(完整版)二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題(等腰三角形的存在性問(wèn)題)

1、二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題 （等腰三角形 ）07 福建龍巖 如圖，拋物線 y ax2 5ax 4經(jīng)過(guò) ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC x軸，點(diǎn) A在x軸上，點(diǎn) C在 y軸上，且 ACBC求拋物線的對(duì)稱軸；寫出 A，B，C 三點(diǎn)的坐標(biāo)并求拋物線的解析式； 探究：若點(diǎn) P 是拋物線對(duì)稱軸上且在 x 軸下方的動(dòng)點(diǎn)，（1）（2）（3） 是否存在 PAB 是等腰三角形若存在，求出所有符合條 件的點(diǎn) P 坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5a 2ayCBA0解：（ 1）拋物線的對(duì)稱軸 x2） A（ 3，0）B（5，4）C（0，4）把點(diǎn) A 坐標(biāo)代入 y2ax5ax 4 中，解得1 2 5 y x x66（3）存在符合條件

2、的點(diǎn) P 共有 3 個(gè)以下分三類情形探索 設(shè)拋物線對(duì)稱軸與 x 軸交于 N ，與 CB 交于 M 過(guò)點(diǎn) B 作 BQ x軸于 Q ，易得 BQ 4， AQ 8， AN 5.5 ，2 以 AB 為腰且頂角為角A的PAB有 1個(gè)： P1ABAB2 AQ2 BQ 2 8242 80在 Rt ANP1中， P1NAP12 AN2AB2 AN 2 80 （5.5） 219925P1 52，1992 AB 為腰且頂角為角B的PAB有 1個(gè)： P2AB 在 RtBMP2 中， MP2BP22 BM 2 AB2 BM 2802542952P2以 AB 為底，頂角為角P 的PAB有 1 個(gè)，即 P3AB 畫 A

3、B 的垂直平分線交拋物線對(duì)稱軸于P3，此時(shí)平分線必過(guò)等腰 ABC的頂點(diǎn)C過(guò)點(diǎn) P3作P3K垂直 y軸，垂足為 K，顯然 Rt P3CK Rt BAQ P3K BQCK AQQ P3K 2.5CK 5 于是 OKP3（2.5， 1）8 2952242 2 4 x2x 2 的圖象與 x 軸交于33線的對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn) D 點(diǎn) M從 O點(diǎn)出發(fā)，以每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度07 廣西河池 如圖，已知拋物線 yA，B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C ，拋物的速度向 B 運(yùn)動(dòng)，過(guò) M 作 x 軸的垂線，交拋物線于點(diǎn) P，交 BC 于 Q（1）求點(diǎn) B 和點(diǎn) C 的坐標(biāo)；（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)了求 S 與 x 的函

4、數(shù)關(guān)系式，并指出自變量（3）在線段 BC 上是否存在點(diǎn) 等腰三角形？若存在，1）把 x =0 代入 y把 y =0 代入 yx （秒）時(shí)，四邊形 OBPC 的面積為 S， x 的取值范圍Q，使得 DBQ 成為以 BQ 為一腰的 Q 的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由4x34x3求出點(diǎn)y2）連結(jié) OP，設(shè)點(diǎn)22x322x3 P 的坐標(biāo)為 P2 得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 C（0， 2）2 得點(diǎn) B的坐標(biāo)為B（3，0）x，y）=+= 12x1S四邊形 OBPC = S OPC+ S OPB= 22x23y22x33x 3 點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)到B 點(diǎn)上停止， 0 x 33( 0 x 3 )43)存在 BC= OB2 OC

5、2 = 13 若 BQ = DQ BQ = DQ ， BD = 2QM tan OBCBM 若 BQ=BD=2 BM = 1 OC 2 OB 3OM = 3 2 QM =3所以 Q 的坐標(biāo)為Q （ 2，23)BCCO2QM QM =4 1313213BQBM2BMBC =OB 13=3BO BQM BCO， BQ=QM = BM BM =6 13136 13 OM = 31311分所以 Q 的坐標(biāo)為3 6 13 ， 4 13 )13 1312分07 年云南省 已知：如圖，拋物線 y ax2bxc 經(jīng)過(guò) A(1, 0) 、B(5,0)、C (0,5) 三點(diǎn)6P 使得 ABP 為等腰三角形？若存在

