《線性代數(shù)》第三章線性方程組

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù)第三章 線性方程組線性方程組的解的判定解的判定和求法求法本章難點(diǎn)：本章難點(diǎn)：解的判定解的判定定理本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：一、線性方程組的有關(guān)概念一、線性方程組的有關(guān)概念1、n元元線性方程組為：線性方程組為： .,22112121212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)；個(gè)未知量第個(gè)方程：第jijxjia,.個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)：第jbj4元線性方程組. 343, 22, 1431321321xxxxxxxxx, 122j211111mnmjmnnjaaaaaaaaaA2、方程組的、方程組的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A為：為：“增廣矩陣增廣矩陣

2、”, 21122j211111mmnmjmnnjbbbaaaaaaaaaA對(duì) 做初等行變換，同時(shí)也是對(duì)A做變換。A3、方程組的、方程組的矩陣形式矩陣形式：mnmjmnnjaaaaaaaaa 122j211111nxxx21mbbb21系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A未知量矩陣未知量矩陣X常數(shù)矩陣常數(shù)矩陣BBAX 簡(jiǎn)記為：【例【例1】寫出下列線性方程組的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣、增廣矩陣增廣矩陣和矩陣形式矩陣形式. 343 , 22 , 1 2323121xxxxxx解：解： 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣是430201021A30 x20 x10 x343022011011A增廣矩陣增廣矩陣方程組的矩陣形式矩陣形式是AXB，即3

3、21430201011321xxx由線性方程組可惟一確定增廣矩陣；反之由增廣矩陣，也可以惟一確定線性方程組?！纠纠?】已知方程組的增廣矩陣如下，試寫出它的線性方程組303122011011A【解】：【解】：“常數(shù)項(xiàng)”1 21 xx22 31 xx3 321 xx一一對(duì)應(yīng)【例【例3】已知方程組的增廣矩陣如下，試寫出它的線性方程組303122011011A解：解：“常數(shù)項(xiàng)”1 21 xx22 31 xx3 321 xx4、齊次線性方程組：、齊次線性方程組：AX=0 . 0, 0, 0221112121211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa如果常數(shù)項(xiàng)mbbb,21

4、不全為0，則稱為：非齊次線性方程組非齊次線性方程組。5、方程組的、方程組的解解：. , ,2211nncxcxcx方程組的解解是滿足方程組滿足方程組的未知量的一組取值：）也可記為：（nccc,21例如：052902025321321321xxxxxxxxx顯然，000321xxx就是它的一組解。顯然： 是齊次線性方程組齊次線性方程組 ）（0 , 0 , 0注意：方程組的解可能有惟一解惟一解，也可能 有無窮多組無窮多組，也可能是無解無解。 . 0, 0, 0221112121211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的一組解。稱為0解解，或平凡解平凡解。否則稱為非零

5、解非零解。定理定理3.1,3.2實(shí)際上告訴我們要通過來判斷解的情況。總結(jié)：（1）若 則方程組無解無解。),()(AAr秩秩（2.1）若 = 就有唯一解唯一解；（2.2）若 就有無窮多解無窮多解。)()(AAr秩秩（2）若 則方程組有解有解。設(shè)設(shè) =秩秩( )， 為未知量的個(gè)數(shù)為未知量的個(gè)數(shù).二、線性方程組解的判定定理二、線性方程組解的判定定理【例【例3】當(dāng)a,b為何值時(shí),下列方程組有惟一解 、無窮多解或無解。.3, 22, 1321321321baxxxxxxxxx【解【解】 只需要對(duì)增廣矩陣增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,將其化為階梯形矩陣baA3122111111A+(-1)+(-1)+(-2)1

6a330011201111ba根據(jù)方程組解的判定定理方程組解的判定定理可知：（1）當(dāng)a=3,且b3時(shí)2)(Ar3)(Ar所以方程組無解無解。（2）當(dāng)a=-3,且b=3時(shí)2)()(ArAr330011201111ba000011201111n3所以方程組有無窮多解.（3）當(dāng)a-3時(shí)nArAr3)()(所以方程組有惟一解.注意3個(gè)量：nArAr，)()(1、線性方程組AX = b的解的情況歸納如下： (1.1)AX = b有唯一解唯一解 nAA)()(秩秩(1.2)AX = b有無窮多解無窮多解 nAA)()(秩秩(1.3)AX = b無解無解 )()(AA秩秩2、齊次線性

