為線線段段PDPD的的中中點點得得到到點點MM與與點點P P坐坐標標之之間間的的關(guān)關(guān)系系式式, ,并并由由點點P P的的坐坐標標滿滿足足圓圓的的方方程程得得到到點點MM的的坐坐標標所所滿滿足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圓圓x x + +

16、y y = =4 4上上任任取取一一個個點點P P，過過點點P P作作x x軸軸的的垂垂線線P PD D，D D為為垂垂足足. .當當點點P P在在圓圓上上運運動動時時，線線段段P PD D的的中中點點M M的的軌軌跡跡是是什什么么? ?為為什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22 2解解 : : 設(shè)設(shè)點點的的坐坐標標為為( (x x, ,y y) ), ,點點的的坐坐標標為為( (x x , ,y y ) ), ,則則y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因為為點點( (x x , ,y

17、y ) )在在圓圓x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以點點的的軌軌跡跡是是一一個個橢橢圓圓. . 代入法：或中間變量法，利用所求曲線上的動點與某一已知曲線上的動點的關(guān)系，把所求動點轉(zhuǎn)換為已知動點滿足的曲線的方程，由此即可求得動點坐標x,y之間的坐標。 求曲線方程的方法：.2222變變式式引引申申：已已知知圓圓x +y = 9,x +y = 9,從

18、從這這個個圓圓上上任任意意一一點點P P向向x x軸軸作作垂垂線線PPPP ，點點M M在在PPPP 上上, ,并并且且PM = 2MP ,PM = 2MP , 求求點點M M的的軌軌跡跡00000 000000000000 000002222000022222 22 2解解：設(shè)設(shè)點點MM的的坐坐標標為為(x,y),(x,y),點點P P的的坐坐標標為為(x ,y )(x ,y )，則則點點P P 的的坐坐標標為為(x ,0).(x ,0).由由PM=2MPPM=2MP得得：(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)，即即x-x =2(x -x)x

19、-x =2(x -x), ,y-y =2(-y)y-y =2(-y)即即x = x,y =3y.x = x,y =3y.P(x ,y )P(x ,y )在在圓圓x +y =9x +y =9上上, ,代代入入得得x +9y =9x +9y =9，x x即即+y =1,+y =1,點點MM的的軌軌跡跡是是一一個個橢橢圓圓. .9 9211222132661251632xyFFFFMMFMFMxyPP+=+=+=22121.已知橢圓方程為，則這個橢圓的焦距為（ ）23 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 52. 、 是定點，且，動點 滿足， 則點 的軌跡是（ ） (A)橢圓 (B)直線 (C

20、)圓 (D)線段3.已知橢圓上一點 到橢圓一個焦點的距離 為，則 到另一焦點的距離為（ ） (A) (B)37 (C)5 (D)變式題組一變式題組一2149xkyykxymmxyFF+=2222212 1.如果方程+=1表示焦點在 軸上的橢圓， 那么實數(shù) 的取值范圍是（ ） (A)（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1） 2.橢圓+=1的焦距是2，則實數(shù) 的值是（ ）4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 3.已知 、是橢圓的251 FABABFD2兩個焦點，過的直線與橢圓交于 、 兩點，則的 周長為（ ） (A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28變式題

21、組二變式題組二1、方程、方程10332222yxyx表示表示_。2、方程、方程表示表示_。6332222yxyx10332222yxyx3、方程、方程表示表示_。4、方程、方程的解是的解是_。10434322xx2 22 21 12 2x xy y1 1. .如如果果橢橢圓圓+ += =1 1上上一一點點P P到到焦焦點點F F的的距距離離等等于于6 6，那那么么點點P P到到1 10 00 03 36 6另另一一焦焦點點F F的的距距離離是是（）. .2 22 2x xy y2 2. .橢橢圓圓+ += =1 1的的焦焦點點坐坐標標是是( () ). .mm- -2 2mm+ +5 5A A. .( ( 7 7, ,0 0) )B B. .( (0 0, , 7 7) )C C. .( (7 7, ,0 0) )D D. .( (0 0, ,7 7) )2 22 22 22 22 22 22 22 25 53 33 3. .兩兩個個焦焦點點的的坐坐標標是是( (- -2 2, ,0 0) ), ,( (2 2, ,0 0) ), ,且且