6、，請(qǐng) ；若不存在這樣的點(diǎn) P ，請(qǐng)說(shuō)明理由（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若過(guò)點(diǎn) C 的直線 y kx b 與拋物線相交于點(diǎn) E （4， m）， 請(qǐng)求出 CBE的面積 S的值；（3）在拋物線上求一點(diǎn) P0使得 ABP0為等腰三角形并寫出 P0 點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）除（ 3）中所求的 P0 點(diǎn)外，在拋物線上是否還存在其它的點(diǎn) 求出一共有幾個(gè)滿足條件的點(diǎn) P （要求簡(jiǎn)要說(shuō)明理由，但不證明） 解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（1, 0）、 B（5,0） y a（x 1）（x 5）又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) C（0,5） 5a 5 ，a 1拋物線的解析式為 y （x 1）（x 5） x2 6x 5 2） E點(diǎn)在拋物線上，

7、m = 424×6+5 = -3直線 y = kx+b 過(guò)點(diǎn) C（0， 5）、E（4， 3），b 5,4k b解得 k = - 2， b = 5 3.5 設(shè)直線 y=- 2x+5 與 x 軸的交點(diǎn)為 D，當(dāng) y=0 時(shí)，- 2x+5=0 ，解得 x=25 D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ ，0）21 S=S BDC + S BDE=5 1 5 (5 2) 5+ 2 (5 2) 3=103）拋物線的頂點(diǎn) P0（3, 4） 既在拋物線的對(duì)稱軸上又在拋物線上，點(diǎn) P0（3, 4） 為所求滿足條件的點(diǎn)4）除 P0點(diǎn)外，在拋物線上還存在其它的點(diǎn) P使得 ABP理由如下： AP0 BP022 42 2 5 4

8、 ，分別以 A、 B為圓心半徑長(zhǎng)為 4 畫圓，分別與拋物線 交于點(diǎn) B、 P1、 P2、 P3、 A、 P4、P5、P6， 除去 B、 A兩個(gè)點(diǎn)外，其余 6個(gè)點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn) （說(shuō)明：只說(shuō)出 P 點(diǎn)個(gè)數(shù)但未簡(jiǎn)要說(shuō)明理由的不給分）207山東威海 如圖， 在平面直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 （1，2） ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （3，1） ，二次函數(shù) y x2的圖象記為拋物線 l1 1）平移拋物線 l1，使平移后的拋物線過(guò)點(diǎn)A ，但不過(guò)點(diǎn) B ，寫出平移后的一個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式：任寫一個(gè)即可） 2）平移拋物線 l1 ，使平移后的拋物線過(guò)A， B兩點(diǎn)，記為拋物線 l2 ，如圖，求拋物線 l2的函數(shù)表達(dá)式3

9、）設(shè)拋物線 l2 的頂點(diǎn)為 C ， K 為 y 軸上一點(diǎn)若 S ABK S ABC ，求點(diǎn) K 的坐標(biāo)4）請(qǐng)?jiān)趫D上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線l2上是否存在點(diǎn) P，使 ABP為等腰三角形若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn) P 共有幾個(gè)可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由x2yx2 x2yx解：（1）有多種答案，符合條件即可例如1，x，(x1)2 2或 y x2 2x3， y (x 2 1)2y (x2)22）設(shè)拋物線l2 的函數(shù)表達(dá)式為 ybx c ，Q點(diǎn) A(1，2) ，B（3，1） 在拋物線 l2 上，bc3b2，解得19，2，11.2.拋物線l2 的函數(shù)表達(dá)式為1123）11716C 點(diǎn)的坐標(biāo)為

10、，716過(guò) A，B，C 三點(diǎn)分別作則 AD 2 ， CF 7 ， BE 1 ， DE16x 軸的垂線，垂足分別為 D，E，52， DF 5，4F，F(xiàn)ES ABCS梯形 ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB112(2 1) 27167163 154 16延長(zhǎng) BA 交 y 軸于點(diǎn) G ，設(shè)直線 AB 的函數(shù)表達(dá)式為 y mx n ，Q 點(diǎn) A（1，2） ， B（3，1）在直線 AB上，n，3m n.解得1，2，5.2.直線 AB 的函數(shù)表達(dá)式為15x225G 點(diǎn)的坐標(biāo)為 0，2設(shè) K 點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，h） ，分兩種情況：若 K 點(diǎn)位于 G 點(diǎn)的上方，則 KGS S S 1 3SABK SBK