7、方程組AX = 0的解的情況為： (2.1)AX = 0只有零解零解(唯一解唯一解) nA )(秩(2.1)AX = 0有非零解非零解(無窮多解無窮多解) nA )(秩注：對(duì)于齊次線性方程組沒有“”的情況?！纠纠?線性方程組AX = B有唯一解，那么AX = 0 ( ) A可能有解 B有無窮多解 C無解 D有唯一解 【解】線性方程組AX = B有唯一解，說明,)nr(A 故AX = 0只有唯一解（零解） 三、線性方程組的求解三、線性方程組的求解定義定義：“行簡(jiǎn)化階梯形矩陣行簡(jiǎn)化階梯形矩陣”若階梯形矩陣還滿足下兩個(gè)條件：(1)各個(gè)非非0行行的第一個(gè)不為0的元素(首非首非0元元) 都是都是1；

8、(2)所有首非首非0元所在列元所在列的其余元素都是都是0.310001010000021如：000003021012101求解的方法：用初等行變換。第一步第一步，寫出增廣矩陣 ，并用初等 行變換變?yōu)殡A梯矩陣階梯矩陣；第二步第二步，再用初等行變換將所得矩陣變?yōu)?行簡(jiǎn)化階梯形矩陣行簡(jiǎn)化階梯形矩陣；第三步第三步，寫出所得矩陣對(duì)應(yīng)的方程組，再 整理出方程組的。 A實(shí)際上，第二步和求逆矩陣的第三步類似。【例【例4】解線性方程組：. 3529, 42, 225321321321xxxxxxxxx【解【解】 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，即352941122215A+(-2)+(-4)

9、1312141126011+(-2)+(-1)7110161306011(,)1613071106011+3540071106011451007110601141(-1)+451004230106011+45100423010410011x2x3x所以方程組化簡(jiǎn)為：45100,423010,41001321xxx45,423,41321xxx即方程組的解為：【例【例5】解線性方程組：. 6754, 34, 5 3, 05232132121321xxxxxxxxxxx【解【解】 對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，即6754341150310512A(,)675434110512

10、5031+(-2)+(-4)1477084401055050315141712110211021105031+(-1)+(-1)0000000021101301+(-3)所以方程組化簡(jiǎn)為：. 2 , 13 3231xxxx. 2, 133231xxxx.3是自由未知量其中x含有自由未知量的解稱為方程組的一般解一般解。的值，因此有無窮多解自由未知量可以取任意（）【例【例6】設(shè)線性方程組= 的通過初等行變換化為：00000120004131062131【分析【分析】 先確定為：則此線性方程組的一般解中的個(gè)數(shù)為_。421,xxx則其余的為：3x1求方程組的解。00000012510018312035

11、36121已知線性方程組AX=B的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為階梯形矩陣：解：解：對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，將其進(jìn)一步化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣簡(jiǎn)化階梯形矩陣，即+(-1)00000012510018312035361210000001251002620203451021+(-1)0000001251002620203211001 21000000125100131010321100154,xx其中，是自由未知量1251332543542541xxxxxxxxx寫成方程組的形式為：所以，方程組的解為：5435425412513132xxxxxxxxx54,xx其中，是自由未知量解齊次線性方程組 一般方法

12、是： (1) 寫出齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A；(2) 對(duì)A施行初等行變換，使A化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣； (3) 根據(jù)行簡(jiǎn)化階梯形矩陣寫出方程組的解。 【例【例7】求線性方程組：. 032, 0382, 03214321321xxxxxxxxxx解：解：的一般解。對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化成行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，即013238120111A+(-2)+(-2)03103630011131031012100111+(-1)110012100111 (-1)110012100111+(-1)+2110030101011+(-1)110030104001所以方程組化簡(jiǎn)為：. 0, 03, 04434241xxxxxx.,3,4434241xxxxxx即：.4是自由未知量其中x【例【例8】設(shè)齊次線性方程組為：. 083, 0352, 023321321321xxxxxxxxx【解【解】