11、G S AKG325連結(jié) AK，hBK 2h51551hh2222Q S ABKS ABC15161516，解得5516K 點(diǎn)的坐標(biāo)為0，1565 若 K 點(diǎn)位于 G 點(diǎn)的下方，則（4）作圖痕跡如圖所示 注：作出線段 AB 的中垂線得KG525 h 同理可得，2516K 點(diǎn)的坐標(biāo)為由圖可知，點(diǎn) P 共有 3 個(gè)可能的位置1 分，畫出另外兩段弧得 1 分0，25 x07 山東泰安 如圖，在 OAB 中，B 90o ，BOA 30o ， OA4，將 OAB繞點(diǎn) O 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至OAB，C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0，4）（ 1）求 A 點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過(guò) C ， A ， A三點(diǎn)的拋物線2 y axb

12、x c 的解析式；所求解析式為 y2（2 3 3）x 41322 3 3（3）在（ 2）中的拋物線上是否存在點(diǎn) P，使以 O，A，P 為頂點(diǎn)的三角形 是等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：（1）過(guò)點(diǎn) A 作 AD 垂直于 x軸，垂足為 D ,則四邊形 OBAD為矩形 在 ADO 中， AD OA sin A OD 4 sin 60o 2 3OD AB AB 2 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （2，2 3）2）Q C （0，4） 在拋物線上，c 4 y ax2 bx 4Q A（4，0） ， A （2，2 3） ，在拋物線 y ax2 bx 4 上16a 4b 4 0，

13、解之得4a 2b 4 2 3C（0，4） 為滿足條件的點(diǎn)（4，4）或 （4， 4） ，經(jīng)計(jì)算知；（2，2）或 （2， 2） ，經(jīng)計(jì)算知；3）若以點(diǎn) O為直角頂點(diǎn)，由于 OC OA 4，點(diǎn) C在拋物線上，則點(diǎn)若以點(diǎn) A 為直角頂點(diǎn)，則使 PAO 為等腰直角三角形的點(diǎn) P 的坐標(biāo)應(yīng)為 此兩點(diǎn)不在拋物線上若以點(diǎn) P 為直角頂點(diǎn)，則使 PAO 為等腰直角三角形的點(diǎn) P 的坐標(biāo)應(yīng)為 此兩點(diǎn)也不在拋物線上綜上述在拋物線上只有一點(diǎn) P（0，4） 使 OAP為等腰直角三角形CDB=CBD=DBA， DBA=30 ，AB=4，DC = AD=2 ，08 廣東梅州 如圖 11 所示，在梯形 ABCD 中，已知 A

14、BCD， ADDB， AD=DC=CB，AB=4以 AB所在直線為 x軸，過(guò) D 且垂直于 AB 的直線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求 DAB 的度數(shù)及 A、D 、C 三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過(guò) A、D、C 三點(diǎn)的拋物線的解析式及其對(duì)稱軸L（3）若 P是拋物線的對(duì)稱軸 L上的點(diǎn)，那么使 PDB 為 等腰三角形的點(diǎn) P有幾個(gè) ?（不必求點(diǎn) P 的坐標(biāo)，只需說(shuō)明理由） 解： （1） DC AB，AD=DC=CB，DAB=CBA， DAB =2 DBA ，DAB+ DBA =90 ，DAB =60 ，Rt AOD，OA=1，OD= 3 ，.A（-1，0），D（0， 3 ），C（2，3 ）A（ 1，

15、0），B（ 3， 0），（2）根據(jù)拋物線和等腰梯形的對(duì)稱性知，滿足條件的拋物線必過(guò)點(diǎn) 故可設(shè)所求為 y = a （ x+1）（ x-3）將點(diǎn) D（0， 3 ）的坐標(biāo)代入上式得，a=所求拋物線的解析式為y= 3 （x31)(x3).7分其對(duì)稱軸 L 為直線 x=1 ········ ······ · ··········· 8 分（ 3）

16、PDB 為等腰三角形，有以下三種情況： 因直線 L 與 DB 不平行， DB 的垂直平分線與 L 僅有一個(gè)交點(diǎn) P1，P1D=P1B，P1DB 為等腰三角形；········ ······ · ······ ··· · 9 分 因?yàn)橐?D 為圓心，DB 為半徑的圓與直線 L 有兩個(gè)交點(diǎn) P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB

17、 為等腰三角形； 與同理， L 上也有兩個(gè)點(diǎn) P4、 P5，使得 BD=BP4，BD=BP5···· · 10 分由于以上各點(diǎn)互不重合，所以在直線 L 上，使 PDB 為等腰三角形的點(diǎn) P有 5 個(gè)08 福建南平 如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一矩形紙片OABC ， O為原點(diǎn)，點(diǎn) A，C分別在 x軸， y 軸上，點(diǎn) B 坐標(biāo)為 （m，2） （其中 m 0），在 BC 邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E 和點(diǎn) F ，將 OCE 沿 OE 翻折，得到OGE ；再將ABF沿 AF 翻折，恰好使點(diǎn) B與點(diǎn)G重合，得到 AGF ，且 OGA 90o （1）求 m 的值；（2）

18、求過(guò)點(diǎn) O，G，A 的拋物線的解析式和對(duì)稱軸； （3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) P，使得 OPG 是 等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，直接答出 所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)（不要求寫出求解過(guò)程） （1）Q B（ m， 2） ，由題意可知 AG AB 2， OGOC 2 ， OA mQ OGA 90o， OG 2 AG2 OA222 2 m2又Qm 0， m 2（2）過(guò)G作直線GH x軸于 H，則OH 1，HG 1，故G（1，1）又由（ 1）知 A（2，0） ， 設(shè)過(guò) O，G，A 三點(diǎn)的拋物線解析式為 y ax2 bx cQ 拋物線過(guò)原點(diǎn)，c 0 又Q 拋物線過(guò) G，A兩點(diǎn)，ab1

19、解得4a 2b 0所求拋物線為 y2x 2x它的對(duì)稱軸為3）答：存在 ,滿足條件的點(diǎn) P有 （1，0） ， （1， 1） ，08 湖南株洲 如圖（ 1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 1，- 2），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3，- 1），二次函數(shù) y x2 的圖象為 l1 .1）平移拋物線 l1 ，使平移后的拋物線過(guò)點(diǎn) A，但不過(guò)點(diǎn) B，寫出平移后的拋物線的一個(gè)解析式（任寫 一個(gè)即可） .2）平移拋物線 l1，使平移后的拋物線過(guò) A、B 兩點(diǎn)，記拋物線為 l2 ，如圖（ 2），求拋物線 l2 的函數(shù)解 析式及頂點(diǎn) C的坐標(biāo) .4）3）設(shè) P 為 y 軸上一點(diǎn)，且 S ABC S ABP ，

20、求點(diǎn) P 的坐標(biāo) .請(qǐng)?jiān)趫D（ 2）上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線 l2上是否存在點(diǎn) Q，使 QAB 為等腰三角形 . 若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn) Q 共有幾個(gè)可能的位置（保留作圖痕跡） ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由1) y2x 3或 y2 x2）設(shè) l2 的解析式為 y解得： b 92,c 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（1分x2 4x 5等 （滿足條件即可）219 x22x2 bx c ，聯(lián)立方程組1129, 7 ）4 163）如答圖 23- 1，過(guò)點(diǎn) A、，則 l2 的解析式為 yB、C 三點(diǎn)分別作19112b c ，3b c3分4分x 軸的垂線，垂足分別為 D、E、F，則 AD 2， CF 7 ， 16BE 1， DE

21、 2， DF 5，4FE得： S ABCS梯形 ABEDS梯形 BCFE S梯形ACFD1516 . 延長(zhǎng) BA 交 y 軸于點(diǎn) G ，直線 AB 的解析式為 y5分5 ，則點(diǎn) G 的坐標(biāo)為（ 0， 5 ），設(shè)點(diǎn) P 的坐22標(biāo)為（ 0， h ）當(dāng)點(diǎn)P 位于點(diǎn) G的下方時(shí)，S ABC當(dāng)點(diǎn)h 55 ，點(diǎn)16P 位于點(diǎn) G 的上方時(shí)，S ABP 15，得16PG 52P 的坐標(biāo)為h，連結(jié) AP、BP，則 S ABPS BPG S APGh ，又PG5 h ，同理255）或（ 0，160， 55 ） .1625 ，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 0，1625）166分1265).7分(4)綜上所述所求點(diǎn) P 的坐標(biāo)為0，Q3、 Q4，共 4個(gè)可能的位置 .答圖 23-210 分1708 浙江溫州 如圖，在 Rt ABC中， A 90o， AB 6，AC 8， D，E分別是邊 AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn) P從點(diǎn) D 出發(fā)沿 DE 方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) P作 PQ BC 于 Q，過(guò)點(diǎn) Q作 QRBA交 AC 于R ，當(dāng)點(diǎn) Q 與點(diǎn) C 重合時(shí)，點(diǎn) P 停止運(yùn)動(dòng)設(shè) BQ x ， QR y 1）求點(diǎn) D到 BC的